精品解析：广东珠海市部分校2025-2026学年第二学期期末练习高一数学（A类）

2025-2026学年度第二学期期末练习 高一数学（A类） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，所以. 2. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：若，，则可以平行或相交或异面，故A错误; 对于B：若，，则或或，故B错误； 对于C：若，，则或，故C错误； 对于D：若，，则，故D正确. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式结合二倍角余弦公式可得答案. 【详解】， 则. 5. 在平行四边形中，设，，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平行四边形法则表示对角线，根据三等分点得到，再由为中点使用中线向量公式，代入化简求出的线性表达式． 【详解】 ， ， ． 6. 如图，正方体，为棱的中点，用过点，，的平面截正方体为两部分，其体积分别为，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，作出过点的截正方体截面并确定几何体形状，进而求出体积比. 【详解】在正方体中，取中点，连接，由为棱的中点， 得，则四边形为平行四边形，， 因此四边形为平行四边形，是过点的平面截正方体所得截面， 几何体是直三棱柱，， ，所以. 7. 已知圆锥的底面半径为，圆锥内的最大球的表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出圆锥轴截面，由题可得轴截面对应等腰三角形内切圆半径为圆锥内最大球半径，然后由等面积法可求得圆锥母线长，据此可得答案. 【详解】画出圆锥轴截面，则圆锥内最大球截面为轴截面对应等腰三角形内切圆，设内切圆圆心为，与相切于. 连接，由题设及几何知识可得，，. 设，则，又因为等腰三角形，则三点共线，. 注意到，则 ，则圆锥母线长为，则圆锥侧面积为. 8. 记的内角，，的对边分别是，，，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据得到，再结合正弦定理求解. 【详解】由已知， ， 结合已知得： ， 又因为，所以，所以， 所以，， 又，则，所以， 由余弦定理得：，化简得：， 又因为，所以，化简得， 由正弦定理: ，， ， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】设，，， 对于A，， ， ， 所以，故A正确； 对于B，，，所以不恒成立，故B错误； 对于C，，，，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，满足，则（ ） A. B. 若，，则 C. 若，则的面积最大值为 D. 若，点为的中点，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先由向量共线的性质结合正弦定理、三角恒等变换推导得，可知点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动，后续各选项结合三角形几何性质逐一分析. 【详解】∵ ， ∴ . 由正弦定理得 ，为外接圆半径， 代入得， 整理得 . ∵ 在中 ， ∴. ∵， ∴，故A正确. 已知，，，故. . 由正弦定理得，即，故B错误. 当时，长度固定为，， 由圆周角定理可知，点的轨迹为外接圆上所对的优弧（不含、点）. 由正弦定理得，即，解得. 的面积，其中为边上的高. 观察图象可得，当点为的垂直平分线与优弧的交点时，h最大， 此时为等边三角形，. ∴，故C正确. 为中点，延长至点使，连接，则四边形为平行四边形， 由平行四边形对角线平方和等于四边平方和得， 即 ，整理得 . 由余弦定理得，即，故. 由均值不等式，得 ，即 ，当且仅当时等号成立. 代入得 ，故 ，即最大值为，故D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用线面平行的判定及性质，结合三棱锥的体积公式判断A；利用球面的截面性质计算判断B；将与置于同一平面内，结合余弦定理求出最小值判断C；确定球心位置并求出球半径，进而求出球的表面积判断D. 【详解】对于A，正方体的对角面为矩形，则， 而平面，平面，于是平面， 线段上点到平面的距离为定值，而面积为定值， 因此三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，四面体是正四面体，棱长，正的外接圆半径， 则点到平面的距离，由， 得点的轨迹是以点为球心，为半径的球被平面所截得的圆， 该圆半径为，而正的内切圆半径为， 因此点的轨迹是正的内切圆，轨迹长度为，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如图： ，当且仅当为线段与交点时取等号， 由，，得，在正中，， 则，由余弦定理得 ， 因此的最小值为，C错误； 对于D，在三棱锥中，，正的边长为， 取中点，连接，则，， 而，于是，， 平面，则平面，同理平面， 令的外心分别为，则分别在线段上， 由选项B知，在中，， 由正弦定理得，则，令三棱锥外接球球心为， 连接，则平面，平面，因此， 四边形为矩形，，三棱锥外接球半径， 所以三棱锥的外接球表面积为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量与向量的夹角为，，，则___． 【答案】3 【解析】 【分析】先展开向量数量积，代入向量夹角数量积公式，把已知模长、夹角代入得到关于的一元二次方程，舍去负根求出向量的模． 【详解】因为，所以， ， 所以，整理得， 解得或（舍去）. 13. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，为弧上的靠近点的三等分点，轴截面是正三角形，则直线与所成的角的余弦值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过平移直线将异面直线所成角转化为相交直线的夹角，结合圆锥的几何性质计算三角形各边长度，再用余弦定理求解即可. 【详解】设底面圆的半径，则直径. ∵ 轴截面为正三角形，∴ . ∵ 为弧上靠近的三等分点，∴ ，. 在中，由余弦定理得 ， 取中点，延长交于点，连接， 易得，则， 则即为所求异面直线的夹角， 在中， 14. 记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先应用正弦定理及两角和正弦公式计算得出，再换元应用判别式法结合一元二次不等式计算求得的最小值，最后应用不等式的性质即可求最大值. 【详解】因为，而， 由正弦定理得， 所以. 又因为， 设，，所以. 又，所以， 所以，即， 设，所以，即有解， 所以，解得. 若，则与，则， 即，与矛盾，故. 即有，所以，故的最小值为， 则的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知 （1）求角的大小； （2）设，，求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）已知边与余弦的等式，代入余弦定理化简得到三边齐次式，再反向套用余弦定理求出，结合三角形内角范围得到； （2）先用余弦定理算出边，正弦定理求，由边长大小判断角锐角求出，二倍角公式算出、，最后用两角差余弦公式代入求值. 【小问1详解】 因为，所以． 化简得，即． 又，所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理及，，， 有，故． 由，可得，因为，故． 因此，． 所以，． 16. 已知． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值； （3）求在区间上的最值及相应的值． 【答案】（1） （2） （3）最小值为1，，最大值为2， 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简整理即可. （2）代入解析式求得，结合同角的三角函数关系求解即可. （3）结合正弦型三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 故. 【小问2详解】 由可知，，化简得， 因为，所以. 【小问3详解】 因为，所以， 所以当时，取到最小值为，此时， 当时，取到最大值为，此时. 所以当时，取到最小值1；当时，取到最大值2. 17. 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为． （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据坐标，利用基底表示向量，再代入数量积公式，即可求解； （2）①利用基底表示向量，再代入向量夹角公式，即可求解；②根据平面向量基本定理表示和，再结合余弦定理表示的关系，最后结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以， 所以． 【小问2详解】 ①因为，， 所以，， 得到， 则， 化简得，解得或（舍去） 则 ②依题意设，，， ，， 同理， 则 ， 在中，，，，， 依据余弦定理得， 整理得 所以 ，，当且仅当时等号成立 ，即的最小值为 18. 现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. （1）求证：平面平面； （2）设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 【答案】（1） 由与平行且相等，得四边形为平行四边形， 所以为，的中点. 又由于，，所以，， 又因为，平面，，所以平面. 又平面， 所以平面平面； （2） （ⅰ）因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （ⅱ）最大值. 【解析】 【分析】（1）通过，确定，即可求证； （2）（ⅰ）通过平面，得到，即可求证；（ⅱ）作，，确定是二面角的平面角.设.得到，.再结合体积公式，结合三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）作，，垂足分别为，， 因为，所以，， 所以是二面角的平面角. 因为，为的中点， 所以，设. 则，. 因为，，，平面， 所以平面，所以. 所以. 当且仅当，即二面角的大小为时，四棱锥的体积取得最大值. 19. 三角形的布洛卡点由数学家布洛卡首次发现，当内一点满足时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，点是的布洛卡点，布洛卡角为． （1）当且，的布洛卡角为，求的值； （2）证明：（其中S为的面积）； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）在中，由正弦定理可得 在中，由正弦定理可得， 两式相除得 将分子展开得， 化简得 即 （3）3 【解析】 【分析】（1）先利用直角三角形的边角关系表示出，再在中确定内角大小并应用正弦定理建立关于的等式，通过三角恒等化简求解得到的值； （2）分别在两个小三角形中用正弦定理表示出同一条线段，两式作比消去，展开差角正弦公式，结合余弦定理、三角形面积公式化简整理得证； （3）先结合三角恒等变形、余弦定理与面积公式证明三角形三内角余切和等于，再分别对三个小三角形用正弦定理拆分出、、并合并化简，最后代入已知等量关系整体代换求值. 【小问1详解】 ，则，， 又，则 在中，，，由正弦定理可得 ， 化简得，即，解得 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得， ， ， ， 三式相加可得：， 由（2）可得， 在中，由正弦定理可得， 所以， 同理可得，， 所以． 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末练习 高一数学（A类） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，设，，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方体，为棱的中点，用过点，，的平面截正方体为两部分，其体积分别为，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的底面半径为，圆锥内的最大球的表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角，，的对边分别是，，，已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，满足，则（ ） A. B. 若，，则 C. 若，则的面积最大值为 D. 若，点为的中点，则的最大值为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量与向量的夹角为，，，则___． 13. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，为弧上的靠近点的三等分点，轴截面是正三角形，则直线与所成的角的余弦值为____________． 14. 记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知 （1）求角的大小； （2）设，，求和的值． 16. 已知． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值； （3）求在区间上的最值及相应的值． 17. 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为． （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值． 18. 现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. （1）求证：平面平面； （2）设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 19. 三角形的布洛卡点由数学家布洛卡首次发现，当内一点满足时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，点是的布洛卡点，布洛卡角为． （1）当且，的布洛卡角为，求的值； （2）证明：（其中S为的面积）； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $