3.2.2 双曲线的简单几何性质-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

数学 选择性必修第一册 课堂小结 定义 焦点、焦距 双曲线及其标准方程 焦点在x轴上 重要思想与方法 (1)双曲线的定义式为1川PF-|PF21|=2a(2a<FF2|) 标准 焦点在y轴上 方程 (2)用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所 求 定义法 在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a,b,c的方程 解 待定系数法 组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或 用形如m.x2+ny2=1(mn<0)的形式求解」 温馨提示 请做课时分层检测（二十四） 3.2.2 双曲线的简单几何性质 【课标要求】1.了解双曲线的简单几何性质.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.理 解直线与双曲线的位置关系.4.会求解有关弦长问题： 【素养要求】1.通过研究双曲线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养.2.通过运用双曲线的方 程与性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)双曲线的范围、对称性和顶点 :(二)双曲线的渐近线 标准方程 =1(a>0,b>0)》 =1(a>0,b>0) 1.渐近线 62 范围 x≤-a或x≥a,y∈R ,x∈R 般地，双曲线2一2 =1(a>0,b>0)的两支 对称性 对称轴： :对称中心： 性 顶点坐标 向外延伸时，与两条直线 逐渐接 质 实轴：线段A1A2,长：；虚轴：线段B1B2,长： 近，我们把这两条直线叫作双曲线的 莎 :半实轴长： ;半虚轴长： 双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. 2.等轴双曲线 即时小练 实轴和虚轴等长的双曲线叫做 双曲线， 1双自骏 =1的顶点坐标是 -9 其离心率e= A.(±5,0) 即时小练 B.(士5,0)或(0，士3) C.(士4,0) 1,已知双曲线 62 =1(a>0,b>0)为等轴双曲 D.(士4,0)或(0，士3) 2.实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是 线，且焦点到渐近线的距离为√2，则该双曲线的 ( 方程为 A2-y2= B.x2-y2=1 B.y2-2 1 C.x2-y2=√2 D.x2-y2=2 一6三1或一之2 4161 y2 2,双曲线。号 =1的两条渐近线的方程为 =1或y2- 4 41 92 第三章圆锥曲线的方程 (三)双曲线的离心率 ①当b2一a2k2=0,即=士6时，直线与渐近线 a 双曲线的 与 的比c,叫做双曲线的 定义 平行，则直线与双曲线只有一个公共点. 离心率 ②当b2-a2k2≠0，即k≠士b时，判别式△>0 范围 台直线与双曲线相交，有两个公共点；判别式 即时小练 △=0台直线与双曲线相切，有且只有一个公共 点；判别式△<0台直线与双曲线相离，没有公 1.判断正误 共点 (1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越 开阔. ( 即时小练 (2)椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范1.判断正误 围相同 ( (1)过点A(1,0)作直线1与双曲线x2-y2=1 2.双前线号-号-1的离心率是 只有一个公共点，则这样的直线可作2条 3 ( A. c号 (2)直线l:y=x与双曲线C:2x2-y2=2有两 个公共点 ( y2 3.若双曲线 =1(a>0)的离心率为5 ,则 (3)直线与双曲线有唯一交点是直线与双曲线 相切的必要不充分条件 a= (四)直线与双曲线的位置关系 2直线3江4y=0与双圃线号若1的交点个 直线与双曲线的位置关系的判断 数是 ( 一般地，设直线方程为y=kx十m(m≠0)，双曲线 A.0 B.1 C.2 D.3 方程为后芳=1a>0.6≥0》.格y=十m代 斜率为2的直线与双面线号-号1交于4 人名一发1，消去y并化简，得（心一22）2 B两点，且|AB引=4，则直线1的方程为 2a2mkx-a2m2-a262=0. 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 /方法技巧/ 题点一 根据双曲线方程研究其几何性质 由双曲线的方程研究几何性质 [典例]求双曲线9y2-4x2=一36的顶点坐标、： (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问 焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线 题的关键. 方程 (2)由标准方程确定焦点位置，确定a,b的值 [听课记录] (3)由c2=a2+b2求出c的值，从而写出双曲 线的几何性质， 对点训练 1.（多选)已知双曲线方程为x2-8y2=32,则 A.实轴长为8√2 B.虚轴长为4 C.焦距为6 D.离心率为32 4 93 数学选择性必修第一册 之双向线号+苦-1的离心率e∈1.2.则长的 …/方法技巧/ 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常 取值范围是 用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双 3.求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半 曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时， 轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双 曲线方程设成m.x2十ny2=1(mn<0).当双曲 b 线的渐近线方程为y=士x时，可以将方程 a 设为 V- a2 =λ（入≠0）. b2 对点训练 1.过点(2，-2)且与双血线号 一y2=1有相同渐 近线的双曲线方程是 x2 4 =1 B. 4 21 题点二由双曲线的几何性质求标准方程 n.号-苦 2.根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程： [典例]分别求适合下列条件的双曲线的标准 方程： (1)过点P(3,-2),离心率e= 2 (1)-个焦点为0,13)，且商心率为号 (2)F1,F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线 (2)渐近线方程为y=士2x,且经过点A2,一3》. 上-点，且∠F1PF2=60°，S△PF,E,=123,且 离心率为2. [听课记录] 94 第三章圆锥曲线的方程 题点三双曲线的离心率 2已知双曲线芳 -兰=1(a>0,b>0)的左、右焦 y2 点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存 典例)如果双曲线一) =1右支上总存 a 在点P使得 sin∠PFF2=a,则该双曲线的离 在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相 sin∠PF2F1c 异点，则双曲线离心率的取值范围是 心率的取值范围是 （2)设r是双曲酸C学- =1(a>0,b> 题点四直线与双曲线的位置关系 O)的两个焦点，P是C上一点，若|PFI+[典例] 直线y=a.x十1与双曲线3.x2-y2=1相 PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°，则： 交于A,B两点. 双曲线C的离心率为 (1)求线段AB的长： [听课记录] (2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标 原点？ [听课记录] ?……/方法技巧/ 求双曲线离心率的三种方法 (1)若可求得a,c,则直接利用e=C求解 a (2)若已知a6,可直接利用e一1+( 求解 (3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2十g· ac十r·a2=0(p,q,r为常数，且p≠0)，则转 化为关于e的方程pe2十q·e十r=0求解. 对点训练 1.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐： 近线经过点(4，一2)，则它的离心率为( A.√6 B.√5 2 95 数学选择性必修第一册 …/方法技巧/… 对点训练 (1)直线与双曲线的位置关系的判定方法 直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离 1.已知双曲线方程为x2-=1,过点P(1,0)的 三种情况，其判定方法通常也是用△来解决， 设直线方程为Ax十By十C=0(A,B不同时 直线1与双曲线只有一个公共点，则1共有 为0，双曲线方程为号若=1a>0,>0) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 两方程联立消去y得m.x2+n.x十g=0(￥)形：2.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1. 式的方程. (1)若直线1与双曲线C有两个不同的交点，求 ①若m≠0，方程(*)为关于x的一元二次 实数k的取值范围； 方程。 (2)若直线1与双曲线C交于A,B两点，O是坐 当△>0时，方程有两解，则直线与双曲线相 标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值. 交于两点； 当△=0时，方程有一解，则直线与双曲线 相切； 当△<0时，方程无解，则直线与双曲线相离. ②若m=0,方程(*)为关于x的一次方程 x=一g,直线与双曲线相交于一点（此时直线 平行于渐近线). (2)双曲线的弦长公式 与直线和椭圆相交所得的弦的长度求法一样， 设直线y=k.x十b与双曲线交于A(x1,y1), B(x2y2)两点，则|AB=√/1+k2|x1-x2|= √1十k2·√(x1十x2)2-4x1x2,或|AB|= 1+是M-21+是m十2-42 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.点(3.0)到双曲线后-号=1的-条葡近线的 曲线右支上一点，若PF1=2|PF2|,且 △PF1F2的最小内角为30°，则 () 距离为 ( A.双曲线的离心率为√3 A.号 B. c号 D告 B.双曲线的渐近线方程为y=士√2x 2.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上 一点，且∠F1PF2=60°，PF1=3PF2,则C C.∠PAF2=45 的离心率为 ( D.直线x十2y一2=0与双曲线有两个公共点 A吾 B.3 2 C.√7 D.√13 4.已知直线1：x-y十m=0与双曲线2-女=1 2 8多法已知H厅分别是双前线。一 =1 交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆 (a>0,b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双： x2+y2=5上，则实数m的值是 一 96 第三章圆锥曲线的方程 5.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(-√/17， 课堂小结 0),F2(√17,0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2. 记M的轨迹为C. 重要思想与方法 (1)求C的方程. (1)确定双曲线几何性质的基本步骤 (2)设点T在直线x=?上，过T的两条直线分别 ①把双曲线方程化为标准形式；②确定焦点位置：③求a,b, c;④写出几何性质 交C于A,B两点和P,Q两点，且|TA|·TB引= (2)求双曲线离心率及范围的方法 |TP|·|TQI,求直线AB的斜率与直线PQ的斜 ①直接法；②方程法 率之和。 直线与双曲线 范围 的位置关系 对称性 顶点 实轴、虚轴 双曲线的简 渐近线 单几何性质 离心率e>1 温馨提示 请做课时分层检测（二十五） 3.3.1 抛物线及其标准方程 【课标要求】1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程.2.明确抛物线方程中参数p的几何意义， 3.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题 【素养要求】通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)抛物线的定义 (4)抛物线准线与坐标轴的交点和抛物线的焦 平面内与一个定点F和一条定直线(1不经过： 点关于原点对称 () 点F)的 的点的轨迹叫做抛物线.点F 2.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为 叫做抛物线的 ,直线1叫做抛物线的 ( A.圆 B.椭圆 即时小练 C.直线 D.抛物线 1.判断正误 (二)抛物线的标准方程 (1)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x=一2的： 抛物线的标准方程有以下四种不同的形式 距离相等，则点P的轨迹是抛物线 ( (2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x+ 标准 y=2pa(p>0) y2=-2px(>0)x2=2py(p>0 =-2py(p>0 方程 y一1=0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线」 ( (3)若点P到点F(1,0)的距离比到直线x= 图形 2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线， 973一方=1[由题意得，双曲线的焦点 √3-（-3)]+1平=√37.故AP+3.2.2双曲线的简单几何性质 |AF:的最小值为√37-2√5，故选C.] 在x轴上，且c=2√2 必备知识·自主梳理 3. 「圆F,:(x+(一) 设双曲线的标准方程为 a2 =1(a> 9。 v一a或y≥ax轴、y轴坐标原点 4 0,b>0) A(-a,0),A(a,0)A1(0,-a),A(0, 5)2+y2=1, 则有a2+形-2=8,9 10 a）2a2bab 6 =1,解得 圆心F(-5,0),半径r1=1. !即时小练 a2=3,=5. 圆F2:(x-5)2十y2=42, :1.A[由双曲线方程可知顶点在x轴上，又 圆心F,(5,0),半径r2=4. 故所求双曲线的标准方程为 a=25,a=5,.顶，点坐标为（士5,0）， 3 设动圆M的半径为R, 故选A.] =1.] 则有MF=R+1,MF,=R+4, 2.D[由题意知2a=2,2b=4,∴.a=1,b= 题点三 ,∴.MF|-|MF=310=|FF2. 2,.a=1,形=4，又双曲线的焦点位置不 角度1 ∴，点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲！ 确定，故选D. [典例]解双向线的标准方程为号 y 3 (二) 16 线的左支，且a=号c=5,于是=c2- =1, a2-91 1云±古=0渐近线2.等轴2 故a=3,b=4,c=√a2+6F=5. 4 :即时小练 (1)由双曲线的定义得MF,一MF,1 故动圆国心M的轨远方程为 y 9 =11.D[因为曲线 =1(a>0,b>0)为 y =2a=6, 91 a2- 又双曲线上一，点M到它的一个焦点的距 等轴双曲线，所以a2=b,所以c= 离等于16， x≤- ) √a+形=√2a,即焦，点的坐标为（士√2a, 假设点M到另一个焦点的距离等于x, 0),其渐近线方程为x士y=0,因为焦点到 则16一x=6,解得x=10或x=22. 素养演练·提升技能 故点M到另一个焦点的距离为10或22. ·1.C「由题意，知MN=4,当a=1时，· 渐近线的距离为2，所以=a=2,故 ② (2)由号-若=1得a=3,4,6=5 y PM-PN=2a=2<4,此时点P的轨 迹是双曲线的一支：当a=2时，PM 双曲线的标鱼方程为一—1，px” 由双曲线的定义和余弦定理得 PV|=2a=4=MN,点P的轨逑为以！ PF,-PF=6, V为端，点沿x轴向右的一条射线.故· y=2.故选D.] 1F1F212=|PF2+PF22-2PF1|: 远C.] 2生王令-g =0,解得y= PFg·cos60°， 2D厂因为双曲线方程为x2一y2=16,化为 3 所以10=(PF一PF,)2+PF1· PF,, 标准方程得后-后=1，即。=4， (三) 所以PF·PF,=64, .|川PF-PF,11=2a=8,而点P在双： 焦距实轴长(1，十∞) 所以Sa,m,=合PF·PF· 曲线左支上，于是|PF|<PF,即时小练 .PF1-PF2=-8.故选D.] 1.(1)/ sin∠FPF aBCD[A籍误，当=号时，曲线C表示 (2)×提示椭圆、友曲线的离心率的 =号×64×5 -165. 取值范围分别为0<e<1,e>1. 2 圆；B正确，若C为双曲线，则(4一t)(t一 角度2 1)0,11或>4：C正确，若曲线C2C[由双曲线 43 =1,得a2=4,b2= 为焦点在x轴上的椭圆，则4一>t一1>！ [典例]解由sinB-sinA=之sinC及 3,∴.c2=a2+b2=7,∴.a=2,c=7,∴.e= 0,'.1t 正弦定理， 号：D正痛，若曲线C为焦点 =夏，故选C] a 2 可得6-a=乞，从而有CA-CB= 在y轴上的双曲线，则40>4. 1-1>0, 故远B、C、D.] a[由题言可得，-，得心=16， a ABI-2ABI, 苦-1[设双向线的标准方程为 又a>0,所以a=4.] 由双面线的定义知，点C的轨选为双曲线4： a2 (四) 的右支（除去顶点）， 即时小练 y a=√2，c=22,∴.=c2-a2=6, =1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),1.(1)×(2)/(3)/2.A 品顶点C的轨迹方程为号-发1(x> C(2,3), :3.y=2士2四[设直线1的方程为y 3 6 ,4=a2+b 2). ∴.49 解得=1， 2x十m,A(x1,y),B(x2,为.把y=2x十 =1, la b 1=3, 对点训练 m代入双曲线的方程2x2一3y2一6-0，得 10x2+12m.x+3m2+6=0,由△>0，得m 1.A[依题意得，a=1,b=3,因此c=√/10， 图为PF=3∈(c-a,a+c),所以点P 双曲线的标准方程为x2一 3 =1.] √10或m>√10.故x1十x2= 6 只可以在双曲线的左支上，因此PF一 一y=1[由题意得，双曲线的焦点在 PF,=-2,即3一PF,=-2,所以1 4 ①，1西=3m6②.由已知，得AB 0 PF2=5,故远A.] x轴上，且FF,=2c=2√5. 2.C[因为AF 由双曲线的定义知，PE一PF, =(1十4)[（十x)2-4x1x2]=16③. AF,=25, =2a, 杞①②代入③，解得m=土√②，满足题 P(3,1) 3 ∴.AF|=AF 得PF12-2PF11·|PF2|+PF2: 2√5.AP+AF =4a2, 意，六直线1的方程为y=2x士30] =AP+AF- 由PF.PF=0知，PF1⊥PF2, 关键能力·合作探究 2√5，所以要求AP ∴.PF1I2+PF12=FF22=20. !题点一 十AF。的最小值，只需求AP|十AF: 又|PF·PF2=2,a=4 :[典例]解将9y2一4x2=一36化为标准 的最小值，如图，连接F,P交双曲线的右！ 又c=√5，∴.=c2-a2=1, 支于点A。,当点A位于点A。处时，AP1 双向找的标准方程为号-少-1门 方程为号一-1，即一 32=1,a 十AF最小，最小值为PF,|= 3,b=2,c=√13. 211 因此顶点坐标为A(一3,0)，A,(3,0),焦： -(-3)2=入，即1=-8 由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-2× 点坐标为F1(-√/3,0)，F(√13,0)，实 22 4a·2c·cos30°，整理得(e-√5)2=0， 轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e=S x 所求双曲线的标准方程为发一2L。 所以e=√5. :对点训练 答案(1)(2，+∞)(2)√5 =区，渐近线方程为y=士么 !对点训练 3 = :1,A[因为所求双曲线与双曲线号一y=:1,D[由题意知，过点(4，一2)的渐近线的 方程为y=-么，.-2=一b·4,a 1有相同渐近线，所以设其方程为号一y a 对点训练 =2b. 1.ABD[双曲线方程x2一8y2=32化为标 一(t≠0)，因为点(2，一2)在双曲线上，所： 设b=k,则a=2k,c=√5k, 准方程为 -=1,得a=42,b=2,c 一（一2）2=t,解得t=一2，则所求双 4 2 =6,所以双曲线的实轴长为8√2，虚轴长1 曲线方程为二一之 一4 =1.故选A] 2.(1,√2+1)[在△P℉1F2中，由正弦定 为4，焦距为12，离心率为3巨，故选A、2解()若双曲线的实轴在x轴上，则设 PF, PF 4 理，得 B、D.] x =1(a>0,b>0)为所求双曲线的！ sin∠PFF, sin∠PFE,所以e a22 2.(一12,0)[双曲线方程化为标准方程为1 =C-sin∠PFE_PE 标准方程」 z y sin/PF,F.=TP,即PE- 4 一k =1,则a2=4,b=-k,所以c2=1 ① 二PF2,则点P在双曲线的右支上，且 4-,所以e=S= √4一k 点P不在直线FF,上，画出示意图如图 a 2 由点P(3,-2)在双曲线上，得9-名 所示 因为e∈1,2》，所以1<E<2,解得 由双曲线的定义知。 2 =1② 由a2十=c2,结合①②，得a2=1, PF1-PF2=2a,则 -12<k0.] 3.解把方程9y2一16.x2=144化为标准方 1 二 PF-PF2 a 程为卡一 x2 2a,即|PF2= 2a2 苦双曲线的实轴在y轴上，则设片一) c-a' 由此可知，实半轴长a=4,虚半轴长b=3:: =1(a>0,b>0)为所求双曲线的标准1 又由双曲线的性质知，PF,>c一a,则 c=√a2十F-√42+3-5，焦，点坐标是 方程 (0,-5),(0,5)； 52.9 a>ca,即2-2ac-a<0,所以e 2a2 离心率e=台=号 5 =4'a正 =1,a2+=c2,1 2e-10,解得-√2+1e<2十1. a 解得2= 又e∈(1，+o∞)，所以e∈(1，w√2+1).] 惭近线方程为y=士无 (不合题意)： 题点四 题点二 故所求双曲线的标准方程为x2一 [典例]解由arl,得3-a)x [典例]解(1)依题意可知，双曲线的焦 3x2-y2-1, -2a.x-2=0. ,点在y轴上，且c=13, 13 由题意，得3一a2≠0，△=4a2一4X(3一 又C= ，a=5,b=v-a=12. (2)设双曲线的标准方程为三 1 a2)×(-2)=24-4a2. 款头标方程为芳-品-1， (a>0,b>0),由题意知，FF2=2c,e= 设A(x1,y1),B(x2y), 2a -2 (2)法一 =2,由双曲线的定义，得|PF一PF|- 双曲线的渐近线方程为y= 则4十=30西3-云 2a=c.由余弦定理，得(2c)2=PF2+ PF2-2PF11IPF2·cos∠F1PF2= (1)AB=√(x1-x2)+(y-y月 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方· (PF-PF)2+2PF|PF· =√(1十a)儿(x1十2)-4x1x2J 程为 =1(a>0,b>0), (1-cos∠F1PF2), /(1+a2) 2a 8 a .4c2=c2十PF1PF2 3-a 又S△m,5=PE,PR,·m60= 2/(1+a)(6-a) 3-a2 A(2,一3)在双曲线上， 123, (2)记坐标原点为O,由题意知，OA⊥OB, 是-1.@ .PFPF,=48. 则OA·OB=0,即x1x2十yy2=0, .3c2=48,∴.c2=16,.a2=4,b2=12 联立①②，无解 .12+(ax1+1)(a.x2+1)-0, 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方！ 故所求双曲线的标准方程为子一21， 即(1+a2)x1x十a(十)十1=0， 程为 -2 !题点三 2 =1(a>0,b>0, 2a十1=0， :[典例] 解析 1+a)3-a+a3-a 则分= (1)如图，因为 解得a=土1. 经检验，a=士1满足3-a≠0，且△>0. A(2,一3)在双曲线上， AO=AF, 故当a一士1时，以AB为直径的圆经过坐 F(c,0) 标原点」 所以xA=2· C 对点训练 联立③④，解得a2=8,b2=32. 又因为A在右支上且不在顶，点处， x2 1B[闲为双商线方程为产-兰-1，剥 二所求双曲线的标准方程为。一2三1 所以分>a,所以e=。>2. P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1, 法二由双曲线的渐近线方程为y= 故双曲线离心率的取值范国为(2，十∞). O)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一 条切线，与双曲线只有一个公共点，另外 士2x (2)不妨设PF>PF, 则PF一PF,=2a, 两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平 可设双商线方程为克一=(A≠0)， 又PF1+PF,=6a,所以PF1=4a, 行的直线，所以符合要求的直线共有 A(2,-3)在双曲线上， PF=2a,又FF2=2C,则在△PFF 3条.] 中，∠PFF2=30°， 2解白仁清去基现， 212 得(1一k2)x2十2kx-2=0. x+2y-2=0, :即时小练 由题意，知 11-k2≠0， 选项D中，联立 =1,得2(2 ！1.(1)/ 1△=4k2+8(1-k2)>0, 解得 (2)×提示由于定点F(1,0)在直线x十 一√2<k2且k≠士1. 2y)2-yw2=2a,所以7y2-16y十8-2a21 y一1=0上，所以点P的轨迹不是抛物线. =0, (3)/(4)/ 所以实数k的取值范国为（一√2，一1）U: 所以△=16-4×7X(8一2a2)=32+2.D[由题意知，动圆的圆心到，点A的距离 (-1,1)U(1,√2) 56a2>0. 与到y轴的距离相等，满足抛物线的定 (2)设A(x1y),B(2), 所以直线x十2y一2=0与双曲线有两个！ 义，故远D.] 2k 公共点，所以D正确.故选A、B、D. (二) 由(1)，得无1十西=一 2 x-y+n=0, [由 0,- ) x=-号 4.士1 }22 2=1, 消去y,得x2 1-k2 又直线1恒过点D(0,-1), 专焦点到准线 2m.x一m2-2=0.则△=4m2+4n2十8 则①当x1x2<0时，S△OAB=S△AD 、 即时小练 8m2+8>0. 十S△BD 设A(y1),B(x2y2), 1.B2.y=2 =+4=- 1 1 则x十2=2my十边=十2+2m13.4[椭圆石千戈=1的右焦点为(2,0 =4n, ②当x1x2>0时， 所以线段AB的中点坐标为(n,2m). 所以抛物线y=2px(p>0)的焦点为(2， SACAB=|S△OAD-S△OBDl 0),则p=4.] 又，点(m,2n)在xr2+y2=5上，所以m2+ !关键能力·合作探究 2 x1一x2 (2m)2=5,得m=士1.] 题点一 =√2 5.解(1)因为ME-MF:=2<FF2,[典例]解(1)由于焦点在x轴的负半轴 根据双曲线的定义知，，点M的轨迹是以 上，且 所以(x1-2)P=(x1十x2)2-4x1x2= F,F2为焦，点的双曲线的右支， (22)2, 由题意，得c=√17，MF一MF,=2ai =2,∴p=4, 2 2k 8 =2,所以a=1. ,.抛物线的标准方程为y2一一8x 即) 1-k2 =8,解得k=0或 又c2=a2+b,所以17=1+， (2)八焦点在y轴正半轴上，且号=1， 则b=16. 2 p=2, 所以C的方程为x -1(x≥1). 由(1)，知上述k的值符合题意，所以k=0 16 ,∴，抛物线的标准方程为x2=4y (3)由题意，抛物线方程可设为 或=土 2 2设T(，A,B y2-mx(m≠0)或x2-y(n≠0)， 将，点A(2,3)的坐标代入， 素养演练·提升技能 1.A[双商线后一苦-1的渐近线方程是 直线AB的方程为y=(一）十名 得32=m·2或22=n·3, 32 ∴，m 号或= 千士言=0，即3x士4y=0.由点到直线的 将此方程代入r一=1，得(-16)2 9 +(2k4-k)x+子E-+f+16=0, 一所求抛物线的标准方程为少=之工或 距离公式，得点(3,0)到渐近线3.x士4y=0 4 的距寿为号业路八】 k2-2kt 所以x1十x一k2-16 x2=3 (④)由焦点到准线的距离为号， 2.A[由题意，得|PF一PF,=2PF,1 1k2-kt++16 =2a,所以PF1-3a,PFg=a.在1 4 = ① 可知P是 △PFF2中，由余弦定理，得 k-16 设P(x3,y),Q(4y),直线PQ的方程 ∴.所求抛物线的标准方程为y=5.x或 器所以导-子所以 为y=(-) 1 y2=-5x或x2=5y或x2=-5y. 2a×3a 十，将此方程代入x对点训练 曲线C的离心率为竖数选A] 2 1.B[因为抛物线的焦，点为F(a,0)(a< : =1,得(-16)2+(2k1-)z 0), 3.ABD[选项A中，因为PF=2PF, 所以可设抛物线的标准方程为y=一2x |PF1|-|PF2=2a,所以PF1=4a, +-++16=0, (p>0). |PF,=2a, k'2-2k1 由题意知，一号=a,故p=-2a. 又因为2c>2a,4a>2a,所以∠PF1Fg 所以西十x=k2一16 2 =30°， 所以抛物线的标准方程为y一4a.x故 所以cos∠PFF:= 16a2+4c2-4a2 宁-好+f+16 选B.] 2XAaX2c Tx= k2-16 .② 2.A[由双曲线的离心率为2知，e=S 由TA·|TB=TP·TQI, =2, 2 得1+)（西）(）=1中 ∴.c=2a,从而a2十b=4a2,即-3a2, 解得c=√5a,即e=尽，故A正确； 选项B中，正=二-心=3， 因此，双曲线的渐近线方程为y=士b a? a )(s)(✉) 所以 =士√3x.易知抛物线C。的焦点为0， 2, 4 所以力=区，所以渐近线方程为y= ）依题意，得 0一2 =2,解得p=8 √/3+1 士√2x,故B正确； ③ (负值舍去)，∴.抛物线C,的方程为= 选项C中，由e-5,得2c-23a,又PF2: 将①②代入③并整理，得k=k2 16y.故选A.] =16a2,PF12+FF12=4a2+4c2,所以 因为k≠k'≠0，所以k十k=0. !题点二 PF2=PF+FFIP,所以∠PFF 3.3.1抛物线及其标准方程 角度1 :[典例](1)A(2)(6,9)或（一6,9） =90°，因为AF=c十a=(W5+1)a,PF|!必备知识·自主梳理 [(1)由题意，知抛物线的准线方程为x= =2a,所以AF≠|PF,所以∠PAF≠() 45°，所以C不正确： 距离相等焦点准线 4 213