1.2集合间的基本关系讲义（知识点+4题型+随堂演练）-2025-2026学年新高一数学人教A版暑假自学

1.2 集合间的基本关系 模块一 筑·知能要点 一、子集 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，即A⊆B，且B⊆A⇔A=B. 二、真子集 1.真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 性质 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅A； (3)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 集合包含关系的判断 1．下列写法中正确的是（   ） A． B．0 C． D． 2．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 5．判断下列关系是否正确： (1)； (2) (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 二、题型二 子集与子集个数的求解 6．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 7．集合的非空子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 9．已知集合满足，则不同的集合的个数为______． 10．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 三、题型三 集合相等 11．下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 12．下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 13．已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 14．已知集合，则______ 15．已知，，若集合，则的值为_____． 四、题型四 已知包含关系求参数 16．已知集合，，且，则实数a可能的取值是（   ） A． B．0 C． D．2 17．已知集合，，，则_____. 18．已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 19．已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 20．已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 模块三 巩·随堂演练 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，则与集合的关系为（    ） A． B． C． D． 3．满足的集合A的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 4．已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 6．已知集合，非空集合，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 8．若集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．集合，则下列关系错误的是（     ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．设为实数，，若与相等，则_____． 13．已知集合，，且，则实数的取值范围是______． 四、解答题 14．指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 15．已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 16．已知集合，，若，求实数的取值范围． 17．已知集合，且，且.求实数k的取值范围. 18．已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 19．已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的基本关系 模块一 筑·知能要点 一、子集 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，即A⊆B，且B⊆A⇔A=B. 二、真子集 1.真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 性质 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅A； (3)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 集合包含关系的判断 1．下列写法中正确的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据元素和集合的关系，集合间的关系逐一判断即可. 【详解】根据集合和集合的关系用包含表示，故，， 空集没有元素，故，综上只有C正确. 故选：C 2．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系即可判断. 【详解】由元素与集合的关系可知，故A，B错误，C正确； 由集合与集合的关系可知，故D错误. 故选：C 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合A，B中元素的特征可判断各选项. 【详解】由题意知，集合， 因为，所以C、D不正确； “”用于表示元素与集合之间的关系，故B不正确 所以． 故选：A. 4．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 5．判断下列关系是否正确： (1)； (2) (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 【答案】(1)正确 (2)正确 (3)正确 (4)正确 (5)错误 (6)错误 (7)正确 (8)正确 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐一判断即可. 【详解】（1）任何一个集合是它本身的子集，所以，故正确. （2）元素相同的两个集合为相等集合，故正确． （3）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （4）中只有一个元素0，，故正确． （5）与是两个集合，不能用“”连接，故错误． （6）中没有任何元素，而中有一个元素，二者不相等，故错误． （7）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （8），⫋，故正确． 二、题型二 子集与子集个数的求解 6．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 7．集合的非空子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】由题可得为4的倍数且满足，据此可得答案. 【详解】由题可得，因为，所以为4的倍数且满足，故，此时对应的，满足题意，故，非空子集为，共7个. 故选：B 8．已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 【答案】D 【分析】利用列举法求出集合，再利用包含、真包含关系求出集合的个数. 【详解】集合， 则，当集合中不含其他元素时，； 当集合中含有其他元素时，集合中除元素1，2外，还含有3或4或5或6或7，但不能同时全部含有， 集合的个数即为集合的真子集的个数，即． 故选：D 9．已知集合满足，则不同的集合的个数为______． 【答案】4 【分析】根据集合的包含关系列举出集合，即可得解. 【详解】由题知中必然含有元素，1，可能含有元素，2， 所以可能为，共4个． 故答案为：4 10．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 三、题型三 集合相等 11．下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 12．下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同. 【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确； B选项，均为点集，但包含的元素不同，则两集合不同，故B正确； C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确； D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误. 故选：ABC 13．已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用集合相等列出方程组，结合集合的互异性求解. 【详解】集合，由， 得，解得，此时集合中与矛盾； 或，解得，此时，符合题意， 所以. 故选：D 14．已知集合，则______ 【答案】 【分析】根据集合中元素的互异性和集合相等求解. 【详解】由可知，，解得或. 又根据集合中元素的互异性，可知，故. 故答案为：. 15．已知，，若集合，则的值为_____． 【答案】 【分析】由两集合相等及分式的分母不为0可求出n，再利用集合相等和互异性求m，代入计算即可. 【详解】因为，，所以，故，所以解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故答案为： 四、题型四 已知包含关系求参数 16．已知集合，，且，则实数a可能的取值是（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】AB 【分析】化简集合，然后根据结合集合的包含关系列出关系式，进而求出参数的值. 【详解】因为方程的解集为，所以. 由于， 所以或或或 当时，方程无解， 即：，解得：； 当时，得：，解得：； 当时，得：，此时无解； 当时，得：，此时无解. 综上所述可得：的取值范围是. 故选：AB 17．已知集合，，，则_____. 【答案】或0或 【分析】求解方程，讨论集合，计算. 【详解】由得到或；为的子集， 当，则； 当，则或，得到或； 综上，或或. 18．已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 19．已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 20．已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3)答案见解析 【分析】（1）根据，代入中方程求解即可； （2）分与两种情况讨论，根据包含关系求参数的解； （3）结合，及解得个数，分类讨论求解. 【详解】（1）时，， 由可得，解得. （2）当时，方程至少有一解. 当时，为空集，要使，则也为空集，即方程无解， 则，与矛盾，舍去； 当时，，若，则方程有且仅有一解为， 则，且，整理得方程， 解得，故，. （3）当时，为空集，必有； 当时，，若，若方程有且仅有一解为， 由上知，则，. 若方程有两解，则且， 解得且，且. 综上，当时，可以为任意实数；当时，. 模块三 巩·随堂演练 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助集合间基本关系判断即可得. 【详解】因为，所以． 2．已知集合，则与集合的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出集合后即可得. 【详解】，故. 故选：B. 3．满足的集合A的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据已知条件可知集合A中必有1，2，集合A还可以有元素3，4，5且不能都含有，写出集合A的所有情况即可求解． 【详解】因为集合A满足⫋， 则集合A中必有1，2，集合A还可以有元素3，4，5且不能都含有， 满足条件的集合有，，，，，，，共7个． 故选：B． 4．已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定集合，再进行选项判断. 【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 5．下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 6．已知集合，非空集合，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合间的包含关系，列出不等式，求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得， 故选：D. 7．已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【详解】由， 又，， 而为偶数，和为整数，所以⫋. 故选：B. 8．若集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，根据题意，分和，两种情况讨论，求得集合，结合，即可求解. 【详解】由集合， 当时,即为，显然不成立，即，则满足； 当时，， 要使得，可得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由集合的概念与关系逐一判断 【详解】对于选项A，两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，A正确； 对于选项B，空集是任意集合的子集，故，B正确； 对于选项C，两个集合所研究的对象不同，故，为不同集合，C错误； 对于选项D，元素与集合之间只有属于、不属于关系，故D错误． 故选AB． 10．集合，则下列关系错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先将集合M，N进行化简，然后根据元素的关系判断集合的关系． 【详解】 时，表示所有奇数，表示所有整数， 所以且，所以CD正确. 故选：AB 11．下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，由集合间的关系以及集合的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为是无理数，为有理数集，故A错误； 若，则必有，故B正确； 若，则有，故C正确； 如果有一个元素既属于集合又属于集合，则这个元素一定属于，故D正确； 故选：BCD 三、填空题 12．设为实数，，若与相等，则_____． 【答案】0 【分析】根据集合相等结合互异性求解即可. 【详解】集合中的元素必须满足互异性，且两集合相等，所以，且，故． 故答案为：0. 13．已知集合，，且，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，求得，分，，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由方程，解得或，可得集合， 若，则满足，解得，此时满足； 若，当，即时，，满足，符合题意； 当，即时，中有两个元素，，则满足无解， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 14．指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)A与B之间无包含关系． (2)． (3)． 【分析】（1）利用集合的元素类型判断集合的包含关系. （2）利用不等式解集判断集合的包含关系. （3）利用列举法判断集合的包含关系. 【详解】（1）集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，所以A与B之间无包含关系. （2）集合，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图知. （3）由列举法，，，所以． 15．已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【详解】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 16．已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】对进行分类讨论，根据列不等式来求得的取值范围. 【详解】①当时，恒成立，此时，满足； ②当时，此时，若，则，解得； ③当时，此时，若，则，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 17．已知集合，且，且.求实数k的取值范围. 【答案】 【分析】分类讨论与两种情况，利用集合包含关系得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为， 当，即时，，满足条件； 当，即时， 有，解得，此时； 综上所述，实数的取值范围为，故的范围为. 18．已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 19．已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【分析】根据集合的包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1）即的范围小于的范围. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图1得， ①②等号不同时成立，解得.    综上所述，的取值范围为或. （2）BA即的范围小于的范围. 要使BA，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足BA； 当，即时，要使BA，由图2得或， 解得.又因为，所以.    综上所述，的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $