专题04 空间向量及其运算的坐标表示（4知识点+七大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题04 空间向量及其运算的坐标表示 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 （1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． （2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. （3）右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建立的坐标系都是右手直角坐标系． 知识点02：特殊的的坐标及点的对称坐标 1、几类特殊位置的点的坐标 （1）轴上的点的坐标为 （2）轴上的点的坐标为 （3）轴上的点的坐标为 （4）平面内的点的坐标为 （5）平面内的点的坐标为 （6）平面内的点的坐标为 2、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． 知识点03：空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 5、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 知识点04：空间中两点的距离公式 若，，则 （1） 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． （2）， 或． 【题型01：空间向量中点的坐标表示】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京西城·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B．10 C． D．100 3．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，，则点的空间直角坐标为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. (1)求的坐标； (2)求线段的长度. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    【题型02：空间向量中点的坐标对称问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知点关于轴的对称点为点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）在空间直角坐标系中，点与点关于（   ）对称 A．平面 B．轴 C．平面 D．平面 4．（24-25高二上·北京丰台·期中）在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知点，，则线段的中点M在平面上的射影点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖北·期中）一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【题型03：空间向量运算的坐标表示】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·海南·期末）在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖北·阶段练习）棱长为的正方体中，点是的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知向量，，若，则实数等于（   ） A． B． C．0 D．1 6．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知向量，则（   ） A．10 B．2 C．0 D． 【题型04：空间向量坐标中平行、垂直关系的运算】 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知，，且与垂直，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）与向量同向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东威海·期中）已知，若，则（    ） A． B．3 C．5 D．6 6．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【题型05：空间向量坐标中夹角的运算】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知空间向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）若向量，且与的夹角余弦为，则等于（    ） A．2 B． C．或 D． 3．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知向量，，以，为邻边的平行四边形的面积为（   ） A． B． C．2 D．12 5．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 6．（16-17高二上·河北衡水·周测）如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．    (1)求向量的坐标； (2)求与的夹角的余弦值． 【题型06：空间向量坐标中模长的运算】 一、单选题 1．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（    ） A． B．3 C．8 D．9 4．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知长方体中，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知向量，，，且，则 . 三、解答题 6．（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，是的中点，求的长度.    【题型07：空间向量坐标中投影向量的运算】 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知向量，，，则下列列结论正确的是（    ） A．与垂直 B．与共线 C．与所成角为钝角 D．在上的投影向量为 二、填空题 3．（24-25高二上·重庆秀山·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，则在轴上的投影向量为 . 4．（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量是，且，则 . 5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 . 三、解答题 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立空间直角坐标系，如图所示.    (1)写出正方体各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标. 一、单选题 1．（24-25高二上·河南开封·期末）已知点B是点在坐标平面Oxy内的射影，则（   ） A． B． C． D．5 2．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽亳州·期末）若向量，，共面，则（    ） A．6 B． C．30 D． 4．（24-25高二上·四川达州·期末）已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知，若平面，则（    ） A．11 B． C．3 D． 6．（24-25高二下·福建·期中）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·浙江湖州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 9．（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高二下·河南·期中）在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（   ） A．若点，关于平面对称，则 B．若点，关于轴对称，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·甘肃·期中）已知是棱长为的正方体，与相交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点，则（    ）    A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 三、填空题 14．（24-25高二上·山东泰安·期中）若向量，，则 ． 15．（24-25高二上·四川南充·期中）如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为 ． 16．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）若向量，且，则的值为 17．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模为 ． 18．（23-24高二上·河北邯郸·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 四、解答题 19．（23-24高二上·江西·期中）如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.    (1)证明：； (2)求. 20．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，，P是上一点，且．    (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 空间向量及其运算的坐标表示 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 （1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． （2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. （3）右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建立的坐标系都是右手直角坐标系． 知识点02：特殊的的坐标及点的对称坐标 1、几类特殊位置的点的坐标 （1）轴上的点的坐标为 （2）轴上的点的坐标为 （3）轴上的点的坐标为 （4）平面内的点的坐标为 （5）平面内的点的坐标为 （6）平面内的点的坐标为 2、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． 知识点03：空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 5、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 知识点04：空间中两点的距离公式 若，，则 （1） 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． （2）， 或． 【题型01：空间向量中点的坐标表示】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京西城·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间直角坐标系的定义求出点的坐标. 【详解】点A的坐标为. 故选：D 2．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B．10 C． D．100 【答案】B 【分析】先由投影得点的坐标，再由向量模的坐标公式可得所求. 【详解】由题意得，则， 故选：B. 3．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体中，，，， 可得， 因为点为的中点，由中点公式可得，点的坐标为. 故选：A. 4．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，，则点的空间直角坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出的坐标，再结合，可得，从而求解即可. 【详解】由题意，，， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：A. 二、解答题 5．（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. (1)求的坐标； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间直角坐标系中点的坐标的规定易得两点坐标； （2）利用题设条件先求出点的坐标，再代入两点间距离公式计算即得. 【详解】（1）如图，由题意可知， 因，则 . （2）为的中点，. 是上的靠近点的三等分点，. 由两点间的距离公式，得. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    【答案】； 【分析】根据空间向量的线性运算可得，，进而结合题设求解即可. 【详解】由题意 ， 所以. 又， 所以 【题型02：空间向量中点的坐标对称问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系的对称性，即可求解. 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C. 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知点关于轴的对称点为点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合对称性求点的坐标，再求的坐标，利用模长公式求结论. 【详解】点关于轴的对称点为点， 所以点的坐标为， 所以 则． 故选：A. 3．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）在空间直角坐标系中，点与点关于（   ）对称 A．平面 B．轴 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】点与竖坐标互为相反数，由对称的性质得出结果即可. 【详解】由空间点的对称性质，点与点关于平面对称. 故选：C. 4．（24-25高二上·北京丰台·期中）在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性求出点、的坐标，再利用空间向量的坐标运算可求得向量的坐标. 【详解】因为点关于轴的对称点为点，则， 因为点关于平面的对称点为点，则， 因此，. 故选：A. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知点，，则线段的中点M在平面上的射影点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出线段的中点M的坐标，再根据在平面上的射影点的特点为：横坐标为0，纵坐标，竖坐标保持不变即可． 【详解】，， 线段的中点M的坐标为， 根据在平面上的射影点的特点为：横坐标为0，纵坐标，竖坐标保持不变， 从而点M在平面上的射影点的坐标为， 故选：A． 6．（23-24高二上·湖北·期中）一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】求出关于平面的对称点的坐标，然后可得光线所走的路程. 【详解】点关于平面的对称点， 一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是. 故选：C. 【题型03：空间向量运算的坐标表示】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】因为向量，，， 则， 因此，. 故选：A. 3．（24-25高二上·海南·期末）在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加减法的坐标运算直接求解即可. 【详解】由题知，. 故选：A 4．（24-25高二下·湖北·阶段练习）棱长为的正方体中，点是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标可计算得出的值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，，故. 故选：C. 5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知向量，，若，则实数等于（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据数量积的公式列方程，然后解方程即可. 【详解】，解得. 故选：D. 6．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知向量，则（   ） A．10 B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求值即可. 【详解】因为， . 所以. 故选：C 【题型04：空间向量坐标中平行、垂直关系的运算】 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的坐标表示列式求解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 2．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 解得： 故选：B. 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知，，且与垂直，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量垂直的充要条件与空间向量数量积的坐标公式，建立方程，解之即得. 【详解】由与垂直， 可得（*）， 因，，则，，， 代入（*），可得，解得. 故选：C. 4．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）与向量同向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所求的单位向量为，结合单位向量定义列方程求结论. 【详解】设所求的单位向量为， 则， 解得，故所求的向量为． 故选：A. 5．（24-25高二上·山东威海·期中）已知，若，则（    ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求得的坐标，利用，求得，求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以存在唯一实数，使得， 所以，即， 所以，解得，所以. 故选：C. 6．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，由共线向量表示出，又，结合已知可得，由此即可得解. 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 【题型05：空间向量坐标中夹角的运算】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知空间向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示可得，进而求解. 【详解】由题意知，， 所以，则. 故选：A 2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）若向量，且与的夹角余弦为，则等于（    ） A．2 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由空间向量夹角余弦值的坐标运算，结合的坐标得到关于的表达式，即可求出的值. 【详解】因为向量，且与的夹角余弦为， 所以， 解得， 故选：D. 3．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】因为，，则，， 所以，. 故选：B. 4．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知向量，，以，为邻边的平行四边形的面积为（   ） A． B． C．2 D．12 【答案】A 【分析】利用空间向量夹角及模的坐标表示，再结合三角形面积公式计算即得. 【详解】向量，，则，， ，， 所以以，为邻边的平行四边形的面积为. 故选：A 5．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 二、解答题 6．（16-17高二上·河北衡水·周测）如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．    (1)求向量的坐标； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据题意求出点的坐标，从而能求的坐标； （2）求出的坐标，根据公式计算即可求解. 【详解】（1）过点作于点，由题意，， 则， ， 所以，    因为，是的中点，所以， 所以. （2），所以， ，所以，， 所以， 则与的夹角的余弦值为. 【题型06：空间向量坐标中模长的运算】 一、单选题 1．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量平行得出，，再计算模长即可. 【详解】因为，所以，解得，， 则，． 故选:A． 2．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 3．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（    ） A． B．3 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用向量坐标运算求出，进而求出的坐标及模. 【详解】向量，，线段AB的中点为D，则, 而，于是， 所以. 故选：B 4．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知长方体中，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示，可得答案. 【详解】以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为， 因为，那么， 所以， 所以、、、四点共面， 由得，解得， 所以的最小值为. 故选：B.    二、填空题 5．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知向量，，，且，则 . 【答案】3 【分析】利用向量的坐标运算求出，根据空间向量模的公式列方程求解. 【详解】因为，，， 所以，可得， 因为，解得， 故答案为：3. 三、解答题 6．（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，是的中点，求的长度.    【答案】 【分析】法一：分别求得在坐标轴上的投影可得M的坐标，进而求得的长度； 法二：设的单位向量分别为，利用空间的线性运算可得，即可求得的长度. 【详解】法一：设点在轴、轴、轴上的射影分别为， 它们在坐标轴上的坐标分别为，所以点的坐标是. 所以，即的长度的为.      法二：设的单位向量分别为，则为空间的一个基底， . 所以点的坐标是， 所以，即的长度的为. 【题型07：空间向量坐标中投影向量的运算】 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题可知，， 向量在向量上的投影向量为. 故选：. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知向量，，，则下列列结论正确的是（    ） A．与垂直 B．与共线 C．与所成角为钝角 D．在上的投影向量为 【答案】D 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；判断出，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，所以，与不垂直，A错； 对于B选项，，故与不共线，B错； 对于C选项，因为，且、为非零向量，故与所成角为，C错； 对于D选项，在上的投影向量为 ，D对. 故选：D. 二、填空题 3．（24-25高二上·重庆秀山·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，则在轴上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据向量坐标运算及投影的定义得解. 【详解】因为向量，设轴上的一个单位向量为， 所以在轴上的投影向量为. 故答案为： 4．（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量是，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，且向量在向量上的投影向量为， 即， 所以. 故答案为： 5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量公式求出答案即可. 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 三、解答题 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立空间直角坐标系，如图所示.    (1)写出正方体各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2)，， (3). 【分析】（1）直接利用空间直角坐标系求出结果； （2）利用向量的坐标运算的应用求出结果； （3）根据投影向量的定义与空间向量坐标运算求解即可. 【详解】（1）由题知 （2）因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，所以， 所以：，，． （3）易知向量, 在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 一、单选题 1．（24-25高二上·河南开封·期末）已知点B是点在坐标平面Oxy内的射影，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】首先得到点的坐标，结合向量模的计算公式即可得解. 【详解】点B是点在坐标平面Oxy内的射影， ， ， 故选：A. 2．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，， 则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 则. 故选：A. 3．（24-25高二上·安徽亳州·期末）若向量，，共面，则（    ） A．6 B． C．30 D． 【答案】B 【分析】利用空间向量共面定理，列式求出，进而求出向量的模. 【详解】由，，共面，得存在实数，，使得，则，解得， 所以. 故选：B 4．（24-25高二上·四川达州·期末）已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直关系可得，再由投影向量定义计算可得结果. 【详解】由可得，解得，即； 所以; 因此在方向上的投影向量为. 故选：A 5．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知，若平面，则（    ） A．11 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先利用线面垂直的性质可得，，再根据数量积为零求出最后根据模长公式求解即可. 【详解】平面，平面，平面， 所以，， 所以， 因为， 可得， 解得则 故选：B. 6．（24-25高二下·福建·期中）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正四面体嵌套正方体内，建系标点，利用空间向量的坐标运算求投影向量. 【详解】如图，将正四面体嵌套正方体内，并以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为，可知正方体的棱长为2， 则， 可得， 则在方向上的投影向量为， 所以的值为. 故选：B. 7．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 8．（23-24高二上·浙江湖州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得．联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可． 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角都等于， ， 易知， 又， 又为单位向量，所以， 联立，得或， 又， ． 故选：C． 9．（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，然后表示出化简可求得结果. 【详解】因为底面平面， 所以, 因为四边形为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 所以 ， 因为， 所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4. 故选：A 二、多选题 10．（24-25高二下·河南·期中）在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（   ） A．若点，关于平面对称，则 B．若点，关于轴对称，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据空间点对称法则求得对称点的坐标求解即可判断AB，根据空间向量垂直的坐标运算求解判断C，根据空间两点距离公式列式化简即可判断D. 【详解】对A，若点，关于平面对称，则， 所以，故A错误； 对B，若点，关于轴对称，则， 所以，故B正确； 对C，若，则，故C正确； 对D，若，则， 所以，两式相减得，故D错误. 故选：BC 11．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据空间向量坐标表示得线性运算即可判断A；根据空间向量的模的坐标公式即可判断B；根据空间向量共线定理即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，由，， 得， 所以，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， 则，故D错误. 故选：BC. 12．（24-25高二下·甘肃·期中）已知是棱长为的正方体，与相交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算逐项检验即可得结论. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 对于A，因，则，故A正确； 对于B，因则，故B错误； 对于C，因则，故C正确；， 对于D，因，则，故D正确. 故选：ACD. 13．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点，则（    ）    A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，根据空间向量的坐标运算结合投影向量的定义逐项判断即可. 【详解】因为平面，平面，所以 又底面为矩形，所以， 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系    设，则 所以， 则在方向上的投影向量为，故A正确； 又，所以在方向上的投影向量为，故B不正确； 又，， 所以所以在方向上的投影向量为，故C正确； 又，所以在方向上的投影向量为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 14．（24-25高二上·山东泰安·期中）若向量，，则 ． 【答案】6 【分析】根据空间向量的坐标运算即可得到结果. 【详解】∵，， ∴， ∴. 故答案为：6. 15．（24-25高二上·四川南充·期中）如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为 ． 【答案】. 【分析】连接，求出的大小，结合三角函数的定义可求得点的坐标. 【详解】连接，如下图所示： 因为，，则， 因为为的中点，则，故为等边三角形， 故，且， 故点，即点. 故答案为：. 16．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）若向量，且，则的值为 【答案】1 【分析】利用空间向量的夹角公式即可得出． 【详解】因为向量， 所以， ， 又， 所以，， 解得. 故答案为：. 17．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合向量投影的定义计算即可. 【详解】由，得，则， 所以， 所以在方向上的投影向量的模为， 故答案为：. 18．（23-24高二上·河北邯郸·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量求两点间的距离，求最值即可. 【详解】设的中点为，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图. 由，可得， 则， 所以当时，取最小值. 故答案为：. 四、解答题 19．（23-24高二上·江西·期中）如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.    (1)证明：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建系，利用空间向量的坐标运算证明线线垂直； （2）根据空间向量的坐标运算求，进而可得结果. 【详解】（1）由题意易知，，两两相互垂直，以A为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.    则，，，，. 因为，， 所以，因此. （2）因为，， 则，， 可得， 所以. 20．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，，P是上一点，且．    (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，由条件列式可求得点坐标； （2）利用空间向量的数量积的坐标运算证明即可． 【详解】（1）如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则． 设，，, ∵，∴， 解得，，，故点的坐标为．    （2）由（1）知，， ∵，∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$