四川省遂宁市2024-2025学年高二下学期期末教学水平监测数学试题

遂宁市高中2026届第四学期期末教学水平监测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题，满分58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为，，， ，则 A．丁组数据变量间的线性相关程度最强，甲组数据变量间的线性相关程度最弱 B．甲组数据变量间的线性相关程度最强，乙组数据变量间的线性相关程度最弱 C．丁组数据变量间的线性相关程度最强，乙组数据变量间的线性相关程度最弱 D．甲组数据变量间的线性相关程度最强，丙组数据变量间的线性相关程度最弱 2．若随机变量的分布列为 0 1 0.2 0.3 0.5 若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 3．函数的导函数为 A． B． C． D． 4．已知等差数列的前项和为，且，，求 A．16 B．18 C．20 D．40 5．已知曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为2，求 A． B． C． D． 6．某市高二年级10000人参加数学学业水平考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩高于65分的人数为8000人，则此次考试数学成绩不低于85分的人数约为 A．2000人 B．3000人 C．4000人 D．5000人 7．研究变量，得到5组成对数据，如下表所示： 1 2 3 4 5 1 4 11 9 10 根据上表数据，求得相关系数为，经验回归方程为，决定系数为．后经检查发现当时记录的有误，实际值应为，修正数据后，求得新相关系数为，新决定系数为，新回归方程为，则以下结论错误的是 参考公式：相关系数，决定系数，经验回归方程为，其中，． A． B． C． D． 8. 中间高两边低的房屋在我国民间被称为“双耳屋”，已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都小于十位上的数字，那么我们称该三位数为“双耳屋三位数”，则没有重复数字且是偶数的“双耳屋三位数”的个数为 A. B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的有 A． B．某演艺公司的货架的第1层放有4件不同的老年衣装，第2层放有3件不同的中年 衣装，第3层放有2件不同的少年衣装。则从货架上任取1件衣装，有9种不同的 取法；从货架的第1层、第2层、第3层各取1件衣装，有24种不同的取法 C．小邓，小张，小吴三名高三同学毕业照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方 法种数为6种 D．某篮球队有10名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名队员参加比赛，种子 选手都必须在内，那么不同的选法共有120种。 10．已知等差数列与公比大于的等比数列，满足，，，记，数列的前项和为，则 A． B． C． D． 11．已知函数，则 A．存在，使得函数为奇函数 B．当时，函数在上单调递减 C．当时，函数在处取得极值，则在上的 值域是 D．当时，若函数有三个零点，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．某学校统计学生喜欢篮球的概率为，既喜欢篮球又喜欢足球的概率为，若已知某人喜欢篮球，则他同时喜欢足球的概率为 ▲ 13．若数列满足，，则 ▲ ． 14. 已知函数（其中是自然对数的底数），满足，则的取值范围是 ▲ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15.（13分）跑步既有助于促进心肺功能又能够缓解焦虑情绪，某公益机构为了解性别和跑步的关联性，随机调查了400人，得到如下的列联表： 性别 跑步 合计 喜欢 不喜欢 男 80 240 女 64 合计 176 （1）根据数据完成上表，并根据上表，用频率估计概率，求女性喜欢跑步的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与跑步有关联？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ▲ 16.（15分）已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为， （1）求的值和该展开式中的系数； （2）若，求的值． ▲ 17.（15分）为测试两套导航系统在城市道路中的路线规划能力，将商业区道路和居民区道路共100条复杂程度相当的行驶路线从1到100编号后随机分配给这两套导航系统规划．每条路线只被一套系统规划一次，并记录结果如下： 路线类别 系统 系统 规划路线数量 成功避堵数量 规划路线数量 成功避堵数量 商业区道路 居民区道路 （1）分别估计两套导航系统能成功规避拥堵的概率； （2）某司机欲使用这两套系统规划明日的通勤路线（假设其复杂度与测试的100条路线相当），根据历史数据，该路线途经商业区的概率为，途经居民区的概率为．将频率视为概率，通过计算说明应优先选用哪套系统？ （3）该司机决定用这两套系统规划6条路线（商业区、居民区各3条），每类路线均采用避堵成功率更高的系统规划。将频率视为概率，该司机比较了这两套系统在避堵中的正确率，决定用表现较好的那套系统．设、分别为3条商业区路线成功避堵与3条居民区路线成功避堵的数量，求随机变量的数学期望和方差． ▲ 18.（17分）已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中。 （1）求证：数列是等比数列，并求； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和。 （3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。 ▲ 19.（17分）已知函数 （1）当时，求的导函数的零点个数； （2）函数，若存在，使得成 立，求的取值范围； （3）若正项数列满足，证明： ▲ 高二数学试题第4页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 遂宁市高中2026届第四学期期末教学水平监测 数学试题参考答案及评分意见 一、选择题（每小题5分，8小题，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B C D A D B 8．解析：①当个位上的数字是0时，有个满足条件的“双耳屋三位数”； ②当个位上的数字是2时，百位是1时，十位可为3～9；百位是3时，十位可为4～9； 百位是4时，十位可为5～9；百位是5时，十位可为6～9；百位是6时，十位可为7～9；百位是7时，十位可为8～9；百位是8时，十位只能为9；故此时满足条件的个数为 ③当个位上的数字是4时，百位是1，2，3时，十位均可为5～9；百位是5时，十位可为6～9；百位是6时，十位可为7～9；百位是7时，十位可为8～9；百位是8时，十位只能为9；故此时满足条件的个数为 ④当个位上的数字是6时，百位是1，2，3，4，5时，十位均可为7～9；百位是7时，十位可为8～9；百位是8时，十位只能为9；故此时满足条件的个数为 ⑤当个位数字是8时，百位可以是1～7，十位只能为9；故此时满足条件的个数为7 综上，没有重复数字且是偶数的“双耳屋三位数”的个数为 二、多选题（每个6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 题号 9 10 11 答案 BC ACD ABD 11. 解析：对于A选项，因为当时，，定义域为，且满足，此时函数为奇函数，故A选项正确； 对于B选项，因为，而当 时，由解得，即在上单调递减，而此时包含，故B选项正确; 对于C选项，因为，又由,得出，，则，所以，又，由，得；由，得；所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以值域为，故C选项错误； 对于D选项，①当时，有下表 + + 单调递增 单调递减 单调递增 又当时，，当时，，且 ，又函数有三个零点，所以只需，解得； ②当时，，则在上单调递增，不会出现三个零点的情况，综上①②可知， 故D选项正确。 三､填空题（每小题5分，共15分．） 12. 13. 14. 14.解析：因为，当且仅当取等号，故有在上单调递增，又，所以， 得到，所以，解得或 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分） 15. 解析：（1） 性别 跑步 合计 喜欢 不喜欢 男 160 80 240 女 64 96 160 合计 224 176 400 ………………………………………5分（每空1分） 由表格数据可知，女性喜欢跑步的概率为…………………………………7分 (2)零假设为：性别与跑步无关联． ……………………………………………8分 根据列联表中的数据，计算得到，…………11分 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与跑步有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． ………………………………………13分 16. 解析：（1）的二项展开式中所有项的二项式系数之和，所以.……………………………………4分 所以二项式，即是，而展开式的通项为，.……………………………………………………………………6分 令，得展开式中的系数为，故该展开式中的系数为 ………………………………………………………………………………………8分 （2） 由（1）知，所以，即为，，令得：①； ………………………………………10分 令得：②。……………………………………12分 则（①+②）÷2得：，故所求值为512………………………15分 17. 解析：（1）记两套导航系统能成功规避拥堵的概率分别为和， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，……………………2分 ，即是系统能成功规避拥堵的概率为，系统能成功规避拥堵的概率为…………………………………………………………………………………4分 （2）记“导航系统能成功规避拥堵的概率”为事件，“导航系统能成功规避拥堵的概率”为事件，“该道路为商业区道路”为事件. 则，，，，，， ………………………………………6分 由全概率公式可得.……………………………7分 .…………………………8分 因为，所以导航系统能成功规避拥堵的概率更大，故该司机应该优先选用系统. ………………………………………9分 （3）由题意，商业区应用系统导航，居民区应用系统导航. 因为，，…………………………………………………11分 由二项分布的期望公式可得，，…………………………………………………………………12分 由二项分布的方差公式可得，，……………………………………………………………13分 因为、相互独立，则， .………………………………………15分 18. 解析：（1）因为点和点均在直线上，所以，， ………………………………………1分 令，则，又，解得， ……………………………2分 又，所以， ………………3分 因为，所以数列中任意一项不为，又，故数列是首项为，公比为的等比数列， ………………………………………4分 故，即数列的通项为.…………………………………5分 （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 所以， ………………………………………7分 即，故， ………………………………………8分 所以①， ②，……………………………………………………9分 ①②可得，…………10分 故…………………………………………………………………………11分 （3）由，得，化简得。……………………………………………………………12分 当为奇数时，有，即，而，所以；………………………………14分 当为偶数时，有，而，所以。……………………………16分 综上，实数的取值范围为 ………………………………………………17分 19. 解析：（1）由题意得，又，故设，……………1分 则 …………………………………………………………………2分 当时，有， 在上单调递减；当时，有，在上单调递增；所以函数在处取得最小值，也即在处取得最小值，故函数的导函数的零点个数为个 ……………………………………………………………4分 （2）因为，所以成立，等价于成立， ………………………………………………………5分 由题意知不等式在区间上有解，即 在区间上有解，………………………………………6分 因为当时，（不同时取等号），， 所以在区间上有解，…………………………………………………7分 令，则， 因为，所以，所以，在上单调递增， 所以时，，…………………………………………10分 所以，所以实数的取值范围是．……………………11分 （3）由（1）知当时，，所以有在上单调递增，又，所以当时，，令，则，则有，即，也即，………………13分 又，且是正项数列，有，令，代入上式有，即 ……………………………………………14分 所以，得出 …………………………………15分 所以 ， 又当时，成立，即是也满足 ，所以得证…………………17分 （有其它解法酌情给分） 高二数学试题参考答案第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$