精品解析：山东省枣庄市2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试题

2025－2026学年第二学期期末测试 八年级数学（A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第I卷和第II卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 2025年5月18日，是第49个国际博物馆日，山东博物馆以“快速变化社会中的博物馆未来”为主题，为广大游客打造一场跨越时空的文博盛宴．以下山东博物馆展出文物的正面图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 设，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 3. =在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：． 4. 如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为16米，则，间的距离为（ ） A. 8米 B. 16米 C. 24米 D. 32米 【答案】D 【解析】 【分析】先确定D、E分别是、的中点，判断是的中位线，依据三角形中位线定理，可得到和的数量关系．结合已知的长度，根据所得数量关系即可计算的长度． 【详解】由题意可知：是的中点，是的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵米， ∴米，即、间距为32米． 5. 计算：的结果为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了异分母分式加法，先把异分母分式转化成同分母分式进行运算，再约分即可得出答案． 【详解】解： 故选：D 6. 某企业要购进两款机器狗共 5 只．如图所示，已知单价是 1.3 万元/只， 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则最多可以购进（ ） A. 1 只 B. 2 只 C. 3 只 D. 4 只 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设可以购进x只，则可以购进只，利用总价=单价×数量，结合总价不超过6.2万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设可以购进x只，则可以购进只， 根据题意得：， 解得：， ∴x的最大值为4， ∴最多可以购进4只． 故选：D． 7. 如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ） A. 四边形周长不变 B. C. 四边形面积不变 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故D符合题意； 随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变；故A、B、C不符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等． 9. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两次每人分得的钱数相等列方程即可. 【详解】解：设第二次分钱的人数为人， ∵第二次比第一次增加6人， ∴第一次分钱的人数为人， 又∵第二次每人分得的钱与第一次相同，第一次每人分得钱为，第二次每人分得钱为， ∴列方程得. 10. 如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（ ） A. B. 25 C. D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ， ∵，分别平分，，于点D，， ∴，， ∵的面积是50， ∴， ∴， ∴， ∴，即的周长为， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，满分15分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 若分式在实数范围内无意义，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】分式无意义的条件是分母等于零，据此列方程求解即可． 【详解】分式在实数范围内无意义， ，解得：． 12. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 13. 某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要______个正五边形木片． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，正多边形的中心角的计算，等边对等角，确定是关键，根据题意得到正多边形每个内角，对应外角的度数，由此得到圆心角的度数，由此即可求解． 【详解】解：正五边形的每个内角为， ∴对应的外角的度数为， 如图所示，， ∴， ∴， ∴， ∴总共需要10个正五边形木片． 故答案为：10 ． 14. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以点为圆心，以大的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线分别与相交于点．若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图——角平分线和线段的垂直平分线、等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据作图得出，，再结合勾股定理可得答案． 【详解】解：由作图可得，平分，垂直平分， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】作轴，轴，垂足分别为． 由题意得． ，； ，， ． ，， 根据勾股定理 同时，， 则点的坐标为，点的坐标为， 同理可得，， 如图，与关于原点对称， 则，接着，，，，，…， 观察可知，点到点为一个变换周期， 因为，余数为2，说明点的坐标与的坐标相同，即点的坐标为． 三、解答题：本大题共8小题，满分75分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 16. 按要求解题： （1）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来； （2）因式分解：； （3）利用因式分解计算：． 【答案】（1）；解集在数轴上表示，如图： （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：不等式组 解不等式得，， 解不等式，去分母得，， 解得， 不等式组的解集是， 解集在数轴上表示：略． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 17. （1）化简：． （2）是否存在整数，使得（1）式中的结果是整数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． （1）先计算括号里的，再计算除法即可； （2）根据 为整数， 为整数，且分式要有意义求解即可． 【详解】解：（1）原式 （2）存在， 若 为整数， 为整数， 可得 或 ． 又当 时，原分式有意义； 当 时，原分式无意义， 存在整数 ，使得 （1）式中的结果也是整数，此时 ． 18. 阅读与思考： “配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用‘配方法’能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． （1）运用配方法将多项式进行因式分解：； （2）试说明多项式的值总是一个正数； 【答案】（1） （2） 解： ， ∴多项式的值总是一个正数． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）结合乘法公式解题即可； （2）对式子配方即可证明． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，， （1）以点为旋转中心，将逆时针旋转，画出，写出点，的坐标； （2）计算的面积； （3）在平面直角坐标系内是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或或． 【解析】 【分析】（1）将点A，B绕点C逆时针旋转得到点，再依次连接可得，并写出点的坐标； （2）根据直角梯形的面积减去两个三角形的面积可得答案； （3）分三种情况：以为对角线时； 以为对角线时； 以为对角线时，再分别求出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：如图， 以为对角线时，， 以为对角线时，， 以为对角线时，， 综上所述，或或． 20. 阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程： 解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘y得， 解得：， 经检验：都是方程的解，当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”． 【解决问题】 （1）若方程，设，则原方程可化为_________． （2）模仿上述换元法解方程：． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，求平方根的方法解方程： （1）设，则，据此求解即可； （2）设，先把方程变形为，再用换元法求解即可． 【小问1详解】 解：设，原方程可化为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设，原方程可化为， 方程两边同时乘以，得， 解得，， 经检验，都是原方程的解， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 21. 某学校欲购买A，B两种型号拖把．其中A型拖把的单价比B型拖把的单价少9元，且用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等． （1）求A、B型拖把的单价分别是多少元？ （2）若购买两种拖把共200个，且购买A型拖把的数量不超过B型拖把数量的，如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？ 【答案】（1）A型拖把每个价格为26元，B型拖把每个价格为35元 （2）购买50个A型拖把、150个B型拖把时总费用最低，最低是6550元 【解析】 【分析】（1）设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元，利用用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等，建立方程即可； （2）设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元，再利用总费用等于购进两种拖把的费用之和建立函数关系式，再利用函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：A型拖把每个价格为26元，B型拖把每个价格为35元． 【小问2详解】 设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元， 由得 根据题意得：， ∵， ∴当时，， ∴． 答：购买50个A型拖把、150个B型拖把时总费用最低，最低是6550元． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，确定相等关系或不等关系建立方程或不等式或函数关系式是解本题的关键． 22. 如图，的对角线与交于点，点，分别在，上． （1）下列条件：①；②；③，请你从中选择一个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是平行四边形，，，垂足为点，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）选，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形；选，根据平行线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的判定和性质得到，推出四边形是平行四边形；选，根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得四边形是平行四边形； （2）根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据平行四边形的性质得到，，于是得到结论． 【小问1详解】 解：选，证明如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， ，， 四边形是平行四边形； 选，证明如下： ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 即， ， ， ，， 四边形是平行四边形； 选，证明如下： ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 的面积． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、含的直角三角形特征、勾股定理，三角形的面积，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质定理． 23. 如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． （1）求的度数； （2）求的长； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【小问1详解】 解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； 【小问2详解】 解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； 【小问3详解】 解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期末测试 八年级数学（A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第I卷和第II卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 2025年5月18日，是第49个国际博物馆日，山东博物馆以“快速变化社会中的博物馆未来”为主题，为广大游客打造一场跨越时空的文博盛宴．以下山东博物馆展出文物的正面图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 设，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. =在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为16米，则，间的距离为（ ） A. 8米 B. 16米 C. 24米 D. 32米 5. 计算：的结果为（ ） A. B. C. D. 1 6. 某企业要购进两款机器狗共 5 只．如图所示，已知单价是 1.3 万元/只， 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则最多可以购进（ ） A. 1 只 B. 2 只 C. 3 只 D. 4 只 7. 如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ） A. 四边形周长不变 B. C. 四边形面积不变 D. 9. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（ ） A. B. 25 C. D. 50 二、填空题：本大题共5小题，满分15分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 若分式在实数范围内无意义，则的值是________． 12. 因式分解：a3－a=______． 13. 某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要______个正五边形木片． 14. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以点为圆心，以大的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线分别与相交于点．若，，则的长为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是__________． 三、解答题：本大题共8小题，满分75分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 16. 按要求解题： （1）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来； （2）因式分解：； （3）利用因式分解计算：． 17. （1）化简：． （2）是否存在整数，使得（1）式中的结果是整数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 阅读与思考： “配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用‘配方法’能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． （1）运用配方法将多项式进行因式分解：； （2）试说明多项式的值总是一个正数； 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，， （1）以点为旋转中心，将逆时针旋转，画出，写出点，的坐标； （2）计算的面积； （3）在平面直角坐标系内是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程： 解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘y得， 解得：， 经检验：都是方程的解，当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”． 【解决问题】 （1）若方程，设，则原方程可化为_________． （2）模仿上述换元法解方程：． 21. 某学校欲购买A，B两种型号拖把．其中A型拖把的单价比B型拖把的单价少9元，且用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等． （1）求A、B型拖把的单价分别是多少元？ （2）若购买两种拖把共200个，且购买A型拖把的数量不超过B型拖把数量的，如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？ 22. 如图，的对角线与交于点，点，分别在，上． （1）下列条件：①；②；③，请你从中选择一个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是平行四边形，，，垂足为点，，，求的面积． 23. 如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． （1）求的度数； （2）求的长； （3）求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $