第10讲 一元二次方程判别式、根与系数关系（知识详解+3典例精讲+课后作业）2026年七升八数学暑假预习讲义（沪教版五四制）

第10讲 一元二次方程判别式、根与系数关系 （知识详解+3典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：判别式的值与根的关系 知识点02：根与系数的关系的定理 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型02：根据一元二次方程根的情况求参数 题型03：一元二次方程的根与系数的关系 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】判别式的值与根的关系 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 【知识点02】根与系数的关系的定理 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 常用变形公式（高频考点） 无需死记，可由和、积推导，做题直接套用： 常见题型 已知方程一根，求另一根及参数； 不解方程，求关于两根的代数式的值； 已知两根关系（和、积、平方和、差的绝对值等），求参数； 根据根的正负、大小关系，结合韦达定理+判别式求参数范围。 【题型01】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例1-1】．（25-26八年级上·上海·期末）下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟记根的判别式是关键． 通过计算一元二次方程的判别式判断是否有实数解，若则有实数解． 【详解】解：，，该方程无实数解，故A选项不符合题意； ，，，，该方程无实数解，故B选项不符合题意； ，，，，该方程有实数解，故C选项符合题意； ，，的值随变化，可能小于0，该方程不一定有实数解，故D选项不符合题意； 故选C． 【典例1-2】．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值来判断根的情况． 【详解】解：∵，常数项为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【典例1-3】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【典例1-4】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知实数对满足，求的最大值． 【答案】的最大值． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式，设，即，得到，根据即可求解，掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：设，即， ，即， 化简整理：， 则此方程必有实数根，即， ， ， ， ∴的最大值． 【变式1-1】．（25-26八年级上·上海·期末）小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（    ） A．若，则方程一定有两个实数根； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程一定有两个实数根； D．若，则方程一定有两个实数根． 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断结论，时方程有两个实数根，逐一计算各条件下的判别式即可判断正误． 【详解】解：A选项：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； B选项：∵， ∴， 根据题意无法得到与的大小关系， 则无法得到方程的根的个数，故本选项错误，符合题意； C选项：∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； D选项：∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； 【变式1-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是___________． 【答案】方程有两个不相等的实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 通过计算判别式判断根的情况即可． 【详解】解：判别式 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根． 【变式1-3】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为_______． 【答案】方程有两个实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的时，方程有2个实数根，进行作答即可． 【详解】解：当，时，方程有两个实数根； 故答案为：方程有两个实数根． 【变式1-4】．（23-24八年级上·上海·单元测试）若a、b、c互不相等，求证：方程无实数根． 【答案】见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程，，为常数，的根的判别式：当，原方程有两个不相等的实数根；当，原方程有两个相等的实数根；当，原方程没有实数根；也考查了代数式的变形能力．根的判别式即可判断，即可证明结论成立． 【详解】解： ． 即． 故方程无实数根． 【变式1-5】．（25-26八年级上·上海·期中）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以为许多问题提供解题思路： (1)正数m，n满足，求的值． (2)代数式是否存在最大或最小值，并求出最值的大小． (3)判断关于x的方程根的情况：． 【答案】(1) (2)代数式存在最小值，最小值为 (3)当或时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当或时，方程没有实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、二次根式的混合运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了配方法，解不等式，解题的关键是掌握配方法． （1）列用配方法求出，然后代数求值即可； （2）利用配方法求出最值即可； （3）利用根的判别公式列出代数式，然后利用配方法进行整理，分类进行讨论即可． 【详解】（1）解： ∴或 ∵m，n为正数， ∴舍去， ∴， 将代入得， 原式； （2）解： ∵， ∴， ∴当时，代数式存在最小值，最小值为； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， 当时， 解得或， 此时，方程有两个相等的实数根； 当时， 解得， 此时，方程有两个不相等的实数根； 当时， 解得或， 此时，方程没有实数根； 综上，当或时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程有两个不相等的实数根； 当或时，方程没有实数根． 【题型02】根据一元二次方程根的情况求参数 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用二次方程有实数根的条件，判别式非负，求解不等式． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴判别式， ∴， ∴. 故k的取值范围是． 故选：A． 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式的应用．关键在于：一元二次方程要求二次项系数不为0；方程有实数根时，判别式．需同时满足这两个条件来确定的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即． 又∵方程有实数根， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 故选：B． 【典例2-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，再结合方程有两个实数根可得根的判别式大于等于，求解两个不等式的公共部分即可得到的取值范围． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得， 对于一元二次方程，根的判别式为： ∵方程有两个实数根， ∴ ∴ ∴且 【典例2-4】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． 【典例2-5】．（25-26八年级上·上海·期中）（1） ，且 ，求 的值． （2）已知实数 满足 ，且 ，求 的最大值． 【答案】（1） （2） 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）先求出则是方程的两根，代入可得，整体代入即可求出结果； （2）由题意可将看成的两个实数根，再由，结合即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是方程的两根， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ， ∴， ∴是方程的两实根， ∵， ∴， ∴， 即：的最大值是. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式；关键是灵活应用知识点解决问题. 【变式2-1】．（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及对含参方程的分类讨论，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 方程可能为一次或二次方程，需分类讨论，最后合并结果． 【详解】解：∵ 方程 有实数根， 当 时，方程化为 ，解得 ，有实数根； 当 时，方程为二次方程，判别式 ， 解得 ； 综上， 时方程有实数根． 故选：A． 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海·期末）如果关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据列式求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为：． 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读下列材料： 当为实数时，求的最大值．设，将其化为关于的一元二次方程，得．因为为实数，就是这个方程有实数根，所以，得，即的最大值为，则为实数时，的最小值是______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，将函数化为关于的一元二次方程，利用根的判别式求函数的最值是本题的关键．设，将化为关于的一元二次方程，若此方程有实数解，则根的判别式，从而得到关于的不等式，解此不等式即可求得原函数的最小值． 【详解】解：设， 将化为关于的一元二次方程． 关于的一元二次方程有实数解， ， 解得， ，的最小值是． 故答案为：． 【变式2-4】．（24-25八年级上·上海·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)当为何值时，此方程有实数根； (2)选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根． 【答案】(1)当时，此方程有实数根． (2)当时，，． 【知识点】公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系是解答此题的关键． （1）根据，确定k的取值范围； （2）从上题中求得的范围中找到一个喜欢的值代入后得到方程，求解即可． 【详解】（1）解：要使方程有实数根，必须， ． 即． 解得． 当时，此方程有实数根． （2）解：当时，（答案不唯一）． 原方程变为． 解得． 即∶，． 【变式2-5】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）阅读：已知，求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴是方程的根， ∴，即． 利用以上方法，求证：（m、n为非零实数） 【答案】见解析 【知识点】由一元二次方程的解求参数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式．当即时，验证原不等式成立；当时，通过构造一个一元二次方程，并证明是该方程的根，从而利用判别式非负的性质证明不等式成立． 【详解】证明：当即时， ，， 此时； 当时， ∵ ； ∴， ∴是方程的根， ∴ ， 即， ∴． 【题型03】一元二次方程的根与系数的关系 【典例3-1】．（25-26八年级上·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，再由进行求解，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，那么将，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴将，代入，得 原式， 故选：A． 【典例3-2】．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知方程有两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查解一元二次方程和韦达定理，掌握解一元二次方程的方法和韦达定理是解题关键． 本题所给一元二次方程较简单，可解出方程的根，再代入求解即可；也可通分所求式子，再用韦达定理求解即可． 【详解】解：法一：方程 因式分解，得 ， ∴ ，， ∴ ； 法二：由韦达定理，可得，， ∴， 故选：C． 【典例3-3】．（25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个解是，那么__________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、分母有理化 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分母有理化．根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积，代入求值即可． 【详解】解：方程的两根为， ∴，， ∴， 故答案为：． 【典例3-4】．（25-26八年级上·上海·期末）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________． 【答案】2020 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得的值，根据根与系数的关系可得的值，再把所求式子变形为，据此计算求解即可． 【详解】解：∵与是方程的两个不同的根， ∴，， ∴ ， 故答案为：2020． 【典例3-5】．（25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个根分别为，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）将所求代数式转化为含两根和与两根积的形式，再代入计算求解； （2）先求出的值，再开方即可． 【详解】（1）解：∵方程的两个根分别为，， ∴, ∴； （2）解：由（1）知, ∴， ∴ 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海·期末）如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 利用一元二次方程根与系数的关系直接计算根的和与积即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴选项C正确， 故选：C． 【变式3-2】．（25-26八年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，将根与系数的关系代入整理后的条件中得，解出的值，并验证判别式非负以确保实数根存在即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵ ， ， ∴， ， 解得． 当时，， 满足实数根条件， 故答案为：． 【变式3-3】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程___________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 【变式3-4】．（25-26八年级上·上海青浦·期末）关于的方程有两个实数根，请求下列各式的值： (1)填空：_____；_____； (2)； 【答案】(1)5； (2)8 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是 关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系代入求值即可； （2）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于x的方程有两个实数根， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵ ∴原式． 【变式3-5】．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据方程有两个根可得，再结合即可解决问题； （2）利用根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵， ∴的取值范围是且． （2）解：∵该方程有两个实数根分别为、， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，但，不符合题意舍去， ∴． 一、两大知识点综合解题步骤（通用模板） 1.化一般式：将方程整理为 ； 2.定前提：保证 ，需要用韦达定理时，必先算； 3.选工具：判断根的个数用判别式，求两根和、积及代数式值用韦达定理； 4.验结果：参数结果必须满足前提条件，舍去不符合的值。 二、核心解题口诀 判别式定根数，正负零值要分清； 韦达定理求和积，前提二根需实根； 参数范围双检验，a不为零、Delta非负。 一、单选题 1．若一元二次方程： 的两个根分别为、 ， 则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之积等于即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的两个根分别为、 ， ∴， 故选：． 2．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．据此解答即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴的值为． 故选：D． 3．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了本题主要考查了一元二次方程根的判别式与实数根的关系．根据方程有实数根，可得，代入数值求解即可． 【详解】解：当时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 即， 化简可得， 当时，一元二次方程变为一元一次方程， 解得， 即当时，方程有实数根， 综上可得，的取值范围是， 故选：． 4．已知关于x的一元二次方程，则该方程根的情况为（    ） A．无实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式以及偶次方的非负性，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 先计算根的判别式，得到，由，得到，故，因此该方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，根据题意得到，即可求出答案，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ ∴且 故选：B． 6．对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（    ）． A． B．1 C．任意实数 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根的判别式求参数，根据定义新运算的计算方法得到关于的一元二次方程，再根据方程有两个相等的实数根，即，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式得，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故选：A ． 二、填空题 7．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为_________． 【答案】 且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且． 故答案为：且． 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的运用，掌握其定义，判别式求根的情况是关键． 根据题意得到，，，由此即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得，且， 故答案为：且 ． 9．已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为4，两腰长恰好是这个方程的两实数根，则这个三角形的周长为_____________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，由腰长恰好是这个方程的两实数根得，求出k值，代入方程求出两根，最后求出周长即可． 【详解】解：∵两腰长恰好是这个方程的两实数根， ∴ ， 解得 ， 代入方程得 ， 解得 ， 即腰长为3， ∵， ∴符合三角形三边要求， ∴周长为 ， 故答案为：10． 10．若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为3，那么称这样的方程为“差3方程”．若方程是“差3方程”，则的值为___________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解“差3方程”的概念是解题关键． 设方程的两根分别为，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得，再结合“差3方程”以及完全平方公式可得关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设方程的两根分别为， ∴， ∴， ∵方程是“差3方程”， ∴， ∴， 解得：， 当时，原方程为， 此时，符合题意； 当时，原方程为， 此时，符合题意； 综上所述，m的值为2或． 故答案为：2或 11．方程根的判别式的值为________． 【答案】32 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式公式是解题的关键． 直接应用一元二次方程根的判别式公式计算即可． 【详解】解：方程， 根的判别式为：， 故答案为：． 12．若是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】2026 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，，再根据根与系数的关系得到，将代数式降次变形后，利用整体思想计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，． ∴ ． 13．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】7 【分析】根据，是方程的两个实数根，利用一元二次方程解的定义得到降次关系式，再利用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式逐步降次变形，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，且， 整理得，， 则 ． 14．已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______． 【答案】6 【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于或等于0，且，进而求得的值，得到，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，则， ∴，且， 解得，且， m取最大整数为0，此时原方程为， 即， ∴代数式． 15．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小刚看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，从小明的解可求出常数项，从小刚的解可求出一次项系数 【详解】解：小明看错了一次项系数，但解正确，故常数项正确， 由根与系数的关系，； 小刚看错了常数项，但解正确，故一次项系数正确， 由根与系数的关系，，即，解得． 因此正确的一元二次方程为． 故答案为：． 16．对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的_____ 【答案】①②④ 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，根据得到是原方程的一个根，进而得到，判断①；根据根的判别式判断②；把代入方程，判断③；公式法求方程的根，判断④． 【详解】解：当，则：是方程的一个根， ∴；故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∵， ∴，故方程必有两个不相等的实根；故②正确； 把代入，得：，当时，；故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴或， ∴或， ∴；故④正确； 故答案为：①②④ 17．对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是_____：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了新运算、一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是根据新运算规定的运算规律把等式转化为一般的一元二次方程，然后再利用一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：， ， 又， ， 即， 若该方程有两个相等的实数根，则， 由得：， 由得：或， ； 若该方程有两个不等负根，则， 解得：． 故答案为：，． 18．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程及“同伴方程”的定义，先求解方程的实数根，再分两种情况将相同根代入方程求出，同时验证另一个根是否不同，确保符合“同伴方程”的定义即可． 【详解】解：先解方程 因式分解得 则或 解得， 因为方程和为“同伴方程”，分两种情况讨论： ①当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． ②当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． 综上，的值为或． 三、解答题 19．已知关于x的方程：．求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握根与系数的关系、根的判别式等知识点是解决本题的关键．先计算根的判别式，再利用非负数的性质得结论． 【详解】证明：关于x的方程， 这里，，． ． ∵， ∴． ∴无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 20．关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论． 【答案】一定是一元二次方程；证明见解析． 【分析】根据一元二次方程的定义，只需要证明m2-8m+19=0无解即可得到答案. 【详解】解：∵方程m2-8m+19=0中，△=b2-4ac=64-19×4=64-79=-12＜0，方程无解． 故关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0一定是一元二次方程． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和利用一元二次方程的判别式确定方程根的情况，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 21．求证：对于任意实数，关于的方程总有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根情况，判断其根的情况，完全取决于的符号，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解： ． ， ． 对于任意实数，关于的方程总有两个不相等的实数根． 22．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据判别式大于0即可求出答案． （2）先求出的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ； （2）解：由（1）可知：， 此时方程为：， ， ，． 23．若是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握方程系数与根的关系式． （1）利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，得出 ，，再将进行变换即可． 【详解】（1）解：由一元二次方程根与系数的关系可得， ． （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得， ， ， ． 24．某文具店打算购进一批矩形便签纸，其长和宽（单位：）是关于的一元二次方程（为常数）的两个实数根，且长与宽均为正整数． (1)若该便签纸的形状刚好是正方形，求的值及此时便签纸的边长； (2)若该便签纸的长与宽的差为，求的值及此时便签纸的长与宽． 【答案】(1)的值为25，便签纸的边长为 (2)的值为24，便签纸的长为、宽为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根的判别式和根与系数关系等知识，熟练掌握根的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据判别式的值为0得到，解一元二次方程即可得到答案； （2）根据根与系数关系列方程进行解答即可． 【详解】（1）解：∵便签纸的形状刚好是正方形 ∴矩形的长和宽相等，即方程的两个实数根相等 ∴ 解得 此时方程为 解得 答：的值为25，此时便签纸的边长为． （2）解设便签纸的宽为，则长为， 由题意得：， 解得 ∴ 答：的值为24，此时便签纸的长为、宽为． 25．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)当时，该方程有两个不相等的实数根，当时，该方程有两个相等的实数根； (2)有，所有的值为：，， 【分析】（1）整理方程为一般形式，再利用根的判别式的值的情况讨论即可． （2）当时，可得， 求解，再进一步分析求解即可． 【详解】（1）解：， 方程化为一般式：， ∴， ∴当时，该方程有两个不相等的实数根， 当时，该方程有两个相等的实数根； （2）解：当时，，方程有两个不相等的实数根， ∵， 解得：， ∵这两个根都是不大于的正整数， ∴，， 解得． 又∵这两个根都是正整数， 为的倍数， 的值为，，． 26．阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先模仿题干过程，得出，再整理得，然后运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）由得出，因为关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，故，代入求出，最后把代入，解得； （3）依题意，，令，原方程化为，此时，无实数根，整理得，又因为，当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根，故，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， 令，原方程化为， ∴， 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， ∴原方程的解为或 （2）解：∵， ∴， ∵关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根， ∴， 解得， ∴ ∴ 解得， 依题意，把代入， 得， ∴， 解得； （3）解：依题意，， 令，原方程化为，此时， 即，无实数根， ∴ ， 又∵， 当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根， ∴， 则， ∴， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 一元二次方程判别式、根与系数关系 （知识详解+3典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：判别式的值与根的关系 知识点02：根与系数的关系的定理 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型02：根据一元二次方程根的情况求参数 题型03：一元二次方程的根与系数的关系 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】判别式的值与根的关系 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 【知识点02】根与系数的关系的定理 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 常用变形公式（高频考点） 无需死记，可由和、积推导，做题直接套用： 常见题型 已知方程一根，求另一根及参数； 不解方程，求关于两根的代数式的值； 已知两根关系（和、积、平方和、差的绝对值等），求参数； 根据根的正负、大小关系，结合韦达定理+判别式求参数范围。 【题型01】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例1-1】．（25-26八年级上·上海·期末）下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 【典例1-2】．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【典例1-3】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 【典例1-4】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知实数对满足，求的最大值． 【变式1-1】．（25-26八年级上·上海·期末）小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（    ） A．若，则方程一定有两个实数根； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程一定有两个实数根； D．若，则方程一定有两个实数根． 【变式1-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是___________． 【变式1-3】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为_______． 【变式1-4】．（23-24八年级上·上海·单元测试）若a、b、c互不相等，求证：方程无实数根． 【变式1-5】．（25-26八年级上·上海·期中）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以为许多问题提供解题思路： (1)正数m，n满足，求的值． (2)代数式是否存在最大或最小值，并求出最值的大小． (3)判断关于x的方程根的情况：． 【题型02】根据一元二次方程根的情况求参数 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【典例2-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 【典例2-4】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【典例2-5】．（25-26八年级上·上海·期中）（1） ，且 ，求 的值． （2）已知实数 满足 ，且 ，求 的最大值． 【变式2-1】．（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海·期末）如果关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是_________． 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读下列材料： 当为实数时，求的最大值．设，将其化为关于的一元二次方程，得．因为为实数，就是这个方程有实数根，所以，得，即的最大值为，则为实数时，的最小值是______． 【变式2-4】．（24-25八年级上·上海·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)当为何值时，此方程有实数根； (2)选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根． 【变式2-5】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）阅读：已知，求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴是方程的根， ∴，即． 利用以上方法，求证：（m、n为非零实数） 【题型03】一元二次方程的根与系数的关系 【典例3-1】．（25-26八年级上·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知方程有两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【典例3-3】．（25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个解是，那么__________． 【典例3-4】．（25-26八年级上·上海·期末）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________． 【典例3-5】．（25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个根分别为，， (1)求的值； (2)求的值． 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海·期末）如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（25-26八年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． 【变式3-3】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程___________． 【变式3-4】．（25-26八年级上·上海青浦·期末）关于的方程有两个实数根，请求下列各式的值： (1)填空：_____；_____； (2)； 【变式3-5】．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 一、两大知识点综合解题步骤（通用模板） 1.化一般式：将方程整理为 ； 2.定前提：保证 ，需要用韦达定理时，必先算； 3.选工具：判断根的个数用判别式，求两根和、积及代数式值用韦达定理； 4.验结果：参数结果必须满足前提条件，舍去不符合的值。 二、核心解题口诀 判别式定根数，正负零值要分清； 韦达定理求和积，前提二根需实根； 参数范围双检验，a不为零、Delta非负。 一、单选题 1．若一元二次方程： 的两个根分别为、 ， 则的值等于（    ） A． B． C． D． 2．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．已知关于x的一元二次方程，则该方程根的情况为（    ） A．无实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．无法判断 5．若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（    ） A． B．且 C．且 D． 6．对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（    ）． A． B．1 C．任意实数 D．3 二、填空题 7．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为_________． 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 9．已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为4，两腰长恰好是这个方程的两实数根，则这个三角形的周长为_____________． 10．若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为3，那么称这样的方程为“差3方程”．若方程是“差3方程”，则的值为___________． 11．方程根的判别式的值为________． 12．若是方程的两个实数根，则的值为__________． 13．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 14．已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______． 15．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小刚看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程为__________． 16．对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的_____ 17．对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是_____：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是_____． 18．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 三、解答题 19．已知关于x的方程：．求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 20．关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论． 21．求证：对于任意实数，关于的方程总有两个不相等的实数根． 22．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 23．若是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1) (2) 24．某文具店打算购进一批矩形便签纸，其长和宽（单位：）是关于的一元二次方程（为常数）的两个实数根，且长与宽均为正整数． (1)若该便签纸的形状刚好是正方形，求的值及此时便签纸的边长； (2)若该便签纸的长与宽的差为，求的值及此时便签纸的长与宽． 25．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 26．阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $