第二单元 线与角（知识清单）数学北师大版四年级上册（新教材）

该小学数学“线与角”单元知识清单系统梳理了线的认识、相交与垂直、平移与平行、旋转与角及角的度量等核心内容，通过概念定义、特征对比、联系区别到操作应用的层级设计，为学生搭建了从基础认知到实践运用的递进式学习支架。 清单以表格对比（如线段、射线、直线的端点数与延伸性）、操作步骤口诀（如“一贴二靠三推四画”画平行线）等方式呈现知识体系，突出“两点间线段最短”“垂线段最短”等几何直观培养，设计“易错点提示”“生活实例应用”（如铁轨平行线、滑梯角度比较）等实用模块，帮助学生发展空间观念与推理意识，教师可据此精准设计分层教学，提升课堂效率。

第二单元 线与角 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：线的认识： 1、 三种线的认识与特征 （1）线段 定义： 直线上两个点和它们之间的部分。 特征：有两个端点；长度有限，可以测量。 表示方法： 用两个端点的大写字母表示，读作“线段AB”或“线段BA”。 （2）射线 定义：直线上一点和它一旁的部分。 特征：只有一个端点；向一个方向无限延伸，不可测量长度。 表示方法： 必须把端点字母写在前面，读作“射线AB”（A是端点）。注意：不能读作“射线BA”，因为那代表以B为端点向A方向延伸的另一条射线。 （3）直线 定义：没有端点，向两端无限延伸的线。 特征：没有端点；向两个方向无限延伸，不可测量长度。 表示方法： 可以用直线上任意两点的大写字母表示（读作“直线AB”或“直线BA”），也可以用一个小写字母表示（如“直线l”）。 2、三者之间的联系与区别 联系： 射线和线段都是直线的一部分。把线段向一端无限延长就得到射线，向两端无限延长就得到直线。 区别总结表： 名称 端点数 延伸性 是否可度量 线段 2个 不延伸 是 射线 1个 向一端无限延伸 否 直线 0个 向两端无限延伸 否 3、重要几何性质：两点间的距离 公理内容： 两点之间，线段最短。 距离的定义： 连接两点的线段的长度，叫做这两点之间的距离。 应用实例：为什么修桥（矮寨大桥）比走盘山公路更近？因为桥近似于连接两点的线段，而盘山路是曲线或折线。 生活中“抄近道”的现象也是基于此原理。 知识点02：相交与垂直： 1、相交与不相交（平行的铺垫） （1）相交的定义： 当两条直线有一个公共点时，我们就说这两条直线相交。 （2）直观判断： 像剪刀张开的刀刃、红十字标志的边，它们所在的直线都会相交于一点。 （3）延长线的判断： 有些直线在纸面上看起来没有相交，但如果将它们无限延长，最终会相交（如图中塔的形状）。 关键点： 判断两条直线是否相交，不能只看画出来的部分，要看它们延长后是否会相遇。如果无论怎么延长都不相交，那就是平行（虽然这页主要讲相交，但这是隐含的对比概念）。 2、垂直的概念 （1）定义：当两条直线相交成直角（90度）时，这两条直线互相垂直。 （2）关键特征相交是前提；成直角是核心条件。 （3）表示方法：通常用直角符号（一个小正方形）标在交点处，表示这两条线互相垂直。 （4）术语：其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 3、如何得到垂线（操作方法） （1）折一折： 拿一张正方形或圆形的纸。 先对折一次，产生一条折痕。 再对折一次，使第一条折痕重合。 展开后，两条折痕就是互相垂直的。 （2）画一画（利用三角板）： 贴：把三角板的一条直角边贴在已知直线上。 画：沿着三角板的另一条直角边画线。 标：画上直角符号。 4、点到直线的距离（重要性质） 通过“机灵狗去河边”的小实验，揭示了垂直的重要性质： 实验过程： 从直线外一点（狗的位置）向直线（河边）画多条线段。 （1）发现规律：可以画无数条线段；这些线段中，垂直的那一条最短。 （2）结论（点到直线的距离）： 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 应用：“走最近的路”就是走垂直的那条路。 5、 总结归纳表 概念 图形特征 关键点 相交 两条直线交叉 有一个公共点 垂直 相交且成90度角 特殊的相交，有直角符号 点到直线距离 点到直线的垂直线段 垂线段最短 知识点03：平移与平行： 1、平行的定义与特征 （1）平移产生平行：将一支铅笔在方格纸上向任意方向平移，平移前后的两支铅笔所在的直线是互相平行的。 （2）核心特征（距离相等）： 在方格纸上观察，两条平行线之间的垂直距离（方格数）是处处相等的。 即：“移动前后，两条线之间的方格数一样多”。 （3）不相交性：在同一平面内，互相平行的两条直线无论怎么延长，都永远不会相交。 （4）定义总结：像这样在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2、识别生活中的平行线 （1）铁轨：两条铁轨互相平行。 （2）旗杆：广场上排列的旗杆互相平行。 （3）双杠：体育器材双杠的横杆互相平行。 （4）图形中的平行线： 长方形/正方形： 对边互相平行（上下边平行，左右边平行）。 平移后的图形： 如图中平移后的小鱼图案，其对应的线段也是互相平行的。 3、画平行线的方法 （1）借助方格纸画 方法： 利用方格纸的横线或竖线（或斜线），沿着格线画出的直线天然互相平行。 优点： 简单直观，适合初学者。 （2）折纸法 方法：将一张长方形纸连续对折两次（或者是沿同一方向折叠），展开后的折痕互相平行。 原理：每次折叠都保持了相同的角度和距离。 （3）推三角板法（标准画法） 这是最通用、最精确的画图方法，通常配合直尺使用。 步骤口诀：一贴、二靠、三推、四画。 贴： 把三角板的一条直角边贴在已知直线上。 靠：用直尺靠紧三角板的另一条直角边（作为滑动的轨道）。 推：固定直尺不动，推动三角板沿直尺滑动到指定位置。 画：沿三角板刚才贴在直线上的那条边画出新直线。 结果： 这样画出的两条直线互相平行。 4、易错点提示 （1）“互相”的含义：平行是指两条（或两条以上）直线的位置关系，不能说“某一条直线是平行线”，必须说“直线A与直线B互相平行”。 （2）前提条件：平行线的定义隐含了“在同一平面内”这一条件（虽然小学阶段不深究异面直线，但概念要严谨）。 知识点04：旋转与角： 1、角的动态定义 （1）旋转产生角：角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 （2）生活实例：团扇慢慢打开的过程，就是扇骨（射线）绕着轴心（端点）旋转形成不同大小角的过程。 2、角的分类与特征 根据旋转幅度的大小，角可以分为以下几类： （1）锐角 特征：小于90°的角。 直观判断：比直角小，看起来比较“尖”。 （2）直角 特征：等于90°的角。 标志：通常用直角符号（小正方形）表示。 （3）钝角 特征：大于90°且小于180°的角。 直观判断：比直角大，但还没张开成一条直线。 （4）平角 形成过程：当角的两条边旋转成一条直线时，所形成的角叫做平角。 特征：度数是 180°；两条边在同一条直线上，方向相反。 注意：平角有顶点，不能简单地说平角就是一条直线。 （5）周角 形成过程：当一条射线绕着它的端点旋转一周，回到原来的位置时，所形成的角叫做周角。 特征：度数是 360°；两条边重合在一起。 注意 周角有顶点和两条边，不能简单地说周角就是一条射线。 3、角的大小关系 大小排序： 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角。 数量关系（重要换算）： 1个周角 = 2个平角 = 4个直角。 1个平角 = 2个直角。 4、几何图形的内角和（拓展探究） （1）三角形：把三角形的三个角撕下来拼在一起，可以拼成一个平角（180°）。这说明三角形的内角和是180°。 （2）平行四边形（四边形）：把平行四边形的四个角撕下来拼在一起，可以拼成一个周角（360°）。这说明四边形的内角和是360°。 知识点05：角的度量（一）： 1、引入度量需求 （1）生活情境： 通过比较三个不同坡度的滑梯（ ∠1 、 ∠2 、 ∠3 ），直观感受角有大有小。坡度越陡（开口越大），角越大，滑下来越刺激。 （2）度量方法的探索： 错误尝试：用直尺测量边的长度无法比较角的大小（因为角的大小与边的长短无关）。 重叠法：将两个角叠在一起比较，可以分出大小，但无法知道具体大多少。 用小角量大角： 用一个标准的小角（如∠1 ）去度量其他角，发现∠2 大约包含 2 个∠1 ，∠3 大约包含 3 个 ∠1 。 局限性： 如果标准小角不够小，测量结果就不够精确。这引出了需要更精细、统一的标准单位的必要性。 2、认识度量单位：“度” （1）定义： 将圆平均分成 360 份，其中的 1 份所对的角的大小叫做 1度。 符号： 记作1°。 工具原型： 教材展示了一个被平均分成360份的圆（量角器的雏形），帮助学生建立圆周是 360°的空间观念。 3、特殊角的度数关系 基于“周角是 360°”的定义，推导出其他常见角的度数： 周角：1周角=360° 平角：1平角=180°（周角的一半） 直角： 1直角=90°（平角的一半） 4、估测角的大小 （1）参照物法： 利用已知度数的角作为参照。例如，直角是 90°，平角是 180°。 （2）目测练习： 观察 ∠1 、 ∠2 、 ∠3 在圆形刻度图中的占比，数出它们大约包含多少个10° 或20°的格。 对于未知角，先看它比直角大还是小，再估算具体的数值（如30°、60°120°等常见角度）。 5、动手操作与折纸 找角与标角： 在圆形图上找出特定的角度（如30°、60°、90°等），加深对圆心角分布的理解。 折纸活动： 把圆形纸对折一次，得到平角（180°）。 再对折一次，得到直角（90°）。 再对折一次（共三次），得到45°的角。 结论： 每次对折，角度减半。 知识点06：角的度量（二）： 1、认识量角器 量角器是测量角的大小的专用工具，其核心结构包括： （1）中心点： 量角器底边中央的点，测量时必须与角的顶点重合。 （2）零刻度线： 通过中心点的水平直线（底边），测量时必须与角的一条边重合。 （3）刻度线： 把半圆平均分成180份，每一份所对的角的大小是1度（1°）。 内圈刻度： 从右向左，由0°到180°递增。 外圈刻度： 从左向右，由0°到180°递增。 2、量角的方法（“两重合，一看数”） 测量角的度数时，需遵循以下步骤： （1）点对点：将量角器的中心点与角的顶点重合。 （2）线对边：将量角器的零刻度线与角的一条边重合。 （3）读度数：看角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 关键技巧：如果零刻度线在内圈（右边），就读内圈的刻度；如果零刻度线在外圈（左边），就读外圈的刻度。 判断锐钝：量完后要检查，锐角应小于90°，钝角应大于90°，防止读错圈。 3、画角的方法 利用量角器画出指定度数的角（例如画一个60°的角）： （1）画射线：先画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，零刻度线和射线重合。 （2）找点：在量角器上找到指定度数（如60°）的刻度线，并点上一个点。 （3）连线：以射线的端点为端点，通过刚才点的点，再画一条射线。 （4）标度数：标出角的符号和度数。 4、认识三角板上的角 一副三角板有两个，它们包含特定的角度，熟记这些角度有助于快速作图和估算： 等腰直角三角板： 三个角分别是90°、45°、45°。 细长直角三角板： 三个角分别是 90°、60°、30°。 5、用三角板拼角或画角 利用三角板上现有的角度，可以通过加减法得到新的角度： 直接画： 可以直接画出30°、45°、60°、90°的角。 拼角（加法）： 30°+45°=75° 60°+45°=105° 30°+90°=120° 45°+90°=135° 60°+90°=150° 叠角（减法）： 45°-30°=15° 60°-45°=15° 题型1：线的认识 【例1】如图，绷紧的弓弦可以看作( )，它有( )个端点，并且有一定的( )。 【答案】 线段 2 长度 【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有1个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而解答即可。 【详解】绷紧的弓弦可以看作线段，它有2个端点，并且有一定的长度。 【例2】如图，手电筒射出来的光线可以看作( )，它有( )个端点，可以向一个方向无限延伸。 【答案】 射线 1 【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有1个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而解答即可。 【详解】手电筒射出来的光线可以看作射线，它有1个端点，可以向一个方向无限延伸。 【例3】小朋友们说得对吗？（对的打“√”，错的打“×”） 【答案】×；× √；× 【分析】直线没有端点，可以向两个方向无限延长；射线有一个端点，可以向一个方向无限延长；线段有两个端点，线段有一定的长度。据此判断说法是否正确。 【详解】直线比射线长。 直线和射线都是无限长的，无法比较长度，所以这种说法错误。 一根卷曲的丝线可以看成一条线段。 线段是直的，有两个端点，卷曲的丝线不符合线段的特征，所以这种说法错误。 从一点可以画出无数条射线。 从一点出发，可以向不同的方向画出射线，因为方向是无限的，所以可以画出无数条射线，这种说法正确。 过两点可以画两条直线。 经过两点只能画一条直线，所以这种说法错误。 所以： 题型2：相交与垂直 【例4】下列图形中各有几组互相垂直的线段？填一填，并用不同的颜色描出来。 【答案】1；4；2；2 【分析】在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，观察4个图形，找出互相垂直的线段。 【详解】 【例5】小鸭在岸上走比较吃力，却擅长游泳，在水里游很轻松，它想去小鸡家玩，怎样走比较省力？在下图中画出小鸭到小鸡家的路线。 【答案】见详解 【分析】因为小鸭在岸上走路较为吃力，却擅长游泳，所以在岸上走的路程尽可能短；从小鸭家作河岸的垂线，再从小鸡家作另一边河岸的垂线，连接两个垂足即可。 【详解】根据分析可得： 【例6】过直线外一点画出已知直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即是过A点的垂线。 【详解】作图如下： 题型3：平移与平行 【例7】过直线外一点O，分别画出直线AB，AC的平行线。 我的发现：在同一平面内，能画（    ）条直线与已知直线平行；过直线外一点，可以画（    ）条直线与已知直线平行。 【答案】图见详解；无数；一 【分析】首先放三角板，使三角板的一条直角边与已知直线重合，然后把直尺靠在三角板的另一条直角边上，直尺固定不动，沿着直尺推动三角板，使三角板的直角边过已知点。最后沿着三角板的直角边画线。据此过直线外一点O，分别画出直线AB、AC的平行线。在同一平面内，有无数条直线与已知直线平行，如果是过直线外一点，只能画一条直线与已知直线平行。 【详解】 我的发现：在同一平面内，能画无数条直线与已知直线平行；过直线外一点，可以画一条直线与已知直线平行。 【例8】绿灯期间，乐乐和园园分别从公路两边走斑马线横向穿过笔直的公路（如图），她们走过的距离一样长吗？请说说你的理由。 【答案】一样长。因为平行线间的距离处处相等。 【例9】按要求分类。 (1)只含有互相平行线段的字母有：___________。 (2)只含有互相垂直线段的字母有：___________。 (3)既含有互相平行线段又含有互相垂直线段的字母有：___________。 (4)既不含互相平行线段又不含互相垂直线段的字母有：___________。 【答案】(1)Z、N (2)L、T (3)F、H (4)A、V 【分析】同一平面内永不相交的两条直线互相平行；据此判断含有平行线段的字母有：F、H、Z、N；当两条直线相交所成的角是90°时，这两条直线互相垂直；由此可知含有互相垂直线段的字母有：F、L、H、T；据此再进一步解答。 【详解】（1）只含有互相平行线段的字母有：Z、N。 （2）只含有互相垂直线段的字母有：L、T。 （3）既含有互相平行线段又含有互相垂直线段的字母有：F、H。 （4）既不含互相平行线段又不含互相垂直线段的字母有：A、V。 【例10】下图是一块平行四边形的露营地，奇思在这块露营地的小路上跑步，淘气在草坪上跑步。 （1）淘气跑的路线与小路平行，请你画一条直线表示淘气跑步的路线。 （2）笑笑想走到奇思所在的这条小路，请你画出她去这条小路的最短路线。 【答案】见详解 【分析】（1）固定三角尺，使其一条直角边和小路的一边重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使淘气这一点位于该直角边上，沿着这条直角边再画出一条直线，这条直线就是淘气跑步的路线； （2）从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短，它的长度叫做点到直线的距离，所以作笑笑到奇思所在的这条小路的垂线段，路线最短；过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与小路的一边重合，让三角尺的另一条直角边通过笑笑这一点，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是笑笑去这条小路的最短路线。 【详解】（1）（2）如下图： 题型4：旋转与角 【例11】一条射线以( )为定点，在平面上旋转一周所成的角是( )角。电风扇的一片扇叶转一圈形成一个( )角。 【答案】 端点 周 周 【分析】一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角。电风扇的一片扇叶围绕轴点转一圈也形成一个周角。 【详解】一条射线以端点为定点，在平面上旋转一周所成的角是周角，电风扇的一片扇叶转一圈形成一个周角。 【例12】写出下面每个角的名称。 ( )        ( )         ( )        ( )      ( ) 【答案】 锐角 直角 平角 周角 钝角 【分析】角由一个顶点和两条边组成，和书本、黑板的角相同大小的是直角，直角等于90°，比直角大的是钝角，比直角小的是锐角；平角等于180°，也就是成平角时，平角的顶点及两条边在一条直线上；周角等于360°，也就是旋转一周所成的角；据此解答。 【详解】根据分析可填空如下： 【例13】写出下面钟面上时针与分针所形成的较小角的名称。 ( )角       ( )角       ( )角       ( )角       ( )角 【答案】 钝 直 平 锐 周 【分析】直角等于90°，锐角小于90°，平角等于180°，钝角大于90°且小于180°，周角等于360°，根据对钟面的了解，平均分为12大格，每格的度数是30°，据此判断形成的角的名称即可。 【详解】第一幅时针指向5，分针指向12，5×30°＝150°，是钝角； 第二幅时针指向9，分针指向12，3×30°＝90°，是直角； 第三幅时针指向6，分针指向12，6×30°＝180°，是平角； 第四幅时针指在6和7之间，分针指向9，比90°小，是锐角； 第五幅时针和分针都指向12，是周角。 【例14】海海参加列队练习时，如果他原地向左转，他身体旋转形成的角是一个( )角；如果原地向后转，身体旋转形成的角是( )角。 【答案】 直 平 【分析】根据题意，角可以分为：锐角、直角、钝角、平角、周角；锐角是指大于0度而小于90度的角；直角是指等于90度的角；钝角是指大于90度而小于180度的角；平角是指等于180度的角；周角是指等于360度的角。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 海海参加列队练习时，如果他原地向左转，他身体旋转90度，形成的角是一个直角；如果原地向后转，身体旋转180度，形成的角是平角。 题型5：角的度量（一） 【例15】1周角＝( )°    1平角＝( )°    1直角＝( )° 【答案】 360 180 90 【例16】体育课上，乐乐原地向后转1次转了( )°，原地向右转1次转了( )°，连续向右转( )次才能转成一个周角。 【答案】 180 90 4 【分析】前后方向相反是180°，左右方向相反是180°，前后方向与左右方向互相垂直，原地无论向右转还是向左转，所转的角度都是90°；4个90°是360°，一个周角是360°；据此解答。 【详解】体育课上，乐乐原地向后转1次转了180°，原地向右转1次转了90°，连续向右转4次才能转成一个周角。 【例17】估一估，写出下面各角的度数。 ∠1＝90°     ∠2＝( )°     ∠3＝( )°     ∠4＝( )° 【答案】 45 30 120 【分析】估一估右下方的三个角的度数。主要看角两边开口与已知角的关系，已知角为90°，∠2两边开口大约是已知角的一半，则∠2的度数为45°；∠3两边开口大约是已知角三等分中的1份，则∠3的度数为30°；∠4两边开口大约是∠3的4倍，则∠4度数为120°。 【详解】90°÷2＝45° 90°÷3＝30° 30°×4＝120° 【例18】从3：00到3：20，分针转动了( )°；从4：00到7：00，时针转动了( )°；从9：00到10：00，时针转动了( )°，分针转动了( )°。 【答案】 120 90 30 360 【分析】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆心角是30°，即每两个相邻数字间的夹角是30°。从3：00到3：20，分针从12转到4，也就是转了4个大格，用30°乘4等于120°；从4：00到7：00，时针从4转到7，也就是转了3个大格，用30°乘3等于90°；从9：00到10：00，时针从9转到10，也就是转了1个大格，用30°乘1等于30°，分针此时旋转了1圈，为360°。 【详解】根据分析，从3：00到3：20，分针转动了120°；从4：00到7：00，时针转动了90°；从9：00到10：00，时针转动了30°，分针转动了360°。 【例19】度量一个角时，角的一边对着“180”刻度线，另一边对着“60”刻度线，这个角可能是( )°，也可能是( )°。 【答案】 60 120 【分析】掌握用量角器测量角度的方法：在量角的度数时，必须把量角器中心点与角的顶点重合，量角器的零刻度线与角的一边重合，注意本题没有说明是从同一圈的刻度看到的，所以会存在两种情况。 【详解】如果刻度在同一圈内，这个角是：180°－60°＝120°；若是从不同圈内看到的，那么这时的180°就相当于0°，所以这个角是60°。 这个角可能是60°，也可能是120°。 题型6：角的度量（二） 【例20】折纸不仅具有极高的艺术性，而且可促进手脑的协调。园园将一张长方形纸的一角折起形成下面的图形，如果∠2是70°，那么∠3是多少度呢？ 【答案】40° 【分析】由折叠可知，∠1＝∠2＝70°。从平角中减去∠1、∠2的度数，便得出∠3的度数。 【详解】180°－70°×2 ＝180°－140° ＝40° 答：∠3是40°。 【例21】不用量角器，写出下面用三角尺拼出的角的度数。 ( )     ( )     ( )     ( ) 【答案】 105° 180° 75° 150° 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°； ∠1是由一个45°角与一个60°角组成，把度数相加即可求出∠1；∠2是由两个90°角组成，把度数相加即可求出∠2；∠3是由一个45°角与一个30°角组成，把度数相加即可求出∠3；∠4是由一个90°角与一个60°角组成，把度数相加即可求出∠4；依此计算。 【详解】∠1：45°＋60°＝105° ∠2：90°＋90°＝180° ∠3：45°＋30°＝75° ∠4：90°＋60°＝150° 填空如下： 【例22】估一估，并量出下面各角的度数。    估计∠1＝( )    测量∠1＝( )    估计∠2＝( )    测量∠2＝( )    估计∠3＝( )    测量∠3＝( )    估计∠4＝( )    测量∠4＝( ) 【答案】 30° 30° 90° 90° 150° 150° 60° 60° 【分析】估计角度是基于角的外观大致判断，测量角度需使用量角器，将量角器中心与角顶点重合，0°刻度线与角一边重合，角另一边所对刻度就是角度数。 ∠1是一个锐角，开口大小接近三角板中30°角的开口程度，所以可估计为30°左右。 ∠2的两条边相互垂直，符合直角的特征，故估计为90°。 ∠3是钝角，其开口比直角大很多，接近平角，可估计为150°左右 。 ∠4是锐角，开口大小介于∠1和直角之间，接近三角板中60°角的开口，估计为60°左右。 【详解】估计∠1＝30°，测量∠1＝30°。 估计∠2＝90°，测量∠2＝90°。 估计∠3＝150°，测量∠3＝150°。 估计∠4＝60°，测量∠4＝60°。 【例23】算一算，下面的角分别是多少度？ ∠1＝( )    ∠2＝( )   ∠3＝( )    ∠4＝( ) 【答案】 105°/105度 120°/120度 15°/15度 150°/150度 【分析】图中∠1由直角三角尺的60°角和45°角组成，将这两个角度数相加，即可求出∠1的度数； 图中∠2由直角三角尺的90°角和30°角组成，将这两个角度数相加，即可求出∠2的度数； 图中∠3由直角三角尺的45°角和30°角组成，用45°角减去30°角，即可求出∠3的度数； 图中∠4由直角三角尺一条斜边和30°角组成，这条边可看为平角，用平角度数减去30°角，即可求出∠4的度数；据此可解此题。 【详解】∠1：60°＋45°＝105° ∠2：90°＋30°＝120° ∠3：45°－30°＝15° ∠4：180°－30°＝150° 综上可知，∠1＝105°，∠2＝120°，∠3＝15°，∠4＝150°。 【例24】用一副三角尺画一个15°的角。 （1）你可以利用三角尺上的（    ）°和（    ）°的角。 （2）请在下面的空白处画出这个15°的角。 【答案】（1）45；30；或60；45（答案不唯一） （2）图见详解（答案不唯一） 【分析】（1）一副三角尺有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°；45°减去30°正好是15°，或60°减去45°正好是15°； （2）利用45°－30°＝15°来画，先用一个三角尺画出一个45°的角，然后在这个45°的角内画一个30°的角，那么这两个角的差就是15°角； 利用60°－45°＝15°来画，先用一个三角尺画出一个60°的角，然后在这个60°的角内画一个45°的角，那么这两个角的差就是15°角。 【详解】（1）45°－30°＝15° 60°－45°＝15° 可以利用三角尺上的45°和30°的角，或60°和45°的角。（答案不唯一） （2）45°－30°＝15° 如下图所示： （答案不唯一） 60°－45°＝15° 如下图所示： （答案不唯一） 【例25】如图，∠1＝∠2＝∠3，图中所有锐角的和是150°，∠1是多少度？ 【答案】15° 【分析】图中共有6个锐角，分别是∠1、∠2、∠3、∠1＋∠2、∠2＋∠3、∠1＋∠2＋∠3，把这6个锐角全部相加后发现正好是10个∠1；因此用图中所有锐角的和除以10即可，依此计算。 【详解】因为∠1＝∠2＝∠3，因此∠1、∠2、∠3、∠1＋∠2、∠2＋∠3、∠1＋∠2＋∠3正好是10个∠1。 150°÷10＝15° 答：∠1是15°。 【例26】3时30分，钟面上时针和分针所形成的较小角是( )角。9时30分，钟面上时针和分针所形成的较小角是( )角。 【答案】 锐 钝 【分析】角有一个顶点和两条边组成，和书本、黑板的角相同大小的是直角，直角等于90°，比直角大的是钝角（大于90°小于180°），比直角小的是锐角（小于90°）。时钟各指针的角度关系：普通钟表相当于圆，其时针或分针走一圈均相当于走过360°角。钟面上一共有12个刻度，将一个360°的圆分成12等份，钟表上的每一个大格对应的角度是：30°，据此分析解答。 【详解】（1）3时30分，分针指向6，时针指向3和4的中间，时针和分针之间有2个大格和1个大格的一半， 75°＜90°，所以3时30分，钟面上时针和分针所形成的较小角是锐角。 （2）9时30分，分针指向6，时针指向9和10的中间，时针和分针之间有3个大格和1个大格的一半， 105°＞90°，所以9时30分，钟面上时针和分针所形成的较小角是钝角。 一、选择题 1．工程队修路时，会把弯曲的路线改直缩短路程，这样做的道理是（    ）。 A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．点到直线中垂线段最短 【答案】B 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间线段最短。 【详解】工程队修路时，会把弯曲的路线改直缩短路程，这样做的道理是两点之间线段最短。 故答案为：B 2．一个角的大小与（    ）有关。 A．顶点的位置 B．两条边的长短 C．两条边叉开的大小 【答案】C 【详解】一个角的大小与两条边叉开的大小有关，与角两边的长短无关。如下图所示： 故答案为：C 3．通过直线外一点画已知直线的平行线，可以画（    ）。 A．1条 B．2条 C．无数条 【答案】A 【分析】过直线外一点画已知直线的平行线的方法： 用三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边与直尺重合，沿直尺平移，直到通过那个点，沿直角边画一条直线就是过直线外一点画的已知直线的平行线，据此解答。 【详解】通过分析可知：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以过已知直线外一点画已知直线的平行线，能画1条。 故答案为：A 【点睛】本题考查对平行线的理解，画已知直线的平行线要充分利用直尺来进行平移。 4．将一张正方形纸先上下对折，再左右对折，打开后得到的折痕（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．长度不相等 【答案】B 【分析】把一张正方形纸上下对折后是长方形，再左右对折，第二次的折痕与第一次的折痕互相垂直。 【详解】 如图：将一张正方形纸两次折叠后，如上图所示，两个折痕是互相垂直的。 故答案为：B 5．如图，从A到B最短的路线是（    ）。 A．A→C→B B．A→D→B C．A→B 【答案】C 【分析】两点之间线段最短，而A→C→B和A→D→B都是曲线，只有A→B直线距离最短。 【详解】如图，从A到B最短的路线是A→B，因为两点之间线段最短。 故答案为：C 6．把一张正方形纸对折、再对折，打开后的折痕（    ）。 A．一定互相垂直 B．一定互相平行 C．可能平行也可能垂直 【答案】C 【分析】 如果两次都朝着一个方向对折，折痕互相平行；如果对折方向不同，折痕互相垂直，如图： 【详解】 把一张正方形纸对折、再对折，打开后的折痕可能平行也可能垂直。 故答案为：C 7．下面的时刻中，钟面上时针和分针成60°角的是（    ）。 A．10：00 B．7：00 C．9：00 【答案】A 【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。2×30°＝60°，则要使时针和分针成60°角，时针和分针之间有2个大格，据此解答。 【详解】2×30°＝60°，则时针和分针之间有2个大格，夹角成60°。 A．10：00，时针和分针之间有2个大格； B．7：00，时针和分针之间有5个大格； C．9：00，时针和分针之间有3个大格； 故答案为：A 【点睛】本题考查钟表问题，关键是明确钟面上每个大格是30°。 8．把一张长方形的纸对折，再对折，两次折痕的关系是（    ）。 A．相交不垂直 B．互相平行 C．互相垂直 D．互相平行或互相垂直 【答案】D 【分析】把一张长方形的纸对折两次，两次折痕的位置关系，取决于对折的方向，一种情况是沿一条边的同一个方向对折两次，三条折痕是互相平行的；另一种情况是沿两条边的两个方向对折，两条折痕是互相垂直的。 【详解】根据分析可知，把一张长方形的纸对折，再对折，两次折痕的关系是互相平行或互相垂直。 故答案为：D 【点睛】解答此题的关键在于要从不同的折叠方向考虑，方向不同折痕之间的关系也不同。 9．在同一平面内的两条直线，它们的位置关系是（    ）。 A．平行 B．垂直 C．平行或相交 【答案】C 【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系有平行或相交两种。 【详解】在同一平面内，两条直线的位置关系有平行或相交两种，垂直是相交的一种特殊情况。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了同一平面内两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类。 10．在纸上画a、b两条直线都与第三条直线垂直，那这两条直线（    ） A．相交 B．互相平行 C．互相垂直 【答案】B 【分析】根据平行的性质：同一平面内两条直线同时垂直于一条直线，那么，这两条直线相互平行；据此解答。 【详解】 在纸上画a、b两条直线都与第三条直线垂直，那这两条直线互相平行。 故答案为：B 【点睛】此题考查了垂直和平行的性质，应注意积累和理解。 11．下面的字母中含有平行线段的有（    ）个，含有垂直线段的有（    ）个。 A．3；4 B．4；6 C．6；3 【答案】C 【分析】同一平面内永不相交的两条直线互相平行，据此判断含有平行线段的字母为E、F、H、M、N、W；当两条直线相交所成的角是90°时，这两条直线互相垂直，由此可知含有互相垂直线段的字母有E、F、H，据此解答。 【详解】由分析可知，字母中含有平行线段的有6个，含有垂直线段的有3个。 故答案为：C 12．图是一张长方形纸折起来以后的图形，已知∠1＝31°，∠2＝（    ）。 A．28° B．31° C．59° D．149° 【答案】A 【分析】长方形的四个角都是直角，直角是90°，如下图，把它的一个角翻折一部分。说明∠1和∠3是相等的，∠3也是31°。而∠1、∠2和∠3又组成了一个直角。所以用90°减去∠1的度数，再减去∠3的度数，就是∠2的度数。 【详解】90°－31°－31°＝28° 所以∠2是28°。 故答案为：A 13．12时15分时，时针和分针形成的较小角是一个（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 【答案】A 【分析】在钟面上，1个大格之间的度数是30°，12时15分时，时针指在12和1之间，分针指向3，时针和分针形成的较小角不到3个大格，因为3个大格是90°，刚好是一个直角，所以不到3个大格的度数小于90°，根据角的分类知识可知，小于90°的角是锐角。 【详解】根据分析可知： 12时15分时，时针和分针形成的较小角是一个锐角。 故答案为：A 【点睛】解答此题的关键是明确12时15分时，时针和分针形成的较小角不到3个大格。 14．下面图形中，有且只有一组平行线的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此选择即可。 【详解】 A．如图：，有且只有一组平行线，符合题意； B．如图：，没有平行线，不符合题意； C．，有两组平行线，不符合题意。 有且只有一组平行线的是。 故答案为：A 15．下图中的线段a和线段b比较,(　　)． A．a比b长 B．一样长 C．b比a长 【答案】C 16．下面的图形中有（   ）条线段． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 二、判断题 17．过直线上一点可以画无数条直线与这条直线互相垂直。( ) 【答案】× 【详解】过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故原题说法错误。 故答案为×。 18．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。( ) 【答案】√ 【详解】根据平行线的意义可知，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 原题干说法正确。 故答案为：√ 19．两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。( ) 【答案】√ 【详解】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。原题说法正确。 如图：a和b互相垂直，a叫作b的垂线。 故答案为：√ 20．过直线外一点向直线所作的线段中，垂直的线段最短。( ) 【答案】√ 【分析】 如图所示：，过直线外一点向直线所做的线段中，垂直的线段最短，据此解答。 【详解】根据分析可知，过直线外一点向直线所作的线段中，垂直的线段最短。 原题干说法正确。 故答案为：√ 21．过任意一点能画出无数条直线。( ) 【答案】√ 【详解】根据直线的性质可知：直线无端点，无限长，所以过任意一点可画出无数条直线；如图所示： 所以原题说法正确。 故答案为：√ 22．过直线外一点，能画无数条直线与已知直线垂直。( ) 【答案】× 【分析】根据垂线的性质：过直线外一点作已知直线的垂线，有且只有一条。 【详解】如图： 过直线外一点，只能画一条直线与已知直线垂直。原题说法错误。 故答案为：× 23．用量角器可以画出任意角度的角。( ) 【答案】√ 【分析】要画一个指定角度的角，画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。在量角器指定角度的刻度线的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，即可画出这个角。据此判断即可。 【详解】量角器是测量角和画角的主要工具，所以原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查用量角器画角，需熟练掌握。 24．同一平面内，相交的两条直线是互相垂直的。( ) 【答案】× 【分析】垂直的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。据此判断。 【详解】在同一平面内，相交的两条直线，当夹角是直角时，这两条直线才互相垂直。否则这两条直线只是相交不垂直。 故答案为：× 【点睛】本题考查垂直的定义，关键是明确垂直是相交的特殊情况。 25．奇思画了一条60米长的直线。( ) 【答案】× 【分析】一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作线段，线段有两个端点，可以测量出长度； 把线段向两端无限延伸，就得到一条直线，直线没有端点，是无限长的，因此不可以测量出长度；依此判断。 【详解】奇思画了一条60米长的线段，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握直线、线段的特点是解答此题的关键。 26．过一个点可以画无数条直线和射线．                        ( ) 【答案】√ 27．两个钝角的和一定比周角小。( ) 【答案】√ 【分析】大于90°小于180°的角叫做钝角，则两个钝角的和应小于180°×2＝360°。360°的角叫做周角，则两个钝角的和要小于周角。 【详解】180°×2＝360°，则两个钝角的和小于360°，即比周角小。 故答案为：√。 【点睛】熟练掌握钝角、周角的定义是解决本题的关键。 28．平角就是一条直线，周角就是一条射线。( ) 【答案】× 【分析】角是由一个顶点和两条边组成的。平角的两条边刚好在同一条直线上，但它仍然有顶点和两条边，本质是角，不是单纯的直线；周角的两条边重合在一起，也具备角的完整结构，不是单纯的射线，由此判断即可。 【详解】由分析得出：平角的两条边刚好在同一条直线上，但它仍然有顶点和两条边，周角的两条边重合在一起，不是单纯的射线，原题说法错误。 故答案为：× 29．下午5时整，钟面上时针与分针所成的较小角是钝角。( ) 【答案】√ 【分析】下午5时整，钟面上时针指向5，分针指向12，时针和分针之间有5个大格，因为钟面有12个大格，每一大格是30°，用大格数5乘30°算出角的度数。 【详解】30°×5＝150°，150°的角是钝角。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了钟面上的角，解题的关键是明白两个大格之间的夹角是30°。 30．用三角尺可以画出75°、35°和120°的角．( ) 【答案】错误   【分析】用一个45°角和一个30°角就能拼出一个75°角，用一个90°角和一个30°角就能拼出一个120°的角． 【详解】用三角尺可以画出75°的角和120°的角，不能画出35°的角，原题说法错误． 故答案为错误 三、填空题 31．在2：00点时，时针与分针组成的角是( )角；3：00点时，时针与分针组成的角是( )角；6：00点时，时针与分针组成的角是( )角；钟面上( )时整，时针和分针所成的角是周角。 【答案】 锐 直 平 12 【分析】钟面上有12大格，每个大格对应的夹角是30°，2：00点时，分针指向12，时针指向2，12到2有2个大格，所以时针和分针组成的角等于30°×2＝60°，是锐角；3：00点时，分针指向12，时针指向3，12到3有3大格，所以时针和分针组成的角等于30°×3＝90°，是直角；6：00点时，分针指向12，时针指向6，时针和分针成一条直线，时针和分针组成的角是平角；分针指向12，时针也指向12，这时分针和时针组成的角是周角，钟面上是12时整，据此解答。 【详解】在2：00点时，时针与分针组成的角是锐角；3：00点时，时针与分针组成的角是直角；6：00点时，时针与分针组成的角是平角；钟面上12时整，时针和分针所成的角是周角。 【点睛】熟练掌握钟面的相关知识及角的分类是本题解答的关键。 32．已知∠1＋∠2＝125°， ∠2＝35°，那么∠1＝____。 【答案】90° 【分析】根据加法各部分间的关系，可得∠1＝125°﹣∠2，由此即可填空。 【详解】∠1＝125°－35°＝90° 33．一条射线绕着它的端点旋转90°形成的角是( )角，旋转180°形成( )角，旋转一周形成( )角。 【答案】 直 平 周 【分析】小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°、小于180°的角是钝角，等于180°的平角，等于360°的角是周角。 【详解】一条射线绕着它的端点旋转90°形成的角是直角，旋转180°形成平角，旋转一周形成周角。 【点睛】熟练掌握角的分类知识是解答本题的关键。 34．经过两点可以画( )条直线，经过一点可以画( )条直线。 【答案】 1 无数 【分析】直线没有端点，无限长，因为两点确定一条直线，所以过两点只能画一条直线；因为经过一点，可以向任意方向画直线，所以过一点可以画无数条直线，据此填空即可。 【详解】经过两点可以画1条直线，经过一点可以画无数条直线。 35．如图，相邻的( )和( )是互相垂直的，( )和( )是互相平行的。 【答案】 AD DC AD BC(答案不唯一） 【分析】根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角是直角，可知，长方形相邻的两条边相互垂直，相对的两条边相互平行，(答案不唯一），据此解答。 【详解】根据分析得：AD和DC是相互垂直的，AB与DC和AD与BC是相互平行的(答案不唯一）。 【点睛】熟练掌握长方形的特性是本题解答的关键。 36．两点之间的所有连线中( )最短，从直线外一点向这条直线引出的线段中，( )最短。 【答案】 线段 垂线段 【详解】直线上任意两点之间的一段叫做线段，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，两点之间，线段最短。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫这点到这条直线的距离，这个点与垂足之间的线段叫做垂线段，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。 37．在同一平面内，两条直线不相交时，这两条直线互相( )；两条直线相交成直角时，它们互相( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种，所以两条直线不相交时必然平行。当两条直线垂直时所成的角是直角。 【详解】在同一平面内，两条直线不相交时，这两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，它们互相垂直。 【点睛】此题重点考查学生对两条直线位置关系的理解。 38．钟面上从3时到4时，分针旋转( )°，时针旋转( )°。 【答案】 360 30 【分析】钟面有12个大格，每一大格是30°，从3时到4时，分针走了12个大格数，用大格数12乘30°可以算出分针旋转度数；从3时到4时，分针走了1个大格数，是30°。 【详解】12×30°＝360° 钟面上从3时到4时，分针旋转（360）°，时针旋转（30）°。 【点睛】本题考查了钟面上的角，解题的关键是明白两个大格之间的夹角是30°。 39．下面用三角尺拼出的角各是多少度？ ( )          ( )          ( ) 【答案】 75°/75度 150°/150度 105°/105度 【分析】一副三角尺有两个，一个三角尺的两个锐角分别是30°和60°，另一个三角尺的两个锐角都是45°，由此计算组成的角的度数即可。 【详解】第一个角是由45°的角与30°的角组成，度数为：45°＋30°＝75°； 第二个角是由90°的角与60°的角组成，度数为：90°＋60°＝150°； 第三个角是由45°的角与60°的角组成，度数为：45°＋60°＝105°； 填空如下： 40． (1)在图中找到一条线段、一条射线和一条直线。( )是线段，( )是射线，( )是直线。 (2)量一量，图中最小的角的度数是( )，它是一个( )角。 (3)在图中找一组平行的线和一组垂直的线。( )和( )互相平行，( )和( )互相垂直。 【答案】(1) AB DF CF (2) 30° 锐 (3) BE CD AC CD 【分析】（1）直线上任意两点间的一段叫做线段；把线段的一端无限延长，得到一条射线；把线段的两端无限延长，得到一条直线；线段的长度是有限的，直线和射线的长度都是无限的；据此从图中找出一条线段、一条射线和一条直线即可，答案不唯一； （2）用量角器量角的度数时，量角器的中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度就是该角的度数；且小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角。要量出图中最小的角的度数，只要量出图中锐角的度数，写出最小的即可； （3）同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线；据此在图中找出一组平行的线和一组垂直的线即可，答案不唯一。 【详解】（1）AB是线段，DF是射线，CF是直线。（答案不唯一） （2）图中最小的角的度数是30°，它是一个锐角。 （3）BE和CD互相平行，AC和CD互相垂直。（答案不唯一） 41．两条直线相交成( )时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的( )，两直线的交点是( )。 【答案】 90度 垂线 垂足 【详解】如果两条直线相交成90度时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 例如图中直线a与b互相垂直： 42．量角器把半圆平均分成( )等份，每份所对的角是( )°，50份所对的角是( )角。9时整，时针和分针所成的角是( )角。 【答案】 180 1 锐 直 【分析】 （1） 如上图：量角器把半圆平均分成180等份，每份所对的角是1°，50份所对的角是50°，根据小于90°的角是锐角即可解答。 （2）钟面1大格是30°，当时针和分针之间较小的夹角有3大格时，30°×3＝90°，此时是个直角；当时针和分针之间较小的夹角小于3大格时，此时是个锐角；当时针和分针之间较小的夹角大于3大格，小于6大格时（6×30°＝180°），此时是个钝角，当时针和分针之间的夹角等于6大格时，此时是个平角。 【详解】量角器把半圆平均分成180等份，每份所对的角是1°，50份所对的角是锐角。 9时整，时针和分针较小的夹角有3大格时，30°×3＝90°，则所成的角是直角。 【点睛】本题主要考查量角器的认识以及角的分类知识，属于基础知识，要熟练掌握。 43．下图中，∠1的度数是______°，∠1是一个______角。 【答案】 120 钝 【分析】角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心点与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。大于90°且小于180°的角叫作钝角。由图可知，∠1的一边与0°刻度线重合，另一条边与120°刻度线重合，所以∠1＝120°，∠1是一个钝角。 【详解】∠1的度数是120°，∠1是一个钝角。 44．在图中，已知∠2＝50°，那么∠1＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 40 130 【分析】观察图形可知，∠1与∠2构成一个直角，∠2与∠3构成一个平角，直角是90°的角，平角是180°的角，用90°减去∠2的度数，即可算出∠1的度数；用180°减去∠2的度数，即可算出∠3的度数。据此解答。 【详解】90°－50°＝40° 180°－50°＝130° 在图中，已知∠2＝50°，那么∠1＝40°，∠3＝130°。 45．数学活动课上，奇奇把两张硬纸条钉在一起，做成了一个活动角（如图①），奇奇做的图①是( )角：奇奇旋转其中一条边到图②的位置，得到的角是( )角：奇奇继续旋转其中一条边，直到两边在同一条直线上（如图④），这时所形成的角是( )角；继续旋转这条边，直到两边重合（如图⑤），这时形成的角是( )角，它的度数等于( )个直角的度数之和。 【答案】 锐 直 平 周 4 【分析】 如图，以上的三个角分别是直角、平角和周角。直角的度数是90°，周角的度数是360°。90°×4＝360°，所以一个周角的度数等于4个直角的度数。锐角比直角小，钝角比直角大但它比平角小。据此解答。 【详解】数学活动课上，奇奇把两张硬纸条钉在一起，做成了一个活动角（如图①），奇奇做的图①是锐角：奇奇旋转其中一条边到图②的位置，得到的角是直角：奇奇继续旋转其中一条边，直到两边在同一条直线上（如图④），这时所形成的角是平角；继续旋转这条边，直到两边重合（如图⑤），这时形成的角是周角，它的度数等于4个直角的度数之和。 46．一条直线上有三个点（如图），最多能数出：( )条线段，( )条射线。 【答案】 3 6 【分析】根据射线和线段的含义：射线有1个端点，无限长；图中一个点作端点可以组成有两条射线，一共有三个点，用2×3即可求出射线总数量。线段有2个端点，有限长，可知组成线段AB、线段AC、线段BC；按顺序依次数出相加即可。 【详解】2＋1＝3（条） 2×3＝6（条） 所以图中最多数出：3条线段，有6条射线。 【点睛】此题主要考查线段和射线的特点，此类型的题，在数时应做到有顺序，做到不遗漏、不重复。 47．把线段的一端无限延长，就得到一条( )，它有( )个端点，它的长度( )测量（填“可以”或“不可以”）。 【答案】 射线 一 不可以 【分析】射线有一个端点，可以向一方无限延伸，所以它也是没有长度的。 【详解】把线段的一端无限延长，就得到一条射线，它有一个端点，它的长度不可以测量。 【点睛】线段有两个端点，有长度。射线有一个端点，没有长度，可以向一方无限延伸。直线没有长度，可以向两边无限延伸。 四、计算题 48．∠1＝35°，求∠2，∠3和∠4。 【答案】∠2＝55°；∠3＝35°；∠4＝55° 【分析】根据图示：∠2与∠3的和等于90°，∠1与∠2的和等于90°。∠1、∠2、∠3、∠4四个角的和等于180°，因此∠1加∠4的和等于180°减去∠2与∠3的和，即180°－90°＝90°，90°减去∠1的度数等于∠4的度数。90°减去∠1的度数，等于∠2的度数，90°减去∠2的度数，等于∠3的度数。据此解答即可。 【详解】因为∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∠1＝35° 因此∠1＋∠4＝180°－（∠2＋∠3）＝180°－90°＝90° ∠1＋∠4＝90° ∠4＝90°－∠1 ∠4＝90°－35° ∠4＝55° ∠1＋∠2＝90° ∠2＝90°－∠1 ∠2＝90°－35° ∠2＝55° ∠2＋∠3＝90° ∠3＝90°－∠2 ∠3＝90°－55° ∠3＝35° 因此∠2＝55°；∠3＝35°；∠4＝55° 49．∠2＝50°，求∠1，∠3和∠4。 【答案】∠1＝130°；∠3＝130°；∠4＝50° 【分析】由图可知，∠2和∠1，∠2和∠3合起来是一个平角，直接用180°减去∠2的度数即可算出∠1和∠3的度数。同理，∠4和∠1合起来也是一个平角，直接用180°减去∠1的度数即可算出∠4的度数。 【详解】∠1＋∠2＝180°，所以∠1＝180°－∠2＝180°－50°＝130°。 ∠3＋∠2＝180°，所以∠3＝180°－∠2＝180°－50°＝130°。 ∠1＋∠4＝180°，所以∠4＝180°－∠1＝180°－130°＝50° 答：∠1＝130°，∠3＝130°，∠4＝50°。 五、作图题 50．用量角器画出下列各角。 35°                110°                  170° 【答案】见详解 【分析】先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器上要画的角的度数刻度线的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角。 【详解】 【点睛】熟练掌握用量角器画角的方法是解答本题的关键。 51．按要求完成下题。 （1）请你根据上面的条件，画一个75°的角。 （2）想一想，用一副三角尺有几种得到75°角的方法，请你写一写或画一画，再列举两种。 【答案】（1）图见详解 （2）三种；过程见详解 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°；30°的角与45°的角的和正好是75°；90°的角与45°的角的和是135°，135°减去60°正好是75°；60°的角与45°的角的和是105°，105°减去30°正好是75°；据此解答。 【详解】 （1）根据解析可知，用30°的角与45°的角可以拼出一个75°的角；利用三角尺上30°的角画出30°，如图，再找到三角尺上45°的角，使45°角的顶点和所画30°角的顶点重合，并且45°角的一边和30°角的一边重合，沿着45°角的另一个边画一条射线，，此时30°和45°组合成了一个75°的角，如图，最后擦掉多余的部分。 （2）用一副三角尺有三种得到75°角的方法，方法如下： 方法一：根据解析可知，90°的角与45°的角的和是135°，135°减去60°正好是75°；先利用90°的角和45°的角组合出一个135°的角，如图；然后放入一个60°角，使边重合，沿着60°角的另一条边画射线，，得到一个60°的角和75°的角，如图，最后擦掉多余的部分； 方法二：根据解析可知，60°的角与45°的角的和是105°，105°减去30°正好是75°；先利用60°的角和45°的角组合出一个105°的角，如图；然后放入一个30°角，使边重合，沿着30°角的另一条边画射线，，得到一个30°的角和75°的角，如图，最后擦掉多余的部分。 52．画出射线AB，再过点C画射线AB的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度，连接AB并向B点的一端延长，即可画出射线AB。 （2）过直线外一点，画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成。 1．把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2．用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。 3．平移后，使直线外的点在三角尺的一条直角边（刚才与已知直线重合的那一条直角边）上，沿直角边画出另一条直线，这条直线就是已知直线的平行线。 （3）过直线上或直线外一点作垂线的步骤： 1．把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2．沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 3．沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】据分析作图如下： 六、解答题 53．在图上画一画，比一比。 （1）南华村离太平村和五阳村哪个村更近？ （2）太平村和五阳村哪个村离小河更近？ 【答案】（1）太平村 （2）五阳村 【分析】（1）两点之间线段最短，先用一条线段把南华村和太平村连起来，用一条线段把南华村和五阳村连起来，再比较这两条线段的长短； （2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，分别从太平村、五阳村向小河边作垂线，再比较这两条垂线的长短。 【详解】画图如下： （1）如上图可知：南华村离太平村更近。 （2）如上图可知：五阳村离小河更近。 【点睛】解答此题的关键是明确两点之间线段最短以及连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 54．小智用三个正方形拼成如图所示的样子，你知道∠1的度数是多少吗？ 【答案】∠1＝15° 【分析】正方形的每个角都是90度，根据图意可知∠1＋∠2＝90－45＝45（度），∠1＋∠3＝90－30＝60（度），而∠1＋∠2＋∠3＝90（度），然后前两个式子相加是2个∠1加∠2加∠3再减去∠1＋∠2＋∠3即为∠1的度数。 【详解】∠1＋∠2＝90－45＝45（度） ∠1＋∠3＝90－30＝60（度） ∠1＋∠2＋∠1＋∠3＝45＋60＝105（度） ∠1＋∠2＋∠3＝90（度） ∠1＝105－90＝15（度） 答：∠1的度数是15度。 55．某天中午甜甜开始吃饭时是12：30，饭时正好是13：00。在甜甜吃饭的这段时间里，分针和时针分别转了多少度？ 【答案】分针转了180°；时针转了15° 【分析】钟面上有12个大格，60个小格，每个大格就是360°÷12＝30°，每个小格就是360°÷60＝6°，分针走一个小格就是1分钟，时针走一大格就是1小时，经过时间＝结束时刻－开始时刻，13时－12时30分＝30分，经过了30分钟，也就是半个小时，也就是30°的一半，是15°，即可求出时针转的度数。 【详解】13时－12时30分＝30分 360°÷60×30 ＝6°×30 ＝180° 360°÷12＝30° 30°的一半就是15°。 答：分针转了180°，时针转了15°。 【点睛】本题主要考查了旋转与角度。 56．如图，∠1＝30°，∠2＝20°，求∠3的度数。 【答案】80° 【分析】 如上图：折成∠1的部分还原后正好是∠4，折成∠2的部分还原后正好是∠5，∠4＝∠1＝30°， ∠5＝∠2＝20°，用180°减去2个30°的和再减去2个20°的和，求出∠3的度数。 【详解】180°－2×30°－2×20° ＝180°－60°－40° ＝120°－40° ＝80° 答：∠3的度数是80°。 【点睛】本题主要考查了线段与角的综合，折叠产生两个相等的角，这是解答本题的关键。 57．如图，四只小鸡同时发现了一条害虫，于是以同样的速度向害虫跑去，哪只小鸡能吃到害虫？请把它圈出来，并说一说你判断的依据。 【答案】见详解 【分析】两点之间所有连线中线段最短，从直线外一点到直线所画的线段中垂线段最短；根据所有小鸡到害虫的距离，以同样的速度，哪只小鸡与害虫的距离越短，哪只小鸡就能吃到害虫，找出小鸡到害虫的线段与四只小鸡的出发线成直角的垂线段即可。 【详解】根据分析，观察图片可知，从右数第二只小鸡到害虫的距离线段与小鸡的出发线成直角，所以这只小鸡能吃到害虫。 垂线段最短。 58．要在某村和省道之间修一条路，怎样修最短？在图中画出来，并说明最短的原因。 【答案】按图中虚线修最短。原因：垂线段最短。 【分析】根据直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短；进而把某村看做一点，把省道看做一条直线，画出垂线段即可。 【详解】 按图中虚线修最短，原因：点到直线的所有线段中，垂线段最短。 【点睛】解答此题应明确：从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短。 59．把一张长方形的纸折成如下图，其中∠1＋∠2＋∠3＝210°，求∠1、∠2、∠3的度数． 【答案】∠1＝30°，∠2＝150°，∠3＝30° 【分析】∠1和∠2组成一个平角，∠3和∠2组成一个平角，和都是180°，∠3＝（∠1＋∠2＋∠3）－（∠1＋∠2）；同样的方法求得∠1＝30°，∠2的度数＝（∠1＋∠2）－∠1。 【详解】因为∠3＝210°－180°＝30°；∠1＝210°－180°＝30°；∠2＝180°－30°＝150° 答：∠1＝30°，∠2＝150°，∠3＝30°。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 线与角 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：线的认识： 1、 三种线的认识与特征 （1）线段 定义： 直线上两个点和它们之间的部分。 特征：有两个端点；长度有限，可以测量。 表示方法： 用两个端点的大写字母表示，读作“线段AB”或“线段BA”。 （2）射线 定义：直线上一点和它一旁的部分。 特征：只有一个端点；向一个方向无限延伸，不可测量长度。 表示方法： 必须把端点字母写在前面，读作“射线AB”（A是端点）。注意：不能读作“射线BA”，因为那代表以B为端点向A方向延伸的另一条射线。 （3）直线 定义：没有端点，向两端无限延伸的线。 特征：没有端点；向两个方向无限延伸，不可测量长度。 表示方法： 可以用直线上任意两点的大写字母表示（读作“直线AB”或“直线BA”），也可以用一个小写字母表示（如“直线l”）。 2、三者之间的联系与区别 联系： 射线和线段都是直线的一部分。把线段向一端无限延长就得到射线，向两端无限延长就得到直线。 区别总结表： 名称 端点数 延伸性 是否可度量 线段 2个 不延伸 是 射线 1个 向一端无限延伸 否 直线 0个 向两端无限延伸 否 3、重要几何性质：两点间的距离 公理内容： 两点之间，线段最短。 距离的定义： 连接两点的线段的长度，叫做这两点之间的距离。 应用实例：为什么修桥（矮寨大桥）比走盘山公路更近？因为桥近似于连接两点的线段，而盘山路是曲线或折线。 生活中“抄近道”的现象也是基于此原理。 知识点02：相交与垂直： 1、相交与不相交（平行的铺垫） （1）相交的定义： 当两条直线有一个公共点时，我们就说这两条直线相交。 （2）直观判断： 像剪刀张开的刀刃、红十字标志的边，它们所在的直线都会相交于一点。 （3）延长线的判断： 有些直线在纸面上看起来没有相交，但如果将它们无限延长，最终会相交（如图中塔的形状）。 关键点： 判断两条直线是否相交，不能只看画出来的部分，要看它们延长后是否会相遇。如果无论怎么延长都不相交，那就是平行（虽然这页主要讲相交，但这是隐含的对比概念）。 2、垂直的概念 （1）定义：当两条直线相交成直角（90度）时，这两条直线互相垂直。 （2）关键特征相交是前提；成直角是核心条件。 （3）表示方法：通常用直角符号（一个小正方形）标在交点处，表示这两条线互相垂直。 （4）术语：其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 3、如何得到垂线（操作方法） （1）折一折： 拿一张正方形或圆形的纸。 先对折一次，产生一条折痕。 再对折一次，使第一条折痕重合。 展开后，两条折痕就是互相垂直的。 （2）画一画（利用三角板）： 贴：把三角板的一条直角边贴在已知直线上。 画：沿着三角板的另一条直角边画线。 标：画上直角符号。 4、点到直线的距离（重要性质） 通过“机灵狗去河边”的小实验，揭示了垂直的重要性质： 实验过程： 从直线外一点（狗的位置）向直线（河边）画多条线段。 （1）发现规律：可以画无数条线段；这些线段中，垂直的那一条最短。 （2）结论（点到直线的距离）： 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 应用：“走最近的路”就是走垂直的那条路。 5、 总结归纳表 概念 图形特征 关键点 相交 两条直线交叉 有一个公共点 垂直 相交且成90度角 特殊的相交，有直角符号 点到直线距离 点到直线的垂直线段 垂线段最短 知识点03：平移与平行： 1、平行的定义与特征 （1）平移产生平行：将一支铅笔在方格纸上向任意方向平移，平移前后的两支铅笔所在的直线是互相平行的。 （2）核心特征（距离相等）： 在方格纸上观察，两条平行线之间的垂直距离（方格数）是处处相等的。 即：“移动前后，两条线之间的方格数一样多”。 （3）不相交性：在同一平面内，互相平行的两条直线无论怎么延长，都永远不会相交。 （4）定义总结：像这样在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2、识别生活中的平行线 （1）铁轨：两条铁轨互相平行。 （2）旗杆：广场上排列的旗杆互相平行。 （3）双杠：体育器材双杠的横杆互相平行。 （4）图形中的平行线： 长方形/正方形： 对边互相平行（上下边平行，左右边平行）。 平移后的图形： 如图中平移后的小鱼图案，其对应的线段也是互相平行的。 3、画平行线的方法 （1）借助方格纸画 方法： 利用方格纸的横线或竖线（或斜线），沿着格线画出的直线天然互相平行。 优点： 简单直观，适合初学者。 （2）折纸法 方法：将一张长方形纸连续对折两次（或者是沿同一方向折叠），展开后的折痕互相平行。 原理：每次折叠都保持了相同的角度和距离。 （3）推三角板法（标准画法） 这是最通用、最精确的画图方法，通常配合直尺使用。 步骤口诀：一贴、二靠、三推、四画。 贴： 把三角板的一条直角边贴在已知直线上。 靠：用直尺靠紧三角板的另一条直角边（作为滑动的轨道）。 推：固定直尺不动，推动三角板沿直尺滑动到指定位置。 画：沿三角板刚才贴在直线上的那条边画出新直线。 结果： 这样画出的两条直线互相平行。 4、易错点提示 （1）“互相”的含义：平行是指两条（或两条以上）直线的位置关系，不能说“某一条直线是平行线”，必须说“直线A与直线B互相平行”。 （2）前提条件：平行线的定义隐含了“在同一平面内”这一条件（虽然小学阶段不深究异面直线，但概念要严谨）。 知识点04：旋转与角： 1、角的动态定义 （1）旋转产生角：角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 （2）生活实例：团扇慢慢打开的过程，就是扇骨（射线）绕着轴心（端点）旋转形成不同大小角的过程。 2、角的分类与特征 根据旋转幅度的大小，角可以分为以下几类： （1）锐角 特征：小于90°的角。 直观判断：比直角小，看起来比较“尖”。 （2）直角 特征：等于90°的角。 标志：通常用直角符号（小正方形）表示。 （3）钝角 特征：大于90°且小于180°的角。 直观判断：比直角大，但还没张开成一条直线。 （4）平角 形成过程：当角的两条边旋转成一条直线时，所形成的角叫做平角。 特征：度数是 180°；两条边在同一条直线上，方向相反。 注意：平角有顶点，不能简单地说平角就是一条直线。 （5）周角 形成过程：当一条射线绕着它的端点旋转一周，回到原来的位置时，所形成的角叫做周角。 特征：度数是 360°；两条边重合在一起。 注意 周角有顶点和两条边，不能简单地说周角就是一条射线。 3、角的大小关系 大小排序： 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角。 数量关系（重要换算）： 1个周角 = 2个平角 = 4个直角。 1个平角 = 2个直角。 4、几何图形的内角和（拓展探究） （1）三角形：把三角形的三个角撕下来拼在一起，可以拼成一个平角（180°）。这说明三角形的内角和是180°。 （2）平行四边形（四边形）：把平行四边形的四个角撕下来拼在一起，可以拼成一个周角（360°）。这说明四边形的内角和是360°。 知识点05：角的度量（一）： 1、引入度量需求 （1）生活情境： 通过比较三个不同坡度的滑梯（ ∠1 、 ∠2 、 ∠3 ），直观感受角有大有小。坡度越陡（开口越大），角越大，滑下来越刺激。 （2）度量方法的探索： 错误尝试：用直尺测量边的长度无法比较角的大小（因为角的大小与边的长短无关）。 重叠法：将两个角叠在一起比较，可以分出大小，但无法知道具体大多少。 用小角量大角： 用一个标准的小角（如∠1 ）去度量其他角，发现∠2 大约包含 2 个∠1 ，∠3 大约包含 3 个 ∠1 。 局限性： 如果标准小角不够小，测量结果就不够精确。这引出了需要更精细、统一的标准单位的必要性。 2、认识度量单位：“度” （1）定义： 将圆平均分成 360 份，其中的 1 份所对的角的大小叫做 1度。 符号： 记作1°。 工具原型： 教材展示了一个被平均分成360份的圆（量角器的雏形），帮助学生建立圆周是 360°的空间观念。 3、特殊角的度数关系 基于“周角是 360°”的定义，推导出其他常见角的度数： 周角：1周角=360° 平角：1平角=180°（周角的一半） 直角： 1直角=90°（平角的一半） 4、估测角的大小 （1）参照物法： 利用已知度数的角作为参照。例如，直角是 90°，平角是 180°。 （2）目测练习： 观察 ∠1 、 ∠2 、 ∠3 在圆形刻度图中的占比，数出它们大约包含多少个10° 或20°的格。 对于未知角，先看它比直角大还是小，再估算具体的数值（如30°、60°120°等常见角度）。 5、动手操作与折纸 找角与标角： 在圆形图上找出特定的角度（如30°、60°、90°等），加深对圆心角分布的理解。 折纸活动： 把圆形纸对折一次，得到平角（180°）。 再对折一次，得到直角（90°）。 再对折一次（共三次），得到45°的角。 结论： 每次对折，角度减半。 知识点06：角的度量（二）： 1、认识量角器 量角器是测量角的大小的专用工具，其核心结构包括： （1）中心点： 量角器底边中央的点，测量时必须与角的顶点重合。 （2）零刻度线： 通过中心点的水平直线（底边），测量时必须与角的一条边重合。 （3）刻度线： 把半圆平均分成180份，每一份所对的角的大小是1度（1°）。 内圈刻度： 从右向左，由0°到180°递增。 外圈刻度： 从左向右，由0°到180°递增。 2、量角的方法（“两重合，一看数”） 测量角的度数时，需遵循以下步骤： （1）点对点：将量角器的中心点与角的顶点重合。 （2）线对边：将量角器的零刻度线与角的一条边重合。 （3）读度数：看角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 关键技巧：如果零刻度线在内圈（右边），就读内圈的刻度；如果零刻度线在外圈（左边），就读外圈的刻度。 判断锐钝：量完后要检查，锐角应小于90°，钝角应大于90°，防止读错圈。 3、画角的方法 利用量角器画出指定度数的角（例如画一个60°的角）： （1）画射线：先画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，零刻度线和射线重合。 （2）找点：在量角器上找到指定度数（如60°）的刻度线，并点上一个点。 （3）连线：以射线的端点为端点，通过刚才点的点，再画一条射线。 （4）标度数：标出角的符号和度数。 4、认识三角板上的角 一副三角板有两个，它们包含特定的角度，熟记这些角度有助于快速作图和估算： 等腰直角三角板： 三个角分别是90°、45°、45°。 细长直角三角板： 三个角分别是 90°、60°、30°。 5、用三角板拼角或画角 利用三角板上现有的角度，可以通过加减法得到新的角度： 直接画： 可以直接画出30°、45°、60°、90°的角。 拼角（加法）： 30°+45°=75° 60°+45°=105° 30°+90°=120° 45°+90°=135° 60°+90°=150° 叠角（减法）： 45°-30°=15° 60°-45°=15° 题型1：线的认识 【例1】如图，绷紧的弓弦可以看作( )，它有( )个端点，并且有一定的( )。 【例2】如图，手电筒射出来的光线可以看作( )，它有( )个端点，可以向一个方向无限延伸。 【例3】小朋友们说得对吗？（对的打“√”，错的打“×”） 题型2：相交与垂直 【例4】下列图形中各有几组互相垂直的线段？填一填，并用不同的颜色描出来。 【例5】小鸭在岸上走比较吃力，却擅长游泳，在水里游很轻松，它想去小鸡家玩，怎样走比较省力？在下图中画出小鸭到小鸡家的路线。 【例6】过直线外一点画出已知直线的垂线。 题型3：平移与平行 【例7】过直线外一点O，分别画出直线AB，AC的平行线。 我的发现：在同一平面内，能画（    ）条直线与已知直线平行；过直线外一点，可以画（    ）条直线与已知直线平行。 【例8】绿灯期间，乐乐和园园分别从公路两边走斑马线横向穿过笔直的公路（如图），她们走过的距离一样长吗？请说说你的理由。 【答案】一样长。因为平行线间的距离处处相等。 【例9】按要求分类。 (1)只含有互相平行线段的字母有：___________。 (2)只含有互相垂直线段的字母有：___________。 (3)既含有互相平行线段又含有互相垂直线段的字母有：___________。 (4)既不含互相平行线段又不含互相垂直线段的字母有：___________。 【例10】下图是一块平行四边形的露营地，奇思在这块露营地的小路上跑步，淘气在草坪上跑步。 （1）淘气跑的路线与小路平行，请你画一条直线表示淘气跑步的路线。 （2）笑笑想走到奇思所在的这条小路，请你画出她去这条小路的最短路线。 题型4：旋转与角 【例11】一条射线以( )为定点，在平面上旋转一周所成的角是( )角。电风扇的一片扇叶转一圈形成一个( )角。 【例12】写出下面每个角的名称。 ( )        ( )         ( )        ( )      ( ) 【例13】写出下面钟面上时针与分针所形成的较小角的名称。 ( )角       ( )角       ( )角       ( )角       ( )角 【例14】海海参加列队练习时，如果他原地向左转，他身体旋转形成的角是一个( )角；如果原地向后转，身体旋转形成的角是( )角。 题型5：角的度量（一） 【例15】1周角＝( )°    1平角＝( )°    1直角＝( )° 【例16】体育课上，乐乐原地向后转1次转了( )°，原地向右转1次转了( )°，连续向右转( )次才能转成一个周角。 【例17】估一估，写出下面各角的度数。 ∠1＝90°     ∠2＝( )°     ∠3＝( )°     ∠4＝( )° 【例18】从3：00到3：20，分针转动了( )°；从4：00到7：00，时针转动了( )°；从9：00到10：00，时针转动了( )°，分针转动了( )°。 【例19】度量一个角时，角的一边对着“180”刻度线，另一边对着“60”刻度线，这个角可能是( )°，也可能是( )°。 题型6：角的度量（二） 【例20】折纸不仅具有极高的艺术性，而且可促进手脑的协调。园园将一张长方形纸的一角折起形成下面的图形，如果∠2是70°，那么∠3是多少度呢？ 【例21】不用量角器，写出下面用三角尺拼出的角的度数。 ( )     ( )     ( )     ( ) 【例22】估一估，并量出下面各角的度数。    估计∠1＝( )    测量∠1＝( )    估计∠2＝( )    测量∠2＝( )    估计∠3＝( )    测量∠3＝( )    估计∠4＝( )    测量∠4＝( ) 【例23】算一算，下面的角分别是多少度？ ∠1＝( )    ∠2＝( )   ∠3＝( )    ∠4＝( ) 【例24】用一副三角尺画一个15°的角。 （1）你可以利用三角尺上的（    ）°和（    ）°的角。 （2）请在下面的空白处画出这个15°的角。 【例25】如图，∠1＝∠2＝∠3，图中所有锐角的和是150°，∠1是多少度？ 【例26】3时30分，钟面上时针和分针所形成的较小角是( )角。9时30分，钟面上时针和分针所形成的较小角是( )角。 一、选择题 1．工程队修路时，会把弯曲的路线改直缩短路程，这样做的道理是（    ）。 A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．点到直线中垂线段最短 2．一个角的大小与（    ）有关。 A．顶点的位置 B．两条边的长短 C．两条边叉开的大小 3．通过直线外一点画已知直线的平行线，可以画（    ）。 A．1条 B．2条 C．无数条 4．将一张正方形纸先上下对折，再左右对折，打开后得到的折痕（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．长度不相等 5．如图，从A到B最短的路线是（    ）。 A．A→C→B B．A→D→B C．A→B 6．把一张正方形纸对折、再对折，打开后的折痕（    ）。 A．一定互相垂直 B．一定互相平行 C．可能平行也可能垂直 7．下面的时刻中，钟面上时针和分针成60°角的是（    ）。 A．10：00 B．7：00 C．9：00 8．把一张长方形的纸对折，再对折，两次折痕的关系是（    ）。 A．相交不垂直 B．互相平行 C．互相垂直 D．互相平行或互相垂直 9．在同一平面内的两条直线，它们的位置关系是（    ）。 A．平行 B．垂直 C．平行或相交 10．在纸上画a、b两条直线都与第三条直线垂直，那这两条直线（    ） A．相交 B．互相平行 C．互相垂直 11．下面的字母中含有平行线段的有（    ）个，含有垂直线段的有（    ）个。 A．3；4 B．4；6 C．6；3 12．图是一张长方形纸折起来以后的图形，已知∠1＝31°，∠2＝（    ）。 A．28° B．31° C．59° D．149° 13．12时15分时，时针和分针形成的较小角是一个（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 14．下面图形中，有且只有一组平行线的是（    ）。 A． B． C． 15．下图中的线段a和线段b比较,(　　)． A．a比b长 B．一样长 C．b比a长 16．下面的图形中有（   ）条线段． A．5 B．6 C．7 D．8 二、判断题 17．过直线上一点可以画无数条直线与这条直线互相垂直。( ) 18．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。( ) 19．两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。( ) 20．过直线外一点向直线所作的线段中，垂直的线段最短。( ) 21．过任意一点能画出无数条直线。( ) 22．过直线外一点，能画无数条直线与已知直线垂直。( ) 23．用量角器可以画出任意角度的角。( ) 24．同一平面内，相交的两条直线是互相垂直的。( ) 25．奇思画了一条60米长的直线。( ) 26．过一个点可以画无数条直线和射线．                        ( ) 27．两个钝角的和一定比周角小。( ) 28．平角就是一条直线，周角就是一条射线。( ) 29．下午5时整，钟面上时针与分针所成的较小角是钝角。( ) 30．用三角尺可以画出75°、35°和120°的角．( ) 三、填空题 31．在2：00点时，时针与分针组成的角是( )角；3：00点时，时针与分针组成的角是( )角；6：00点时，时针与分针组成的角是( )角；钟面上( )时整，时针和分针所成的角是周角。 32．已知∠1＋∠2＝125°， ∠2＝35°，那么∠1＝____。 33．一条射线绕着它的端点旋转90°形成的角是( )角，旋转180°形成( )角，旋转一周形成( )角。 34．经过两点可以画( )条直线，经过一点可以画( )条直线。 35．如图，相邻的( )和( )是互相垂直的，( )和( )是互相平行的。 36．两点之间的所有连线中( )最短，从直线外一点向这条直线引出的线段中，( )最短。 37．在同一平面内，两条直线不相交时，这两条直线互相( )；两条直线相交成直角时，它们互相( )。 38．钟面上从3时到4时，分针旋转( )°，时针旋转( )°。 39．下面用三角尺拼出的角各是多少度？ ( )           ( )           ( ) 40． (1)在图中找到一条线段、一条射线和一条直线。( )是线段，( )是射线，( )是直线。 (2)量一量，图中最小的角的度数是( )，它是一个( )角。 (3)在图中找一组平行的线和一组垂直的线。( )和( )互相平行，( )和( )互相垂直。 41．两条直线相交成( )时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的( )，两直线的交点是( )。 42．量角器把半圆平均分成( )等份，每份所对的角是( )°，50份所对的角是( )角。9时整，时针和分针所成的角是( )角。 43．下图中，∠1的度数是______°，∠1是一个______角。 44．在图中，已知∠2＝50°，那么∠1＝( )°，∠3＝( )°。 45．数学活动课上，奇奇把两张硬纸条钉在一起，做成了一个活动角（如图①），奇奇做的图①是( )角：奇奇旋转其中一条边到图②的位置，得到的角是( )角：奇奇继续旋转其中一条边，直到两边在同一条直线上（如图④），这时所形成的角是( )角；继续旋转这条边，直到两边重合（如图⑤），这时形成的角是( )角，它的度数等于( )个直角的度数之和。 46．一条直线上有三个点（如图），最多能数出：( )条线段，( )条射线。 47．把线段的一端无限延长，就得到一条( )，它有( )个端点，它的长度( )测量（填“可以”或“不可以”）。 四、计算题 48．∠1＝35°，求∠2，∠3和∠4。 49．∠2＝50°，求∠1，∠3和∠4。 五、作图题 50．用量角器画出下列各角。 35°                110°                  170° 51．按要求完成下题。 （1）请你根据上面的条件，画一个75°的角。 （2）想一想，用一副三角尺有几种得到75°角的方法，请你写一写或画一画，再列举两种。 52．画出射线AB，再过点C画射线AB的平行线和垂线。 六、解答题 53．在图上画一画，比一比。 （1）南华村离太平村和五阳村哪个村更近？ （2）太平村和五阳村哪个村离小河更近？ 54．小智用三个正方形拼成如图所示的样子，你知道∠1的度数是多少吗？ 55．某天中午甜甜开始吃饭时是12：30，饭时正好是13：00。在甜甜吃饭的这段时间里，分针和时针分别转了多少度？ 56．如图，∠1＝30°，∠2＝20°，求∠3的度数。 57．如图，四只小鸡同时发现了一条害虫，于是以同样的速度向害虫跑去，哪只小鸡能吃到害虫？请把它圈出来，并说一说你判断的依据。 58．要在某村和省道之间修一条路，怎样修最短？在图中画出来，并说明最短的原因。 59．把一张长方形的纸折成如下图，其中∠1＋∠2＋∠3＝210°，求∠1、∠2、∠3的度数． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $