广东省珠海市第一中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试卷

2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设是两个不同平面，是两条不同直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若在中，，则等于 A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D．2 4．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第2个红色球的编号为（    ） 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 A．32 B．48 C．37 D．23 5．要得到函数的图像,可以将函数的图像沿轴 A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 6．如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图所示，盛水桶视为质点的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（    ） A． B． C． D． 8．学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下:取正方形ABCD边AB的中点，沿MC、MD折叠，将MA、MB用胶水粘起来，使得点A、B重合于点，这样就做成了一个簸箕，如果这个簸箕的容量为，则原正方形铁皮的边长是多少（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于复数z，下面是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70、85、86、88、90、90、92、94、95、100．则下列说法正确的有（    ） A．这10个分数的中位数为90 B．这10个分数的第60百分位数为91 C．这10个分数的平均数大于中位数 D．去掉一个最低分和一个最高分后，平均分数会变大，而分数的方差会变小 11．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（，），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，，则的最大值为 三、填空题 12．已知圆台下底面的半径为2，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为 13．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图), ，，，，则这块菜地的面积为 ．    14．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为 . 四、解答题 15．在中，内角所对的边分别为，已知，． (1)求． (2)若为锐角三角形，求面积的取值范围． 16．在平行四边形中，. (1)若与交于点，求的值； (2)求的取值范围. 17．如图，在四棱锥P-ABCD中，CD平面PAD，为等边三角形，，，E，F分别为棱PD，PB的中点. (1)求证AE平面PCD； (2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 18．2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 19．现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 1．C 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断（可通过正方体中的直线、平面进行说明）． 【详解】以正方体为例， A．，平面，平面与平面都可以是平面，与可能平行也可能相交，A错； B．平面，平面，，，此时与相交，B错； C．，由线面平行的性质定理，内有直线，，则，，则，则，C正确； D．平面，平面，，，但与相交，不平行，D错． 故选：C． 2．A 【详解】根据正弦定理有，由余弦定理得，所以. 3．A 【分析】由二倍角公式以及切弦互换即可求解. 【详解】. 故选：A. 4．A 【分析】用随机数表法选取样本数据时，选取的数据应在指定的范围内，且重复的数据要舍去． 【详解】解：从随机数表第1行的第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字， 则选出来的第1个数是21，第2个红色球的编号是32． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用随机数表法选取样本数据的应用问题，是基础题． 5．C 【解析】由，根据三角函数的变换规则即可判断. 【详解】解：∵, ∴将函数的图像上的所有点向左平移个单位,可得到函数的图像. 故选： 【点睛】本题考查三角函数的变换，属于基础题. 6．C 【分析】延长交于，根据题意，得到且，再由，可得是的四等分点，根据向量的运算法则，求得，求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以． 故选：C. 7．A 【分析】先求出初始位置时对应的角，再根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系式，将代入，即可求解. 【详解】设初始位置时对应的角为，则，则， 因为筒车转到的角速度为， 所以水桶到水面的距离， 当时，可得. 故选：A. 8．B 【分析】设正方形ABCD边长为，由三棱锥的体积，求出的值即可. 【详解】三棱锥中，为中点，连接， ，则， 平面，，得平面， 设正方形ABCD边长为，则有，， ，，， 有，则，， ，得，即. 所以原正方形铁皮的边长是. 故选：B 9．CD 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据复数的乘法以及复数的模长公式结合复数相等分析求解；对于D：根据复数的相关概念结合共轭复数分析判断. 【详解】设，则， 对于选项A：例如，则，符合题意，但，故A错误； 对于选项B：例如，则，符合题意，但，故B错误； 对于选项C：若，则， 可得，解得， 可知，故C正确； 对于选项D：若，可知， 此时，故D正确； 故选：CD. 10．ABD 【分析】分别求得中位数、百分位数、平均值、方差判断各选项． 【详解】对于选项A，10个分数从小到大排列后第5个和第6个数的平均值为，即中位数是90，A正确； 对于选项B，由于，所以第60百分位数是第6个数90与第7个数92的平均数，即，所以B正确； 对于C选项：方法1：平均数相对于中位数总在“拖尾”的一则，所以C错误； 方法2：这10个数的均值为分，中位数是90，所以C错误； 对于D选项：这10个数的方差为， 去掉70和100后，平均数为，方差为，90>89， ，所以D正确． 故选：ABD． 11．ABD 【分析】对于A，通过向量的线性运算即可验证；对于B，建立适当的平面直角坐标系，将数量积转换为闭区间上的二次函数，进而判断；对于C，先表示出，进一步可表示出，结合模长公式即可验算；对于D，将条件等式转换为，结合基本不等式即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以 ，故A正确； 对于B，以B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 所以B（0，0），C（1，0），D（1，1），A（0，1），设，，所以P（x，1）， 所以，所以的最小值为，此时，故B正确； 因为，（，）， 所以，， 所以，当时，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 因为，若，，则 ，所以， 所以，即，当且仅当即时，等号成立， 所以，即的最大值是，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是先表示出，进一步可表示出即可顺利得解. 12． 【分析】设圆台上底面的半径为，根据已知条件先算出的值，进而利用圆台体积公式计算即可. 【详解】设圆台上底面的半径为，下底面半径为，则有， 解得或（舍去）. 圆台的体积为. 故答案为：. 13． 【分析】首先由斜二测图形还原平面图形，然后求解其面积即可. 【详解】由几何关系可得，斜二测图形中：， 由斜二测图形还原平面图形，则原图是一个直角梯形，其中上下底的长度分别为1,2，高为，其面积. 【点睛】本题主要考查斜二测画法，梯形的面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14． 【分析】由正弦定理将边角互化，结合余弦定理及两角和差的正弦公式得到，根据为锐角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦展开式和的范围可得答案. 【详解】因为，由正弦定理可得， 由余弦定理，所以，即， 由正弦定理可得， 所以， 即， 所以， 因为，，所以， 所以，即，所以， 由为锐角三角形，所以，，可得， 所以，， 由正弦定理得 ， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键是通过边角互化得到，从而得到，最后由正弦定理将式子转化为角的三角函数，结合余弦函数的性质计算可得. 15．(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理角化边，化简后利用余弦定理、结合特殊角的三角函数可得答案. （2）法一：，作，，， ，由为锐角三角形，可得，再由，得到面积的取值范围； 法二：由正弦定理，化简得，由为锐角三角形，可得，进而的，即可得面积的取值范围． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 又，由余弦定理，， 又，所以. （2）法一： 如图，作，，， ， 由为锐角三角形，故， 由，得，所以．    法二：由题意， 由（1）知，所以， 由正弦定理，得， 又为锐角三角形，所以，得，则， 故，所以． 16．(1) (2) 【分析】（1）选择，为一组基向量，设，，将分别用，的两种形式表示，根据平面向量基本定理可得关于的方程组，求解即得； （2）分别将用，表示，计算它们的数量积，整理成关于的二次函数，结合二次函数的图象和的范围即可求得的取值范围. 【详解】（1）设，则 设. 根据平面向量基本定理得解得， 所以，则，所以. （2）因为， ， , 所以. . 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为， 当时，取得最大值，且最大值为. 故的取值范围为. 17．(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据平面得到，根据为等边三角形，得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角即可； （3）设，得到，然后利用空间向量和∥平面列方程，解得即可. 【详解】（1）∵平面，平面， ∴， ∵为等边三角形，为中点， ∴， ∵，平面，平面， ∴平面. （2） 取中点，连接，， ∵平面，平面，平面， ∴平面平面，， ∵为中点，为等边三角形， ∴，， ∵平面平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， 如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，, ∵平面， ∴可以作为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则 ，令，则，，， 所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （3），，，， 设，则， ∵∥平面， ∴，解得， 所以在棱上存在点使∥平面，此时. 18．(1)， (2)晋级分数线划为78分合理 (3)90；38.75 【分析】（1）由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值； （2）利用频率分布直方图计算第80百分位数即可； （3）根据平均数和方差的计算公式求出结果. 【详解】（1）由题意知，所以，解得， 又，解得． 所以，， （2）成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为m，则， 解得，所以晋级分数线划为78分合理． （3），故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． 19．(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】(1)当时, ,​​​,，由,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得，利用复数相等的条件得到,即可求； (3)由得,利用复数相等的条件得到和,则,则,进一步得,即可证明存在有理数,使得. 【详解】（1）当时, , ​​​​​​​则​​​,. 因为， 故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系. （2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等, 所以, 因此， 解，得或, 解，得或, 由于两个方程同时成立,故只能有,即. 所以. （3）由，得,由(2)同理可得, 即. 因为,所以. 因为,由(1)知,所以. 由(2)同理可得,即. 因为,所以, 所以, 又因为,所以,所以, 即， ​​​​​​​所以存在有理数,使得. 【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$