四川宜宾、自贡市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

工作秘密 严禁泄露 2025-2026学年高二年级下学期期末考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数在处切线的斜率为 A． B． C． D． 2．一箱产品中，有8件合格品，2件次品，从中不放回的抽取3件产品作为样本，用表示样本中次品的个数，则 A． B． C． D． 3．三名志愿者被分配到交通劝导，文明服务两项工作进行社会服务，要求每项工作至少一人参加，每人只参加一项工作，则不同的分配方案种数为 A．4 B．6 C．9 D．12 4．随着雨季的来临，甲，乙两地每天下雨的概率分别为，，且两地同时下雨的概率为，则雨季的某一天在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为 A． B． C． D． 5．函数在上的图象大致是 A． B． C． D． 6．若是函数的极大值点，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．数轴上一质点在外力作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或者向右移动1个单位，经过5秒后，这个质点在数轴上的位置为，则 A． B． C． D． 8．已知函数，则 A．函数在点处的切线方程为 B．函数在上单调递增 C．函数存在唯一极值点 D． 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9．已知随机变量服从正态分布，且，则 A． B． C． D． 10．下列说法中，正确的是 A．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B．用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好 C．已知，若根据列联表得到的估计值为，依据的独立性检验，则认为两个分类变量无关 D．已知变量，线性相关，由样本数据算得经验回归方程为，且由样本数据得，，则 11．已知函数，则下列说法正确的是 A．是偶函数 B．在处取得最小值 C．方程有且仅有一个实根 D．对任意，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．展开式中的系数为________．（用数字作答） 13．已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为________． 14．已知集合，，现甲、乙两人分别从集合，中随机抽取3个不同的元素各构成最大的三位数和，则的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列，满足：，且是公差为的等差数列，是公比为的等比数列． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和． 16．（15分） 已知椭圆：的一个顶点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点为椭圆上一动点，直线与坐标轴交于，两点，求面积的取值范围． 17．（15分） 如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面，平面平面． （1）证明：四边形是矩形； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分） 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：． 19．（17分） 有一种病毒在某地区蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年．该地区总人口约60万人，专家分析其中约有1000名感染者，疾病预防控制中心现决定对该地区所有人员进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂．已知感染者的检测结果为阳性，未被感染者检测结果为阴性，另外被感染者与未被感染者的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变． （1）若对该地区人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，求每个分组的最优人数； （2）根据医学数据分析，这种病毒的感染率为．现把个人分为一组，将其血样混合后进行化验．若结果为阴性，则通过检验；若结果为阳性，则这个人需要再逐个化验一次．记这个人的化验次数为． （ⅰ）求的分布列与期望； （ⅱ）若，求证：当时，，并以此为依据说明实施混检的理由． （参考数据：，） 学科网（北京）股份有限公司 $普通高中2024级高二春期末质量监测 数学参考答案及评分意见 一、选择题 题号1234567891011 选项A D B D A C B D ABD BD ABC 二、填空题 12.是 13.（-00,-4)U(-2,1) 14. 59 7 15.(13分) (1)由题am-bn=2(n-1,2分 an+bn=2X3n-1-- 4分 解得am=n-1+3m-1,bm=3"-1-n+1 6分 (2)由题a-b2=4(n-1)×3-1- 8分 Sm=4×0×30+4×1×32+4×2×32+…+4×(m-2)×3m-2+4×(m-1)×3m-1 3Sm=4×0×31+4×1×32+4×2×33+…+4×(n-2)×3m-1+4×(n-1)×3m -2Sm=4×1×32+4×1×32+4×1×33+…+4×1×3m-1-4×(n-1)×3m -2Sm=4×(3+32+33+…+3m-1)-4×(n-1)×3m=-2×(3-3m）-4(n-1)3m Sm=(2n-3)3”+3-- 13分 16.(15分) 【答案】()由题=日=分所以a=20 且a2-3=4c2-3=c2,解得a=2,c=1 4分 5分 (2)由题A(12,0),B(0,-6),则AB=6w5 7分 设与x-2划-12=0平行的直线方程为l:x-2y+t=0 联立军+考1消去得16时-12+3-12=0 9分 x-2y+t=0 △=144-643e-12)=-48t2+768=0 t=+4- -11分 ①-2划+4=0.d,==5,5=×6W5×1g=48 13分 5 √5 ②x2w-4=0,d=4=8,ss1 5 F7×65×8=24 -15分 √5 综上：△ABP的面积的取值范围[24,48] 17.(15分) (1)证明： 已知PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,因此PA⊥CD 2分 又平面PAD⊥平面PDC,且平面PAD∩平面PDC=PD, 如图，过A作AE⊥PD于E,可得AE⊥平面PDC. 因为DCC平面PDC,所以AE⊥DC.- 4分 又PA∩AE=A,PA,AEC平面PAD,因此DC⊥平面PAD, 5分 又ADC平面PAD,故DC⊥AD. 已知底面ABCD是平行四边形，邻边垂直的平行四边形是矩形， 因此四边形ABCD是矩形 (2)由(1)知AB,AD,AP两两垂直，以A为原点，分别以AB,AD,AP为x,,z轴建立如图所示 的空间直角坐标系. -8分 由PA=4,AD=3,AB=2,得各点坐标：P(0,0,4,D0,3,0),B(2,0,0),C(2,3,0) 因此PD=(0,3,-4),PB=(2,0,-4),PB=(2,0,-4),BC=(0,3,0),C元=（-2,0,0). -10分 设平面PBC的法向量为元=(x,y,z),则： 元·PB=2x-4z=0 元·BC=3y=0 令z=1,得x=2,y=0,即元=(2,0,1). 12分 设直线PD与平面PBC所成角为，根据线面角的向量公式可得： PD. 0×2+3×0+(-4)×1 sin= =4=45 15分 PD外成 √02+32+(-4)2.√22+02+125w525 ZA B 18.(17分) (1)当a=-l时，f(x)=-lnc+x-3=-(nx-c+3)其定义域为(0，十o), f'()=-(L-1)=-1 2分 因为x∈(0，+∞)，所以在(0,1)上，f'(x)<0,f(x)单调递减 在(1，十o)上，f'(x)>0,f(x)单调递增； -4分 所以函数y=f(x)的最小值为f(1)=-2. -5分 (2)F(x)=f(x)+(a+1)x+4-e=alnx-ax-3+(a+1)x+4-e=alnx+x+1-e 则F'()=+a -6分 若-a≤e,即a≥-e,F(x)在[e,e]上单调递增，F(x)max=Fe2)=2a十e2-e十1≤0， 从而有a≤e-)-e,此时无解 -8分 2 若e<-a<e,即-e2<a<-e,F(x)在[e,-a]上单调递减，在[-a,e]上单调递增 有F(e)=a+1≤0，即a≤-1，F(e)=2a+e-e+1≤0，即a≤e-1-e 2 所以-e'<a≤e-1-e 10分 2 若-a≥e,即a≤-e,F(x)在[e,e]上单调递减，F(c)max=F(e)=a+l≤0， 即a≤-1， 所以a≤-e 综上所述有a≤e-1-e 12分 2 (3)要证(2+1)(32+1)…(n2+1)<e(n:) 只需证ln(22+1)+ln(32+1)+.+ln(n2+1)<1+2lnn!=1+21n2+ln3+.+lnn) 只需证ln(22+1)+ln(32+1)+.+ln(n2+1)<1+ln22+ln32+.+lnn2 只证n空+i+h分+)+h华+++hn+<1 -14分 令a=-1,此时f(x)=-lnc+x-3,f(1)=-2, 由(1)可知f(x)在(1，十∞)上单调递增 所以f(x)>f1),即lnx<x-1成立 因为n≥2，n∈N; 阴以a六长是<六 1 11 16分 所以h(分+i)+h（令+)+ln(3+++ln是+ <1-)+-)++(n n-1 n =1-1<1(m≥2，neN)- 17分 m 19.(17分) (1)最坏情况下，考虑1000名感染者平均分散到1000个组中，则60万人，每组x人，可分成 600000组 而1000名感染者分散到1000个组，这1000个组再次逐一检测，共检测1000x次 则所有检测次数fx)=600000+1000c 3分 f(x)=- 600000+1000,令f()=0,解得x=10W6 2 所以f(x)在(0,10W6)单调递减，(10W6,+o∞)单调递增 5分 而24<10W6<25,且f(24)=49000,f25)=49000 所以在最坏情况下，需要进行49000次检测，每个组的最优人数为24或者25人 -7分 (2)(i)P(ξ=1)=(1-g) P(E=k+1)=1-(1-q) 9分 E()=k+1-k(1-q) 10分 (i)要证E()<k,即证k+1-k(1-q)<k 只需证1<k(1-q)=0.95k---- -12分 令g(k)=0.95k g(k)=0.95*kln0.95+0.95=0.95(kln0.95+1) 令g内=0，解得k=1n0.95 1 所以g内在小95上单调递增，在nds50上单调莲度 -14分 g(k)mm=min{g(2),g(80)}=m2n{1.805,1.36}>1,所以命题得证 -16分 所以E()<k,也就是说混检的方式相较单独检测可以减少化验次数，从而降低成本.-一17分