1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（4知识点+6题型）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间中点的向量和直线的向量表示 1.设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta，即=+t. 2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 知识点2 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，两条直线确定的平面为α，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得=xa+yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使=+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}. 注意点： (1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们都是平行向量. 知识点3 向量法证明平行关系 1.直线和直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1=λu2. 注意点　上述结论中的直线l1，l2为两条不重合的直线. 2.直线和平面平行 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. 3.平面和平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2. 注意点　上述结论中的平面α，β为两个不重合的平面. 知识点4 向量法证明垂直关系 1.直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直. (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 2.直线与平面垂直 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u=λn. 3.平面与平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0. 思路方法总结 1.求平面法向量的步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如. (2)设平面的法向量为n=(x，y，z). (3)联立方程组并求解. (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 2.证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明. (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示. 3.证明面面平行的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 4.证明两直线垂直的基本步骤 (1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. (2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. 5.向量法证明线面垂直的两种思路 (1)应用判定定理：选取基向量或建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量和平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量与另两个相交直线的方向向量的数量积均为零，从而证得结论. (2)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论. 6.证明面面垂直的两种方法 (1)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. (2)几何法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. 典例·举一反三 题型一 平面法向量的求解 1．若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面法向量与平面内向量垂直，即且，设，求得关系后判断. 【详解】由法向量的性质得平面法向量与平面内向量垂直， 即且，设， 则，， 由第二个方程得，代入第一个方程有， 令，则，即． 故选：B． 2．已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 【答案】C 【分析】A选项，求出，设，无解，A错误；B选项，利用进行求解；C选项，计算出，得到垂直关系，进而得到C正确；D选项，求出，利用夹角余弦公式得到D错误. 【详解】A选项，，设， 则，无解，故与不是共线向量，A错误； B选项，的单位向量为，B错误； C选项，由于， ， 与均垂直，又由A知，与不共线， 故平面ABC的一个法向量是，C正确； D选项，， 设与夹角为，则，D错误. 故选：C 3．平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出，由，求解即可． 【详解】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量． 【答案】答案见解析 【分析】设，法一：根据已知标注出相关点坐标，进而得，，求出平面的法向量；法二：过点作于点，则为的中点，再由线面垂直的判定及性质定理得平面，写出的坐标，即可得. 【详解】根据题意，设， 法一：，，，则，， 设平面的法向量为，则有， 令，得，则为平面的一个法向量．（答案不唯一） 法二：过点作于点，则为的中点， 平面，平面， ， ， ，又，平面， 平面，平面， ，又，且，平面， 平面，易得，，， ，故， 平面的一个法向量为（答案不唯一）. 5．在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）设正方体的棱长为2， 则，，，， （1）设平面的一个法向量为， ，， 则即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） （2），， 设平面的一个法向量为． 即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） 题型二 直线方向向量与平面法向量求参数 6．在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则t＝（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 【答案】B 【分析】由得到与垂直，进而得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以与垂直， 故，解得. 故选：B． 7．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再根据空间向量的平行公式求解即可. 【详解】由可得，故，故，，故. 故选：A 8．已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据法向量垂直，即可根据数量积的坐标运算求解. 【详解】由于，则，解得， 故选：C 9．已知（）是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意可得，利用数量积的坐标表示列式求解，即得答案. 【详解】由，可知， 即 ， 解得， 故答案为： 10．已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则 . 【答案】9 【分析】求出向量的坐标，再利用平面法向量的意义，结合数量积的坐标表示求出. 【详解】由点，得， 由是平面的一个法向量，且点，得， 因此，所以. 故答案为：9 题型三 向量法判断位置关系 11．已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】通过直线的方向向量与平面的法向量的关系，判断直线与平面的位置关系 【详解】因为，， 所以，所以或． 故选：D． 12．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（   ）. A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【分析】计算得出结合空间位置的向量表示即可判断. 【详解】由题意得，，则，则或. 故选：C. 13．若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】求出给定向量的数量积，再利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】由，得， 所以平面与垂直. 故选：B 14．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AC 【分析】判断法向量与直线的方向向量是否共线可判断BD的正误，计算出法向量与法向量的数量积后可判断C的正误，判断出两直线的方向向量是否共线可判断A的正误. 【详解】对于A，因为，所以直线，的方向向量共线，故，故A正确； 对于B，因为，所以不共线，故不成立，故B错误； 对于C，因为，所以，故，故C正确； 对于D，因为，所以共线，所以，故D错误； 故选：AC． 15．设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，使得，则 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项判断即得. 【详解】对于A，若，则，，A正确； 对于B，，则或，B错误； 对于C，若，则，，C正确； 对于D，，使得，则，而平面不重合，因此，D正确. 故选：ACD 16．设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（   ） A．圆 B．平面 C．直线 D．线段 【答案】B 【分析】根据法向量的定义以及空间位置关系的向量表示可得. 【详解】因为是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件, 所以点构成的图形是经过点，且以为法向量的平面. 故选：B 17．已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【分析】根据平面的法向量与直线的方向向量的关系即可求解. 【详解】因为直线l经过点， 所以，又因为平面的一个法向量为， 且，所以平面的一个法向量与直线l的方向向量平行， 则，； 故选：A. 18．已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】BCD 【分析】先求出，再结合模的坐标表示求解判断A；先求出，再根据空间向量数量积的坐标表示判断B；根据空间向量数量积的坐标表示判断D；结合，即可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，选项A错误； 对于B，因为，所以， 则，选项B正确； 对于D，因为，所以，选项D正确． 对于C，因为，，，且平面， 所以是平面的一个法向量，选项C正确. 故选：BCD. 19．已知正方体的棱长为，分别是，的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．三棱锥的体积为 【答案】BD 【分析】对于A，B，C选项，根据几何体建立空间直角坐标系，根据空间向量的关系即可证明，对于D选项，过点作，可得，所以，所以，即可求解. 【详解】对于A选项，在正方体中建立空间直角坐标系，则，，，，所以，， 所以与不共线，所以与不平行，故A错误； 对于B选项，，，所以，， 所以，所以，故B正确； 对于C选项，，，， 设平面的法向量为， 则，即，可求得， 所以，所以与不垂直， 所以不平行于平面，故C错误；    对于D选项，过点作，与相交于点，则四点共面， 又分别是、的中点，所以点为上靠近点的四等分点，所以，所以，所以， 又， 所以，故D正确.    故选：BD 20．已知直线经过点，，则下列命题是真命题的是（    ） A．是直线的一个方向向量 B．若平面的一个法向量是，则 C．若平面的一个法向量是，且，则 D．若为坐标原点，且，则，，，四点共面 【答案】ACD 【分析】利用方向向量的性质判断A，利用空间位置关系的向量证明判断B，C，仿照给定条件建立等式，判断共面即可. 【详解】对于A，因为直线经过点，， 所以，即是直线的一个方向向量，故A正确， 对于B，因为，所以， 则或，故B错误， 对于C，因为，所以， 故或，当时，因为，所以， 当时，因为，所以， 综上，成立，故C正确， 对于D，因为，，所以，， 则，而， 故，即， 得到，即，，，四点共面，故D正确. 故选：ACD 21．已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量法计算法向量及方向向量垂直得出线面平行即可. 【详解】因为， 所以，所以或． 因为，所以． 故答案为：． 题型四 向量法证明平行关系 22．如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，向量法证明，由线面平行的判定定理可证得平面. 【详解】以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为，由不在一条直线上， 所以， 又平面，平面， 所以平面． 23．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【详解】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以．    24．如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【详解】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 25．如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； 方法二：建立空间直角坐标系，利用平行向量的性质，证明与平面中某一向量平行即可得证． （2）方法一：证明也是平面的一个法向量即可； 方法二：由（1）知平面，再证明平面，结合面面平行的判定即可得证. 【详解】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 方法一：设正方体的棱长为2，则. 由正方体的性质知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于，则，所以． 又平面，所以平面． 方法二：设正方体的棱长为2，，． 由于，，，故， 又平面，故平面． （2）方法一：由于，， 则， 所以也是平面的一个法向量， 又平面，则平面与平面不重合， 所以平面平面． 方法二：由于，，则，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知平面，又与相交于点， 所以平面平面． 26．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 题型五 向量法证明垂直关系 27．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）建立空间直角坐标系得出的坐标，要证平面，只需证明和即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可求得余弦值. 【详解】（1）∵为正方形，∴， ∵二面角为直二面角，∴平面， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 过点平行于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 设()， ∵为上的点，， ∴设，∴， ∴，，， ∵平面，、平面，∴， 且，解得，，∴，， 所以，，∴，∴， ∵平面，平面，∴， 又，、平面，∴平面； （2）由题意可知，平面的法向量为， 设面的法向量为，，， ∴且，取，则，， ∴，∴，∴平面平面. 28．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证： (2)求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，结合，即可证得； （2）由（1）知，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为四棱锥的底面为直角梯形， ，，且底面，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，且为的中点， 可得，则， 所以， 又因为，所以，即. （2）由（1）知：，可得， 所以的长为. 29．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题干条件及线面垂直的判定定理可证明平面，利用线面垂直的性质可得，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用证明面面垂直的向量法即可证明. 【详解】证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴，∴平面平面. 30．如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点. (1)求的模； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先建立直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系，则，， 所以，则. （2）依题意得、、、、， 则，，， 所以，， 则，，即，， 又因为平面，所以平面. 31．如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 题型六 向量法解决探究性问题 32．如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析. 【分析】（1）运用两次证明线线平行，得到线面平行，再用面面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，求出方向向量和平面法向量计算证明即可. 【详解】（1）如图，连接,由于平面，平面,则. 且，，则. 又，则，故. 又,则,又,则四边形为平行四边形.则. 平面,平面,则平面(∗). 由于，，则.又，则, 则,则，则. 平面,平面,则平面(∗∗). 平面,结合 (∗)，(∗∗)，得到平面平面. （2）由前面证明知道，四边形为矩形，平面， 则两两垂直，可建立空间直角坐标系.则 , 设,则. 设平面法向量为，且. 则,则，则解得. 又,若平面，则. 则， 则，解得.此时. 故棱上存在一点，使得平面，. 33．在长方体中，．是线段上的点． (1)若，求证：平面． (2)若，在线段上是否存在点．使，若存在．求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据向量运算可证得垂直于平面的法向量，由此可得结论； （2）假设存在点，使得，由可用表示出，结合的范围可求得结果. 【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，，， ，，，， ，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ，，平面 平面. （2）假设在线段上存在点，使得， 设，由（1）知：，； 设，则， ，， ，，即， 在线段上存在点，使得，此时的取值范围为. 34．如图，在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面． (1)判断A，B，D，E四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边BC的中线上确定一点Q，使得平面BCE，并求． 【答案】(1)共面，理由见解析 (2)Q为OA中点， 【分析】（1）取BC的中点O，取CD的中点H，以为原点建系，求证即可； （2）设，根据，求出点坐标即可计算. 【详解】（1）A，B，D，E四点共面．理由如下： 如图，取BC的中点O，连接AO，DO，取CD的中点H，连接EH， 在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形， 则在等边三角形DCE中，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理，得平面，平面， 所以OA，OB，OD两两垂直，且， 以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz． 则，，，，， 设，由，即， 解得，，，所以，所以． 又，，所以，则共面， 因为B为公共点，所以A，B，D，E四点共面． （2）如图，设，故． 若平面，则，，即，解得， 所以Q为OA中点时，平面． 当时，，又，，， 所以，，则． 35．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点． （1）求证平面； （2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；． 【分析】（1）先证明平面，进而得到面，得出，再根据条件证明，最后根据线面垂直的判定定理得到结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求出两个平面的法向量，进而根据面面垂直求出k. 【详解】（1）因为平面，所以，又，，所以平面，又，所以面，面，． 又，为的中点，所以，而，所以平面． （2）以A为坐标原点，所在方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，． 所以，设（），所以，则，所以，， 设平面的法向量为，则，， 即，令，则， 由（1）可知为平面的一个法向量，若平面平面，则，即，解得． 即时平面平面. 36．如图1，在中， 分别是上的点，且，，将△沿折起到△的位置，使，如图2. (I)求证：； (II)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由． 【答案】(1)见解析;(2) 线段上不存在点，使平面与平面垂直．. 【详解】试题分析：（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；（2）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则 ，可求得0≤a≤3，从而可得结论． (I)证明　因为，， 所以. 所以，， 又因为， 所以平面.   所以.又因为， 所以平面. (II)解：线段上不存在点，使平面与平面垂直． 以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，， ，． 假设这样的点存在，设其坐标为，其中． 设平面的法向量为， 则, 又，， 所以令，则. 所以． 平面的法向量为，则， 又，， 所以令，则.所以 平面⊥平面，当且仅当， 即.解得，与矛盾． 所以线段上不存在点，使平面与平面垂直． 点睛：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，MN：向量语言表述面面的垂直、平行关系；LW：直线与平面垂直的判定；MQ：用空间向量求直线与平面的夹角；既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间中点的向量和直线的向量表示 1.设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta，即=+t. 2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 知识点2 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，两条直线确定的平面为α，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得=xa+yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使=+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}. 注意点： (1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们都是平行向量. 知识点3 向量法证明平行关系 1.直线和直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1=λu2. 注意点　上述结论中的直线l1，l2为两条不重合的直线. 2.直线和平面平行 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. 3.平面和平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2. 注意点　上述结论中的平面α，β为两个不重合的平面. 知识点4 向量法证明垂直关系 1.直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直. (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 2.直线与平面垂直 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u=λn. 3.平面与平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0. 思路方法总结 1.求平面法向量的步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如. (2)设平面的法向量为n=(x，y，z). (3)联立方程组并求解. (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 2.证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明. (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示. 3.证明面面平行的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 4.证明两直线垂直的基本步骤 (1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. (2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. 5.向量法证明线面垂直的两种思路 (1)应用判定定理：选取基向量或建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量和平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量与另两个相交直线的方向向量的数量积均为零，从而证得结论. (2)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论. 6.证明面面垂直的两种方法 (1)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. (2)几何法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. 典例·举一反三 题型一 平面法向量的求解 1．若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 2．已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 3．平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量． 5．在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 题型二 直线方向向量与平面法向量求参数 6．在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则t＝（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 7．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 8．已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 9．已知（）是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则 . 10．已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则 . 题型三 向量法判断位置关系 11．已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 12．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（   ）. A． B． C．或 D．与相交 13．若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 14．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 15．设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，使得，则 16．设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（   ） A．圆 B．平面 C．直线 D．线段 17．已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 18．已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．是平面的一个法向量 D． 19．已知正方体的棱长为，分别是，的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．三棱锥的体积为 20．已知直线经过点，，则下列命题是真命题的是（    ） A．是直线的一个方向向量 B．若平面的一个法向量是，则 C．若平面的一个法向量是，且，则 D．若为坐标原点，且，则，，，四点共面 21．已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 题型四 向量法证明平行关系 22．如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面； 23．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    24．如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 25．如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 26．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 题型五 向量法证明垂直关系 27．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 28．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证： (2)求的长； 29．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 30．如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点. (1)求的模； (2)求证：平面. 31．如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 题型六 向量法解决探究性问题 32．如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 33．在长方体中，．是线段上的点． (1)若，求证：平面． (2)若，在线段上是否存在点．使，若存在．求的取值范围；若不存在，请说明理由． 34．如图，在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面． (1)判断A，B，D，E四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边BC的中线上确定一点Q，使得平面BCE，并求． 35．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点． （1）求证平面； （2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由． 36．如图1，在中， 分别是上的点，且，，将△沿折起到△的位置，使，如图2. (I)求证：； (II)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $