第13讲 一元二次方程的应用(二次三项式的因式分解与解可化为一元二次方程的分式方程)（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

第13讲 一元二次方程的应用(二次三项式的因式分解与解可化为一元二次方程的分式方程) 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 实数范围内分解因式 题型2 解分式方程（化为一元二次）（重点）（难点） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次三项式、求根公式法因式分解、判别式、实数范围因式分解、韦达定理推导、分式方程、去分母. 1．理解二次三项式因式分解与一元二次方程根的对应关系，掌握求根公式法分解二次三项式的方法，明确实数范围内可因式分解的判别式条件，能规范完成二次三项式在实数范围内的因式分解。 2．掌握二次三项式因式分解公式的推导过程，熟记＂令方程、判别式、求实根、分解式＂ 12 字口诀，能正确处理二次项系数不为 1、两根相等（重根）等特殊情况。 3．掌握可化为一元二次方程的分式方程的解题步骤，能准确找出最简公分母，通过去分母将分式方程转化为一元二次方程求解。 4．理解分式方程增根的含义，掌握验根的标准方法，能准确识别并舍去增根，规范完成分式方程的完整求解与检验流程。 学习重点：1.求根公式法在实数范围内分解二次三项式的方法与步骤。 2.可化为一元二次方程的分式方程的解法，去分母转化为整式方程的核心操作。 3.分式方程的验根方法，增根的识别与舍去规则。 学习难点：1.二次项系数不为1时，因式分解中系数a的保留，以及重根形式的分解书写。 2.分式方程去分母时的易错点，增根的产生原因与检验逻辑。 3.结合因式分解、分式方程性质的综合类题型求解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01二次三项式的因式分解 1．求根公式法因式分解：对于二次三项式 ，如果 ，可以用求根公式求出方程 的两个根 ，然后得到 ． 如果 ，那么二次三项式 在实数范围内就不能因式分解． 2． 的推导过程 设一元二次方程 的两个根是 ， 那么根据韦达定理可以知道： ， 即 ． 所以 . 当 时，分解式中的因数 不要漏写，当 时， ． 求根公式法分解二次三项式的 12 字口决 令方程 判别式 求实根 分解式 下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即．若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 在实数范围因式分解： _________________ 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，先提取公因式，再将利用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： 故答案为：． 知识点02解可化为一元二次方程的分式方程 解可化为一元二次方程的分式方程的一般步骤： （1）去分母，方程两边同乘最简分母，把分式方程转化为整式方程． （2）解这个整式方程． （3）检验。将整式方程的解代入原方程，若等式成立，则整式方程的解是原分式方程的解；若代入原方程，分母无意义，则为增根，应舍去． 方程的解是________． 【答案】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得根，舍去使分母为零的增根，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 解整式方程得或， 检验：当时，，分式无意义，因此是增根，舍去； 当时，，因此是原方程的解． 方程的根是___________． 【答案】和 【分析】本题考查分式方程的解法，关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分母不为零． 【详解】解：方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并同类项得， 因式分解得，解得或； 检验：当时，，当时，， 故原方程的根为和． 故答案为：和． 题型1 实数范围内分解因式 【例1】下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 【例2】在实数范围内分解因式：___________________． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 【技巧归纳】 判断二次式能否分解，可转化为判断对应一元二次方程判别式 的符号． 可分解， 不能分解． 二次三项式分解步骤：先求方程 的两根，再写成 形式． 易措点：易漏乘二次项系数 ，混淆有理数与实数范围的分解标准． 【变式1-1】将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查在实数范围内利用平方差公式进行因式分解，先将常数项转化为实数的平方形式，再进一步求解即可． 【详解】解： 故选：B． 【变式1-2】在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】实数范围内的因式分解，需分解彻底，且结果中根式要化为最简，利用提取公因式结合平方差公式分解即可． 【详解】解： A．未彻底分解，不合题意； B．二次根式未化简，不合题意； C．因式分解正确，符合题意； D．括号内符号错误，不合题意． 【变式1-3】在实数范围内因式分解：_______． 【答案】 【详解】本题考查因式分解．先提公因式，再利用平方差公式完成分解． 【点睛】解： 故答案为：． 【变式1-4】将在实数范围内分解因式___________． 【答案】 【分析】本题考查求根公式法分解因式．把某些二次三项式分解因式，先求出方程的两个根，再根据即可因式分解． 【详解】解：方程的两个根为：，， ， 故答案为：． 题型2 解分式方程（化为一元二次） 【例3】将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分式方程两边同乘最简公分母去掉分母，再整理得到标准整式方程即可． 【详解】∵原方程为，且， 方程两边同乘最简公分母，得：， 移项整理得：． 【例4】解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，一元二次方程的概念，熟悉解分式方程的步骤是关键；将分式方程的分母因式分解，找到公分母，去分母后整理成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：方程化为． 两边同乘公分母，得． 整理得：． 故答案为：． 【技巧归纳】 先因式分解各分母，确定最简公分母，方程两边同乘公分母去分母，整理为 的一般形式。 易错点：去分母时常数项易漏乘公分母；解得整式方程的根后必须验根，舍去使原分母为零的增根。运算中注意符号与去括号的准确性。 【变式2-1】解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 【变式2-2】关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题．将分式方程转化为整式方程，利用增根的定义，将增根代入整式方程求解参数即可． 【详解】解：原方程两边同乘以公分母，得： 展开并整理： 两边化简得： ∵原方程的增根为 ∴ 解得：， 故选：B． 【变式2-3】方程的根是______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的求解，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此题的关键，需先确定分母不为零，再通过分子相等求解，并排除增根即可． 【详解】解：由方程 ，分母 ，即 ， 两边同乘 ，得 ， 解得 或 ． 检验： 使分母为零，为增根，舍去； 满足条件， 故方程根为 ， 故答案为： ． 【变式2-4】将方程去分母后，所得的整式方程的一般式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，首先将分母因式分解，然后确定最小公倍数，两边同乘去分母，再展开和整理得到整式方程的一般式． 【详解】解：， 方程可化为， 去分母，得， 整理，得， 故答案为：． 【变式2-5】方程的根是___________． 【答案】 【分析】本题考查可以转化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，并要验根．方程两边分母相同，均为，需满足分母不为零，即．通过消去分母求解，并检验增根． 【详解】解：原方程为 ， 两边同乘，得． 两边同除以3，得， 解得 或 ． 检验：当时，分母 ，无意义，为增根； 当时，分母，代入原方程成立． 故答案为：． 1．在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 2．分式方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，换元法解方程；通过换元法，将原方程中的分式用表示，然后去分母转化为关于的整式方程． 【详解】解：设，则原方程中， 而， 因此原方程化为．两边同乘， 得， 整理得． 故答案为：． 3．在实数范围内分解因式：_____． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解即可． 本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．方程的根是___________． 【答案】和 【分析】本题考查分式方程的解法，关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分母不为零． 【详解】解：方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并同类项得， 因式分解得，解得或； 检验：当时，，当时，， 故原方程的根为和． 故答案为：和． 5．实数范围内分解因式________________；________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，对于第一空直接利用平方差公式分解因式，对于第二空先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； ； 故答案为：；． 6．方程的解是________． 【答案】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得根，舍去使分母为零的增根，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 解整式方程得或， 检验：当时，，分式无意义，因此是增根，舍去； 当时，，因此是原方程的解． 7．解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，首先将分式方程中的分母因式分解，然后找到公分母合并分式，接着利用等式的性质去分母，得到整式方程，最后整理成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， 去分母得： 移项、合并得：， 故答案为：． 8．解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 或， 解得或， 检验，当时，，则是原分式方程的解， 当时，，则是原分式方程的增根， 所以，原分式方程的解为． 9．在实数范围内分解因式． 【答案】 【分析】此题考查了实数范围内分解因式．先利用十字相乘法分解，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 10．解方程：． 【答案】 【详解】解：原方程可化为 方程两边同乘最简公分母，得 展开整理得 因式分解得 解得， 检验：当时，，原分式方程分母为0，无意义，因此是增根，舍去 当时， 因此原方程的解为 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 一元二次方程的应用(二次三项式的因式分解与解可化为一元二次方程的分式方程) 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 实数范围内分解因式 题型2 解分式方程（化为一元二次） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次三项式、求根公式法因式分解、判别式、实数范围因式分解、韦达定理推导、分式方程、去分母. 1．理解二次三项式因式分解与一元二次方程根的对应关系，掌握求根公式法分解二次三项式的方法，明确实数范围内可因式分解的判别式条件，能规范完成二次三项式在实数范围内的因式分解。 2．掌握二次三项式因式分解公式的推导过程，熟记＂令方程、判别式、求实根、分解式＂ 12 字口诀，能正确处理二次项系数不为 1、两根相等（重根）等特殊情况。 3．掌握可化为一元二次方程的分式方程的解题步骤，能准确找出最简公分母，通过去分母将分式方程转化为一元二次方程求解。 4．理解分式方程增根的含义，掌握验根的标准方法，能准确识别并舍去增根，规范完成分式方程的完整求解与检验流程。 学习重点：1.求根公式法在实数范围内分解二次三项式的方法与步骤。 2.可化为一元二次方程的分式方程的解法，去分母转化为整式方程的核心操作。 3.分式方程的验根方法，增根的识别与舍去规则。 学习难点：1.二次项系数不为1时，因式分解中系数a的保留，以及重根形式的分解书写。 2.分式方程去分母时的易错点，增根的产生原因与检验逻辑。 3.结合因式分解、分式方程性质的综合类题型求解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01二次三项式的因式分解 1．求根公式法因式分解：对于二次三项式 ，如果 ，可以用求根公式求出方程 的两个根 ，然后得到 ． 如果 ，那么二次三项式 在实数范围内就不能因式分解． 2． 的推导过程 设一元二次方程 的两个根是 ， 那么根据韦达定理可以知道： ， 即 ． 所以 . 当 时，分解式中的因数 不要漏写，当 时， ． 求根公式法分解二次三项式的 12 字口决 令方程 判别式 求实根 分解式 下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 在实数范围因式分解： _________________ 知识点02解可化为一元二次方程的分式方程 解可化为一元二次方程的分式方程的一般步骤： （1）去分母，方程两边同乘最简分母，把分式方程转化为整式方程． （2）解这个整式方程． （3）检验。将整式方程的解代入原方程，若等式成立，则整式方程的解是原分式方程的解；若代入原方程，分母无意义，则为增根，应舍去． 方程的解是________． 方程的根是___________． 题型1 实数范围内分解因式 【例1】下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【例2】在实数范围内分解因式：___________________． 【技巧归纳】 判断二次式能否分解，可转化为判断对应一元二次方程判别式 的符号． 可分解， 不能分解． 二次三项式分解步骤：先求方程 的两根，再写成 形式． 易措点：易漏乘二次项系数 ，混淆有理数与实数范围的分解标准． 【变式1-1】将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在实数范围内因式分解：_______． 【变式1-4】将在实数范围内分解因式___________． 题型2 解分式方程（化为一元二次） 【例3】将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4】解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 【技巧归纳】 先因式分解各分母，确定最简公分母，方程两边同乘公分母去分母，整理为 的一般形式。 易错点：去分母时常数项易漏乘公分母；解得整式方程的根后必须验根，舍去使原分母为零的增根。运算中注意符号与去括号的准确性。 【变式2-1】解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式2-3】方程的根是______． 【变式2-4】将方程去分母后，所得的整式方程的一般式是_____． 【变式2-5】方程的根是___________． 1．在实数范围内分解因式：______． 2．分式方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为___________． 3．在实数范围内分解因式：_____． 4．方程的根是___________． 5．实数范围内分解因式________________；________________． 6．方程的解是________． 7．解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 8．解分式方程：． 9．在实数范围内分解因式． 10．解方程：． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $