第20讲 双曲线的简单几何性质（思维导图+3知识点+9考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第20讲 双曲线的简单几何性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．依据双曲线的方程、图形研究双曲线的几何性质； 2．据几何条件求出双曲线的标准方程，并利用双曲线的简单几何性质解决相关的问题； 3．能综合利用双曲线的几何性质解决相关的问题. 知识点 1 双曲线的几何性质 1、几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 2、双曲线渐近线求法 根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． 3、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 知识点 2 等轴双曲线与共轭双曲线 1、等轴双曲线的性质 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： （1）离心率：等轴双曲线的离心率为：； （2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°． 2、共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）已对共轭双曲线有相同的渐进线； （2）已对共轭双曲线有相同的焦距； （3）共轭双曲线的渐近线与直线及的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为（半焦距）； （4）由于，，则，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的倒数的平方和等于常数1． 知识点 3 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 3、中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解 考点一：由双曲线方程研究几何性质 例1．（23-24高二上·河北郑口·月考）若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【变式1-2】（23-24高二·全国·专题练习）已知双曲线与，下列说法正确的是（    ） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 【变式1-3】（23-24高二上·重庆·月考）曲线（）与曲线（）的（    ） A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．顶点相同 考点二：由几何性质求双曲线的方程 例2.（23-24高二下·浙江·月考）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·河北邢台·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共的焦点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·四川眉山·月考）已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·安徽宣城·月考）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 考点三：求双曲线离心率的值 例3.（23-24高二下·黑龙江大庆·月考）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C．2或 D．或2 【变式3-1】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·湖北·月考）如图，已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与交于两点，在第一象限，延长交于多一点，若且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·浙江杭州·期末）双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 考点四：求双曲线离心率的范围 例4.（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）双曲线：的左、右焦点为,，若点在双曲线右支上,且，则双曲线离心率的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·广东江门·期末）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·内蒙古赤峰·月考）已知点，分别是双曲线的左右焦点，为坐标原点，点在双曲线右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五：与双曲线渐近线相关的问题 例5.（23-24高二下·陕西安康·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二下·山西长治·月考）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，则（    ） A． B．2 C． D．4 【变式5-2】（23-24高二下·湖南长沙·月考）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A、B两点，满足A，B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二下·河南·月考）（多选）已知双曲线，M为C右支上的一个动点，过M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAMB的周长的可能取值有（    ） A．5 B．8 C．6 D． 考点六：直线与双曲线的位置关系 例6.（23-24高二·全国·课堂例题）直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-1】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【变式6-2】（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式6-3】（23-24高二下·上海·月考）如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点七：直线与双曲线的交点及弦长 例7.（23-24高二·全国·课堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 【变式7-1】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【变式7-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式7-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 考点八：双曲线的中点弦问题 例8.（23-24高二上·江苏南通·月考）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 【变式8-1】（23-24高二上·四川成都·期中）设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（22-23高二上·北京·期中）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·山东泰安·月考）直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是 . 考点九：双曲线的综合问题 例9.（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程． 【变式9-1】（22-23高二上·全国·期中）已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 【变式9-2】（23-24高二上·四川自贡·月考）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两个不同的点． (1)求曲线的方程； (2)求实数的取值范围； 【变式9-3】（23-24高二下·云南玉溪·月考）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）. (1)求双曲线的方程； (2)求证：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 一、单选题 1．（23-24高二下·江西景德镇·月考）双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建南平·月考已知顶点在 轴上的双曲线实轴长为，其两条渐近线方程为，该双曲线的焦点为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，实轴长为4，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东青岛·月考）已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有 A．条 B．条 C．条 D．条 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 6．（23-24高二下·浙江·月考）已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二下·江苏南京·月考）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 8．（23-24高二上·广东·期末）已知直线，双曲线，则（    ） A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 三、填空题 9．（23-24高二下·上海·月考）已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为 . 10．（23-24高二下·云南·月考）已知双曲线C的左、右焦点分别为，，，过的直线与C的右支交于A，B两点，且.则C的离心率为 . 11．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 四、解答题 12．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 13．（22-23高二下·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 双曲线的简单几何性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．依据双曲线的方程、图形研究双曲线的几何性质； 2．据几何条件求出双曲线的标准方程，并利用双曲线的简单几何性质解决相关的问题； 3．能综合利用双曲线的几何性质解决相关的问题. 知识点 1 双曲线的几何性质 1、几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 2、双曲线渐近线求法 根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． 3、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 知识点 2 等轴双曲线与共轭双曲线 1、等轴双曲线的性质 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： （1）离心率：等轴双曲线的离心率为：； （2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°． 2、共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）已对共轭双曲线有相同的渐进线； （2）已对共轭双曲线有相同的焦距； （3）共轭双曲线的渐近线与直线及的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为（半焦距）； （4）由于，，则，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的倒数的平方和等于常数1． 知识点 3 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 3、中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解 考点一：由双曲线方程研究几何性质 例1．（23-24高二上·河北郑口·月考）若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线实轴长为，有，又，.故选：A. 【变式1-1】（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】C 【解析】依题意，双曲线的标准方程为，即， 由于虚轴长与实轴长相等，所以，即，即，解得.故选：C 【变式1-2】（23-24高二·全国·专题练习）已知双曲线与，下列说法正确的是（    ） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 【答案】C 【解析】双曲线的焦点和顶点都在x轴上， 而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误； 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，故C正确； 双曲线的离心率， 而双曲线的离心率，故D错误.故选：C. 【变式1-3】（23-24高二上·重庆·月考）曲线（）与曲线（）的（    ） A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．顶点相同 【答案】A 【解析】因为，则， 可知表示焦点在 x轴上的椭圆，其焦距为， 又因为，则， 可知曲线 表示焦点在y轴上的双曲线，其焦距为， 所以其焦距相等，离心率、焦点和顶点均不相同.故选：A. 考点二：由几何性质求双曲线的方程 例2.（23-24高二下·浙江·月考）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以设其方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 则双曲线方程为.故选：B． 【变式2-1】（23-24高二下·河北邢台·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共的焦点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意双曲线的一条渐近线方程为，所以， 又与椭圆有公共的焦点， 所以，解得， 从而的方程为.故选：A. 【变式2-2】（23-24高二上·四川眉山·月考）已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合题意：双曲线上的点到焦点的最近距离为， 因为双曲线离心率为，所以，解得， 故双曲线的方程为.故选：B. 【变式2-3】（23-24高二上·安徽宣城·月考）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.故选：C. 考点三：求双曲线离心率的值 例3.（23-24高二下·黑龙江大庆·月考）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C．2或 D．或2 【答案】A 【解析】由题意，双曲线的焦点在轴上，且一条渐近线的倾斜角为， 所以，所以， 又，所以， 又，所以.故选：A 【变式3-1】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线的右焦点为，则，即， 双曲线的渐近线方程为 不妨取， 又点到双曲线的一条渐近线的距离为，可得， 所以， 所以双曲线的离心率．故选：C． 【变式3-2】（23-24高二下·湖北·月考）如图，已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与交于两点，在第一象限，延长交于多一点，若且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的左焦点为，连接， 则， 因为，由双曲线的对称性知四边形为矩形. 在中，由，得，化简得. 在中，由，得， 化简得，即离心率.故选：A. 【变式3-3】（23-24高二上·浙江杭州·期末）双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，， 由双曲线定义得，故， 由勾股定理得，即①， 连接，则，故， 由勾股定理得，即②， 由②得，代入①得，故.故选：C 考点四：求双曲线离心率的范围 例4.（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于M在以为直径的圆上，故， 设，则，， 根据双曲线的定义， 所以， 所以，， 所以， 故在单调递增， 当时，， 当时，， 所以，所以， 故选：D． 【变式4-1】（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）双曲线：的左、右焦点为,，若点在双曲线右支上,且，则双曲线离心率的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点在双曲线右支上，且， 根据双曲线的定义，可得，可得， 结合双曲线的几何性质，可得，可得，所以， 又因为，所以离心率的取值范围为， 结合选项，可得D项，不符合题意.故选：D. 【变式4-2】（23-24高二上·广东江门·期末）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，有，即， 由，得， 所以，即的取值范围是.故选：B 【变式4-3】（23-24高二上·内蒙古赤峰·月考）已知点，分别是双曲线的左右焦点，为坐标原点，点在双曲线右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴， 记，，则， 又①， ∴，∴，②， 由①②得，又， ∴，解得， 即．故选：D 考点五：与双曲线渐近线相关的问题 例5.（23-24高二下·陕西安康·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，所以， 即双曲线的渐近线方程为.故选：A 【变式5-1】（23-24高二下·山西长治·月考）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为， 所以，所以.故选：C 【变式5-2】（23-24高二下·湖南长沙·月考）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A、B两点，满足A，B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，根据对称性可知，从而， 不妨设A在第一象限，其中一条渐近线方程为，令得， 则，故，故， 可得渐近线方程为．故选：B 【变式5-3】（23-24高二下·河南·月考）（多选）已知双曲线，M为C右支上的一个动点，过M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAMB的周长的可能取值有（    ） A．5 B．8 C．6 D． 【答案】BC 【解析】双曲线，M为C右支上的一个动点， 设，则， 两条渐近线方程为，则两条渐近线互相垂直，， 所以，，有， 则，当且仅当时等号成立， 所以四边形OAMB的周长为， 结合选项可知，8，6适合题意，故选：BC． 考点六：直线与双曲线的位置关系 例6.（23-24高二·全国·课堂例题）直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】方法一：联立直线与双曲线的方程， ，得，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点. 方法二：由，得，所以双曲线的渐近线方程为， 因为直线是双曲线的一条渐近线，因此交点个数为0.故选：A 【变式6-1】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点.故选：C 【变式6-2】（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【解析】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点. 当直线的斜率存在时，设方程为， 与双曲线方程联立可得， 当时，即时，此时直线和双曲线的公共点只有1个， 时，；时，. 当时，， 整理可得，因为，所以有两个不等的实数根， 又因为不是的根，所以此时直线和双曲线的公共点只有1个. 综上可知直线和双曲线的公共点只有1个时，直线有4条.故选：C. 【变式6-3】（23-24高二下·上海·月考）如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意知，直线的斜率存在，设为，双曲线的中心为， 因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为， 由，消去得，， 因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根， 所以，即，解得或， 所以直线l的斜率的取值范围是：.故选：B. 考点七：直线与双曲线的交点及弦长 例7.（23-24高二·全国·课堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 【答案】8 【解析】由双曲线，得，， 焦点为，倾斜角， 法一：直线斜率，直线方程为， 联立消得，，由韦达定理知， 代入弦长公式，得. 法二：. 故答案为：8. 【变式7-1】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【答案】 【解析】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得， 则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为： 【变式7-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】由题意，， 当直线的斜率为时，直线的方程为， 在方程中，令，则，此时，符合题意， 当直线的斜率不等于时，设方程为， 联立，消得， 则，解得， 设，则， 故， 解得， 综上所述，符合题意得直线有条.故选：C. 【变式7-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 考点八：双曲线的中点弦问题 例8.（23-24高二上·江苏南通·月考）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】设， 则有， 化简得，即.故选：B 【变式8-1】（23-24高二上·四川成都·期中）设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为，所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为，所以线段AB存在，故选：C 【变式8-2】（22-23高二上·北京·期中）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为， 联立双曲线： 设，则，所以，解得， 则，. 弦长|MN|.故选：D. 【变式8-3】（23-24高二上·山东泰安·月考）直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是 . 【答案】 【解析】设直线与双曲线的交点为， 联立方程组，整理得， 则，且， 设弦的中点为，则， 代入直线方程可得， 所以截得弦的中点坐标为. 故答案为：. 考点九：双曲线的综合问题 例9.（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由题意可得，可得， 因此，双曲线的方程为. （2）若直线与轴重合，则直线与双曲线没有交点，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 则， ，解得，合乎题意， 所以，直线的方程为或. 【变式9-1】（22-23高二上·全国·期中）已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可设的方程为， 将代入可得，，解得， 的标准方程为． （2）设，则， 点在第一象限，，且，， ， 的取值范围是． 【变式9-2】（23-24高二上·四川自贡·月考）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两个不同的点． (1)求曲线的方程； (2)求实数的取值范围； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支， 且，则， 故曲线的方程为． （2）设，，，，由题意建立方程组， 消去，得， 又已知直线与双曲线左支交于两点，， 有，解得． 所以的取值范围是． 【变式9-3】（23-24高二下·云南玉溪·月考）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）. (1)求双曲线的方程； (2)求证：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析， 【解析】（1）令双曲线半焦距为，依题意，， 由，解得， 则双曲线的方程为， （2）法一：显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 设，则， 直线的斜率分别为， 法二：①当直线垂直于轴时，的方程为，易得 ②当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，、 由,消去得：， 设，则： 直线的斜率分别为， 一、单选题 1．（23-24高二下·江西景德镇·月考）双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由焦距为4可得，即，又， 所以，可得，即； 则的渐近线方程为.故选：B 2．（23-24高二上·福建南平·月考已知顶点在 轴上的双曲线实轴长为，其两条渐近线方程为，该双曲线的焦点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线方程为， 因为双曲线实轴长为，渐近线方程为， 所以，解得，， 则， 所以该双曲线的焦点为，故选：C 3．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，实轴长为4，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线C 的一条渐近线方程为， 焦点到直线的距离为， 又因为实轴长为，所以， 所以C的方程为，故选：D. 4．（23-24高二上·山东青岛·月考）已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有 A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【解析】双曲线，过的直线垂直于轴时，； 双曲线两个顶点的距离为，满足的直线有条， 一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.故选：C 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】设该弦为， 设， 则有，两式相减，得， 因为双曲线C的一条弦的中点为， 所以， 因此由， 即这条弦所在直线的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为，所以该弦存在，故选：D 6．（23-24高二下·浙江·月考）已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知双曲线左支上存在点使得， 设，则， 等号成立当且仅当点与双曲线的左顶点重合， 从而双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为， 故，即，故， 即离心率的取值范围为.故选：B 二、多选题 7．（23-24高二下·江苏南京·月考）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【答案】AC 【解析】由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同.故选：AC. 8．（23-24高二上·广东·期末）已知直线，双曲线，则（    ） A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 【答案】ABD 【解析】由题意直线过定点，即双曲线的左焦点. 当时，与的渐近线平行，与只有一个交点， 当时，与的左支和右支各有一个交点， 当时，与的左支有两个交点.故选：ABD. 三、填空题 9．（23-24高二下·上海·月考）已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【解析】由双曲线的对称性，不妨设在第一象限， 设，又， 所以 ，所以， 因为为的中点，所以，即， 所以两边平方得， 所以，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 10．（23-24高二下·云南·月考）已知双曲线C的左、右焦点分别为，，，过的直线与C的右支交于A，B两点，且.则C的离心率为 . 【答案】4 【解析】设双曲线C的方程为， 因为，所以， 又，所以，所以C的离心率为. 故答案为：4. 11．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】双曲线的渐近线方程为，即， 双曲线的焦点到渐近线的距离为， 联立可得， 由题意可知，关于的方程无实数解，则， 又因为，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 12．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【答案】(1)顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为；(2)答案见解析 【解析】（1）由题意得，可得， 故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； （2）联立方程，消去得， 当或时， 即或时，有1个交点； 当时，即时，有2个交点； 当时，即或时，无交点. 13．（22-23高二下·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为， 直线的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 则， 所以， 所以的面积为 （2）因为，所以，所以或， 所以，对称轴为， 由题意，，， 所以实数的取值范围为 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $