精品解析：山东省日照市东港区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试卷

义务教育学校学生发展质量监测2026年春季学期测评 八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷共6页．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题，须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，答在区域外或试卷上均不得分． 第I卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图象分别给出了变量与之间的对应关系，其中不是的函数的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点和点，在函数（为任意实数）的图像上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能比较 5. 下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 正十边形的每一个外角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 8. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（ ） A. 三个班级中，甲班分数的方差最大 B. 三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C. 丙班学生得分的中位数低于甲班学生得分的中位数 D. 若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，丙班分数最高 9. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（ ）． A. 当的面积为时，或 B. C. 若，则对应个不同的值 D. 10. 如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连接．给出下面五个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点；⑤．上述结论中，正确结论的序号有（ ）． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③⑤ 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 12. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为_____________． 13. 如图，在中，对角线和相交于点，点是边的中点，，，则的周长为__________． 14. 已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则的取值范围为_____________． 15. 如图，在中，，，于点，于点，且点是边的中点，的周长是18，则_____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线轴，且，，过点作直线与轴负半轴交于点．已知点关于直线的对称点为，连结，并延长交轴于点．当时，则点的坐标为_____________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 随着人工智能技术飞速发展，为帮助七、八年级学生了解人工智能基础常识、拓宽科技视野，学校德育处联合信息科技教研组，组织七、八年级各名在校生开展人工智能科普知识限时答题竞赛和模型制作．竞赛采用百分制计分，赛后教研人员分别从七、八年级参赛学生里各随机抽取名学生的答卷成绩作为样本，开展数据统计与学情分析，相关数据收集、整理如下： 【收集数据】 七年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）①小明说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是__________（填“七”或“八”）年级的学生； ②小文本次竞赛成绩恰好为分，现将小文的成绩补充录入八年级这组样本数据中，则八年级学生成绩的方差将___________（填“增大”“减小”或“不变”）； （3）根据活动要求，学校将模型设计成绩、答卷成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与答卷成绩（单位：分）如下： 模型设计 答卷成绩 甲的成绩 乙的成绩 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 19. 丙午马年的春晚机器人表演给同学们留下了深刻的印象，精彩的表演离不开科技的创新，团队的协作以及科技人员对细节的极致追求，在他们的影响下，某校科创社团的同学们积极思考完成下面的活动任务． 【活动说明】 机器车型号 恒定速度 路线说明 路线示意图 甲 乙 【相关数据】 ，点，，在一条直线上，，，； 【任务目标】 确定的值，使甲、乙两种型号机器车同时到达点． 20. 根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素 材 1 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素 材 2 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元． 问题解决： （1）任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 （2）任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 （3）任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示） 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求直线的表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 22. 如图，在中，，分别为，的中点，是上一定点，按以下步骤尺规作图． ①以点为圆心，为半径作弧，交于另一点； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求和的长． 23. 定义：若一个四边形有一个内角为直角，且一条对角线平分一个内角，我们称这个四边形为“美好四边形”． （1）如图1，四边形为美好四边形，，平分，若，，则的度数为____________； （2）如图2，已知四边形为“美好四边形”，平分，，连接，交于点，过点作于点，若．试探究线段，，的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为轴负半轴上一点，为轴正半轴上一点，若四边形为“美好四边形”，请直接写出满足条件的点和对应的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 义务教育学校学生发展质量监测2026年春季学期测评 八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷共6页．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题，须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，答在区域外或试卷上均不得分． 第I卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图象分别给出了变量与之间的对应关系，其中不是的函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断是否为的函数依据函数定义：在一个变化过程中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应．判定图像可用垂直轴直线检验法：作任意垂直于轴的直线，若直线与图像最多只有个交点，则是的函数；若存在直线与图像有个及以上交点，则不是的函数． 【详解】解：根据函数定义逐一分析选项： 选项A：任意作垂直轴的竖直线，与直线仅有个交点，任意对应唯一，是的函数； 选项B：取图像右侧任意一个值，作垂直轴的竖直线，该直线会与图像交于上下两个点，即一个对应两个不同，不满足“唯一对应”，因此不是的函数； 选项C：任意作垂直轴的竖直线，与反比例曲线仅有个交点，任意对应唯一，是的函数； 选项D：任意作垂直轴的竖直线，与分段图像最多只有个交点，任意对应唯一，是的函数． 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件是①被开方数不含分母；② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数含有分母，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； B．的被开方数含能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； C．满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意； D．的被开方数含能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意． 3. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理，逐一判断即可． 【详解】解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形； B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形； C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形； D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形； 则只有选项C不一定是菱形． 4. 若点和点，在函数（为任意实数）的图像上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能比较 【答案】C 【解析】 【分析】先判断一次函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， ∴函数为一次函数，且随的增大而增大， ∵， ∴． 5. 下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】验证各选项中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可组成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：选项A：最长边为2，∵，∴能组成直角三角形； 选项B：最长边为5，∵，∴能组成直角三角形； 选项C：最长边为4，∵，∴不能组成直角三角形； 选项D：最长边为，∵，即，∴能组成直角三角形． 6. 正十边形的每一个外角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等，直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正十边形的10个外角大小相等， ∴正十边形的每一个外角的度数为． 7. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 8. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（ ） A. 三个班级中，甲班分数的方差最大 B. 三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C. 丙班学生得分的中位数低于甲班学生得分的中位数 D. 若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，丙班分数最高 【答案】D 【解析】 【分析】通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：A、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意； B、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意； C、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项错误； D、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项正确． 9. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（ ）． A. 当的面积为时，或 B. C. 若，则对应个不同的值 D. 【答案】A 【解析】 【分析】选项D、根据点在图1中段、段运动时，对应图2中的线段、曲线，即可判断； 选项B、当点在图1中到达点处时，对应图2中的点，即知，再根据勾股定理的逆定理，即可判断； 选项C、分点在图1中、及上三种情况，分别求出时对应的值，即可判断； 选项A、分点在图1中、上两种情况，根据的面积为4，分别列方程求解，即可判断． 【详解】解：由两个图形的对应关系可知，点在图1中段运动时，对应图2中的线段， 即时，， ， 点在图1中段运动时，对应图2中的曲线，即4， 当点在图1中到达点处时，对应图2中的点， ， ， ， 选项D正确； 当点在图1中到达点处时，对应图2中的点， 即， ， ， 选项B正确； 当时， 若，则； 当时， 若，则； 当时，点在上运动，对应图2中点右侧的线段， 过点作于点， ， ， 当点在点的左侧时，， ， 此时； 当点在点的右侧时，同理可得， ， 此时， 综上所述，值有4个， 选项C正确； 当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为时，，解得； 当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时， ， 解得； 当的面积为4时，或， 选项A错误． 10. 如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连接．给出下面五个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点；⑤．上述结论中，正确结论的序号有（ ）． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据平行线的性质以及等腰三角形即可判断②；过点作于点，根据角平分线的性质可得，证，得，，证，得，，即可判断③⑤；假设是的中点，此时，可得，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④． 【详解】解：垂直平分， ，故结论①正确； ， 四边形是正方形， ，，，， ， ， 平分，故结论②正确； 如图，过点作于点， 平分，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，，故结论③⑤正确； 点是的中点， ， 假设点是的中点，则， ， ， ， 与在中，相矛盾，故假设不成立，即此时点不是的中点，故结论④错误， 综上，正确的结论为①②③⑤． 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， x的取值范围是． 12. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】由勾股定理可得，由题意可得，由此求出，结合图形即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得：， 由题意可得：， ， ， ， 由图形可得：图中阴影部分的面积为． 13. 如图，在中，对角线和相交于点，点是边的中点，，，则的周长为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得点是的中点，得出是的中位线，由中位线的性质得，进而即可求解． 【详解】解：在中，对角线和相交于点， 点是的中点， 点是边的中点，， 是的中位线， ， ， 的周长为． 14. 已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，当时，恒成立，整理得到关于的一次不等式，结合一次函数的单调性，分情况讨论不等式恒成立的条件，即可求解的取值范围． 【详解】解：由题意得，对任意，都有，即， 整理得 设，为关于的一次函数，分三种情况讨论： ①当，即时，随的增大而增大， 当时，函数的最大值为， 要使不等式恒成立，则，解得， ； ②当，即时，恒成立，则符合条件； ③当，即时，随的增大而减小，函数在处取得最小值，当不断减小时，值不断增大，存在大于的情况，从而不满足恒成立条件，即不符合题意； ． 15. 如图，在中，，，于点，于点，且点是边的中点，的周长是18，则_____________． 【答案】12 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，分别表示出、、，结合等腰三角形三线合一求出，再通过周长求出腰长，最后用勾股定理计算高． 【详解】解：为中点， ． 为中点， ． ， 是中点，． 又为中点， ． 已知周长， 代入： ， ， ， ， ，为直角三角形，： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线轴，且，，过点作直线与轴负半轴交于点．已知点关于直线的对称点为，连结，并延长交轴于点．当时，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先过作轴于，在中利用勾股定理求，得点坐标；求出直线解析式，结合确定坐标；由、关于直线对称，得直线是线段的垂直平分线；结合在直线上，设，利用垂直平分线性质列方程求解． 【详解】解：轴，，， ． 过作轴于，则，． 在中，，由勾股定理： ， ，即． 设直线，代入、： ， 两式相减：，， 代入，． 直线． 、关于对称， ，， 得， 过作轴于，设， ， 在中，勾股定理： ， 解得， 又， ， ， ， 设， 直线是垂直平分线， ． ，则， ， 由： ， 解得， ． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 随着人工智能技术飞速发展，为帮助七、八年级学生了解人工智能基础常识、拓宽科技视野，学校德育处联合信息科技教研组，组织七、八年级各名在校生开展人工智能科普知识限时答题竞赛和模型制作．竞赛采用百分制计分，赛后教研人员分别从七、八年级参赛学生里各随机抽取名学生的答卷成绩作为样本，开展数据统计与学情分析，相关数据收集、整理如下： 【收集数据】 七年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）①小明说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是__________（填“七”或“八”）年级的学生； ②小文本次竞赛成绩恰好为分，现将小文的成绩补充录入八年级这组样本数据中，则八年级学生成绩的方差将___________（填“增大”“减小”或“不变”）； （3）根据活动要求，学校将模型设计成绩、答卷成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与答卷成绩（单位：分）如下： 模型设计 答卷成绩 甲的成绩 乙的成绩 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 【答案】（1）2；； （2）①七；②减小 （3）甲的综合成绩更高 【解析】 【分析】（1）数出七年级名同学测试成绩在的个数，利用中位数、众数的定义求解即可； （2）①利用样本数据推断七、八年级排到前需要的分数，结合题目逻辑解答即可； ②方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小，利用这个性质结合题目信息解答即可； （3）利用加权平均数的定义，按照比例计算各自的得分比较大小即可得出答案． 【小问1详解】 解：由七年级10名同学测试成绩得，八年级数据中出现的次数最多，故 七年级名同学测试成绩从小到大的排列：，，，，，，，，，， ； 【小问2详解】 解：①八年级名同学测试成绩从小到大的排列：，，，，，，，，，， 由题意可得小明所在年级前的成绩低于小强所在年级， 由【收集数据】分析得七年级前的成绩是，八年级前的成绩是， 小明是七年级的学生； ②等于八年级这名同学测试成绩的平均数， 将小文的成绩补充录入八年级这组样本数据中八年级学生成绩的方差将减小； 【小问3详解】 解：（分）， （分）， ， 甲的综合成绩更高． 19. 丙午马年的春晚机器人表演给同学们留下了深刻的印象，精彩的表演离不开科技的创新，团队的协作以及科技人员对细节的极致追求，在他们的影响下，某校科创社团的同学们积极思考完成下面的活动任务． 【活动说明】 机器车型号 恒定速度 路线说明 路线示意图 甲 乙 【相关数据】 ，点，，在一条直线上，，，； 【任务目标】 确定的值，使甲、乙两种型号机器车同时到达点． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由勾股定理列方程求解得到相关线段长度，根据时间相等列等式求解即可． 【详解】解：由题意，设，则， ， ， ，解得， 使甲、乙两种型号机器车同时到达点， ， ， ． 20. 根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素 材 1 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素 材 2 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元． 问题解决： （1）任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 （2）任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 （3）任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示） 【答案】（1） （2）种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元 （3）当时，总费用最少，最少费用元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可得甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式； （2）依据题意，求出，再根据一次函数性质可得答案； （3）依据题意，求出，再根据a的范围结合一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为， 根据函数图象可得：， 解得：， ∴甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W取最小值，最小值为（元）， ∴种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元． 【小问3详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W最小，最小值为：， ∴当时，总费用最少，最少费用元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求直线的表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，再把代入表达式求解即可； （2）根据图象直接得出结论； （3）求出，，进而求出，，设，列方程求解即可； 【小问1详解】 解：把代入， 得， ， 直线过点， ， 解得， ∴直线的表达式为． 【小问2详解】 解：根据图象，关于的不等式的解集为； 【小问3详解】 解：在中， 令，得， ， 在中，令，得， ， ， ∴， ， ． 设， 的高为点纵坐标1， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 22. 如图，在中，，分别为，的中点，是上一定点，按以下步骤尺规作图． ①以点为圆心，为半径作弧，交于另一点； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求和的长． 【答案】（1）证明：由条件可知为的中位线， ， 即， ． 四边形是平行四边形， 根据作图可知：， 四边形是矩形； （2）， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据作图痕迹可知，进而即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质和矩形的性质得，结合中位线的性质可得，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 由条件可知， ， 分别为的中点， 是的中位线， ， ． 23. 定义：若一个四边形有一个内角为直角，且一条对角线平分一个内角，我们称这个四边形为“美好四边形”． （1）如图1，四边形为美好四边形，，平分，若，，则的度数为____________； （2）如图2，已知四边形为“美好四边形”，平分，，连接，交于点，过点作于点，若．试探究线段，，的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为轴负半轴上一点，为轴正半轴上一点，若四边形为“美好四边形”，请直接写出满足条件的点和对应的点的坐标． 【答案】（1） （2），理由如下： 如图，过点作于点， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）或或，或． 【解析】 【分析】（1）证明，即可求出结论； （2）过点作于点，证明，得出，即可证明结论； （3）分四种情况：当平分时；或当平分时；或当平分时；或当平分时，分别求出即可． 【小问1详解】 解：， ， 平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中， 当时，，即， 当时，，解得，即， 四边形为“美好四边形”， ①如图，当平分时， 则， ， 点与点关于轴对称，即， 设，则， ， 且， ， 解得：， 此时； ②如图，当平分时， 由①可得：， 设，则， ，且， ， 或（不符合题意，舍去）， 此时； ③如图，当平分时， 则， ， 同理点与点关于轴对称，即， 设，则， ，且， ， 解得：， 此时； ④如图，当平分时， 由③可得：， 设，则 ，且， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时； 综上所述，满足条件的点和对应的点的坐标为或或，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $