第03讲 空间向量的坐标及坐标系讲义(知识点+6题型+巩固练习)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第03讲 空间向量的坐标及坐标系 思 维 导 图 教 学 目 标 1.理解空间直角坐标系的概念，掌握空间中点的坐标表示方法，能根据点的位置写出坐标，或由坐标确定点的位置。 2.掌握空间向量的坐标表示，明确空间向量的坐标与起点、终点坐标的关系，能进行空间向量的坐标运算（加法、减法、数乘、数量积）。会根据空间向量的坐标判断向量的共线与垂直关系，能利用坐标求空间向量的模和夹角。 3.通过将空间向量与空间直角坐标系结合，经历从几何直观到代数表示的转化过程，培养空间想象能力和数形结合能力。在运用坐标解决空间向量问题的过程中，体会代数方法处理几何问题的优越性，提升分析和解决问题的能力，感悟转化与化归的数学思想。 4.感受空间向量坐标表示的严谨性和简洁性，激发对数学知识内在联系的探究兴趣。在学习过程中，培养严谨的思维习惯和运用数学知识解决实际问题的意识，增强学好数学的信心。 知识点梳理 知识点1.空间向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p=(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 知识点2.空间向量的运算与坐标的关系 空间向量a，b，其坐标形式为a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) 减法 a-b a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2) 数乘 λa λa=(λx1，λy1，λz1) 数量积 a·b a·b=x1x2+y1y2+z1z2 特别地，（1）如果μ，v是两个实数，那么μa+vb=(μx1+vx2，μy1+vy2，μz1+vz2). （2）|a|=. （3）cos<a，b>=(a≠0，b≠0). 知识点3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则有a∥b⇔(其中x1y1z1≠0)； a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0. 知识点4.空间直角坐标系 （1）正交基底和单位正交基底 正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底 单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示 推论: 设 O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得++. （2）为了确定空间点的位置，在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都垂直，这样它们中的任意两条都互相垂直. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy，yOz，zOx叫做坐标平面，三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限，如图所示. （3）右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 知识点5.空间直角坐标系中两点之间距离公式及中点坐标 （1）设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则 =(x1，y1，z1)，=(x2，y2，z2)，所以=(x2，y2，z2)-(x1，y1，z1)=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)， AB=||=. 设线段AB的中点为M(x，y，z)，则=(x，y，z)， )=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) =，所以点M的坐标为. （2）空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴（x轴）的对称点是； 点关于纵轴（y轴）的对称点是； 点关于竖轴（z轴）的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是． 知识点6.空间向量的坐标运算 1.空间向量的坐标运算 （1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则 ①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2） ②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2） ③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R). ④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)； ⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； ⑥|a|＝＝； ⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝． (2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则=-=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的 坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 2.空间向量平行、垂直的坐标表示 （1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//bb=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R). (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 3.空间向量坐标的应用 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝． (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝． 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②． ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）． 1.空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直． 2.关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. （2）由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标.. 3．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性． 4．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标． 5．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤： 6．空间中三点共线的充要条件： 三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件是＝＝． 简证：三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件为＝λ，即向量与向量共线，其坐标对应成比例，从而有＝＝． 7.解决空间向量垂直、平行问题的思路 (1)当有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a＝(x，y，z)． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解． (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的． 8.解决空间向量夹角、距离问题的思路 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写出点的坐标.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题. 提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便. 题 型 归 纳 题型01：空间向量的坐标表示 1、在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，3）关于yOz平面对称的点的坐标是( ) A．（2，1，3） B．（﹣2，﹣1，3） C．（2，1，﹣3） D．（2，﹣1，﹣3） 2、已知空间直角坐标系中，1，、，点C满足，则C的坐标为 A． B． C． D． 3、若△顶点，且，，则点C坐标是___________. 4、已知点，，，则点的坐标为______． 5、已知点，，若点为线段AB上靠近的三等分点，则点的坐标为_______. 6.已知点A(3，3，-5)，B(2，-3，1)，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为( ) A． B． C． D． 7.在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A． B． C． D． 8.如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 9.如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标． 10.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（ ） A． B． C． D． 11.在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 12．已知i，j，k是空间的标准正交基底，且=-i+j-k，则的坐标为 A．(-1，1，-1) B．(-i，j，-k) C．(1，-1，-1) D．不确定 13．已知向量是空间向量的一组基底，向量，，是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，，，则向量在基底，，下的坐标为（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．设是空间中的一个单位正交基底，已知向量，其中，，，则向量在基底下的坐标是（       ） A． B． C． D． 15．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于 A． B． C． D． 16、三棱柱中，侧面是边长为2的菱形， 交于点侧面，且 为等腰直角三角形．若建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为 A． B． C． D． 17、在空间直角坐标系中，已知，，．过作平面于点，则点的坐标为___________． 18.已知四点共面，则 . 19.如图所示，正四面体的棱长为1，是的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为 ，的坐标为 ． 20、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____，的坐标为____，的坐标为_______． 21.若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为______． 22.三棱锥中，为直角，平面，，为的中点，为中点，以为基底，则的坐标为__________． 23.定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知向量是空间中的一个单位正交基底，向量是空间中的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为___________. 24.如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标． 25.已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    26.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 27、已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，先建立空间直角坐标系. （1）求各顶点的坐标； （2）若点D在线段PC上靠近点P的三等分点，求点D的坐标. 28、如图，分别是，的直径，与两圆所在的平面均垂直，是的直径，，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标. 题型02：空间点的对称问题 1、在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 2、在空间直角坐标系中，点与点关于坐标原点对称，则______． 3、空间直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点为N，则点N的坐标为（ ） A． B． C． D． 4、在空间直角坐标系中，若点关于轴的一个对称点的坐标为，则的值( ) A．等于 B．等于 C．等于 D．不确定 5、已知，则点关于平面的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 6、在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 7、点P’与P关于平画xOy对称，点P’’与P’关于Z轴对称，则点P’’与P关于（ ）对称 A．x轴 B．平面yOz C．原点O D．不是以上答案 8、若点关于平面的对称点为，点关于平面的对称点为，则点关于平面的对称点的坐标为． A． B． C． D． 题型03：空间向量的坐标运算 一 加减数乘与数量积 1.已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2.若向量、的坐标满足，，则等于（    ） A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7 3．已知，，则等于（       ） A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23 4．已知，且，则的值是（       ） A．5 B．6 C．3 D．4 5.已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．定义．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知正方体的棱长为1，为的中点，点在平面内.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为 . 8.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），分别为的中点，则__________；若，过点的直线分别交直线于两点，设（其中均为正数），则的最小值为__________. 9.已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ． 二．空间向量模长问题 1．已知，则（       ） A．2 B． C． D．4 2．在空间直角坐标系中，已知，，则的模为（       ） A．1 B． C． D．3 3．若向量，，则（       ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则在的方向上的数量投影为（       ） A． B． C． D． 5．若向量则（       ） A． B．3 C． D． 6．已知，，则的最小值是（       ） A．1 B． C． D． 7.棱长为1的正方体，以正方体的顶点为始点和终点的向量中，模长等于的向量有__________个，模长等于的向量有__________个． 8.在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 9.如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面平面，M为底面内一动点．当时，M点在底面内的轨迹长度为_____． 10.已知向量，，向量同时满足下列三个条件：①；②；③. (1)求的模； (2)求向量的坐标. 三．空间向量数量积 1.若，，，则（    ） A．-11 B．3 C．4 D．15 2.在中，． (1)求顶点的坐标； (2)求． 3.已知，，求，，，，． 4.已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 5.已知正六棱柱的底面边长为，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是 . 6.如图，长方体中，，，点P为线段上一点，则的最小值为 ．    四．空间向量夹角问题 1．已知，，则（       ） A． B． C． D． 2．已知，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 3．已知，，O是坐标原点，与的夹角为，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知，，O为原点，则与的夹角是（       ） A．0 B．π C． D． 5．若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（       ） A．0 B．－ C．0或－ D．0或 6.已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7.已知，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8.若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为 . 9.已知空间中的三点，，. (1)求的面积； (2)当与的夹角为钝角时，求k的范围． 10.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，． (1)求； (2)求． 11.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点． (1)求的距离； (2)求的值． 12.人大附中举办了“阳春德泽·欧以咏志”春日合唱比赛大获成功．数学组想举办“响亮（谐音向量）学生音乐节”独唱比：想在独唱比赛取得好的成绩取决于三个要素：情感投入，唱歌技巧和舞台效果（单位：分）．每个参赛同学各有优势．最多只能分配10分到三个不同的要素中．根据经验，数学组老师约定三个要素为时会达到最佳效果．计分方式是计算参赛同学的三维要素向量与的夹角余弦值，公式是，该值越大得分越高．根据此规则，你认为下列四位参赛同学得分最高的是（    ） 同学 情感投入 唱歌技巧 每台效果 A 6 3 1 B 1 4 4 C 2 3 4 D 2 4 3 A．同学A B．同学B C．同学C D．同学D 13.在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（    ） A． B．2 C． D．3 五．投影向量问题 1.已知向量，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 2.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 3.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4.已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 5.已知向量满足，且，则_________，在上的投影向量的坐标为______________． 6.已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立空间直角坐标系，如图所示.    (1)写出正方体各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标. 7.已知，，，若，则在上的投影向量可以是 ．（只需写出一个符合题意的答案） 题型04：空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 一．空间向量平行问题 1．已知向量,1,，则与共线的单位向量（    ） A．,, B．,1, C．,, D．,1, 2.已知向量，，且，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 3.已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 4．已知空间三点，，，设，，，且，则___________. 5.已知空间三点，，，设，． (1)设，，求； (2)求与的夹角； (3)若与互相垂直，求k． 6.已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 7.已知空间向量，若，则实数 . 8.已知向量，，若，则 . 9.已知向量，，若，则 . 10.已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为 . 11.已知向量，若，则（　　） A． B． C． D． 12.在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形为平行四边形，则 . 二．空间向量垂直问题 1．已知向量，若，则实数x的值为（       ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．已知向量，，且与互相垂直，则（       ） A． B． C． D． 3．【多选】已知向量，，若，则（    ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 4.已知，单位向量满足，则 ． 5.已知，若向量，，，则 . 6.已知点，，，且为直角，则的值为 . 7.已知空间三点，，，若直线上一点，满足，则点的坐标为 ． 8.如图，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD两两垂直，且，若线段DE上存在点P，使得，则边CG长度的可能值为（    ） A．2 B． C．4 D． 9.已知正方体的棱长为，（），现有如下四个命题： ①，都有； ②，都存在使得； ③，使得； ④的最小值为． 其中所有真命题的序号是______． 10.已知向量． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (3)若向量与向量共面向量，求的值． 11．已知，，点，． (1)求的值． (2)在线段AB上，是否存在一点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点） 12．已知． (1)求； (2)已知点在直线上，求的值； (3)当为何值时，与垂直？ 三．锐角钝角问题 1.若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知，若夹角为钝角，则实数的取值范围是________． 题型05：空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 1.已知，，若点共线，则（    ） A． B． C． D． 2.设空间向量则（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 3.已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4.如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 5.设空间向量，，若，则 ． 6.设，向量，，，且，，则 . 7.设正四面体ABCD的棱长为1，点M、N满足，，则 . 8.已知，若，，那么的最小值为 ． 9.三个顶点的坐标分别为，则的形状为（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．正三角形 D．直角三角形 10.如图，在长方体中，当，，点在棱上，且，则当的面积最小时，棱的长为 ．      11、已知点，，则两点间的距离为（ ） A． B． C． D． 12.已知点､，则的最小值为（ ） A．3 B．1 C． D． 13.已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 14.在空间直角坐标系中，已知点和点，若点在轴上且到、两点的距离相等，则点的坐标为______． 15、已知空间直角坐标系中点，若在轴上取一点，使得最小，则点的坐标为____. 16、在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为 ） A． B． C． D． 17.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为____.  题型06：含参取值（范围）最值问题 1.在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，四棱锥的外接球的表面积是 C．的最小值为 D．存在唯一的实数对，使得平面PDF 2.在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝1，，点M，N分别为PB，AC中点，W是线段PA上的动点，则（    ） A．平面平面ABC B．面积的最小值为 C．平面WMN截该三棱锥所得截面不可能是菱形 D．若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为 3.如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在正方体的体对角线上，点在正方体的棱上．当点为体对角线的中点，点在棱上运动时，求的最小值． 4.如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为_________． 5.已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是_________． 6.在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近的三等分点，在平面上，且满足，在的边界上运动，则直线与所成角的余弦值的取值范围是___________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间向量的坐标及坐标系 思 维 导 图 教 学 目 标 1.理解空间直角坐标系的概念，掌握空间中点的坐标表示方法，能根据点的位置写出坐标，或由坐标确定点的位置。 2.掌握空间向量的坐标表示，明确空间向量的坐标与起点、终点坐标的关系，能进行空间向量的坐标运算（加法、减法、数乘、数量积）。会根据空间向量的坐标判断向量的共线与垂直关系，能利用坐标求空间向量的模和夹角。 3.通过将空间向量与空间直角坐标系结合，经历从几何直观到代数表示的转化过程，培养空间想象能力和数形结合能力。在运用坐标解决空间向量问题的过程中，体会代数方法处理几何问题的优越性，提升分析和解决问题的能力，感悟转化与化归的数学思想。 4.感受空间向量坐标表示的严谨性和简洁性，激发对数学知识内在联系的探究兴趣。在学习过程中，培养严谨的思维习惯和运用数学知识解决实际问题的意识，增强学好数学的信心。 知识点梳理 知识点1.空间向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p=(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 知识点2.空间向量的运算与坐标的关系 空间向量a，b，其坐标形式为a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) 减法 a-b a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2) 数乘 λa λa=(λx1，λy1，λz1) 数量积 a·b a·b=x1x2+y1y2+z1z2 特别地，（1）如果μ，v是两个实数，那么μa+vb=(μx1+vx2，μy1+vy2，μz1+vz2). （2）|a|=. （3）cos<a，b>=(a≠0，b≠0). 知识点3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则有a∥b⇔(其中x1y1z1≠0)； a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0. 知识点4.空间直角坐标系 （1）正交基底和单位正交基底 正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底 单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示 推论: 设 O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得++. （2）为了确定空间点的位置，在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都垂直，这样它们中的任意两条都互相垂直. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy，yOz，zOx叫做坐标平面，三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限，如图所示. （3）右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 知识点5.空间直角坐标系中两点之间距离公式及中点坐标 （1）设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则 =(x1，y1，z1)，=(x2，y2，z2)，所以=(x2，y2，z2)-(x1，y1，z1)=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)， AB=||=. 设线段AB的中点为M(x，y，z)，则=(x，y，z)， )=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) =，所以点M的坐标为. （2）空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴（x轴）的对称点是； 点关于纵轴（y轴）的对称点是； 点关于竖轴（z轴）的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是． 知识点6.空间向量的坐标运算 1.空间向量的坐标运算 （1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则 ①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2） ②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2） ③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R). ④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)； ⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； ⑥|a|＝＝； ⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝． (2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则=-=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的 坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 2.空间向量平行、垂直的坐标表示 （1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//bb=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R). (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 3.空间向量坐标的应用 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝． (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝． 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②． ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）． 1.空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直． 2.关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. （2）由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标.. 3．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性． 4．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标． 5．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤： 6．空间中三点共线的充要条件： 三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件是＝＝． 简证：三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件为＝λ，即向量与向量共线，其坐标对应成比例，从而有＝＝． 7.解决空间向量垂直、平行问题的思路 (1)当有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a＝(x，y，z)． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解． (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的． 8.解决空间向量夹角、距离问题的思路 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写出点的坐标.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题. 提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便. 题 型 归 纳 题型01：空间向量的坐标表示 1、在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，3）关于yOz平面对称的点的坐标是( ) A．（2，1，3） B．（﹣2，﹣1，3） C．（2，1，﹣3） D．（2，﹣1，﹣3） 【答案】B 【解析】在空间直角坐标系O﹣xyz中， 点关于yOz平面对称的点的坐标是.故选：B. 2、已知空间直角坐标系中，1，、，点C满足，则C的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，故， 根据得，解得，故，所以选A. 3、若△顶点，且，，则点C坐标是___________. 【答案】 【解析】由，，可得：， 又，同理可得：. 4、已知点，，，则点的坐标为______． 【答案】## 【解析】点，，则 设点，则 由，则 ，即， 所以点的坐标为 5、已知点，，若点为线段AB上靠近的三等分点，则点的坐标为_______. 【答案】 【解析】由题设，，而，令，则， ∴，可得，即. 7.已知点A(3，3，-5)，B(2，-3，1)，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设C的坐标是 ∵A(3，3，-5)，B(2，-3，1)， ∴ ∵， ∴ 由此解得，故选C. 8.在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据向量的坐标表示求出坐标，进而确定E，F坐标，最后求的坐标即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：D 9.如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出向量坐标，逐项判断可得答案. 【详解】在空间直角坐标系中，，，， ，， 对于A，因为，，所以，故A不正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D不正确. 故选：BC. 10.如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标． 【答案】， 【分析】根据空间直角坐标系，求出点的坐标，可求向量和的坐标． 【详解】由已知可得点， ，， . 因为H是的中点，所以H点坐标为. 故，. 11.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的坐标为，为坐标原点，所以， ， 的坐标为. 12.在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的运算可得，，由，不共线，结合向量基本定理可得，求得C点坐标为，代入验算即可得解. 【详解】由，， 显然，不共线， 根据向量基本定理可得， 故C点坐标为， 经验算只有B选项符合条件， 此时， 故选：B 13．已知i，j，k是空间的标准正交基底，且=-i+j-k，则的坐标为 A．(-1，1，-1) B．(-i，j，-k) C．(1，-1，-1) D．不确定 【答案】A 【解析】 【分析】 利用空间向量知识直接求解． 【详解】 根据空间向量坐标的定义，知=(-1，1，-1). 故选A． 【点睛】 本题考查空间向量坐标的定义，注意区分的坐标与点B坐标，属于基础题. 14．已知向量是空间向量的一组基底，向量，，是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，，，则向量在基底，，下的坐标为（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】 【分析】 利用空间向量基本定理求解. 【详解】 解：因为向量在基底下的坐标为，，， 则， 设向量在基底，，下的坐标为，，， 则， 所以，解得， 所以向量在基底，，下的坐标为． 故选：． 15．设是空间中的一个单位正交基底，已知向量，其中，，，则向量在基底下的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意化简可得，即得解. 【详解】 解： 因为， 又，，， ，14，， 故选：A． 16．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据空面向量运算法则，利用 ，即可得出． 【详解】 由题，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1， 则 故选C． 【点睛】 本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 17、三棱柱中，侧面是边长为2的菱形， 交于点侧面，且 为等腰直角三角形．若建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示， 作平面于点 ，连接，， 则点与点的横纵坐标相同，点竖坐标的值为的长度， 因为平面 平面， 所以平面， 所以和到平面的距离相等． 而平面平面 ， 所以，， 所以为平行四边形， 所以， 所以， 所以为平行四边形． 所以， 所以为平行四边形， 所以． 而在边长为2的菱形中，， 所以． 所以点的坐标为， 而为等腰直角三角形， 所以， 故点的坐标为．故选：B． 18、在空间直角坐标系中，已知，，．过作平面于点，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】由题意知点，，分别在，，轴正半轴上， 过点作，垂足为， ∵，∴为的中点，连接，则平面， 过点作，垂足为，则平面， 所以点即为点． 由已知得，，∴，， 在中，， ∴， ∴，， ． 19.已知四点共面，则 . 【答案】 【解析】因为四点共面， 所以设， ，，， 所以，所以， 故答案为： 20.如图所示，正四面体的棱长为1，是的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为 ，的坐标为 ． 【答案】 【解析】设为所建空间直角坐标系的一个单位正交基底，由题意可知， , 所以， 所以， 所以，． 故答案为: ;. 21、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____，的坐标为____，的坐标为_______． 【答案】 【解析】如题图示，， ∴， ， 22.若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为______． 【答案】 【分析】设，然后利用求解即可. 【详解】设，因为四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以，所以，即. 故答案为：. 23.三棱锥中，为直角，平面，，为的中点，为中点，以为基底，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】利用中位线和向量的线性运算，将用基底表示，表示系数即为所求坐标. 【详解】 为的中点，为中点，则为的中位线， 故，于是以为基底时，的坐标为. 故答案为： 24.定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知向量是空间中的一个单位正交基底，向量是空间中的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为___________. 【答案】 【分析】化简得到，得到答案. 【详解】， 故在基底下的坐标为， 故答案为：. 25.如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标． 【答案】， 【分析】根据空间直角坐标系，求出点的坐标，可求向量和的坐标． 【详解】由已知可得点， ，， . 因为H是的中点，所以H点坐标为. 故，. 26.已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【解析】根据题意可得， 又E，F分别为棱，的中点，可得， 利用向量坐标运算法则可得，即； ，即； ，即； 所以可得，，. 27.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 【解析】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． 则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， ∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 28、已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，先建立空间直角坐标系. （1）求各顶点的坐标； （2）若点D在线段PC上靠近点P的三等分点，求点D的坐标. 【答案】（1）答案见解析，（2） 【解析】（1）因为平面ABC，所以，， 又因为，所以建立以点A为原点， 以射线AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴的空间直角坐标系，如图所示 ： 因为，，， 所以、、、； （2）若D点在线段PC上靠近P点的三等分点， 所以， 设点D的坐标为，则 所以. 29、如图，分别是，的直径，与两圆所在的平面均垂直，是的直径，，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标. 【答案】. 【解析】因为与两圆所在的平面均垂直，，所以平面. 又平面平面，所以. 又是圆O的直径，所以.又， 所以. 所以. 如图所示，以O为坐标原点， 分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则. 30、如图，正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标． 【答案】，，，，，. 【解析】因为正方体的棱长为a， E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点 所以，，，，， 题型02：空间点的对称问题 1、在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为． 故选：C． 2、在空间直角坐标系中，点与点关于坐标原点对称，则______． 【答案】 【解析】点与点关于坐标原点对称， 则，故. 3、空间直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点为N，则点N的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点关于x轴的对称点为N，所以.故选：A 4、在空间直角坐标系中，若点关于轴的一个对称点的坐标为，则的值( ) A．等于 B．等于 C．等于 D．不确定 【答案】C 【解析】点关于轴的一个对称点的坐标为 根据在直角坐标系中关于轴的对称点特征可得: 解得: ，故选:C. 5、已知，则点关于平面的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点关于平面的对称点的坐标是，故选：C 6、在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为，选A. 7、点P’与P关于平画xOy对称，点P’’与P’关于Z轴对称，则点P’’与P关于（ ）对称 A．x轴 B．平面yOz C．原点O D．不是以上答案 【答案】C 【解析】设，根据两次对称求出点，即可得答案； 【详解】设，则， ，P’’与P关于原点对称，故选：C. 8、若点关于平面的对称点为，点关于平面的对称点为，则点关于平面的对称点的坐标为． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为与关于平面对称，所以； 因为与关于平面对称，所以； 因为与关于平面对称，所以；故选A. 题型03：空间向量的坐标运算 一 加减数乘与数量积 1.已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标运算计算即可． 【详解】． 故选：D． 2.若向量、的坐标满足，，则等于（    ） A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7 【答案】B 【分析】利用向量的运算和数量积运算即可得出． 【详解】∵， ． ∴． 故选：B． 3．已知，，则等于（       ） A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可得，再利用数量积的坐标表示即得. 【详解】 ∵，， ∴， ∴. 故选：C. 4．已知，且，则的值是（       ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据空间向量的坐标表示进行求解. 【详解】 因为，所以． 故选：A. 5.已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解. 【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有， 因为，，所以，， 因此，， 于是得 ， 则当时，，此时点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为. 故选：C 6．定义．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用空间向量的数量积和模的公式求解. 【详解】解：由题意知．设与的夹角为， 则．又， ．, 故选：B． 7.已知正方体的棱长为1，为的中点，点在平面内.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】由题意得，，则，，， 因为点共面， 所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 8.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），分别为的中点，则__________；若，过点的直线分别交直线于两点，设（其中均为正数），则的最小值为__________. 【答案】 4 【分析】补形成正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可得；在平面BEF中，利用G，N，M三点共线可得m，n的关系，然后利用基本不等式可得最小值. 【详解】补形成正方体，如图建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为a，则，解得 则 所以 所以 所以 在平面BEF中，如图， 因为，所以 又， 所以 因为G，N，M三点共线，所以 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 故答案为：4； 9.已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ． 【答案】 【解析】设，∵， 则由点在直线OP上可得存在实数λ使得 ， 所以，则， 所以，， 所以， 根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时点的坐标为：. 故答案为： 二．空间向量模长问题 1．已知，则（       ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用空间向量的模的公式计算求解. 【详解】 解：由题得. 故选：B 2．在空间直角坐标系中，已知，，则的模为（       ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【解析】 【分析】 利用空间向量的模长公式即可求解. 【详解】 解：，， 则 所以 故选：B. 3．若向量，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【详解】 由已知可得，故． 故选：C. 4．已知向量，，则在的方向上的数量投影为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 直接由数量投影的公式求解即可. 【详解】 由题意知：在的方向上的数量投影为. 故选：C. 5．若向量则（       ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得 【详解】 由于向量，，所以. 故 故选：D 6．已知，，则的最小值是（       ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用空间向量坐标的减法求出，然后利用求模公式求出. 【详解】 解： 当时，取最小值. 故选：B 7.棱长为1的正方体，以正方体的顶点为始点和终点的向量中，模长等于的向量有__________个，模长等于的向量有__________个． 【答案】 24 8 【分析】因为正方体棱长为1，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为，正方体有12条面对交线、4条体对角线，而每条对角线对应两个向量，即可得出答案. 【详解】因为正方体棱长为1，所以正方体的面对角线长为， 体对角线长为， 因为正方体有12条面对交线，而每条对角线对应两个向量，如， 所以模长等于的向量有24个， 正方体有4条体对角线，故模长为的向量有8个. 故答案为：24；8.    8.在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设E、F坐标，根据得出E、F坐标关系式，利用函数求最值即可. 【详解】 如图所示，以为中心建立空间直角坐标系，设， 则，， ，当时取得最大值. 故选：B 9.如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面平面，M为底面内一动点．当时，M点在底面内的轨迹长度为_____． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法求得M点在底面内的轨迹，进而求得其长度. 【详解】取中点N，中点O，连接， 因为平面平面， ，平面平面，平面 所以平面， 由题意可得两两垂直， 以O为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，令, 则 由，可得， 则，整理得， 则M点在底面内的轨迹为线段 ， 所以轨迹的端点的坐标为 则M点在底面内的轨迹长度为 故答案为： 10.已知向量，，向量同时满足下列三个条件：①；②；③. (1)求的模； (2)求向量的坐标. 【答案】(1)1 (2)或. 【分析】（1）根据向量的坐标运算及模的公式计算即可； （2）设，根据条件列出方程组求解即可. 【详解】（1），， ， . （2）设， 则①，②，③， 由①②③得或 或. 三．空间向量数量积 1.若，，，则（    ） A．-11 B．3 C．4 D．15 【答案】C 【分析】先求出的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可 【详解】由已知，， ， ∴. 故选：C． 2.在中，． (1)求顶点的坐标； (2)求． 【答案】(1), (2) 【分析】根据向量的坐标表示求出的坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得. 【详解】（1）设,, ,. 设,, ,. （2）， . 3.已知，，求，，，，． 【答案】，，，， 【分析】根据空间向量的坐标运算逐项运算求解. 【详解】因为，， 则； ； ； ； ． 4.已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算可得，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】由题意知， 由，得， 解得. 故选：B. 5.已知正六棱柱的底面边长为，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，由正六边形的性质可知，再根据空间向量数量积公式，即可求出结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，且，    由正六边形的性质可得，， 设，其中， 所以，， 所以，所以的取值范围. 故答案为：. 6.如图，长方体中，，，点P为线段上一点，则的最小值为 ．    【答案】/0.75 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，求出，求出最小值. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，    则 ， 当时，的最小值为. 故答案为： 四．空间向量夹角问题 1．已知，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 求出的坐标，求出，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】 由题得，， 所以， 所以. 故选：C 2．已知，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用空间向量夹角的坐标运算公式计算即可. 【详解】 解：， 又， . 故选：C. 3．已知，，O是坐标原点，与的夹角为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出空间向量的坐标，及向量的模，进一步利用向量的夹角公式求出结果． 【详解】 由题意， 所以，又，， 所以，所以 解得λ 故选：C. 4．已知，，O为原点，则与的夹角是（       ） A．0 B．π C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 求出和，利用向量关系即可求出. 【详解】 因为，，则，， 则， 所以与的夹角是. 故选：B. 5．若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（       ） A．0 B．－ C．0或－ D．0或 【答案】C 【解析】 【分析】 由空间向量夹角余弦的坐标表示直接计算可得. 【详解】 由题知， 即，解得或. 故选：C 6.已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算，求出n值，再利用夹角公式计算作答. 【详解】向量，则， 由，得，解得，， 因此，，， 所以与的夹角的余弦值. 故选：B 7.已知，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的平行、垂直关系求，再根据空间向量的坐标运算求夹角. 【详解】∵，∴，解得，即. 又∵，注意到，则，使得， ∴，解得，故. ∴， ∴，又， ∴. 故选：B. 8.若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据空间向量与的夹角是锐角可得且与不同向共线，结合数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】因为与的夹角是锐角，所以， 即，解得， 若与的夹角为，则存在，使， 即，所以，解得. 故t的取值范围是. 故答案为：. 9.已知空间中的三点，，. (1)求的面积； (2)当与的夹角为钝角时，求k的范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用向量坐标表示有，，由向量夹角的坐标运算可得，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积； （2）向量坐标表示得，，它们的夹角为钝角，即，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况. 【详解】（1）由题设，，则， 所以，故在中， 故的面积为. （2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角， 所以，即， 所以，可得， 当它们反向共线，即且时，有，无解， 综上，. 10.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构建空间直角坐标系并确定相关点的坐标，求得的坐标，应用向量模长的坐标运算求； （2）由（1）得、的坐标，利用向量夹角的坐标表示求； 【详解】（1）以为原点，分别以射线､､为轴､轴､轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，， 所以，则. （2）由（1）知，， 所以； 11.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点． (1)求的距离； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以点C作为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可； （2）利用向量夹角运算公式计算的值； 【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，． ，∴ ∴． 所以的距离为. （2）依题意得，，，， ∴，， ，，， ∴． 12.人大附中举办了“阳春德泽·欧以咏志”春日合唱比赛大获成功．数学组想举办“响亮（谐音向量）学生音乐节”独唱比：想在独唱比赛取得好的成绩取决于三个要素：情感投入，唱歌技巧和舞台效果（单位：分）．每个参赛同学各有优势．最多只能分配10分到三个不同的要素中．根据经验，数学组老师约定三个要素为时会达到最佳效果．计分方式是计算参赛同学的三维要素向量与的夹角余弦值，公式是，该值越大得分越高．根据此规则，你认为下列四位参赛同学得分最高的是（    ） 同学 情感投入 唱歌技巧 每台效果 A 6 3 1 B 1 4 4 C 2 3 4 D 2 4 3 A．同学A B．同学B C．同学C D．同学D 【答案】C 【分析】根据题意得到四位同学的三维要素向量，再逐一利用公式计算得对应的，从而得解. 【详解】易得， 对于A同学，其三维要素向量为，则， 则其对应的； 对于B同学，其三维要素向量为，则， 则其对应的； 对于C同学，其三维要素向量为，则， 则其对应的； 对于D同学，其三维要素向量为，则， 则其对应的； 易得，， 所以，， 故C同学的三维要素向量与的夹角余弦值最大，则其得分估计最高. 故选：C. 13.在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共面确定点的坐标，利用向量数量积及三角形面积公式即可求出. 【详解】由题意，平面，四边形为正方形， 如图，建立空间直角坐标系D-xyz，    则，，，，，，， 设，，则， 又，，所以，则， 由题意，四点共面，所以， 所以，解得， 所以，，所以， 所以，即， 所以， 所以， 又， 所以，即， 所以， 所以， 所以截面的面积为. 故选：A 五．投影向量问题 1.已知向量，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义求解作答. 【详解】向量，，， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：B 2.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 【答案】 【分析】由向量在向量上的投影向量为,，计算即可求出答案． 【详解】向量，， 则，，， 所以向量在向量上的投影向量为 ,,0,,0,， 故答案为：． 3.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案. 【详解】根据空间中点的坐标确定方法知， 空间中点在坐标平面上的投影坐标， 横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变． 所以空间向量在坐标平面上的投影向量是： 故选：B. 4.已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算，模的坐标运算公式求解. 【详解】因为，，， 所以， 所以，， ， 所以向量在上的投影向量是， 所以向量在上的投影向量的坐标是， 故选：D. 5.已知向量满足，且，则_________，在上的投影向量的坐标为______________． 【答案】 【分析】对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可得投影向量的坐标. 【详解】两边平方化简得：，① 因为，所以， 又，代入①得：，解得：， ， 所以，在上的投影向量坐标为 ． 故答案为：2，． 6.已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立空间直角坐标系，如图所示.    (1)写出正方体各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2)，， (3). 【分析】（1）直接利用空间直角坐标系求出结果； （2）利用向量的坐标运算的应用求出结果； （3）根据投影向量的定义与空间向量坐标运算求解即可. 【详解】（1）由题知 （2）因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，所以， 所以：，，． （3）易知向量, 在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 7.已知，，，若，则在上的投影向量可以是 ．（只需写出一个符合题意的答案） 【答案】，（写出其中一个答案即可） 【分析】先根据求得，再分、，结合投影向量公式即可求解. 【详解】，， 当时，，， 则在上的投影向量为， 当时，， 则在上的投影向量为． 故在上的投影向量为或. 故答案为：，（写出其中一个答案即可） 题型04：空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 一．空间向量平行问题 1．已知向量,1,，则与共线的单位向量（    ） A．,, B．,1, C．,, D．,1, 【答案】C 【分析】利用向量共线定理、模的计算公式即可判断出结论. 【详解】因为向量与共线，故，对于C：向量,,，另验证向量,,的模为，故,,为单位向量． 故选：C． 2.已知向量，，且，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线条件列式计算作答. 【详解】向量，，则， 因为，则，解得， 所以实数k的值为. 故选：C 3.已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据共线向量基本定理确定与的关系，再分别求出和，进而求解. 【详解】解：若，则， 因为已知向量，，所以，解得， 所以. 故选：. 4．已知空间三点，，，设，，，且，则___________. 【答案】或 【分析】先求得，然后根据向量共线以及向量的模求得. 【详解】， 由于，所以， 所以， 所以为或. 故答案为：或 5.已知空间三点，，，设，． (1)设，，求； (2)求与的夹角； (3)若与互相垂直，求k． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值，根据反三角函数即可求得向量夹角； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值． 【详解】（1）由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． （2）因为、、，，， 所以，， 则， 所以与的夹角为． （3）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 6.已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，，且与的夹角为锐角， 则，解得，且与不共线， 若与共线，则，解得，故当与不共线时，， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 7.已知空间向量，若，则实数 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 因为，所以，即 所以 故答案为：. 8.已知向量，，若，则 . 【答案】 【解析】因为，， 所以，， 由得，解得. 故答案为：. 9.已知向量，，若，则 . 【答案】 【解析】∵，，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 10.已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为 . 【答案】 【解析】因，，则， 因与同向，则设，因此，， 于是得，解得，则， 所以向量的坐标为. 故答案为： 11.已知向量，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行可设，进而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】， 因为，所以可设，即， 故，解得， 故. 故选：C 12.在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形为平行四边形，则 . 【答案】1 【分析】由四边形为平行四边形，可得，再根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】解：，， 因为四边形为平行四边形， 所以， 所以，， 则. 故答案为：1. 二．空间向量垂直问题 1．已知向量，若，则实数x的值为（       ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】 【分析】 解方程即得解. 【详解】 解：因为，所以. 故选：D 2．已知向量，，且与互相垂直，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据垂直关系可得，由向量坐标运算可构造方程求得结果. 【详解】 ，，又与互相垂直， ，解得：. 故选：D. 3．【多选】已知向量，，若，则（    ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】AD 【分析】先求出的坐标，再由得列方程可求出的值. 【详解】因为，， 所以， 由可得，解得或. 故选：AD 4.已知，单位向量满足，则 ． 【答案】或 【分析】设向量，其中，由，得到方程组 ，进而求得的值，即可求解. 【详解】设向量，其中， 因为且，可得，即， 将代入， 可得或， 所以向量的坐标为或. 故答案为：或. 5.已知，若向量，，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】向量，， ，， ， ， 由，解得. 故答案为：. 6.已知点，，，且为直角，则的值为 . 【答案】2 【分析】根据，代入计算即可得到答案. 【详解】因为为直角，则， 又因为，， 则有，解得， 故答案为：2. 7.已知空间三点，，，若直线上一点，满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量的坐标运算列方程化简计算即可. 【详解】依题意，得， 设，则，所以， 若，则， 即，解得，即． 故答案为： 8.如图，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD两两垂直，且，若线段DE上存在点P，使得，则边CG长度的可能值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】CD 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设，则，即，再根据，得，结合二次函数得性质即可得解. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系， 设，则，即， 又， 所以， 由， 得， 显然且，则， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 故选：CD. 9.已知正方体的棱长为，（），现有如下四个命题： ①，都有； ②，都存在使得； ③，使得； ④的最小值为． 其中所有真命题的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断①③；利用空间向量的坐标运算可判断②；将侧面与面延展至同一平面，分析可知当点、、共线时，取最小值，求出的最小值，可判断④. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为正方体的棱长为，（）， 则、、、、、、 、、. 对于①，，， ，，①对； 对于②，，， ，都存在，使得， 则， 由可得，可得，合乎题意，②对； 对于③，，， 若，使得，则，解得，合乎题意，③对； 对于④，在正方体中，平面， 因为平面，则， 又因为且，故四边形为矩形，且， 易知四边形为正方形， 将侧面与面延展至同一平面，如下图所示：    当点、、共线时，取最小值， 且， 当且仅当点、、共线时，等号成立，故的最小值为，④错. 故答案为：①②③. 10.已知向量． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (3)若向量与向量共面向量，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可. （2）根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可. （3）根据向量共面定理，建立向量与向量之间的表示，可得方程组，求解即可. 【详解】（1），， ， ． （2）因为， 所以，解得， 因为 ，且向量与垂直， 所以， 即， ． 所以实数和的值分别为和； （3）解：设 ， 则 解得， 即， 所以向量与向量，共面． 11．已知，，点，． (1)求的值． (2)在线段AB上，是否存在一点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点） 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用空间向量的线性运算及模的运算公式即可得解； （2）利用空间向量共线定理得到关于的关系式，再由空间向量垂直的坐标表示求得，从而得到点E的坐标. 【详解】（1）因为，， 所以， 则. （2）假设线段AB上存在一点E，使得，则设， 因为，，所以， 又因为， 所以， 因为，， 所以，解得，满足， 所以，即， 所以线段AB上存在一点E，使得，且. 12．已知． (1)求； (2)已知点在直线上，求的值； (3)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量数量积的坐标运算直接求解；（2）利用空间向量共线的坐标表示求解；（3）利用空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】（1）， ， ． （2）因为点在直线上，与共线， 则存在使得，即， ，解得； （3）， 与垂直, ， ， 时，与垂直． 三．锐角钝角问题 1.若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令与共线，求出的值，依题意且与不反向共线，根据数量积的坐标表示得到不等式组求解即可. 【详解】因为，， 令与共线，则，即，即，解得， 此时，，即，与反向， 又与的夹角为钝角， 所以且与不反向共线， 即且， 解得且， 故选：C 2.已知，若夹角为钝角，则实数的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出答案. 【详解】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线， 因为，所以，解得， 当与共线时，，即，则，解得， 所以且. 故答案为：且. 题型05：空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 1.已知，，若点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点共线，所以与共线， 所以，解得，， 故，， ． 故选：C． 2.设空间向量则（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【解析】由可得， 故． 故选：D． 3.已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，， 则，， ， 即， 所以以、为邻边的平行四边形的面积为． 故选：D． 4.如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】三棱锥中，过作平面，由，知， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图， 由平面，得，则， 令，则，设， 于是， 当且仅当时取等号，所以线段的最小值为． 故选：B 5.设空间向量，，若，则 ． 【答案】9 【分析】先利用空间向量共线定理，得到，由此求出和的值，得到，的坐标，求出的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可． 【详解】解：因为空间向量，，且， 所以， 即， 可得，解得，， 所以， 则， 所以． 故答案为：9 6.设，向量，，，且，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量的垂直以及平行的坐标表示求得的值，根据向量模的计算公式，即得答案. 【详解】因为，所以，解得． 又，则，得． 所以，， 所以， 所以， 故答案为： 7.设正四面体ABCD的棱长为1，点M、N满足，，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算求两点间的距离. 【详解】 如图,将正四面体ABCD放在正方体中,则正方体的边长为, 因为，, 所以, 所以,所以. 故答案为：. 8.已知，若，，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据已知，利用向量的减法运算、模长公式的坐标形式以及二次函数计算求解. 【详解】因为，，所以， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 9.三个顶点的坐标分别为，则的形状为（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．正三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】利用空间向量模长的坐标表示求出的边长即可求解. 【详解】由题得， 则，，， 因为，所以为直角三角形， 故选：D 10.如图，在长方体中，当，，点在棱上，且，则当的面积最小时，棱的长为 ．      【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，可设，，写出点坐标，根据，可求得与的等量关系，代入的面积中，利用基本不等式求得面积最小值时和的值，进而得出棱的长. 【详解】如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，则，设，，， 则，，因为，所以， 当时等式不成立，即． 因此 ，当且仅当，即时 取等号．因此当的面积最小时，棱． 故答案为：      11、已知点，，则两点间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 12.已知点､，则的最小值为（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意， 当时，，故选：A 13.已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 因为点在直线上运动，所以， 所以，即，，所以， 所以 所以当时，取得最小值， 此时点的坐标为.故选：B 14.在空间直角坐标系中，已知点和点，若点在轴上且到、两点的距离相等，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】设点的坐标为， 因为，所以，解得， 故点的坐标为. 15、已知空间直角坐标系中点，若在轴上取一点，使得最小，则点的坐标为____. 【答案】 【解析】设， 则，当时，最小， 此时点的坐标为. 16、在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为 ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， 设点、， ，， 由于，则， 可得， ，则， ， 17.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为____.  【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，E(0，2，1)，G(1，0，2)， 设F(x，0，0)，D(0，y，0)， 则，， 由于GD⊥EF，所以， 所以， 故， 所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为． 题型06：含参取值（范围）最值问题 1.在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，四棱锥的外接球的表面积是 C．的最小值为 D．存在唯一的实数对，使得平面PDF 【答案】C 【分析】由线面平行的判定可知平面，知三棱锥底面积和高均为定值，A正确；根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径的方程，求得后知B正确；将C中问题转化为在平面内求解的最小值，作关于线段的对称点，将问题转化为长度的求解，根据角度和长度关系可确定C正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得，可知D正确. 【详解】对于A，当时，为中点，又为中点，，    平面，平面，平面， 则当在线段上移动时，其到平面的距离不变， 三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，当时，取交点，连接，则四棱锥为正四棱锥， 平面， 设四棱锥的外接球的球心为，半径为，则在直线上，    ，，，即， 解得：，四棱锥的外接球的表面积，B正确； 对于C，将问题转化为在平面内求解的最小值， 作关于线段的对称点，过作，交于，如下图所示，    ，（当且仅当与重合时取等号）， ， ， ，， 即的最小值为，故C错误； 对于D，以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， ，，， 若平面，则， ， 解得：（舍）或， 存在唯一的实数对，使得平面，故D正确. 故选：C. 2.在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝1，，点M，N分别为PB，AC中点，W是线段PA上的动点，则（    ） A．平面平面ABC B．面积的最小值为 C．平面WMN截该三棱锥所得截面不可能是菱形 D．若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为 【答案】ABD 【分析】由面面垂直的判定定理可判断A；以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设所成角为，由空间向量的数量积定义可求出，由三角形的面积公式结合二次函数的性质可判断B；当为中点时，平面WMN截该三棱锥所得截面为是菱形，可判断C；若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，三棱锥的棱长最长为，故可求出正方体的体积最小值可判断D. 【详解】对于A，因为，， 故，，则，又因为， 所以，故， 因为，为的中点，所以， 则平面ABC，所以平面ABC， 平面，则平面平面ABC，故A正确；    对于B，因为平面ABC，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以， 所以，设所成角为， 而， 又，故， ， 所以的面积为，      故B正确； 对于C，当为中点，取的中点，连接， 因为，故四边形四点共面， 且四边形为平行四边形，又因为， 故四边形为菱形，所以当为中点时，平面WMN截该三棱锥所得截面为是菱形，故C不正确；    对于D，因为，，所以， 故三棱锥P－ABC的外接球半径为，故该外接球的内接正方形的棱长为， 若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题的关键点在于由空间向量的数量积定义可求出，由三角形的面积公式可得，再由二次函数的性质可求出面积的最小值. 3.如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在正方体的体对角线上，点在正方体的棱上．当点为体对角线的中点，点在棱上运动时，求的最小值． 【答案】 【分析】设，根据题意，利用空间两点的距离公式计算即可，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】依题意知，设点， 则， 所以当时，， 此时，Q恰为CD的中点． 所以的最小值为. 4.如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为_________． 【答案】 【分析】首先根据垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标表示，再求的长的最小值． 【详解】因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以两两垂直. 过点M作，垂足分别为G，H，连接，易证. 因为，所以 以B为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以 当，的长最小，且最小值为． 故答案为：． 5.已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由二次函数求最值即可求得最小值. 【详解】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则 ， 由可设，由是单位空间向量可得， 由可设， ， 当，的最小值是2，所以 ，取， ， ， 当时，最小值为. 故答案为：. 6.在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近的三等分点，在平面上，且满足，在的边界上运动，则直线与所成角的余弦值的取值范围是___________. 【答案】 【分析】分析可知的轨迹以点为圆心，半径长为的圆，分析出取最大值和最小值时，点、的位置，利用余弦定理可求得直线与所成角的余弦值的最小值和最大值，即可得解. 【详解】设点在平面内的射影为点，则为正的中心， 为的中点，则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， ，则， 平面，平面，，， 则、、、、、， 设点，，， 所以，，可得， 易知的内切圆半径为，故点在内运动， 所以点在以点为圆心，半径长为的圆上运动，作出的平面图如下图所示： 由于点是固定的，当取最大值，此时取最大值， 且此时点为的某个顶点，不妨设点与点重合，则为线段的中点， 此时，，， 所以，； 当取最小值时，则取最小值， 此时点为某边的中点，不妨设点与点重合， 则点为的中点，则，， 所以，. 因此，直线与所成角的余弦值的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线所成角余弦值的取值范围，解本题的关键就是要确定点的轨迹，确定取最大值和最小值时的位置，再结合余弦定理求解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$