第15讲 圆的一般方程（思维导图+3知识点+5大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第15讲 圆的一般方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 求圆的一般方程及其理解 题型02 一般方程下点与圆的位置关系 题型03 圆过定点问题 题型04 与圆有关的轨迹问题 题型05 圆的一般方程中对称条件与实际问题的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.圆的一般方程 2.轨迹方程 1. 理解圆的一般方程及其特点,培养数学抽象的核心素养. 2. 掌握圆的一般方程和标准方程的互化方法,提升数学运算的核心素养. 3. 会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程,强化数学运算与逻辑推理的核心素养. 学习重点：理解圆的一般方程及其特点，掌握与标准方程的互化方法 学习难点：会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的一般方程 1、圆的一般方程： 当时，方程叫做圆的一般方程． 其中为圆心，为半径． 2、一般方程与标准方程关系： 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 注：圆的一般式方程特点： ①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0； ②没有项；③. 即时即练 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. (1). (2). (3). 2．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 4．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为____________. 【方法总结】 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征:①x2与y2的系数相等;②不含xy项.当它具有圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2-4F是否大于零,二是直接配方变形,看右端是否为大于零的常数即可. 用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择 (1)如果已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出参数D,E,F. 知识点02 圆的一般方程中，点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 即时即练 1．（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 2．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 知识点03 圆的轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 即时即练 1．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 2．已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【方法总结】 (1)求动点的轨迹方程的一般步骤为:建系,设点,列式,化简,证明.建系时可根据题目中的条件,建立适当的直角坐标系,简化运算是解题的关键. (2)求解时,重视从不同视角诠释求动点轨迹方程的步骤,注意灵活运用图形的几何性质. (3)对于“双动点”问题,若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程,则通常用代入法. 题型01 求圆的一般方程及其理解 1．（25-26高二上·浙江宁波·期末）若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 2．（25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高二上·上海·期末）圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 8．（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 9．若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 10．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 【技巧归纳】 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征:①x2与y2的系数相等;②不含xy项.当它具有圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2-4F是否大于零,二是直接配方变形,看右端是否为大于零的常数即可. 用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择 (1)如果已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出参数D,E,F. 题型02 一般方程下点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 2．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）若四点，，，在同一个圆上，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型03 圆过定点问题 1．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 2．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 3．圆恒过的定点是______. 4．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 题型04 与圆有关的轨迹问题 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广西·期中）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江·阶段检测）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是____． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，的顶点，，则点的轨迹方程为______． 【技巧归纳】 (1)求动点的轨迹方程的一般步骤为:建系,设点,列式,化简,证明.建系时可根据题目中的条件,建立适当的直角坐标系,简化运算是解题的关键. (2)求解时,重视从不同视角诠释求动点轨迹方程的步骤,注意灵活运用图形的几何性质. (3)对于“双动点”问题,若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程,则通常用代入法. 题型05 圆的一般方程中对称条件与实际问题的应用 1．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 2．（24-25高二上·陕西安康·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 5．（25-26高二上·江西·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（   ） A．7.5m B．8.5m C．7m D．8m 6．（25-26高二上·重庆大足·阶段检测）曲线与曲线关于直线对称，则曲线的一般式方程为______． 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．,1 B．,1 C．, D．, 2．（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北唐山·阶段检测）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．圆的方程是，其中．下列何者正确？（　　） I．的圆心的坐标是（2k，2k）． II．的面积是． III．原点位于内． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 5．已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 6．某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（    ） A．2.40米 B．2.66米 C．2.80米 D．3.00米 7．（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·山东泰安·期中）经测得某拱桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（注：）（   ） A．6.48米 B．4.48米 C．2.48米 D．以上都不对 10．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知圆C：，定点，点A为圆C上任意一点，若点P满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆过三点，点，则圆的一般方程为______，点在圆______（内/上/外）． 13．过点且圆心在直线上的圆的一般方程为________． 14．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 15．已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为___________. 16．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为______. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 圆的一般方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 求圆的一般方程及其理解 题型02 一般方程下点与圆的位置关系 题型03 圆过定点问题 题型04 与圆有关的轨迹问题 题型05 圆的一般方程中对称条件与实际问题的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.圆的一般方程 2.轨迹方程 1. 理解圆的一般方程及其特点,培养数学抽象的核心素养. 2. 掌握圆的一般方程和标准方程的互化方法,提升数学运算的核心素养. 3. 会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程,强化数学运算与逻辑推理的核心素养. 学习重点：理解圆的一般方程及其特点，掌握与标准方程的互化方法 学习难点：会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的一般方程 1、圆的一般方程： 当时，方程叫做圆的一般方程． 其中为圆心，为半径． 2、一般方程与标准方程关系： 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 注：圆的一般式方程特点： ①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0； ②没有项；③. 即时即练 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. (1). (2). (3). 【答案】(1)方程表示圆，圆心为，圆的半径2 (2)方程表示一个点 (3)方程不表示任何图形 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件即可判断. 【详解】（1）由方程可知：，, 所以方程表示圆，又, 所以圆心为，圆的半径为. （2）由方程可知：，, 所以方程表示点，又， 所以方程表示的点的坐标是. （3）原方程可化为 由方程可知：，， 所以该方程无实数解，方程不表示任何图形. 2．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 3．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【分析】设出三角形外接圆的一般式方程，利用待定系数法列式求解. 【详解】设的外接圆方程为， 依题意得，解得， 故所求圆的方程为. 故答案为： 4．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为____________. 【答案】 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 圆过点，和，所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：. 【方法总结】 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征:①x2与y2的系数相等;②不含xy项.当它具有圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2-4F是否大于零,二是直接配方变形,看右端是否为大于零的常数即可. 用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择 (1)如果已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出参数D,E,F. 知识点02 圆的一般方程中，点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 即时即练 1．（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程，即可判断. 【详解】因为，所以点在圆的外部． 故选：A. 2．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 知识点03 圆的轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 即时即练 1．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】设，根据两点间距离公式，化简求动点的轨迹方程. 【详解】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 2．已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【详解】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点）， 直角顶点的轨迹方程为（且）． 【方法总结】 (1)求动点的轨迹方程的一般步骤为:建系,设点,列式,化简,证明.建系时可根据题目中的条件,建立适当的直角坐标系,简化运算是解题的关键. (2)求解时,重视从不同视角诠释求动点轨迹方程的步骤,注意灵活运用图形的几何性质. (3)对于“双动点”问题,若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程,则通常用代入法. 题型01 求圆的一般方程及其理解 1．（25-26高二上·浙江宁波·期末）若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求解即可. 【详解】将圆的一般方程，化为标准方程得到， 所以圆的圆心为，半径为. 故选：A. 2．（25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程的要求列不等式求解即可. 【详解】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 3．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程特征列出关系式求解后，再代回检验即可. 【详解】若曲线表示圆，则，解得或. 检验： 若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去； 若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留. 故选：A. 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案. 【详解】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 5．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出圆的半径，进而得圆的标准方程，再化为圆的一般方程即可求解. 【详解】由圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，， 所以圆心坐标为，圆的直径为， 所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为：，即， 故选：B. 6．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 7．（25-26高二上·上海·期末）圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】将一般方程配方后得标准方程，结合圆心在第三象限得关于的不等式组，从而可求其范围. 【详解】由题可得：圆的方程为：， 圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故答案为：. 8．（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】将曲线转化为，根据圆的性质即可求解. 【详解】依题意，表示一个圆，所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 9．若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 10．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法进行求解即可. 【详解】设圆的方程为，圆心坐标为， 因为圆的圆心在直线上， 所以， 因为圆与轴的交点分别为，， 所以， 所以有， 所以圆的方程为. 故答案为： 【技巧归纳】 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征:①x2与y2的系数相等;②不含xy项.当它具有圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2-4F是否大于零,二是直接配方变形,看右端是否为大于零的常数即可. 用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择 (1)如果已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出参数D,E,F. 题型02 一般方程下点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 2．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 3．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）若四点，，，在同一个圆上，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在圆上，利用待定系数法可得圆的一般方程，再根据点在圆上，可得解. 【详解】设圆的方程为，， 又，，在圆上， 则，解得， 即圆的方程为， 又点在圆上， 则，解得或（舍）， 故选：D. 5．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 题型03 圆过定点问题 1．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 2．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标. 【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 3．圆恒过的定点是______. 【答案】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【详解】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 4．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 题型04 与圆有关的轨迹问题 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，然后根据题意建立等式化简即可. 【详解】设，由题可知 故选：D 2．（24-25高二上·广西·期中）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据得到，代入圆中，得到轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 又在圆：上， 故，即的方程为． 故选：C 3．（25-26高二上·浙江·阶段检测）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，应用中点坐标公式写出点坐标，代入已知圆的方程即可得轨迹. 【详解】设，又与点所连线段中点为，则， 因为点在圆上运动，则， 所以，故点轨迹方程为. 故选：A 4．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由，得到，代入圆方程即可求解. 【详解】设，，由，得， 所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：B 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是____． 【答案】 【分析】设点，借助两点间距离公式代入计算即可得. 【详解】设，则有， 化简得，即点的轨迹方程是. 故答案为：. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，的顶点，，则点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】根据题意设出直线方程和直线方程，再联立两直线方程从而可求解. 【详解】设直线的方程为，因为， 所以直线斜率存在且不为0，即点不在轴上，即，即； 同理直线的方程为， 联立消去得， 故点的轨迹方程为. 故答案为：. 【技巧归纳】 (1)求动点的轨迹方程的一般步骤为:建系,设点,列式,化简,证明.建系时可根据题目中的条件,建立适当的直角坐标系,简化运算是解题的关键. (2)求解时,重视从不同视角诠释求动点轨迹方程的步骤,注意灵活运用图形的几何性质. (3)对于“双动点”问题,若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程,则通常用代入法. 题型05 圆的一般方程中对称条件与实际问题的应用 1．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 2．（24-25高二上·陕西安康·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由两圆关于点对称可得圆的半径相等即可得解. 【详解】由题意，两圆半径相等， 所以，解得， 故选：A 3．（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段的中点坐标及的斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则. 故选：D 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，根据题意求圆心和半径，即可得圆的方程，令运算求解即可. 【详解】建立平面直角坐标系如图，则， 可知圆心在y轴负半轴上，设为， 则，即，解得， 即圆心为，半径， 可得桥拱所在圆的方程为， 令，可得，解得， 所以水面宽是12米． 故选：A. 5．（25-26高二上·江西·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（   ） A．7.5m B．8.5m C．7m D．8m 【答案】C 【分析】利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可. 【详解】 以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设该圆弧所在圆为圆． 将，的坐标代入圆的方程，得得 所以圆．当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7m． 故选：C 6．（25-26高二上·重庆大足·阶段检测）曲线与曲线关于直线对称，则曲线的一般式方程为______． 【答案】 【分析】在曲线上任取一点，求出点关于直线的对称点的坐标，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得出曲线的方程. 【详解】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为点在曲线上，则有， 即为. 故曲线的方程为. 故答案为：. 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．,1 B．,1 C．, D．, 【答案】B 【分析】配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径. 【详解】将圆的一般式方程转化为标准方程， 可得， 所以该圆圆心为，半径为1. 故选：B. 2．（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断． 【详解】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 3．（24-25高二上·河北唐山·阶段检测）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得到圆的标准方程为，根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由圆的方程为， 可得圆的标准方程为，所以，解得， 因为点在圆外，可得， 整理得，解得或， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D. 4．圆的方程是，其中．下列何者正确？（　　） I．的圆心的坐标是（2k，2k）． II．的面积是． III．原点位于内． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 【答案】A 【分析】求得圆心坐标与半径可判断I与II，把原点坐标代入方程左边计算大于0可判断III. 【详解】由，可得， 所以，所以圆心的坐标为，半径为，故I错误； 所以圆的面积为，故II正确； 因为，故原点位于圆外，故III错误． 故选：A. 5．已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 【答案】B 【分析】设点，由，可得，又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 【详解】设点， 由，得， 即， 又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 故选：B． 6．某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（    ） A．2.40米 B．2.66米 C．2.80米 D．3.00米 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的方程，令，求出相应的y值，即可求得答案. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为x轴，过桥的最高点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 设图中矩形为船刚好能通过桥下时的位置， 则， 设圆拱桥所在圆的方程为， 将坐标代入，得，解得， 即圆的方程为， 令，则， 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为（米）， 故选：B 7．（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求. 【详解】若方程表示一个圆，则， 方程可化为， 所以，解得，且不等于0， 所以或. 故选：D 8．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A 9．（24-25高二上·山东泰安·期中）经测得某拱桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（注：）（   ） A．6.48米 B．4.48米 C．2.48米 D．以上都不对 【答案】A 【分析】以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，由已知求得圆的方程，然后将代入圆的方程，求出点N的纵坐标，可计算出MN的长，即可得出结论. 【详解】以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系. 由题意可知，点A的坐标为，设拱桥圆弧所在圆的半径为r. ，由勾股定理可得，即，解得， 圆心坐标为，则圆的方程为. 将代入圆的方程得. ，解得， （米）. 故选：A. 10．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求圆的圆心，根据点关于直线的对称得到关于的方程，解出即可. 【详解】将圆化成标准形式得， 所以已知圆的圆心为，半径， 因为圆与圆关于直线对称， 所以圆的圆心与点关于直线对称，半径也为1， 设可得，解得， 所以，圆的方程是， 故选：B 11．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知圆C：，定点，点A为圆C上任意一点，若点P满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，将点轨迹方程表示出来，即以为圆心，为半径的圆，再根据圆外一点到圆上点的距离范围求解即可. 【详解】设，，由得：， 即，解得：，即， 又因为点A为圆C上任意一点，所以， 化简整理得：．故点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， C点坐标， 而的取值范围为，经计算易知. 故选：A． 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆过三点，点，则圆的一般方程为______，点在圆______（内/上/外）． 【答案】 外 【分析】设圆的一般方程为，利用待定系数法，即可求得圆的方程，把点带入圆的方程，进而得到点与圆的位置关系. 【详解】设圆的一般方程为， 因为圆过三点，可得，解得， 满足，所以圆的方程为， 将点代入方程得，所以点在圆外． 故答案为：；外. 13．过点且圆心在直线上的圆的一般方程为________． 【答案】 【分析】设出圆的一般方程，根据已知条件列方程组，求得，从而求得正确答案. 【详解】设圆的一般方程为，则圆心为， 依题意得，解得， 所以圆的一般方程为. 故答案为： 14．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 15．已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为___________. 【答案】 【分析】设出点的坐标，由勾股定理得到等式，化简后除去曲线与轴的交点得答案. 【详解】设，则， 即， 整理得：. ∵三点构成三角形，∴. ∴顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 16．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设的重心的坐标是，点的坐标是，根据重心的坐标公式得到，，再由点在圆上运动，即满足圆的方程，从而求出重心的轨迹方程. 【详解】设的重心的坐标是，点的坐标是. 已知点，的坐标分别是，， 则的重心的坐标满足，. 因此有，①. 因为点在圆上运动， 所以点的坐标满足方程， 即满足方程②. 将①代入②，得. 即所求轨迹方程为. 故答案为： 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $