第三单元 用字母表示（二）（知识清单）数学北师大版六年级上册（新教材）

该小学数学单元知识清单系统梳理了“用字母表示（二）”单元内容，涵盖用字母表示数量关系、探索规律、日历中的数量关系及圆环周长计算等核心范畴，搭建从具体计算到规律提炼再到符号表达的递进式学习支架。 清单以“知识点解析+题型应用”构建完整体系，突出数学思维与模型意识。每个知识点设易错点提示（如行程问题括号使用）、多视角分析（如摆三角形的递推与构造法），题型覆盖正向应用与逆向推导（如已知小棒数求图形个数）。通过“总分模型”“日历方框规律”等实例培养抽象能力，教师可借分层例题设计教学，学生能自主梳理规律，提升应用意识。

第三单元 用字母表示（二） 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：用字母表示数量关系： 1、用字母表示数的意义 概括性：字母可以代表任意的数，也可以代表特定的未知数。 简洁性：用字母表示数量关系比用文字叙述更简明、易记，便于应用。 区分变量：在同一个问题中，不同的量通常用不同的字母表示（如投进球数用a，罚进球数用b），以避免混淆。 2、 构建数量关系的步骤 （1）具体计算： 先根据具体数值算出结果； （2）寻找规律： 分析数量之间的运算逻辑； （3）符号表达： 用字母替换具体的数量，写出通用的公式。 3、常见数量关系模型 （1）总分模型（累加型）： 场景：套圈游戏。 关系：总分 = A类分值×数量+ B类分值×数量。 表达式：若套中蓝色得2分（a次），橙色得5分（b次），则总分=2a+5b 。 （2）总价模型（单价×数量）： 场景：买早点。 关系：总金额 = 单价1×数量1 +单价2×数量2。 表达式：包子8元/屉（a屉），粥2元/碗（a碗），总额=8a+2a=10a 。这里也隐含了合并同类项的思想（虽然小学阶段可能不强调术语，但逻辑是一致的）。 （3）行程模型（相遇问题）： 场景：两车相向而行。 关系：时间 = 总路程÷速度和。 表达式：路程140km ，速度分别为a和b ，则相遇时间t=140÷(a+b) 。 4、易错点提示 （1）对应关系要准确：在设未知数时，必须明确哪个字母代表哪个量。例如在坐船问题中，若a代表大船，b 代表小船，则总人数应为6a+4b 。如果写成6b+4a ，则意味着b是大船，a是小船，这与假设矛盾。 （2）运算顺序：在列综合算式时，要注意是否需要加括号。例如在行程问题求时间时，必须先算出速度和，再被路程除，所以必须写成140÷(a+b) ，不能写成140÷a+b 。 知识点02：探索规律（一）： 1、 探索规律的基本方法 （1）列表法：将图形的序号（如三角形个数）与对应的数量（如小棒根数）列成表格，便于观察数据的变化趋势。 （2）画图法：通过画示意图，直观地看到图形是如何增加的（例如每次增加一个三角形，就增加两根小棒）。 （3）找不变量与变量：分析哪些部分是不变的（如第一个三角形），哪些部分是随序号变化的（如后续增加的三角形）。 2、发现规律的两种视角 针对“摆n个三角形需要多少根小棒”这一问题，教材展示了两种不同的思维路径，虽然结果一致，但思考逻辑不同： （1）视角一：从“增量”角度思考（递推法） 思路：第1个三角形需要3根小棒，之后每增加1个三角形，只需要增加2根小棒（共用一条边）。 推导： 1个三角形：3 2个三角形：3+2 3个三角形：3+2+2=3+2×2 ... n 个三角形：3+2×(n−1) 含义解释：3 代表第一个三角形的根数，(n−1) 代表除了第一个之外剩下的三角形个数，每个需加2根。 （2）视角二：从“结构拆分”角度思考（构造法） 思路：把第一根小棒看作“地基”或“起始棒”，之后每一个三角形都由“上下两根”小棒搭建而成（或者看作先摆1根，后面每多一个三角形就多2根）。 推导： 1个三角形：1+2 2个三角形：1+2+2=1+2×2 3个三角形：1+2×3 ... n 个三角形：1+2n 含义解释：1 是起始的那1根，2n 表示n个三角形每个贡献了2根（这种理解方式更抽象，但公式更简洁）。 3、用字母表示规律（代数式） 公式表达：小棒根数=3+2(n−1) 或小棒根数=1+2n 。 化简理解： 虽然教材主要展示未化简的形式以便理解来源，但学生应能理解3+2(n−1) 展开后即为3+2n−2=2n+1 ，两者是等价的。 4、利用规律解决问题（逆向思维） （1）正向应用：已知项数求总数 （2）逆向应用：已知总数求项数（解简易方程） 知识点03：探索规律（二）： 1、探索规律的核心策略 （1）列表归纳法：将桌子张数（n）与对应的人数（m）列成表格，观察数字之间的倍数或加减关系。 （2）数形结合法：结合图形直观分析。 左右看： 无论拼多少张桌子，最左边和最右边始终各坐1人（共2人），中间每张桌子上下各坐1人（共2n人）。 整体减部分：假设桌子不拼在一起，总人数是4n ，每拼一次少坐2人，拼n−1 次就少坐 2(n−1) 人。 2、同一规律的多种表达形式 这是本课的难点与亮点。针对“n 张桌子拼在一起能坐多少人”这个问题，不同的思考角度会得出不同的代数式，但它们计算结果是相等的。 （1）视角一：基础 + 增量（笑笑的方法） 思路： 把第一张桌子看作基础（坐4人），后面每加一张桌子只增加2人（因为有一条边重合了）。或者更简单地看作：上下两边每张桌子坐2人（2n ），加上左右两端固定的2人。 公式：m=2n+2 （2）视角二：总量 - 损耗（淘气的方法） 思路：假设n 张桌子完全分开，总共能坐4n 人。但是桌子拼在一起时，每两个桌子之间会“损失”2个座位（接触面不能坐人）。 n 张桌子有 n−1 个接触面。 公式：m=4n−2(n−1) 3、不同摆放方式的规律对比 （1）长边拼接（本课主要案例）： 每多一张桌子，增加 2 个座位。 公式：2n+2 （2）短边拼接（练一练案例）： 每多一张桌子，增加 4 个座位（上下各2个）。 公式推导：第1张坐6人，之后每次加4人。即6+4(n−1) 或简化为4n+2 。 结论：摆放方式改变，变量（斜率）也会改变，解题时需先观察图形特征。 4、数字处理机器（函数思想的萌芽） （1）正向推导（求值）：已知输入a ，根据运算规则（如×2+1 ）求输出b 。 式子：b=2a+1 （2） 逆向推导（解方程）：已知输出b ，反推输入a 。 知识点04：日历中的数量关系： 1、日历中数字的基本排列规律 在标准的月历表中，数字的排列遵循特定的空间逻辑： （1）横向关系：同一行中，相邻的两个日期，右边的数比左边的数大 1。 （2）纵向关系：同一列中，相邻的两个日期，下面的数比上面的数大 7（因为一周有7天）。 2、“2×2方框”中的数量关系 对角线求和规律： 方框内对角线上的两个数之和相等。 3、用字母表示数与代数推导 设未知数：设方框左上角的数为a 。 （1）表示其他数： 根据日历的排列规律，可以用含a的式子表示其余三个数： 右上角的数：a+1 （比左边大1） 左下角的数：a+7 （比上面大7） 右下角的数：a+8 （即(a+1)+7 或(a+7)+1 ） （2）代数验证： 第一条对角线之和：a+(a+8)=2a+8 第二条对角线之和：(a+1)+(a+7)=2a+8 结论：无论a是多少，两条对角线的和始终相等，均为2a+8 。 4、“十字形方框”中的数量关系（拓展应用） 位置关系：设中间的数为y 。 左边的数：y−1 右边的数：y+1 上面的数：y−7 下面的数：y+7 求和规律：这5个数的和是中间数y的5倍。 推导：(y−1)+(y+1)+(y−7)+(y+7)+y=5y 。 知识点05：花坛周长： 1、解决问题的策略：从特殊到一般 在解决未知量（如本题中未给出花坛具体半径）的问题时，通常采用以下思维路径： （1）尝试特值法：先假设一个具体的数值（例如假设半径r=2 、6 、10 等），代入公式进行计算，观察结果是否有规律。 发现无论半径是多少，只要路宽是1m ，周长增加量似乎都是2π 。 （2）归纳猜想：基于特值的计算结果，猜想这是一个普遍规律，与半径的具体大小无关。 （3）代数验证：为了证明猜想的普遍性，引入字母（变量）进行推导。 2、用字母表示数量关系（代数推导） 设定变量： 设花坛（小圆）的半径为r 。 表示相关量： 原周长： 新半径：（因为路宽1m） 新周长： 列式求解：求差值 题型1：用字母表示数量关系 【例1】王老师购买了12副乒乓球拍和1盒乒乓球。乒乓球拍每副m元，乒乓球每盒30元。 (1)王老师一共要付多少元？（用含有字母的式子表示） (2)当m＝80时，王老师一共要付多少元？ 【例2】为响应国家“全民阅读”号召，学校开展书香校园建设。四年级采购课外读物，已知采购科普书a本、文学书比科普书的3倍少b本。 (1)用含有字母的式子表示四年级一共采购图书的总本数。 (2)当a＝100，b＝105时，四年级一共采购多少本图书？ 题型2：探索规律 【例3】下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 【例4】如图，观察由梯形拼成的图形和所给表中的数据后回答问题。 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长 10 14 18 22 26 … (1)当梯形的个数为10个时，图形的周长是( )。 (2)当图形的周长为82时，梯形的个数是( )个。 【例5】中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 (1)如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有( )个交点，照这样的规律，第9幅图有( )个交点。 (2)根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 【例6】照下图的样子，摆1个正八边形需要8根小棒，摆2个正八边形需要15根小棒…… (1)摆20个正八边形需要多少根小棒？ (2)有561根小棒能摆成多少个正八边形？ 【例7】先看看表格中三角形的个数有什么变化，然后填一填，再回答下列问题。 三角形个数 6 12 （1）如果在三角形内部画上5条横线，图中有多少个三角形？ （2）如果图中三角形的个数是84，图中应画多少条横线？ 题型3：日历中的规律 【例8】现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 【例9】（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）。 （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 【例10】下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： 图1                                                      图2 （1）请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； （2）圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由。 题型4：花坛周长（圆环） 【例11】小夏想知道一卷空心卷筒纸展开的总长度，设计了一个实验方案（步骤如下），请你根据实验方案计算出卷筒纸展开后的总长度。 实验步骤 ①测量卷筒纸横截面的外圆直径为14厘米，内圆直径为6厘米。 ②测量每层纸的厚度为0.02厘米。 ③计算卷筒纸的总长度。 【例12】一块直径为12米的圆形草坪，周围有一条宽2米的人行道，这条人行道的面积是多少平方米？ 【例13】某市准备在中心广场的圆形音乐喷泉的四周，搭建一个宽度为6米的环形看台。 (1)这个环形看台的占地面积是多少平方米？ (2)如果在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，一共大约可以种多少棵树？ 一、选择题 1．一个五边形可以用5根同样的小棒摆出来，要按照下图的方式摆10个这样的五边形需要（    ）根小棒。 A．40 B．41 C．45 D．50 2．用小棒按照如下方式摆图形，那么第8个图形需要（       ）根小棒。 A．40 B．41 C．48 D．51 3．英英用正方形和等边三角形按下面的方式摆图形。按照这样的方式摆第10幅图，需要（    ）个等边三角形。 A．31 B．28 C．25 4．三阶幻方也称“九宫图”，是一种特殊的数学方阵，其中每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都相等。表格是一个未完成的幻方，a的值为（    ）。 6 10 12 a A．4 B．5 C．6 D．7 5．乐乐从百数表上剪下了一部分（如图），下面关于a、b、c、d四个数，说法错误的是（    ）。 A．d比b大9 B．a比c小10 C．d比a大20 6．小明用一张彩纸制作扇面，先在彩纸上画了两个半圆，小圆半径是1分米，大圆半径是3分米（如图1）。沿弧线剪开后，又剪掉了剩下图形的（如图2）。制成了一个扇面（如图3）。求制作出的扇面面积，下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 7．下列知识点中，没有运用转化思想的是（    ）。 A．求圆的面积 B．求平行四边形的面积 C．求圆柱体的体积 D．求圆环的面积 8．下图，为了美化校园环境，学校计划在一个半径是6米的圆形花坛外围修一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是（    ）平方米。 A．4π B．28π C．36π D．64π 二、判断题 9．在一个大圆里挖去一个小圆就是圆环。( ) 10．，第六个点阵中点的个数是1＋4×5＝21。( ) 11．将边长为1cm的正方形按一行排列，当有3个正方形时，周长为8cm；每增加一个，周长增加2cm。( ) 12．按照下列方式排列，△○○△△△○○△△△○○△△△……当△有100个时，○不可能有69个。( ) 13．在同心圆中，大圆的半径是5厘米，小圆的半径是3厘米，要求圆环的面积，可以使用算式S＝3.14×（52－32）。( ) 14．一个圆环，外圆直径8cm，内圆半径2cm，则圆环面积是188.4cm2。( ) 15．如下图，用小棒摆图形，摆第12个图形用了22根小棒。( ) 三、填空题 16．用黑白两种颜色的正六边形，按如图所示的规律拼图案，照这样的规律下去。第7个图案中的白正六边形比黑正六边形多( )个。 17．按如图中的方式用火柴棒搭三角形，搭n个三角形需要火柴棒( )根。 18．我们经常把“数”与“形”联系在一起进行研究。请认真观察图：第1幅图有2个点，第2幅图有6个点，第3幅图有10个点，……，那么第15幅图有( )个点，第n幅图有( )个点。 …… 19．漏窗是我国古典园林建筑中的装饰性透空窗，有景中有画，画中有景的艺术效果。“灯笼锦”样式的漏窗设计示意图如图所示，第1幅图有5个正八边形，第2幅图有8个正八边形……按照这样的规律设计，第10幅图有( )个正八边形，第n幅图有( )个正八边形。 20．如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色，按照这样的规律，第7个图案中有( )个涂色的小正方形；第( )个图案中有101个涂色的小正方形。 21．一个圆形花坛半径5米，在它周围修一条1米宽的小路，小路的面积是( )平方米。 22．如图，一张光盘上刻有100兆的文件（黑色部分），如果每平方厘米的存储量一样大，那么灰色部分可以刻( )兆的文件。（兆是表示文件大小的单位） 23．一个圆形光盘，外圆半径是4厘米，内圆圆孔半径是2厘米，这个光盘银色部分的面积是( )平方厘米。 四、解答题 24．如图，小小丁把一个长为24厘米，宽为3厘米的长方形从正方形的左边平移到右边，如图是平移过程中它们重叠部分面积与时间的部分关系图。 （1）正方形的边长为多少厘米？ （2）当平移时间为多少秒时，长方形和正方形的重叠部分面积是24平方厘米？ 25．黄金螺旋线又称斐波那契嫘旋线，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线。经常在大自然中被观察到，如旋风、螺丝壳等，是自然界中最完美的经典黄金比例。可以通过切割正方形并绘制四分之一圆弧来近似绘制，在Logo设计、界面布局、字体设计等方面都有应用。 用下面的步骤画“黄金螺旋线”，第一步中扇形的半径是1cm，照这样继续往下画，算一算：第五步完成后螺旋曲线的总弧长是多少厘米？（取3.14） 26．数学实践课上，同学们玩拼图，用若干个完全一样的梯形，有序拼接起来，计算出拼成的图形的周长，能够发现一些有趣的规律。梯形各边的长度如下图。（单位：cm） （1）观察上图，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ … 周长/cm 8 12 … （2）按照这样的规律排列，图⑧的周长是（    ）cm，图的周长是（    ）cm。 27．观察下图中正方形的个数与直角三角形个数之间的关系。如果正方形个数用n表示，那么直角三角形的个数用含有n的式子怎么表示？请写出思考的过程。 28．一座雕塑的基座是圆形，其周长是94.2米，在它周围种植了5米宽的环形草坪。如果种植1平方米草坪的成本是30元，那么种植这块草坪的成本是多少元？ 29．圆形荷花池直径是30米，它的外围有一条2米宽的圆环形碎石小路，这条小路面积约是多少平方米？（得数保留整数） 30．爱莲广场中心有一个水池，直径是40米。 (1)沿着水池走20圈，要走多少米？ (2)为了迎接春节，现要在水池外面摆放一个1米宽的花环，花环的面积是多少平方米？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 用字母表示（二） 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：用字母表示数量关系： 1、用字母表示数的意义 概括性：字母可以代表任意的数，也可以代表特定的未知数。 简洁性：用字母表示数量关系比用文字叙述更简明、易记，便于应用。 区分变量：在同一个问题中，不同的量通常用不同的字母表示（如投进球数用a，罚进球数用b），以避免混淆。 2、 构建数量关系的步骤 （1）具体计算： 先根据具体数值算出结果； （2）寻找规律： 分析数量之间的运算逻辑； （3）符号表达： 用字母替换具体的数量，写出通用的公式。 3、常见数量关系模型 （1）总分模型（累加型）： 场景：套圈游戏。 关系：总分 = A类分值×数量+ B类分值×数量。 表达式：若套中蓝色得2分（a次），橙色得5分（b次），则总分=2a+5b 。 （2）总价模型（单价×数量）： 场景：买早点。 关系：总金额 = 单价1×数量1 +单价2×数量2。 表达式：包子8元/屉（a屉），粥2元/碗（a碗），总额=8a+2a=10a 。这里也隐含了合并同类项的思想（虽然小学阶段可能不强调术语，但逻辑是一致的）。 （3）行程模型（相遇问题）： 场景：两车相向而行。 关系：时间 = 总路程÷速度和。 表达式：路程140km ，速度分别为a和b ，则相遇时间t=140÷(a+b) 。 4、易错点提示 （1）对应关系要准确：在设未知数时，必须明确哪个字母代表哪个量。例如在坐船问题中，若a代表大船，b 代表小船，则总人数应为6a+4b 。如果写成6b+4a ，则意味着b是大船，a是小船，这与假设矛盾。 （2）运算顺序：在列综合算式时，要注意是否需要加括号。例如在行程问题求时间时，必须先算出速度和，再被路程除，所以必须写成140÷(a+b) ，不能写成140÷a+b 。 知识点02：探索规律（一）： 1、 探索规律的基本方法 （1）列表法：将图形的序号（如三角形个数）与对应的数量（如小棒根数）列成表格，便于观察数据的变化趋势。 （2）画图法：通过画示意图，直观地看到图形是如何增加的（例如每次增加一个三角形，就增加两根小棒）。 （3）找不变量与变量：分析哪些部分是不变的（如第一个三角形），哪些部分是随序号变化的（如后续增加的三角形）。 2、发现规律的两种视角 针对“摆n个三角形需要多少根小棒”这一问题，教材展示了两种不同的思维路径，虽然结果一致，但思考逻辑不同： （1）视角一：从“增量”角度思考（递推法） 思路：第1个三角形需要3根小棒，之后每增加1个三角形，只需要增加2根小棒（共用一条边）。 推导： 1个三角形：3 2个三角形：3+2 3个三角形：3+2+2=3+2×2 ... n 个三角形：3+2×(n−1) 含义解释：3 代表第一个三角形的根数，(n−1) 代表除了第一个之外剩下的三角形个数，每个需加2根。 （2）视角二：从“结构拆分”角度思考（构造法） 思路：把第一根小棒看作“地基”或“起始棒”，之后每一个三角形都由“上下两根”小棒搭建而成（或者看作先摆1根，后面每多一个三角形就多2根）。 推导： 1个三角形：1+2 2个三角形：1+2+2=1+2×2 3个三角形：1+2×3 ... n 个三角形：1+2n 含义解释：1 是起始的那1根，2n 表示n个三角形每个贡献了2根（这种理解方式更抽象，但公式更简洁）。 3、用字母表示规律（代数式） 公式表达：小棒根数=3+2(n−1) 或小棒根数=1+2n 。 化简理解： 虽然教材主要展示未化简的形式以便理解来源，但学生应能理解3+2(n−1) 展开后即为3+2n−2=2n+1 ，两者是等价的。 4、利用规律解决问题（逆向思维） （1）正向应用：已知项数求总数 （2）逆向应用：已知总数求项数（解简易方程） 知识点03：探索规律（二）： 1、探索规律的核心策略 （1）列表归纳法：将桌子张数（n）与对应的人数（m）列成表格，观察数字之间的倍数或加减关系。 （2）数形结合法：结合图形直观分析。 左右看： 无论拼多少张桌子，最左边和最右边始终各坐1人（共2人），中间每张桌子上下各坐1人（共2n人）。 整体减部分：假设桌子不拼在一起，总人数是4n ，每拼一次少坐2人，拼n−1 次就少坐 2(n−1) 人。 2、同一规律的多种表达形式 这是本课的难点与亮点。针对“n 张桌子拼在一起能坐多少人”这个问题，不同的思考角度会得出不同的代数式，但它们计算结果是相等的。 （1）视角一：基础 + 增量（笑笑的方法） 思路： 把第一张桌子看作基础（坐4人），后面每加一张桌子只增加2人（因为有一条边重合了）。或者更简单地看作：上下两边每张桌子坐2人（2n ），加上左右两端固定的2人。 公式：m=2n+2 （2）视角二：总量 - 损耗（淘气的方法） 思路：假设n 张桌子完全分开，总共能坐4n 人。但是桌子拼在一起时，每两个桌子之间会“损失”2个座位（接触面不能坐人）。 n 张桌子有 n−1 个接触面。 公式：m=4n−2(n−1) 3、不同摆放方式的规律对比 （1）长边拼接（本课主要案例）： 每多一张桌子，增加 2 个座位。 公式：2n+2 （2）短边拼接（练一练案例）： 每多一张桌子，增加 4 个座位（上下各2个）。 公式推导：第1张坐6人，之后每次加4人。即6+4(n−1) 或简化为4n+2 。 结论：摆放方式改变，变量（斜率）也会改变，解题时需先观察图形特征。 4、数字处理机器（函数思想的萌芽） （1）正向推导（求值）：已知输入a ，根据运算规则（如×2+1 ）求输出b 。 式子：b=2a+1 （2） 逆向推导（解方程）：已知输出b ，反推输入a 。 知识点04：日历中的数量关系： 1、日历中数字的基本排列规律 在标准的月历表中，数字的排列遵循特定的空间逻辑： （1）横向关系：同一行中，相邻的两个日期，右边的数比左边的数大 1。 （2）纵向关系：同一列中，相邻的两个日期，下面的数比上面的数大 7（因为一周有7天）。 2、“2×2方框”中的数量关系 对角线求和规律： 方框内对角线上的两个数之和相等。 3、用字母表示数与代数推导 设未知数：设方框左上角的数为a 。 （1）表示其他数： 根据日历的排列规律，可以用含a的式子表示其余三个数： 右上角的数：a+1 （比左边大1） 左下角的数：a+7 （比上面大7） 右下角的数：a+8 （即(a+1)+7 或(a+7)+1 ） （2）代数验证： 第一条对角线之和：a+(a+8)=2a+8 第二条对角线之和：(a+1)+(a+7)=2a+8 结论：无论a是多少，两条对角线的和始终相等，均为2a+8 。 4、“十字形方框”中的数量关系（拓展应用） 位置关系：设中间的数为y 。 左边的数：y−1 右边的数：y+1 上面的数：y−7 下面的数：y+7 求和规律：这5个数的和是中间数y的5倍。 推导：(y−1)+(y+1)+(y−7)+(y+7)+y=5y 。 知识点05：花坛周长： 1、解决问题的策略：从特殊到一般 在解决未知量（如本题中未给出花坛具体半径）的问题时，通常采用以下思维路径： （1）尝试特值法：先假设一个具体的数值（例如假设半径r=2 、6 、10 等），代入公式进行计算，观察结果是否有规律。 发现无论半径是多少，只要路宽是1m ，周长增加量似乎都是2π 。 （2）归纳猜想：基于特值的计算结果，猜想这是一个普遍规律，与半径的具体大小无关。 （3）代数验证：为了证明猜想的普遍性，引入字母（变量）进行推导。 2、用字母表示数量关系（代数推导） 设定变量： 设花坛（小圆）的半径为r 。 表示相关量： 原周长： 新半径：（因为路宽1m） 新周长： 列式求解：求差值 题型1：用字母表示数量关系 【例1】王老师购买了12副乒乓球拍和1盒乒乓球。乒乓球拍每副m元，乒乓球每盒30元。 (1)王老师一共要付多少元？（用含有字母的式子表示） (2)当m＝80时，王老师一共要付多少元？ 【答案】(1)元 (2)990元 【分析】（1）根据数量关系“总价＝单价×数量”，分别表示出乒乓球拍的总价和乒乓球的总价，再将两者相加即可得到总费用的代数式。 （2）将 代入（1）小题得到的式子中，按照整数四则混合运算的顺序计算出具体数值。 【详解】（1）乒乓球拍的总价为：（元） 乒乓球的总价为：元 一共要付的钱数为：元 答：王老师一共要付元。 （2）当时 （元） 答：王老师一共要付990元。 【例2】为响应国家“全民阅读”号召，学校开展书香校园建设。四年级采购课外读物，已知采购科普书a本、文学书比科普书的3倍少b本。 (1)用含有字母的式子表示四年级一共采购图书的总本数。 (2)当a＝100，b＝105时，四年级一共采购多少本图书？ 【答案】(1)（）本 (2)本 【分析】（1）文学书的本数是科普书的倍少本，求一个数的几倍用乘法，即本，四年级一共采购图书的总本数等于科普书本数加文学书本数，列出式子并化简即可。 （2）将，代入第（1）题求出的含有字母的式子中，按照四则运算顺序计算出结果。 【详解】（1）文学书的本数： 总本数：本 （2）当， 时 （本） 答：四年级一共采购295本图书。 题型2：探索规律 【例3】下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 【答案】(1) (2)210块 (3)（2＋n）×（n＋1）÷2；1596块 【分析】由图可知，第一个图形有3块白瓷砖，1块黑瓷砖；第二个图形有6块白瓷砖，3块黑瓷砖；第三个图形有10块白瓷砖，6块黑瓷砖。 （1）第一个图形共4块瓷砖，第二个图形共9块瓷砖，第三个图形共16块瓷砖，找出瓷砖的总块数的规律，用含有n的式子表示。 （2）将n＝20代入式子1＋2＋3＋…＋n计算即可。根据公式：（第一个数＋最后一个数）×这组数的个数÷2，代入数据计算即可。 （3）第一个图形白瓷砖比黑瓷砖多2块，第二个图形白瓷砖比黑瓷砖多3块，第三个图形白瓷砖比黑瓷砖多4块，……，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块。 由第（2）问可知，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），据此计算。 【详解】（1）第一个图形共4块瓷砖，4＝＝ 第二个图形共9块瓷砖，9＝＝ 第三个图形共16块瓷砖，16＝＝ 第n个图形瓷砖总块数： （2）1＋2＋3＋…＋20 ＝（1＋20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝210（块） 答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块。 （3）由分析可知，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），所以第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为1＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）＝（1＋n＋1）×（n＋1）÷2＝（2＋n）×（n＋1）÷2。 当n＝55时， （2＋55）×（55＋1）÷2 ＝57×56÷2 ＝3192÷2 ＝1596（块） 答：第55个图形中共有1596块白瓷砖。 【例4】如图，观察由梯形拼成的图形和所给表中的数据后回答问题。 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长 10 14 18 22 26 … (1)当梯形的个数为10个时，图形的周长是( )。 (2)当图形的周长为82时，梯形的个数是( )个。 【答案】(1)46 (2)19 【分析】（1）观察图形及表格可知，每增加一个梯形，图形的周长就增加4。据此总结出计算周长的规律表达式，求出梯形个数为10时，图形的周长。 （2）让上述表达式的结果等于82，求出梯形的个数。 【详解】（1）根据图形及表格可知： 当梯形个数为1时，周长为10，10＝1×4＋6； 当梯形个数为2时，周长为14，14＝2×4＋6； 当梯形个数为3时，周长为18，18＝3×4＋6； 当梯形个数为4时，周长为22，22＝4×4＋6； 当梯形个数为5时，周长为26，26＝5×4＋6； …… 由此可知，当梯形个数为n时，周长为n×4＋6＝4n＋6。 将n＝10代入上述表达式，得到当梯形个数为10时，图形的周长为： 4×10＋6 ＝40＋6 ＝46 （2）当图形的周长为82时，即： 4n＋6＝82 解：4n＝82－6 4n＝76 n＝76÷4 n＝19 因此，当图形的周长为82时，梯形的个数是19个。 【例5】中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 (1)如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有( )个交点，照这样的规律，第9幅图有( )个交点。 (2)根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 【答案】(1) 18 48 (2)75幅 【分析】（1）根据题意，已知第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，先计算两幅图交点数的差，得出每增加一幅图交点数增加5个，据此总结出第n幅图交点数的计算方法，再代入第3幅和第9幅图的序号计算结果。 （2）根据已知的交点总数378个，结合总结的规律，先减去固定多出的3个交点，再用所得的差÷每幅图增加的5个交点，即可求出对应的图序号。 【详解】（1）计算相邻两幅图交点数的差值：13－8＝5（个），可知每增加1幅图，交点数增加5个。 总结规律：第n幅图的交点数＝8＋（n－1）×5，化简后为5n＋3。 计算第3幅图交点数：5×3＋3＝18（个） 计算第9幅图交点数：5×9＋3＝48（个） （2）378－3＝375（个） 375÷5＝75 答：有378个交点的是第75幅图。 【例6】照下图的样子，摆1个正八边形需要8根小棒，摆2个正八边形需要15根小棒…… (1)摆20个正八边形需要多少根小棒？ (2)有561根小棒能摆成多少个正八边形？ 【答案】(1)141根 (2)80个 【分析】解答这道题的关键是找到每一组图中不变的部分，认真看图可以发现，每一组图中最左边的1根小棒固定不变，其关系为一个正八边形为1＋7，两个正八边形为1＋2个7，三个正八边形为1＋3个7，由此可得n个正八边形为1＋n个7。 （1）根据上面的分析，摆20个正八边形，小棒数量为1＋20个7。 （2）求561根小棒能摆几个正八边形，可以用倒推的方法，先从561里面把最左边固定的1根减掉，剩560根，再求560里面有几个7，就可以摆成几个八边形。 【详解】（1） （根） 答：摆20个正八边形需要141根小棒。 （2） （个） 答：有561根小棒能摆成80个正八边形。 【例7】先看看表格中三角形的个数有什么变化，然后填一填，再回答下列问题。 三角形个数 6 12 （1）如果在三角形内部画上5条横线，图中有多少个三角形？ （2）如果图中三角形的个数是84，图中应画多少条横线？ 【答案】18；24 （1）36个 （2）13条 【分析】先数出上面一层有6个三角形，再数出第一、二层合成有6个三角形，最后再数出第一、二、三层合成有6个三角形，加在一起，即可求得第三个图有几个三角形；用相同的方法，再加上第一、二、三、四层合成有6个三角形，加在一起，即可求得第四个图形有几个三角形。 （1）五条横线，可以分成5＋1层，每增加一层，增加6个三角形，共有6×（5＋1）个三角形。 （2）n条横线，则有6×（n＋1）个三角形，用84除以6，再减1，即可求得图中应画多少条横线。 【详解】 三角形个数 6 12 18 24 （1）6×（5＋1） ＝6×6 ＝36（个） 答：图中有36个三角形。 （2）84÷6－1 ＝14－1 ＝13（条） 答：图中应画13条横线。 题型3：日历中的规律 【例8】现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 【答案】（1）216；（2）能；231 【分析】（1）设中间数为x，则 9 个数可表示为x－8、x－7、x－6、x－1、x、x＋1、x＋6、x＋7、x＋8，其和为9x。图中中间数是24，因此和为9×24＝216。 （2）依据是数阵的整除特性（9个数的和为9x，需为9的倍数）。 验证2007：2007÷9＝223，即中间数x＝223。 判断位置：223÷7＝31⋯⋯6，说明223在第32行第6列，符合数阵布局。 最大数：x＋8＝223＋8＝231。 【详解】（1）设中间的数为x，则另外8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8。 化简后得9个数的和为9x，本题中间数x=24，因此总和为9×24=216 答：图中的9个数的和是216。 （2）因为9个数的和需为9的倍数，2007÷9＝223，中间数223在第32行第6列，符合布局，最大数为223＋8＝231，故可能，最大数是231。 答：能使一个长方形框出的9个数的和为2007，9个数中最大的数是231。 【点睛】核心是抓住3×3方框的对称分布规律：9个数的和必为中间数的9倍，这是快速计算和判断的关键；判断某数能否成为方框和时，先验证其是否为9的倍数（对应中间数为整数），再通过“行数＝商＋1、列数＝余数”确认中间数未超出数阵范围，且最大数可直接用中间数＋8得出，高效简化解题流程。 【例9】（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）。 （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 【答案】（1）圈出的4个数的个位数字都相同，每相邻两个数之间相差10（答案不唯一） （2） （3）38，48，58，68 【分析】（1）观察上下相邻的数之间的大小关系，得出规律； （2）长方形中一共有4个数，最上面和最下面之间相差30，据此列式； （3）设小丽圈出的第一个数字为a，下面的数依次是a＋10、a＋20、a＋30，根据四个数相加等于212，列出方程，求出第一个数，再分别求出下面的数即可。 【详解】（1）我发现圈出的4个数，每个数的个位数字相同，每相邻两个数之间相差10。（答案不唯一） （2）41－11＝30，64－34＝30 若把长方形中最上面的一个数记为a，则最下面那个数是a＋30。 （3）解：设小丽圈出的第一个数字为a。 a＋（a＋10）＋（a＋20）＋（a＋30）＝212     4a＋60＝212    4a＝152 a＝38 a＋10＝38＋10＝48 a＋20＝38＋20＝58 a＋30＝38＋30＝68 答：她圈的是38、48、58、68。 【例10】下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： 图1                                                      图2 （1）请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； （2）圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由。 【答案】（1）见详解 （2）圈出的五个数的和不能为130，因为根据观察得知的规律，五个数的和是中间数的5倍，则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130。 【分析】（1）观察可知，第一个方框中，，第二个方框中，，五个数的和总是中间数的5倍，所以设中间的数为，根据等量关系式中间数的5倍等于115，据此列方程并求解，再画图。 （2）根据观察得知的规律，五个数的和是中间数的5倍，用130除以5等于26是中间数，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130，据此解答。 【详解】（1）解：设中间的数为。 画图如下： （2） 答：圈出的五个数的和不能为130，因为根据观察得知的规律，五个数的和是中间数的5倍，则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130。 【点睛】找出五个数的和是中间数的5倍这一规律，再运用用方程解答的方法解决问题。 题型4：花坛周长（圆环） 【例11】小夏想知道一卷空心卷筒纸展开的总长度，设计了一个实验方案（步骤如下），请你根据实验方案计算出卷筒纸展开后的总长度。 实验步骤 ①测量卷筒纸横截面的外圆直径为14厘米，内圆直径为6厘米。 ②测量每层纸的厚度为0.02厘米。 ③计算卷筒纸的总长度。 【答案】6280厘米 【分析】卷筒纸的横截面面积（圆环面积）＝纸的长度×纸的厚度。分别用外圆和内圆的直径除以2算出外圆和内圆的半径，根据圆环的面积公式S＝π（R2－r2）算出卷筒纸的横截面面积；然后用卷筒纸的横截面面积除以纸的厚度即可算出卷筒纸的长度。 【详解】14÷2＝7（厘米） 6÷2＝3（厘米） 3.14×（72－32） ＝3.14×（49－9） ＝3.14×40 ＝125.6（平方厘米） 125.6÷0.02＝6280（厘米） 答：卷筒纸展开后的总长度是6280厘米。 【例12】一块直径为12米的圆形草坪，周围有一条宽2米的人行道，这条人行道的面积是多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】人行道的面积相当于求圆环面积，用外圆面积减去内圆面积。内圆（草坪）直径是12米，根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2）计算解答。 【详解】12÷2＝6（米） 6＋2＝8（米） 3.14×（82－62） ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） ​答：这条人行道的面积是87.92平方米。 【例13】某市准备在中心广场的圆形音乐喷泉的四周，搭建一个宽度为6米的环形看台。 (1)这个环形看台的占地面积是多少平方米？ (2)如果在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，一共大约可以种多少棵树？ 【答案】(1)565.2平方米 (2)18棵 【分析】（1）圆环的面积（其中R为外圆半径，r为内圆半径），根据题意，内圆直径为24米，且环宽为6米，利用求出内圆半径，再利用“环宽”求出外圆半径，最后利用圆环面积公式进行计算。 （2）要在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，需先利用求出外圆的周长，再利用周长÷间距求出间隔数，最后根据封闭图形中的植树问题中，植树棵数＝间隔数进行计算。 【详解】（1）（米） （米） （平方米） 答：这个环形看台的占地面积是565.2平方米。 （2） （米） （棵） 答：一共大约可以种18棵树。 一、选择题 1．一个五边形可以用5根同样的小棒摆出来，要按照下图的方式摆10个这样的五边形需要（    ）根小棒。 A．40 B．41 C．45 D．50 【答案】B 【分析】先将最左侧五边形左下方的一根小棒固定，则每增加一个五边形就要增加4根小棒，设要摆n个这样的五边形，则摆n个这样的五边形需要（4n＋1）根小棒。求摆10个这样的五边形需要几根小棒，将n换为10进行计算。 【详解】10×4＋1 ＝40＋1 ＝41（根） 摆10个这样的五边形需要41根小棒。 2．用小棒按照如下方式摆图形，那么第8个图形需要（       ）根小棒。 A．40 B．41 C．48 D．51 【答案】B 【分析】先统计前个图形对应的小棒数量，发现每多拼接个六边形，小棒就增加根，所以可推导出第个图形的小棒数量公式，将代入公式，即可得到对应的小棒数量。 【详解】第个图形：（根） 第2个图形：（根） 第3个图形：（根） 第个图形需要的小棒数公式： 根 那么第个图形需要小棒根数：（根） 3．英英用正方形和等边三角形按下面的方式摆图形。按照这样的方式摆第10幅图，需要（    ）个等边三角形。 A．31 B．28 C．25 【答案】A 【分析】根据图中可得：第1幅有4个等边三角形：3×1＋1，第2幅有7个等边三角形：3×2＋1，第3幅有10个等边三角形：3×3＋1，第4幅有13个等边三角形：3×4＋1……可以看出图形中的等边三角形个数＝第几个图形×3＋1，第n个图形就有3n＋1个等边三角形。据此解答。 【详解】3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 按照这样的方式摆第10幅图，需要31个等边三角形。 4．三阶幻方也称“九宫图”，是一种特殊的数学方阵，其中每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都相等。表格是一个未完成的幻方，a的值为（    ）。 6 10 12 a A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都相等，据此可知：第一行的数字和等于第一列的数字和，第一行数字之和为6＋10＋左上角数字，第一列数字之和为12＋a＋左上角数字，因为它们相等，所以可以忽略左上角数字（因为两边都有，会相互抵消），得到等式12＋a＝6＋10，两边同时减去12即可求解。 【详解】12＋a＝6＋10 解：12＋a＝16 12＋a－12＝16－12 a＝4 所以a的值为4。 故答案为：A 5．乐乐从百数表上剪下了一部分（如图），下面关于a、b、c、d四个数，说法错误的是（    ）。 A．d比b大9 B．a比c小10 C．d比a大20 【答案】A 【分析】根据百数表中数的排列规律：同一行相邻数差1，同一列相邻数差10。据此填空。 【详解】根据分析： 88－77＝11，因此d比b大11，A说法错误； 78－68＝10，因此a比c小10，B说法正确； 88－68＝20，因此d比a大20，C说法正确。 6．小明用一张彩纸制作扇面，先在彩纸上画了两个半圆，小圆半径是1分米，大圆半径是3分米（如图1）。沿弧线剪开后，又剪掉了剩下图形的（如图2）。制成了一个扇面（如图3）。求制作出的扇面面积，下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求大半圆和小半圆组成的半圆环的面积，再求减掉后制成的扇面的面积。根据圆环的面积＝×（－），将R＝3分米，r＝1分米代入公式，求出圆环的面积，圆环的面积乘就是半圆环的面积；又剪掉了剩下图形的，也就是半圆环面积的，还剩下（1－），求一个数的几分之几，用乘法计算，求剩下的面积，也就是扇面的面积，用半圆环的面积乘（1－）即可。 【详解】 ＝（9－1）×× ＝8×× ＝4× ＝（平方分米） 所以列式正确的是。 7．下列知识点中，没有运用转化思想的是（    ）。 A．求圆的面积 B．求平行四边形的面积 C．求圆柱体的体积 D．求圆环的面积 【答案】D 【分析】转化思想是指将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题。在平面图形面积和立体图形体积公式的推导过程中，常通过割补、拼接等方法将图形转化为已学过的图形。 【详解】A．求圆的面积时，把圆分成若干等份，剪开后拼成一个近似的长方形，根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式，运用了转化思想； B．求平行四边形的面积时，沿平行四边形的高剪开，平移拼成一个长方形，根据长方形的面积公式推导出平行四边形的面积公式，运用了转化思想； C．求圆柱体的体积时，把圆柱的底面分成若干相等的扇形，切开后拼成一个近似的长方体，根据长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式，运用了转化思想； D．求圆环的面积时，直接用外圆的面积减去内圆的面积，公式为S＝πR2－πr2，是利用已知的圆面积公式进行计算，没有涉及图形形状的转化推导。 8．下图，为了美化校园环境，学校计划在一个半径是6米的圆形花坛外围修一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是（    ）平方米。 A．4π B．28π C．36π D．64π 【答案】B 【分析】已知在半径是米的圆形花坛外围铺一条米宽的环形小路，则外圆的半径是（）米；求小路的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝（R2r2），代入数据计算，求出小路的面积。 【详解】（米） （平方米） 所以这条小路的面积是平方米。 二、判断题 9．在一个大圆里挖去一个小圆就是圆环。( ) 【答案】× 【分析】圆环是由两个同心圆组成的图形。 【详解】题干中没有说明这两个圆的圆心是否重合，如果圆心不重合，则不能称为圆环。因此题干说法错误。 故答案为：× 10．，第六个点阵中点的个数是1＋4×5＝21。( ) 【答案】√ 【分析】根据图，第一个点阵有1个点，第二个点阵上下左右各增加了一个点即有：（1＋1×4）个点，第三个点阵上下左右各增加了2个点，即有（1＋2×4）个点，由此可得：第n个点阵的点数＝1＋（n－1）×4，由此规律判断即可。 【详解】由分析可得： 第六个点阵，即n＝6，代入1＋（n－1）×4中得： 1＋（6－1）×4 ＝1＋5×4 ＝1＋20 ＝21（个） 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现点阵中点的个数的变化规律，再根据规律去解决问题。 11．将边长为1cm的正方形按一行排列，当有3个正方形时，周长为8cm；每增加一个，周长增加2cm。( ) 【答案】√ 【分析】当有n个边长为1cm的正方形按一行排列时，拼接后的图形是一个长方形，长为n×1＝n（cm），宽为1cm。根据长方形周长公式C＝（a＋b）×2（a为长，b为宽），可得周长为：（n＋1）×2＝2n＋2。当n＝3时，周长为：2×3＋2＝6＋2＝8cm，与题目中“有3个正方形时，周长为8cm”一致。当n增加1（即变为n＋1）时，新的周长为2（n＋1）＋2＝2n＋2＋2＝2n＋4，周长增加了：（2n＋4）－（2n＋2）＝2n＋4－2n－2＝2cm，所以每增加一个正方形，周长增加2cm。 【详解】当有n个边长为1cm的正方形按一行排列时。 长：n×1＝n（cm） 周长：（n＋1）×2＝2n＋2 n＝3，周长： 2×3＋2 ＝6＋2 ＝8（cm） 周长： 2（n＋1）＋2 ＝2n＋2＋2 ＝2n＋4（cm） （2n＋4）－（2n＋2） ＝2n＋4－2n－2 ＝2（cm） 所以当有3个正方形时，周长为8cm；每增加一个，周长增加2cm。原说法正确。 故答案为：√ 12．按照下列方式排列，△○○△△△○○△△△○○△△△……当△有100个时，○不可能有69个。( ) 【答案】√ 【分析】我们先观察图形规律：序列开头有1个三角形，之后按照 “2 个圆、3 个三角形” 不断循环。 一共有100个三角形，去掉开头单独的1个，还剩 99 个三角形。每组有3个三角形，可算出一共有33组完整循环。每组对应2个圆，33组共有66个圆。 【详解】观察图形的排列方式可知，从第二个图形开始，按照○○△△△为周期循环排列的，每个周期里有2个○，3个△，当△有100个时，100－1＝99个，因为2个○都在周期的前两个，不管有多少个周期，○的个数都＝周期数×2，所以○的个数一定是偶数，69是奇数，所以○不可能有69个。 原题说法正确。 故答案为：√ 13．在同心圆中，大圆的半径是5厘米，小圆的半径是3厘米，要求圆环的面积，可以使用算式S＝3.14×（52－32）。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，求圆环的面积，根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。 【详解】S＝3.14×（52－32） ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 在同心圆中，大圆的半径是5厘米，小圆的半径是3厘米，要求圆环的面积，可以使用算式S＝3.14×（52－32）。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查圆环的面积公式的应用，关键是熟记公式。 14．一个圆环，外圆直径8cm，内圆半径2cm，则圆环面积是188.4cm2。( ) 【答案】× 【分析】外圆直径÷2＝外圆半径，根据圆环面积＝π（R2－r2），列式计算即可。 【详解】8÷2＝4（cm） 3.14×（42－22） ＝3.14×（16－4） ＝3.14×12 ＝37.68（cm2） 一个圆环，外圆直径8cm，内圆半径2cm，则圆环面积是37.68cm2，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆环面积公式。 15．如下图，用小棒摆图形，摆第12个图形用了22根小棒。( ) 【答案】× 【分析】解答这道题的关键是根据前面的四个图形找出小棒的规律，可以把每个图形最左侧的小棒固定，会发现每增加一个三角形就要增加2根小棒，即第一个图形的小棒数量为： 1＋2；第二个图形小棒数量为：1＋2×2；第三个图形小棒数量为：1＋2×3；第四个图形小棒数量为：1＋2×4……，所以第n个图形需要（1＋2n）根小棒，据此解答。 【详解】根据分析： 第12个图形的小棒数量为： （根） 所以摆第12个图形用了25根小棒。 故答案为：× 【点睛】解答这道题的关键是利用图形的排列规律，确定每个图形小棒的数量为（1＋2n）根。 三、填空题 16．用黑白两种颜色的正六边形，按如图所示的规律拼图案，照这样的规律下去。第7个图案中的白正六边形比黑正六边形多( )个。 【答案】23 【分析】观察图形可知，第几个图案中就有几个黑正六边形；每增加一个图案，白正六边形增加4个。据此根据规律，推导出第n个图案中黑、白正六边形数量的规律表达式，进而得到白正六边形比黑正六边形多的规律表达式，再将n＝7代入计算即可。 【详解】观察图形可知， 图形1：有6个白正六边形，可写成4×1＋2；有1个黑正六边形； 图形2：有10个白正六边形，可写成4×2＋2；有2个黑正六边形； 图形3：有14个白正六边形，可写成4×3＋2；有3个黑正六边形。 由此可知，每增加1个黑正六边形，就增加4个白正六边形。 即n个图形，其中的黑正六边形有n个，则白正六边形有（4n＋2）个。 白正六边形比黑正六边形多4n＋2－n，即（3n＋2）个。 当n＝7时，白正六边形比黑正六边形多的数量为： 3×7＋2 ＝21＋2 ＝23（个） 17．按如图中的方式用火柴棒搭三角形，搭n个三角形需要火柴棒( )根。 【答案】2n＋1 【分析】观察图形发现，图形变化是依次增加2根火柴棒，可以将每一个图形都写成与2有关的式子，搭1个三角形需要火柴棒3根，即（2＋1）根；搭2个三角形需要火柴棒5根，即（2×2＋1）根；搭3个三角形需要火柴棒7根，即（2×3＋1）根；……。据此找到规律并表示。 【详解】搭1个三角形需要火柴棒（2＋1）根， 搭2个三角形需要火柴棒（2×2＋1）根， 搭3个三角形需要火柴棒（2×3＋1）根， …… 因此搭n个三角形需要火柴棒（2n＋1）根。 18．我们经常把“数”与“形”联系在一起进行研究。请认真观察图：第1幅图有2个点，第2幅图有6个点，第3幅图有10个点，……，那么第15幅图有( )个点，第n幅图有( )个点。 …… 【答案】 58 4n－2 【分析】根据图示可知，从左往右，右面一幅图总比左面相邻的一幅图多4个黑点，据此规律解答本题。 【详解】从左往右： 第一幅图：2个黑点； 第二幅图：2＋4（个）黑点，多了4×（2－1）个黑点； 第三幅图：2＋4×2（个）黑点，多了4×（3－1）个黑点； 第四幅图：2＋4×3（个）黑点，多了4×（4－1）个黑点； …… 当n＝15时， 2＋4×（15－1） ＝2＋4×14 ＝2＋56 ＝58（个） 那么第n幅图多了4（n－1）个黑点有： 2＋4（n－1） ＝2＋4n－4 ＝4n－2。 即第15幅图有58个点，第n幅图有（4n－2）个点。 19．漏窗是我国古典园林建筑中的装饰性透空窗，有景中有画，画中有景的艺术效果。“灯笼锦”样式的漏窗设计示意图如图所示，第1幅图有5个正八边形，第2幅图有8个正八边形……按照这样的规律设计，第10幅图有( )个正八边形，第n幅图有( )个正八边形。 【答案】 32 3n＋2 【分析】根据题意，已知第1幅图有5个正八边形，第2幅图有8个正八边形，先观察相邻两幅图中正八边形的数量变化，找到每增加1幅图正八边形的数量就固定增加3个的规律，再结合初始数量推导出第n幅图正八边形数量的通用表达式，最后分别代入n＝10计算对应图形的正八边形数量，据此解答。 【详解】第1幅图：5＝3×1＋2 第2幅图：8＝3×2＋2 第3幅图：11＝3×3＋2 由此可得，第n幅图的正八边形数量为：（3n＋2）个 当n＝10时： 3×10＋2 ＝30＋2 ＝32（个） 20．如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色，按照这样的规律，第7个图案中有( )个涂色的小正方形；第( )个图案中有101个涂色的小正方形。 【答案】 29 25 【分析】由题图可得，第1个图案中涂色的小正方形的个数为5，第2个图案中涂色的小正方形的个数为5×2−1＝9，第3个图案中涂色的小正方形的个数为5×3−2＝13，……第n个图案中涂色的小正方形的个数为5n−（n−1）＝4n＋1，据此解答。 【详解】求第7个图案的涂色数：把n＝7代入公式， 4×7＋1 ＝28＋1 ＝29 求涂色数为101时对应的图案序号：令4n＋1＝101，解得： n＝（101－1）÷4 ＝100÷4 ＝25 21．一个圆形花坛半径5米，在它周围修一条1米宽的小路，小路的面积是( )平方米。 【答案】34.54 【分析】求小路的面积就是求圆环的面积，圆环的面积，题目中已知花坛半径为5米，即内圆半径为5米，小路宽为1米，即环宽为1米，先利用“环宽”求出外圆半径，最后代入公式进行计算。 【详解】求外圆半径： （米） 求小路面积： （平方米） 22．如图，一张光盘上刻有100兆的文件（黑色部分），如果每平方厘米的存储量一样大，那么灰色部分可以刻( )兆的文件。（兆是表示文件大小的单位） 【答案】540 【分析】利用圆环面积和存储量成正比的关系计算，先求出各部分圆的半径。再根据圆环面积＝外圆面积－内圆面积，求出各颜色部分圆环面积，最后按比例计算灰色部分存储量即可（因为每平方厘米存储量相同，存储量和面积成正比）。 【详解】最内空白圆半径：4÷2＝2cm 黑色环形外圆半径：6÷2＝3cm 整个光盘外圆半径：12÷2＝6cm 黑色环形面积：（cm2） 灰色环形面积：（cm2） 每平方厘米存储量：（兆） 灰色部分存储量：（兆） 23．一个圆形光盘，外圆半径是4厘米，内圆圆孔半径是2厘米，这个光盘银色部分的面积是( )平方厘米。 【答案】37.68 【分析】光盘银色部分的形状是一个圆环，圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积。已知外圆半径R＝4厘米，内圆半径r＝2厘米，根据圆环面积计算公式：，代入数据即可求解。 【详解】3.14×（4－2） ＝3.14×（16－4） ＝3.14×12 ＝37.68（平方厘米） 四、解答题 24．如图，小小丁把一个长为24厘米，宽为3厘米的长方形从正方形的左边平移到右边，如图是平移过程中它们重叠部分面积与时间的部分关系图。 （1）正方形的边长为多少厘米？ （2）当平移时间为多少秒时，长方形和正方形的重叠部分面积是24平方厘米？ 【答案】（1）正方形的边长为12厘米。 （2）当平移时间为4秒或14秒时，长方形和正方形的重叠部分面积是24平方厘米。 【分析】（1）观察图形即可知道，2秒钟的时候重叠的长方形面积为12平方厘米，由此即可知道重叠长方形的长为：12÷3＝4（厘米），因此这个长方形的移动速度为：4÷2＝2（厘米/秒）。6秒钟的时候重叠的长方形面积达到最大，最大为12平方厘米，此时长方形的右边宽的部分已经移到正方形的右边，即正方形的边长为：2×6＝12（厘米）。 （2）当长方形从正方形左边移到右边时，会有两个时刻与正方形的重叠面积是24平方厘米，第一个时刻是长方形刚移到正方形内时，此时长方形与正方形重叠部分的长度为：24÷3＝8（厘米），再结合长方形的移动速度为2厘米/秒，即可求出平移的时间；第二个时刻是长方形从正方形内移出时，此时长方形只剩左半部分与正方形重叠，还有24÷3＝8（厘米）在正方形内，共移24＋4＝28（厘米），用28÷2＝14（秒）；据此解答即可。 【详解】（1）长方形的移动速度为：12÷3÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米/秒） 正方形边长：2×6＝12（厘米） 答：正方形的边长为12厘米。 （2）第一个时刻：24÷3÷2 ＝8÷2 ＝4（秒） 第二个时刻：24÷3＝8（厘米） （12－8＋24）÷2 ＝（4＋24）÷2 ＝28÷2 ＝14（秒） 答：当平移时间为4秒或14秒时，长方形和正方形的重叠部分面积是24平方厘米。 25．黄金螺旋线又称斐波那契嫘旋线，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线。经常在大自然中被观察到，如旋风、螺丝壳等，是自然界中最完美的经典黄金比例。可以通过切割正方形并绘制四分之一圆弧来近似绘制，在Logo设计、界面布局、字体设计等方面都有应用。 用下面的步骤画“黄金螺旋线”，第一步中扇形的半径是1cm，照这样继续往下画，算一算：第五步完成后螺旋曲线的总弧长是多少厘米？（取3.14） 【答案】18.84厘米 【分析】观察图可知，第1步的半径为1厘米，第2步的半径为1厘米，第3步的半径为1＋1＝2厘米，第4步的半径为2＋1＝3厘米，第5步的半径为2＋3＝5厘米，每次弧线长为圆的周长的，将五步的弧线长度连加即可得到第五步完成后螺旋曲线的总弧长。 【详解】π×1×2×＋π×1×2×＋π×2×2×＋π×3×2×＋π×5×2× ＝0.5π＋0.5π＋π＋1.5π＋2.5π ＝6π ＝6×3.14 ＝18.84（厘米） 答：第五步完成后螺旋曲线的总弧长是18.84厘米。 26．数学实践课上，同学们玩拼图，用若干个完全一样的梯形，有序拼接起来，计算出拼成的图形的周长，能够发现一些有趣的规律。梯形各边的长度如下图。（单位：cm） （1）观察上图，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ … 周长/cm 8 12 … （2）按照这样的规律排列，图⑧的周长是（    ）cm，图的周长是（    ）cm。 【答案】（1）16；20； （2）36；4n＋4 【分析】(1)观察图形可知，图①周长为8cm，图②周长为12cm，图②比图①多4cm；图③周长为16cm，比图②多4cm；图④周长为20cm，比图③多4cm，规律为后一个图形周长比前一个多4cm。 (2)由上述规律可得，周长公式为（其中n为图号）。当n=8时，周长为cm；图n的周长为cm。 【详解】(1)图③周长：（cm） 图④周长：（cm） 答：表格中应填16、20。 (2)图⑧周长： （cm） 图n周长：cm 答：图⑧的周长是36cm，图n的周长是4n+4cm。 27．观察下图中正方形的个数与直角三角形个数之间的关系。如果正方形个数用n表示，那么直角三角形的个数用含有n的式子怎么表示？请写出思考的过程。 【答案】4（n－1）； 思考过程：观察图形可知，正方形的个数分别是2，3，4，……， 对应直角三角形的个数分别是4，8，12，……， 每增加一个正方形，就会增加4个直角三角形， 也就是4＝4×（2－1），8＝4×（3－1），12＝4×（4－1）……， 如果正方形个数用n表示，那么直角三角形的个数为。 【分析】先观察图形，找正方形个数和直角三角形个数的对应关系： 当n＝2（2个正方形）时，直角三角形个数：4＝4×（2－1）； 当n＝3（3个正方形）时，直角三角形个数：8＝4×（3－1）； 当n＝4（4个正方形）时，直角三角形个数：12＝4×（4－1）； …… 可以发现规律：每增加1个正方形，就会增加4个直角三角形； 所以当正方形个数为n时，直角三角形的个数为：4（n－1）。 28．一座雕塑的基座是圆形，其周长是94.2米，在它周围种植了5米宽的环形草坪。如果种植1平方米草坪的成本是30元，那么种植这块草坪的成本是多少元？ 【答案】16485元 【分析】首先根据圆的周长公式，利用基座周长求出基座半径。将基座半径加上草坪宽度，得到外圆半径。根据圆环面积公式求出草坪面积。最后用草坪面积乘每平方米的成本，即可求出总成本。 【详解】 （米） 外圆半径：（米） 草坪面积： （平方米） 总成本：549.5×30＝16485（元） 答：种植这块草坪的成本是16485元。 29．圆形荷花池直径是30米，它的外围有一条2米宽的圆环形碎石小路，这条小路面积约是多少平方米？（得数保留整数） 【答案】201平方米 【分析】先根据半径＝直径÷2求出圆形荷花池的半径r，在圆形荷花池的外围有一条2米宽的圆环形碎石小路，那么外圆的半径R就是荷花池的半径加上小路的宽度；求小路的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 【详解】30÷2＝15（米） 15＋2＝17（米） 3.14×（172－152） ＝3.14×（289－225） ＝3.14×64 ≈201（平方米） 答：这条小路的面积约是201平方米。 30．爱莲广场中心有一个水池，直径是40米。 (1)沿着水池走20圈，要走多少米？ (2)为了迎接春节，现要在水池外面摆放一个1米宽的花环，花环的面积是多少平方米？ 【答案】(1)2512米 (2) 128.74平方米 【分析】（1）已知水池直径，根据圆的周长公式，可计算出走一圈多少米，再乘20即可求得要走多少米； （2）在水池外面摆放花环，水池为内圆，花环外边缘为外圆，外圆减内圆成为一个圆环。需要先根据40米求出内圆的半径，加上花环宽度得到外圆的半径，最后利用圆环面积公式求得花环的面积。 【详解】（1）求走20圈的总路程： （米） 答：沿着水池走20圈，要走2512米。 （2）水池半径：40÷2＝20（米） 外圆半径：20＋1＝21（米） （平方米） 答：花环的面积是128.74平方米。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $