第7讲 天体运动模型-2026-2027学年高三物理暑假复习提升讲义

第7讲 天体运动模型 【考点1：开普勒行星运动定律】 考向1：开普勒三定律的理解和应用 【考点2：万有引力定律的理解】 考向1：万有引力的基本计算和理解 考向2：忽略自转的万有引力定律的应用 考向3：不能忽略自转的万有引力定律的应用 【考点3：宇宙航行】 考向1：卫星参量的比较 考向2：卫星变轨问题 考向3：拉格朗日点卫星模型 考向4：卫星追及相遇问题 考向5：太空电梯模型 【考点4：双星与多星模型】 考向1：双星模型 考向2：多星模型 考点1：开普勒行星运动定律 1．内容 定律 内容 图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在椭圆的一个 上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过 的面积 开普勒第三定律 所有行星的轨道的 的三次方跟它的公转 的二次方的比值都相等.＝k，k是一个与行星无关的常量 2.应用 3.天体运动的处理方法 （1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 （2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 （3）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的 有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 考向1：开普勒三定律的理解和应用 【针对训练1】（2024·广东·一模）如图所示为太阳系主要天体的分布示意图，下列关于太阳系行星运动规律的描述正确的是（    ） A．所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动 B．地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等 C．所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等 D．地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，且这两个椭圆必定有公共的焦点 【针对训练2】（2026·浙江绍兴·二模）探索行星时经常使用的飞掠器，它沿着椭圆轨道运动，近地点几乎与行星表面相切。如图所示，行星中心为，半径为，飞掠器在点时速度大小为、方向与连线的夹角为，已知两点之间距离为，飞掠器只受行星的引力，则（     ） A．飞掠器的近地点为连线上的点 B．飞掠器的近地点为延长线上的点 C．飞掠器在近地点的速度大小为 D．飞掠器在近地点的速度大小为 【针对训练3】（2026·河南·三模）鹊桥二号目前运行在近月点高度约为200km、远月点高度约为、周期为24h的环月轨道Ⅰ上，2026年，鹊桥二号将调整到近月点高度约为300km、远月点高度约为8600km的环月轨道Ⅱ上，已知月球半径为1700km，则鹊桥二号在轨道Ⅱ上与月心的连线在1小时内扫过的面积约为轨道Ⅱ椭圆面积的（     ） A． B． C． D． 考点2：万有引力定律的理解 1.内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成 ，与它们之间距离r的平方成 。 2.表达式 F＝ ，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由 利用扭秤实验测出。 3.适用条件 （1）公式适用于 间的相互作用。 （2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的 。 （3）不能得出：当时，物体、间引力趋于无穷大。因为当时两个物体无法看做 。 4.万有引力定律的性质 普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一 相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上 宏观性 一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计 5.万有引力与重力的关系 如图所示，在纬度为的地表处，物体所受的万有引力为F=。而物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F向=mRcos·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，严格地说：除了在地球的两个极点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。 越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似 重力，即 = mg。 6.忽略地球自转影响的应用 ①地球表面重力加速度g＝，距地面高r处重力加速度g′＝。有＝。 ②某深度处的重力加速度： 推论1 在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即ΣF引＝ 推论2 在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力 球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝G 举个栗子 假想有一个深度为h的矿井，其底部的重力加速度为g”，则由 mg＝G①， ②， ③， 可得 万有引力应用的解题思路 7.不能忽略自转的万有引力定律的应用 （1）涉及赤道和两极的问题，如图。 ①在赤道上： 。 ②在两极上： 。 ③在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 （2）物体在赤道上完全失重的条件 设想地球自转角速度加快,使赤道上的物体刚好处于完全失重状态,即FN = 0,有mg=mω2R 所以完全失重的临界条件为(地球半径R=6400km) a=g=9.8m/s2，rad/s,, 上述结果恰好是近地人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。 （3）地球不因自转而瓦解的最小密度 地球以T =24h的周期自转,不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力,即 根据质量与密度的关系,有 所以,地球的密度应为 即最小密度为ρmin=18.9 kg/m3。地球平均密度的公认值为ρ0=5507.85 kg/m3,足以保证地球处于稳定状态。 考向1：万有引力的基本计算和理解 【针对训练4】（2026·贵州贵阳·一模）天舟九号货物飞船于2025年7月15日成功发射，保障了神舟二十号和二十一号乘组在轨期间的物资需求。天舟九号发射后，火箭将其送入近地点约200公里、远地点约300公里的椭圆轨道。在天舟九号从近地点向远地点运动的过程中，关于地球对它的万有引力F及其运行速率v，下列说法正确的是（　　） A．F逐渐增大，v逐渐增大 B．F逐渐减小，v逐渐减小 C．F逐渐减小，v逐渐增大 D．F逐渐增大，v逐渐减小 【针对训练5】（2025·重庆·模拟预测）如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为的小球，两球相切于P点，O1、O2分别是大球和小球的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球密度为ρ，引力常量为G。现将一质量为m的物体N（可视为质点）置于O1处，则大球剩余部分对N的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【针对训练6】（2026·四川广安·二模）已知地球到太阳的距离大约是地球到月球距离的400倍，已知太阳的质量约为地球质量的 3.3×105 倍，请结合天体运动常识，估算月球受到太阳的吸引力与月球受到地球引力的比值接近（　　） A．0.02 B．2 C．200 D．20000 考向2：忽略自转的万有引力定律的应用 【针对训练7】（2025·河北·模拟预测）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，设地球是一个质量分布均匀的球体，其质量为，半径为，设想以地心为圆心，（）为半径处挖一条圆形隧道，如图所示，给小球一合适的速度，使小球恰好在隧道内做圆周运动，且不与隧道壁接触，不考虑隧道宽度与阻力，小球可视为质点，引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．轨道处重力加速度大小为 B．小球线速度大小为 C．小球角速度大小为 D．若设想沿地球直径挖一条隧道，将小球从此隧道一端由静止释放，小球到达点的速度大小为 【针对训练8】（2026·江西吉安·三模）中国载人航天工程将在新起点上深化推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务。假设以同样大小的初速度分别在高度相同的地球和月球上水平抛出小球（视为质点），小球的水平射程之比为p∶1。已知地球的半径与月球的半径之比为q∶1，不计空气阻力，不考虑地球与月球的自转，则地球和月球的质量的比值为（　　） A． B． C． D． 【针对训练9】（2026·山东青岛·二模）2026年我国将要发射“嫦娥七号”探测器，对月球南极开展环境与资源勘查。探测器由轨道器、着陆器等组成。如图所示，轨道器在半径为r的圆形极月轨道上运行，运行周期为T。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，忽略月球自转。下列说法正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的质量为 C．月球表面的重力加速度为 D．月球表面的重力加速度为 考向3：不能忽略自转的万有引力定律的应用 【针对训练10】分别在地球赤道和两极表面测量同一个物体的重力，在赤道的测量结果为在两极的测量结果的（为大于3的常数），已知地球是质量均匀分布的球体，自转周期为，引力常量为，则地球的密度为（　　） A． B． C． D． 【针对训练11】（多选）月球探测器分别在月球极地和赤道用弹簧秤称量一质量为的物体，弹簧秤示数分别为和。已知月球的自转周期为，引力常量为，则月球的（　　） A．质量为 B．质量为 C．密度为 D．密度为 考点3：宇宙航行 一.人造地球卫星及其参量 1.人造地球卫星的运行轨道特点 (1)卫星轨道可以是 轨道，也可以是 轨道。 (2)卫星沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个 。 (3)卫星沿圆轨道运动时，地心必然是卫星运行轨道的 。在卫星环绕地球近似做匀速圆周运动的过程中，卫星内物体处于 状态。 (4)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如地球同步卫星),也可以和赤道平面 (如极地卫星),还可以和赤道平面成任一 。如图所示。 2.人造地球卫星的参量规律 设地球质量为M,卫星质量为m,卫星的轨道半径为r,线速度大小为v,角速度大小为ω,周期为T,向心加速度大小为a。 比较赤道上物体与同步卫星和近地卫星的参量 参量 赤道上物体 同步卫星 近地卫星 周期 。 角速度 。 线速度 。 向心加速度 。 3.极地卫星、近地卫星、同步卫星 卫星类型 卫星特征 特殊参量 近地卫星 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星 轨道半径可近似认为等于地球的半径r ≈R地 v＝7.9 km/s（绕地运行的最大运行速度） a＝g 同步卫星 周期和地球自转周期相同的卫星。其中一种卫星的轨道平面与赤道平面成0度角,运动方向与地球自转方向相同,也称静止卫星 轨道距离地面的高度h＝3.6×107m T = 24h 极地卫星 极地卫星运行时每圈都经过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 — 二．宇宙速度及卫星变轨问题 1．卫星三种“速度”的比较 比较项目 概念 大小 说明 运行速度 指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度 v＝ 当r为地球半径（近地卫星）时，对应的速度有最大值v＝7.9 km/s 发射速度 指卫星在地面附近离开发射装置的初速度（相对地球），第一、二、三宇宙速度都是指卫星相对于地球的不同发射速度 v≥7.9 km/s 卫星在发射过程中要克服地球引力做功，卫星的预定轨道高度越高，所需发射速度越大 宇宙速度 实现某种效果所需的最小卫星发射速度 7.9 km/s 11.2 km/s 16.7 km/s 由不同卫星的发射要求决定 关系 发射速度越大，卫星运行的圆周轨道半径越大，卫星的运行速度越小，当v发＝11.2 km/s时，卫星可挣脱地球引力的束缚；当v发＝16.7 km/s时，卫星可挣脱太阳引力的束缚 2．三个宇宙速度 数值 意义 说明 第一宇宙速度 7.9km/s 物体在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度 是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。第一宇宙速度又叫环绕速度。在地面上发射人造卫星的速度满足7.9km/s＜v＜11.2km/s时，卫星在椭圆轨道上绕地运动 第二宇宙速度 11.2km/s 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，第二宇宙速度又叫脱离速度 当11.2km/s≤v＜16.7km/s，卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星” 第三宇宙速度 16.7km/s 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，第三宇宙速度又叫逃逸速度 v≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间 3.同步卫星的发射 （1）变轨原理及过程 ①为了节省能量，在赤道上 方向发射卫星到达200km—300 km的圆轨道I上。围绕地球做圆周运动，这条轨道称为“停泊轨道”； ②当卫星穿过赤道平面A点（近地点）时，二级点火 ，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道1上做圆周运动的向心力，使卫星做离心运动，沿一条较大的椭圆轨道运行，进入椭圆轨道2。地球作为椭圆的焦点，当到达远地点B时，恰为赤道上空36000km处，这条轨道称为“转移轨道”。沿轨道1和2分别经过A点时，加速度 ； ③当卫星到达远地点B（远地点）时，开动卫星发动机（再次点火 ）进入同步圆形轨道3，并调整运行姿态从而实现电磁通讯，这个轨道叫“静止轨道”。 同步卫星的发射有两种方法，一是直接发射到同步轨道；二是先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行。 （2）两类变轨比较 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G＜m G＞m[来源:学科网ZXXK] 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 原因分析 当卫星由于某种原因速度改变时(开启、关闭发动机或空气阻力作用),万有引力就不再等于向心力，卫星将变轨运行。 (1)当v增大时，卫星所需向心力增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动向外变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变大，由知其运行速度要减小。 (2)当v减小时，卫星所需向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动向内变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变小，由知其运行速度将增大。(卫星的回收就是利用了这一原理) （3）变轨过程各物理量分析（重点） 三．拉格朗日点卫星、张角与遮光角及卫星追及问题 1.拉格朗日点卫星模型 拉格朗日点指在两个大天体引力作用下,能使小物体稳定的点。在每个由大天体构成的系统中,有五个拉格朗日点,其中连线上有三个:图中L1、L2、L3。我国发射的“鹊桥”卫星就在地月系统的L2点做圆周运动。处于拉格朗日点处的卫星是在两个大天体的共同引力作用下绕中心天体做圆周运动,且运行周期与运行天体的周期 ,如在地月系统拉格朗日点处的卫星随月球同步绕地球转动。 2.张角与遮光角 卫星运动中经常会涉及“能否看到卫星”“实施全天通信”等问题，归根结底是求几何张角和遮光角的问题。下表中圆心为O的中心天体半径为R,卫星A在轨道半径为r的圆周上绕中心天体运动。 张角α 遮光角β 图示 释义 张角α是卫星可观测到的范围对应的夹角(也称为观测角或视觉角度) 遮光角β是太阳光被中心天体遮挡而照射不到的范围对应的夹角。当卫星运动至遮光角β范围内时，进入黑夜，当卫星运动至β角范围以外时，处于白昼。 关系式 。 。 3.卫星追及问题 考向1：卫星参量的比较 【针对训练12】（2026·天津河北·三模）“天宫二号”在距地面390 km的轨道上运行，“天链二号01星”是一颗地球静止轨道卫星，可为“天宫二号”与地面测控站间数据传输提供中继服务，两者均绕地球做匀速圆周运动。则（     ） A．“天宫二号”的速度大于第一宇宙速度 B．“天链二号01星”能经过广州上空 C．“天链二号01星”的角速度比“天宫二号”的角速度小 D．“天链二号01星”的加速度小于赤道上物体随地球自转的向心加速度 【针对训练13】（2026·北京顺义·二模）如图所示，物体a位于地球赤道表面，相对地面静止且随地球自转，b为近地卫星（卫星做圆周运动的轨道半径近似等于地球半径），c为地球同步卫星。下列说法正确的是（    ） A．a、b、c的周期大小关系为 B．a、b、c的速度大小关系为 C．地面对a的支持力与地球对a的万有引力大小相等 D．a的向心加速度与a所在位置处的重力加速度大小相等 考向2：卫星变轨问题 【针对训练14】（2026·浙江·二模）2024年6月25日，经过53天的太空漫游，“嫦娥六号”返回器顺利着陆，并给地球带回了一份珍贵的“礼物”——来自月背的月球样品，这也是人类首次实现月背采样及返回。如图为“嫦娥六号”返回轨迹示意图，忽略“嫦娥六号”在轨道转移过程中的质量变化。下列说法中正确的是（　　） A．“嫦娥六号”从月球取回的“礼物”到达地球后惯性变大 B．“嫦娥六号”在近月轨道a的运行周期小于在轨道b的运行周期 C．“嫦娥六号”的发射速度大于11.2 km/s D．“嫦娥六号”在近月轨道a上经过Q点时的动能大于在轨道b上经过Q点时的动能 【针对训练15】（多选）（2026·湖南株洲·三模）中国计划于2028年前实施天问三号火星探测任务。假设天问三号火星探测器从地球发射后，由图（a）所示的A点沿地火转移轨道到C点，再依次进入图（b）所示的调相轨道和停泊轨道。已知地球、火星绕太阳做圆周运动的轨道半径分别为、，图（b）中阴影部分面积为探测器在不同轨道上运行时与火星中心连线在相同时间扫过的面积。则（　　） A．图（b）中两阴影部分的面积不相等 B．探测器从A点转移到C点的时间为年 C．探测器从调相轨道变到停泊轨道需要在P点加速 D．探测器在地火转移轨道上C点的速度大于地球绕太阳的速度 考向3：拉格朗日点卫星模型 【针对训练16】（2026·甘肃陇南·二模）拉格朗日点指的是在太空中类似于“地—月”或“日—地”的天体系统中的某些特殊位置，在该位置处的第三个相对小得多（质量可忽略不计）的物体靠两个天体的引力的矢量和提供其运行所需要的向心力，进而使得该物体与该天体系统处于相对静止状态，即具有相同的角速度，如图所示是地—月天体系统，在月球外侧的地月连线上存在一个拉格朗日点，发射一颗质量为m的人造卫星至该点跟着月球一起转动，该拉格朗日点与月球球心的距离为s。已知地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，地月球心之间的距离为r，月球的公转周期为T，则由以上数据判断（     ） A．地球的密度为 B．在拉格朗日点的卫星的线速度比月球的线速度小 C．在拉格朗日点的卫星的发射速度大于11.2km/s D．月球对该卫星的引力为 【针对训练17】（2026·天津红桥·二模）如图所示，是地月系统的其中一个拉格朗日点，处于该位置的卫星1在地球与月球的共同引力作用下与月球同步绕地球做匀速圆周运动。卫星2是地球的一颗同步卫星（月球对其引力可忽略不计），卫星1的轨道半径大于卫星2的轨道半径，则（　　） A．卫星1的周期等于卫星2的周期 B．卫星2的线速度大于卫星1的线速度 C．卫星1的向心加速度大于月球的向心加速度 D．卫星1所受向心力大于卫星2所受向心力 考向4：卫星追及相遇问题 【针对训练18】（2026·河南平顶山·三模）2025年1月16日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。若火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比为，地球的质量为火星质量的9倍，火星的半径是地球半径的0.5倍，如图所示。根据以上信息可以得出（     ） A．火星与地球绕太阳公转的角速度之比为 B．火星与地球绕太阳公转的线速度之比为 C．火星与地球的第一宇宙速度之比为 D．下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之前 【针对训练19】（2026·江西南昌·三模）如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（     ） A． B． C． D． 考向5：太空电梯模型 【针对训练20】太空电梯的设想屡屡出现在近年的科幻大片中，其基本原理简化如图所示。假设有一太空电梯轨道连接地球赤道上的固定基地与同步空间站A，空间站A相对地球静止，地球质量为。某时刻质量为的电梯停靠在距离地球球心为的电梯轨道上，卫星B与同步空间站A的运行方向相同，此时二者距离最近，经过时间后，A、B第一次相距最远。已知地球自转周期为，则下列说法正确的是（　　） A．太空电梯内的宇航员乘客处于完全失重状态 B．电梯轨道外部某物体脱落仍沿原轨道做匀速圆周运动 C．电梯轨道对电梯的作用力大小为，方向沿电梯轨道背离地心 D．卫星B绕地球做圆周运动的周期为 【针对训练21】（多选）（2026·内蒙古兴安·二模）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太空电梯”（如图甲所示）。图乙中，图线表示地球引力对航天员产生的加速度大小与航天员距地心的距离的关系，图线表示航天员相对地面静止时的向心加速度大小与的关系。其中地球半径R=6400 km，地球同步轨道近似高度为。已知地球自转周期为，引力常量为，地球表面重力加速度为g，下列说法正确的有（　　） A．太空电梯停在处时，航天员对电梯舱没有弹力 B．随着的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小 C．太空电梯在地球同步轨道高度处的向心加速度约为 D．地球的质量为 考点4：双星与多星模型 一．双星模型 1.定义 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点（公共圆心）做匀速圆周运动的行星组成的系统，我们称之为双星系统，由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。 2.双星的特点 ①“向心力等大反向” 对m1有： 对m2有： 两者之间的万有引力提供向心力，大小相等，方向相反，作用在同一直线上，也分别作用在两星上。 ②“周期、角速度相同” T1＝T2 ω1＝ω2 ③“距离不变” r1＋r2＝L ④“半径反比” 两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比。 ⑤运动周期 T＝2π ⑥双星的总质量 m1＋m2＝ 3.模型条件 ①两颗星彼此相距较近。 ②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。 ③两颗星绕同一圆心做圆周运动。 ①由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω2可得，可得，即固定点离质量大的星较 。 ②万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。 ③当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时，其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。可以认为它是固定不动的。 二．多星模型 1.定义 所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。 2.多星问题 ①多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个行星对该行星的万有引力的合力提供。 ②每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等。 ③注意利用几何知识求半径。 3.三星模型 ①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力： 。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 ②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供： 其中L＝2rcos 30°。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 4.四星模型 四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动，由万有引力的合力提供向心力： ，其中r＝L。四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动，由万有引力的合力提供向心力： 。其中L＝2rcos 30°。外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。 考向1：双星模型 【针对训练22】（多选）（2026·海南海口·二模）科学家通过引力波探测器观测到一个由两颗恒星组成的双星系统，它们围绕共同的中心做匀速圆周运动，科学家发现该双星系统的运动周期与两颗恒星的质量和距离之间存在某种关系。已知两颗恒星质量分别为和，它们之间的距离为，引力常量为。则关于该双星系统下列说法正确的是（　　） A．两颗恒星所受的向心力大小相等 B．该双星系统的质量比越大，两颗恒星的轨道半径比也越大 C．两颗恒星的运动周期与成反比，与成正比 D．研究发现该双星系统会通过引力波辐射损失能量，则该双星系统的距离L会逐渐减小，运动周期也会逐渐减小 【针对训练23】（2026·山东聊城·二模）“食双星”是一种双星系统，两颗恒星在引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动，由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但两颗恒星的彼此“掩食”会使观测到的亮度发生周期性变化。如图所示，两颗恒星相邻两次“掩食”的时刻分别为、。时刻，较亮的恒星遮挡较暗的恒星，观测到亮度L稍微减弱；时刻，较暗的恒星遮挡较亮的恒星，观测到亮度L减弱比较明显。若双星间的距离始终为d，引力常量为G，不计其他星球的影响，下列说法正确的是（　　） A．根据已知条件，可求得两恒星质量之比 B．双星系统的角速度为 C．双星系统的总质量为 D．双星做圆周运动的速率之和为 考向2：多星模型 【针对训练24】（2026·山东日照·三模）如图所示，质量均为的四个星体均匀分布在同一个圆周上，它们均绕圆心做匀速圆周运动，轨道半径均为，引力常量为，忽略其他天体对四个星体的影响。则（     ） A．四个星体的向心力相同 B．每个星体的向心力大小为 C．每个星体运动的周期为 D．每个星体运动的线速度大小为 【针对训练25】（2026·吉林·模拟预测）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则（　　） A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B．直线三星系统的运动周期为4πR C．三角形三星系统中星体间的距离为L＝R D．三角形三星系统的线速度大小为 【真题1】（2026·湖北·高考真题）已知某卫星绕地球做椭圆运动，在近地点所受的地球引力为其在地面附近的，在远地点所受的地球引力为其在地面附近的。地面附近的重力加速度大小为，地球半径为，该卫星的运动周期为（     ） A． B． C． D． 【真题2】（2026·四川·高考真题）离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 【真题3】（2026·湖南·高考真题）郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 【真题4】（2026·广东·高考真题）如图所示，某行星对单个卫星表面最远点与最近点的单位质量物体的“引力差值”可近似为，其中为常量，为行星质量，为卫星球体半径，为行星中心到卫星中心的距离。两卫星P和Q的球体半径之比为，它们绕该行星做匀速圆周运动的周期之比为 ，该行星对卫星P、Q的“引力差值”分别为、，则为（     ） A．1∶4 B．1∶16 C．1∶32 D．1∶64 【真题5】（2026·陕晋青宁卷·高考真题）我国自主建设运行的北斗全球卫星导航系统空间段由多颗卫星组成。若轨道半径不同的两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，角速度大小分别为，线速度大小分别为，则（     ） A． B． C． D． 【真题6】（多选）（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）我国计划将“羲和二号”太阳探测卫星部署至日地系统拉格朗日点L5。研究表明，太阳中心、地球中心和的连线构成稳定的等边三角形，太阳、地球和部署在的卫星以相同周期绕日地连线上的点做圆周运动，如图所示，则（     ） A．卫星的向心加速度比地球的大 B．卫星与地球的线速度大小相等 C．太阳和地球对卫星引力的合力指向、连线中点 D．太阳和地球对卫星的引力大小之比等于太阳和地球的质量之比 一、单选题 1．（2026·重庆沙坪坝·三模）如题图所示，有L、M、N三颗地球卫星，L还未发射，在赤道上随地球转动；M是近地卫星，轨道半径可认为等于地球半径；N是地球同步卫星。将它们的运动均视为匀速圆周运动，地球表面重力加速度为，忽略地球自转对重力加速度的影响，下列说法正确的是（　　） A．M的向心加速度等于 B．L的向心加速度大于 C．相同时间内，N转过的弧长最短 D．M在12h内转过的角度小于 2．（2026·贵州黔西南·二模）2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射，飞船与空间站组合体自主对接后绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径。下列说法正确的是（     ） A．飞船的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．飞船在轨运行的线速度小于地球同步卫星在轨运行的线速度 C．飞船在轨运行的周期大于地球自转周期 D．飞船返回地球时，需要点火加速做离心运动 3．（2026·北京西城·二模）火星具有诸多与地球相似的特征，例如存在昼夜交替与四季更迭，这使其理论上具备成为人类宜居星球的潜在条件。已知，火星的公转轨道半径约为地球的1.5倍，火星的半径约为地球的，火星的质量约为地球的，火星的自转周期、自转轴倾角均与地球相近，由此可推测（　　） A．火星上的一年约为地球的1.5倍 B．火星表面的重力加速度约为地球的 C．火星表面接收到的太阳辐射功率约为地球的 D．若星球上的温度仅受太阳辐射的影响，当太阳辐射功率增大为现在的2.25倍时，火星可以达到适合人类居住的温度 4．（2026·湖南长沙·三模）“月地检验”验证了万有引力定律。通过测量和观测可知，地球表面的重力加速度为，月球表面的重力加速度为，地球的半径为，月球的半径为，月球与地球中心的距离为，地球的自转周期为，月球绕地球公转的周期为，下列等式成立且能验证万有引力定律的是（    ） A． B．月球的向心加速度 C． D． 5．（2026·山东济宁·三模）如图甲所示，某飞行器绕地球变轨过程中的两椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ相切于点。图乙为该飞行器在两轨道上受到地球引力大小随时间的变化规律。下列说法正确的是（     ） A．飞行器在时刻恰好到达点 B．飞行器在时刻与时刻到地心的距离之比为 C．飞行器沿轨道Ⅰ和Ⅱ运行的周期之比为5∶9 D．与之比为 6．（2026·广西桂林·三模）2026年4月25日，我国“长征六号”运载火箭成功将巴基斯坦PRSC-EO3卫星送入预定轨道。若新发射卫星与另一颗在轨卫星分别在如图所示的椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ上沿逆时针方向运行，两轨道相切于近地点P，A、B为Ⅱ轨道上关于Ⅱ轨道长轴对称的两点。已知轨道Ⅰ、Ⅱ的长轴分别为、，两卫星运动的周期分别为、。则（    ） A． B． C．Ⅱ轨道卫星在A、B两点速度相同 D．在P点，Ⅰ轨道卫星的速度小于Ⅱ轨道卫星的速度 7．（2025·湖南岳阳·三模）如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期为2T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力，引力常量为G，下列说法正确的（　　） A．C的质量为 B．B的质量为 C．A的质量为 D．A、B的轨道半径之比为 8．（2026·河南三门峡·二模）科学研究表明，当天体的逃逸速度（逃逸速度为其第一宇宙速度的倍）大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的半径之比为，地球的质量为，地球的环绕速度（第一宇宙速度）为，光速为，则要使该天体成为黑洞，其质量不应小于（　　） A． B． C． D． 9．（2026·山东·模拟预测）“地球隧道”作为物理思想实验，一经提出受到广泛关注。现一质量为的列车从点由静止开始仅在万有引力作用下沿隧道、运动。地球可视作质量分布均匀的半径为的球体，地心在点，。已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零，引力常量为，地表重力加速度为。不考虑地球的自转，下列说法正确的是（　　） A．列车在点的速度大小为 B．列车在点的速度大小为 C．列车在点的加速度大小为 D．列车在点的加速度大小为 二、多选题 10．（2026·湖南长沙·三模）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则卫星在各轨道上正常运行时，以下说法正确的是（     ） A．卫星在轨道3上的速度小于在轨道1上的速度 B．卫星在轨道3上的P点的速度大于在轨道2上经过P点时的速度 C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D．卫星在轨道2上运动的周期大于在轨道3上运动的周期 11．（2026·江西上饶·二模）“嫦娥七号”探测器计划于2026年8月发射，开启人类对月球南极区域勘查任务。“嫦娥七号”探测器被月球捕获进入月球轨道的部分过程如图所示，探测器在椭圆轨道1运行经过点时变轨进入椭圆轨道2，在轨道2上经过点时再次变轨进入圆轨道3（忽略变轨时质量变化）。三个轨道相切于点，点是轨道2上离月球最远的点（选项中速度、机械能以及引力势能中出现的1、2、3分别对应轨道1、2、3上的物理量）。则探测器（     ） A．在轨道2上、点的速度大小关系： B．在轨道2上点的速度与在轨道3上点的速度大小关系： C．在三个轨道上机械能大小关系： D．在三个轨道上点的引力势能大小关系： 12．（2026·福建福州·三模）如图所示，中国“天眼”球面射电望远镜发现了一对脉冲双星，该双星质量分布均匀，由一颗脉冲星和一颗白矮星组成，双星、围绕中心点沿逆时针方向做匀速圆周运动，运动周期为，双星间距为。为白矮星的卫星，围绕沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为，且。与之间的引力远大于与之间的引力，不考虑对的影响。已知白矮星的质量为，引力常量为，则（　　） A．双星的质量和为 B．卫星围绕做匀速圆周运动的半径为 C．卫星围绕的向心加速度大小为 D．、、三星相邻两次共线时间间隔为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 天体运动模型 【考点1：开普勒行星运动定律】 考向1：开普勒三定律的理解和应用 【考点2：万有引力定律的理解】 考向1：万有引力的基本计算和理解 考向2：忽略自转的万有引力定律的应用 考向3：不能忽略自转的万有引力定律的应用 【考点3：宇宙航行】 考向1：卫星参量的比较 考向2：卫星变轨问题 考向3：拉格朗日点卫星模型 考向4：卫星追及相遇问题 考向5：太空电梯模型 【考点4：双星与多星模型】 考向1：双星模型 考向2：多星模型 考点1：开普勒行星运动定律 1．内容 定律 内容 图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.＝k，k是一个与行星无关的常量 2.应用 3.天体运动的处理方法 （1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 （2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 （3）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 考向1：开普勒三定律的理解和应用 【针对训练1】（2024·广东·一模）如图所示为太阳系主要天体的分布示意图，下列关于太阳系行星运动规律的描述正确的是（    ） A．所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动 B．地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等 C．所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等 D．地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，且这两个椭圆必定有公共的焦点 【答案】D 【详解】A.八大行星均在椭圆轨道上运动，太阳处于椭圆其中一个焦点上，故A错误； B.同一行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等，故B错误； C.开普勒第三定律的内容为 （为常量） 故C错误； D.D项表达了开普勒第一定律（轨道定律）的内容，故D正确。 故选D。 【针对训练2】（2026·浙江绍兴·二模）探索行星时经常使用的飞掠器，它沿着椭圆轨道运动，近地点几乎与行星表面相切。如图所示，行星中心为，半径为，飞掠器在点时速度大小为、方向与连线的夹角为，已知两点之间距离为，飞掠器只受行星的引力，则（     ） A．飞掠器的近地点为连线上的点 B．飞掠器的近地点为延长线上的点 C．飞掠器在近地点的速度大小为 D．飞掠器在近地点的速度大小为 【答案】C 【详解】AB．飞掠器在点时速度方向与连线的夹角为，且，说明速度既不垂直于PO也不平行于PO。即P点不是飞掠器轨道的远地点，PO所在直线与轨道的长轴不共线，所以飞掠器的近地点不在连线所在直线上，故AB错误； CD．设飞掠器在近地点的速度大小为，一段极短时间，根据开普勒第二定律有 解得，故C正确，D错误。 故选C。 【针对训练3】（2026·河南·三模）鹊桥二号目前运行在近月点高度约为200km、远月点高度约为、周期为24h的环月轨道Ⅰ上，2026年，鹊桥二号将调整到近月点高度约为300km、远月点高度约为8600km的环月轨道Ⅱ上，已知月球半径为1700km，则鹊桥二号在轨道Ⅱ上与月心的连线在1小时内扫过的面积约为轨道Ⅱ椭圆面积的（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】鹊桥二号在轨道Ⅰ上运行时，其轨道半长轴为，周期，鹊桥二号在轨道Ⅱ上运行时，其轨道半长轴，根据开普勒第三定律可得 代入数据解得鹊桥二号在环月轨道Ⅱ上的周期 根据开普勒第二定律可知，鹊桥二号在轨道Ⅱ上与月心的连线在1小时内扫过的面积约为轨道Ⅱ椭圆面积的。 故选D。 考点2：万有引力定律的理解 1.内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。 2.表达式 F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许利用扭秤实验测出。 3.适用条件 （1）公式适用于质点间的相互作用。 （2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 （3）不能得出：当时，物体、间引力趋于无穷大。因为当时两个物体无法看做质点。 4.万有引力定律的性质 普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一 相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上 宏观性 一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计 5.万有引力与重力的关系 如图所示，在纬度为的地表处，物体所受的万有引力为F=。而物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F向=mRcos·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，严格地说：除了在地球的两个极点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。 越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即 = mg。 6.忽略地球自转影响的应用 ①地球表面重力加速度g＝，距地面高r处重力加速度g′＝。有＝。 ②某深度处的重力加速度： 推论1 在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即ΣF引＝0 推论2 在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝G 举个栗子 假想有一个深度为h的矿井，其底部的重力加速度为g”，则由 mg＝G①， ②， ③， 可得 万有引力应用的解题思路 7.不能忽略自转的万有引力定律的应用 （1）涉及赤道和两极的问题，如图。 ①在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 ②在两极上：G＝mg2。 ③在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 （2）物体在赤道上完全失重的条件 设想地球自转角速度加快,使赤道上的物体刚好处于完全失重状态,即FN = 0,有mg=mω2R 所以完全失重的临界条件为(地球半径R=6400km) a=g=9.8m/s2，rad/s,, 上述结果恰好是近地人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。 （3）地球不因自转而瓦解的最小密度 地球以T =24h的周期自转,不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力,即 根据质量与密度的关系,有 所以,地球的密度应为 即最小密度为ρmin=18.9 kg/m3。地球平均密度的公认值为ρ0=5507.85 kg/m3,足以保证地球处于稳定状态。 考向1：万有引力的基本计算和理解 【针对训练4】（2026·贵州贵阳·一模）天舟九号货物飞船于2025年7月15日成功发射，保障了神舟二十号和二十一号乘组在轨期间的物资需求。天舟九号发射后，火箭将其送入近地点约200公里、远地点约300公里的椭圆轨道。在天舟九号从近地点向远地点运动的过程中，关于地球对它的万有引力F及其运行速率v，下列说法正确的是（　　） A．F逐渐增大，v逐渐增大 B．F逐渐减小，v逐渐减小 C．F逐渐减小，v逐渐增大 D．F逐渐增大，v逐渐减小 【答案】B 【详解】从近地点到远地点，飞船到地心的距离r增大，根据万有引力定律 可知万有引力F逐渐减小。从近地点向远地点运动时，根据开普勒第二定律可知运行速率v逐渐减小。 故选B。 【针对训练5】（2025·重庆·模拟预测）如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为的小球，两球相切于P点，O1、O2分别是大球和小球的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球密度为ρ，引力常量为G。现将一质量为m的物体N（可视为质点）置于O1处，则大球剩余部分对N的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力，未挖去前，大球对物体N引力为零，所以大球剩余部分的引力等于小球对物体N的引力，根据万有引力定律可得， 联立可得 故选B。 【针对训练6】（2026·四川广安·二模）已知地球到太阳的距离大约是地球到月球距离的400倍，已知太阳的质量约为地球质量的 3.3×105 倍，请结合天体运动常识，估算月球受到太阳的吸引力与月球受到地球引力的比值接近（　　） A．0.02 B．2 C．200 D．20000 【答案】B 【详解】设地月距离为，由题意可知日地距离为；由于地月距离远小于日地距离，可近似认为月球到太阳的距离等于日地距离。 月球受到太阳的引力 月球受到地球的引力 可得 结合天体运动常识，太阳质量约为地球质量的倍，代入得，故选B。 考向2：忽略自转的万有引力定律的应用 【针对训练7】（2025·河北·模拟预测）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，设地球是一个质量分布均匀的球体，其质量为，半径为，设想以地心为圆心，（）为半径处挖一条圆形隧道，如图所示，给小球一合适的速度，使小球恰好在隧道内做圆周运动，且不与隧道壁接触，不考虑隧道宽度与阻力，小球可视为质点，引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．轨道处重力加速度大小为 B．小球线速度大小为 C．小球角速度大小为 D．若设想沿地球直径挖一条隧道，将小球从此隧道一端由静止释放，小球到达点的速度大小为 【答案】A 【详解】A．设地球的密度为，则有 轨道处有， 联立解得轨道处重力加速度大小为 故A正确； BC．给小球一合适的速度，使小球恰好在隧道内做圆周运动，且不与隧道壁接触，根据牛顿第二定律可得 可得， 故BC错误； D．若设想沿地球直径挖一条隧道，将小球从此隧道一端由静止释放，当小球离点距离为时，所受引力大小为 则小球从此隧道一端由静止释放，小球到达点时，引力做功为 根据动能定理可得 解得小球到达点的速度大小为 故D错误。 故选A。 【针对训练8】（2026·江西吉安·三模）中国载人航天工程将在新起点上深化推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务。假设以同样大小的初速度分别在高度相同的地球和月球上水平抛出小球（视为质点），小球的水平射程之比为p∶1。已知地球的半径与月球的半径之比为q∶1，不计空气阻力，不考虑地球与月球的自转，则地球和月球的质量的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】竖直方向自由落体： 得运动时间 水平射程 变形得，可知重力加速度与水平射程的平方成反比。 已知 因此 不计自转时，天体表面万有引力等于重力： 变形得，可知天体质量与成正比。 已知 因此。 故选D。 【针对训练9】（2026·山东青岛·二模）2026年我国将要发射“嫦娥七号”探测器，对月球南极开展环境与资源勘查。探测器由轨道器、着陆器等组成。如图所示，轨道器在半径为r的圆形极月轨道上运行，运行周期为T。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，忽略月球自转。下列说法正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的质量为 C．月球表面的重力加速度为 D．月球表面的重力加速度为 【答案】D 【详解】AB．根据万有引力提供向心力 可得，故AB错误； CD．根据万有引力与重力的关系 联立可得，故C错误，D正确。 故选D。 考向3：不能忽略自转的万有引力定律的应用 【针对训练10】分别在地球赤道和两极表面测量同一个物体的重力，在赤道的测量结果为在两极的测量结果的（为大于3的常数），已知地球是质量均匀分布的球体，自转周期为，引力常量为，则地球的密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设地球质量为，半径为，物体质量为，在两极处的重力 在赤道处的重力 根据题意有 解得 地球密度 地球自转角速度为 解得 故选A。 【针对训练11】（多选）月球探测器分别在月球极地和赤道用弹簧秤称量一质量为的物体，弹簧秤示数分别为和。已知月球的自转周期为，引力常量为，则月球的（　　） A．质量为 B．质量为 C．密度为 D．密度为 【答案】AC 【详解】AB．极地：物体随月球自转不需要向心力，万有引力全部等于重力（弹簧秤示数），因此 赤道：万有引力一部分提供重力，一部分提供自转向心力，因此 联立有 整理得月球半径，月球质量 ，故A正确，B错误； CD．密度公式 ，代入化简，故C正确，D错误。 故选AC。 考点3：宇宙航行 一.人造地球卫星及其参量 1.人造地球卫星的运行轨道特点 (1)卫星轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道。 (2)卫星沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点。 (3)卫星沿圆轨道运动时，地心必然是卫星运行轨道的圆心。在卫星环绕地球近似做匀速圆周运动的过程中，卫星内物体处于完全失重状态。 (4)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如地球同步卫星),也可以和赤道平面垂直(如极地卫星),还可以和赤道平面成任一角度。如图所示。 2.人造地球卫星的参量规律 设地球质量为M,卫星质量为m,卫星的轨道半径为r,线速度大小为v,角速度大小为ω,周期为T,向心加速度大小为a。 比较赤道上物体与同步卫星和近地卫星的参量 参量 赤道上物体 同步卫星 近地卫星 周期 T物=T同＞T近 角速度 ω物=ω同＜ω近 线速度 v物＜v同＜v近 向心加速度 a物＜a同＜a近 3.极地卫星、近地卫星、同步卫星 卫星类型 卫星特征 特殊参量 近地卫星 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星 轨道半径可近似认为等于地球的半径r ≈R地 v＝7.9 km/s（绕地运行的最大运行速度） a＝g 同步卫星 周期和地球自转周期相同的卫星。其中一种卫星的轨道平面与赤道平面成0度角,运动方向与地球自转方向相同,也称静止卫星 轨道距离地面的高度h＝3.6×107m T = 24h 极地卫星 极地卫星运行时每圈都经过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 — 二．宇宙速度及卫星变轨问题 1．卫星三种“速度”的比较 比较项目 概念 大小 说明 运行速度 指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度 v＝ 当r为地球半径（近地卫星）时，对应的速度有最大值v＝7.9 km/s 发射速度 指卫星在地面附近离开发射装置的初速度（相对地球），第一、二、三宇宙速度都是指卫星相对于地球的不同发射速度 v≥7.9 km/s 卫星在发射过程中要克服地球引力做功，卫星的预定轨道高度越高，所需发射速度越大 宇宙速度 实现某种效果所需的最小卫星发射速度 7.9 km/s 11.2 km/s 16.7 km/s 由不同卫星的发射要求决定 关系 发射速度越大，卫星运行的圆周轨道半径越大，卫星的运行速度越小，当v发＝11.2 km/s时，卫星可挣脱地球引力的束缚；当v发＝16.7 km/s时，卫星可挣脱太阳引力的束缚 2．三个宇宙速度 数值 意义 说明 第一宇宙速度 7.9km/s 物体在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度 是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。第一宇宙速度又叫环绕速度。在地面上发射人造卫星的速度满足7.9km/s＜v＜11.2km/s时，卫星在椭圆轨道上绕地运动 第二宇宙速度 11.2km/s 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，第二宇宙速度又叫脱离速度 当11.2km/s≤v＜16.7km/s，卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星” 第三宇宙速度 16.7km/s 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，第三宇宙速度又叫逃逸速度 v≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间 3.同步卫星的发射 （1）变轨原理及过程 ①为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到达200km—300 km的圆轨道I上。围绕地球做圆周运动，这条轨道称为“停泊轨道”； ②当卫星穿过赤道平面A点（近地点）时，二级点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道1上做圆周运动的向心力，使卫星做离心运动，沿一条较大的椭圆轨道运行，进入椭圆轨道2。地球作为椭圆的焦点，当到达远地点B时，恰为赤道上空36000km处，这条轨道称为“转移轨道”。沿轨道1和2分别经过A点时，加速度相同； ③当卫星到达远地点B（远地点）时，开动卫星发动机（再次点火加速）进入同步圆形轨道3，并调整运行姿态从而实现电磁通讯，这个轨道叫“静止轨道”。 同步卫星的发射有两种方法，一是直接发射到同步轨道；二是先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行。 （2）两类变轨比较 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G＜m G＞m[来源:学科网ZXXK] 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 原因分析 当卫星由于某种原因速度改变时(开启、关闭发动机或空气阻力作用),万有引力就不再等于向心力，卫星将变轨运行。 (1)当v增大时，卫星所需向心力增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动向外变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变大，由知其运行速度要减小。 (2)当v减小时，卫星所需向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动向内变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变小，由知其运行速度将增大。(卫星的回收就是利用了这一原理) （3）变轨过程各物理量分析（重点） 三．拉格朗日点卫星、张角与遮光角及卫星追及问题 1.拉格朗日点卫星模型 拉格朗日点指在两个大天体引力作用下,能使小物体稳定的点。在每个由大天体构成的系统中,有五个拉格朗日点,其中连线上有三个:图中L1、L2、L3。我国发射的“鹊桥”卫星就在地月系统的L2点做圆周运动。处于拉格朗日点处的卫星是在两个大天体的共同引力作用下绕中心天体做圆周运动,且运行周期与运行天体的周期相同,如在地月系统拉格朗日点处的卫星随月球同步绕地球转动。 2.张角与遮光角 卫星运动中经常会涉及“能否看到卫星”“实施全天通信”等问题，归根结底是求几何张角和遮光角的问题。下表中圆心为O的中心天体半径为R,卫星A在轨道半径为r的圆周上绕中心天体运动。 张角α 遮光角β 图示 释义 张角α是卫星可观测到的范围对应的夹角(也称为观测角或视觉角度) 遮光角β是太阳光被中心天体遮挡而照射不到的范围对应的夹角。当卫星运动至遮光角β范围内时，进入黑夜，当卫星运动至β角范围以外时，处于白昼。 关系式 3.卫星追及问题 考向1：卫星参量的比较 【针对训练12】（2026·天津河北·三模）“天宫二号”在距地面390 km的轨道上运行，“天链二号01星”是一颗地球静止轨道卫星，可为“天宫二号”与地面测控站间数据传输提供中继服务，两者均绕地球做匀速圆周运动。则（     ） A．“天宫二号”的速度大于第一宇宙速度 B．“天链二号01星”能经过广州上空 C．“天链二号01星”的角速度比“天宫二号”的角速度小 D．“天链二号01星”的加速度小于赤道上物体随地球自转的向心加速度 【答案】C 【详解】A．第一宇宙速度是近地圆轨道卫星的环绕速度，也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度。根据 解得 由于“天宫二号”的轨道半径大于地球半径，所以其运行速度小于第一宇宙速度，故A错误； B．“天链二号01星”是地球静止轨道卫星，其轨道平面必须与地球赤道平面重合，而广州不在赤道上，所以该卫星不可能经过广州上空，故B错误； C．根据 解得 由图可知，“天链二号01星”的轨道半径远大于“天宫二号”的轨道半径，所以“天链二号01星”的角速度比“天宫二号”的角速度小，故C正确； D．“天链二号01星”是地球静止轨道卫星，其角速度与地球自转角速度相同，即与赤道上物体随地球自转的角速度相等。 “天链二号01星”的轨道半径大于地球半径（即赤道上物体的旋转半径），根据向心加速度公式，可得“天链二号01星”的加速度大于赤道上物体随地球自转的向心加速度，故D错误。 故选C。 【针对训练13】（2026·北京顺义·二模）如图所示，物体a位于地球赤道表面，相对地面静止且随地球自转，b为近地卫星（卫星做圆周运动的轨道半径近似等于地球半径），c为地球同步卫星。下列说法正确的是（    ） A．a、b、c的周期大小关系为 B．a、b、c的速度大小关系为 C．地面对a的支持力与地球对a的万有引力大小相等 D．a的向心加速度与a所在位置处的重力加速度大小相等 【答案】B 【详解】A．同步卫星的周期和地球自转周期相等，因此 对卫星，根据开普勒第三定律，由图可知，所以 a、b、c的周期大小关系为，A错误； B．a与c角速度相同，根据， 得 对卫星b、c，根据牛顿第二定律 可得，因，故 a、b、c的速度大小关系为，B正确； C．地球对a的万有引力一部分提供自转所需的向心力，剩余部分等于地面对a的支持力（即重力大小等于支持力），即，因此，C错误； D．赤道处自转向心加速度远小于重力加速度，二者不相等，D错误。 故选 B。 考向2：卫星变轨问题 【针对训练14】（2026·浙江·二模）2024年6月25日，经过53天的太空漫游，“嫦娥六号”返回器顺利着陆，并给地球带回了一份珍贵的“礼物”——来自月背的月球样品，这也是人类首次实现月背采样及返回。如图为“嫦娥六号”返回轨迹示意图，忽略“嫦娥六号”在轨道转移过程中的质量变化。下列说法中正确的是（　　） A．“嫦娥六号”从月球取回的“礼物”到达地球后惯性变大 B．“嫦娥六号”在近月轨道a的运行周期小于在轨道b的运行周期 C．“嫦娥六号”的发射速度大于11.2 km/s D．“嫦娥六号”在近月轨道a上经过Q点时的动能大于在轨道b上经过Q点时的动能 【答案】B 【详解】A．惯性的大小只由质量决定，与物体的位置无关。月球样品到达地球后，质量不变，因此惯性也不变，故A错误； B．根据开普勒第三定律，绕同一中心天体（月球）运动的卫星，轨道半长轴越大，运行周期越长，轨道a的半长轴小于轨道b的半长轴，因此“嫦娥六号”在轨道a的运行周期小于在轨道b的运行周期，故B正确； C．11.2km/s是地球的第二宇宙速度，达到或超过这个速度的物体将脱离地球引力束缚。而 “嫦娥六号”仍在地球引力范围内运动（地月转移轨道），因此发射速度必须小于11.2km/s，故C错误； D．从轨道b变轨到轨道a，需要在Q点减速，使万有引力大于所需向心力，做近心运动。因此，“嫦娥六号” 在轨道a上经过Q点时的速度小于在轨道b上经过Q点时的速度，对应的动能也更小，故D错误。 故选B。 【针对训练15】（多选）（2026·湖南株洲·三模）中国计划于2028年前实施天问三号火星探测任务。假设天问三号火星探测器从地球发射后，由图（a）所示的A点沿地火转移轨道到C点，再依次进入图（b）所示的调相轨道和停泊轨道。已知地球、火星绕太阳做圆周运动的轨道半径分别为、，图（b）中阴影部分面积为探测器在不同轨道上运行时与火星中心连线在相同时间扫过的面积。则（　　） A．图（b）中两阴影部分的面积不相等 B．探测器从A点转移到C点的时间为年 C．探测器从调相轨道变到停泊轨道需要在P点加速 D．探测器在地火转移轨道上C点的速度大于地球绕太阳的速度 【答案】AB 【详解】A．相同时间内扫过的面积相等，是指绕同一中心天体运动且在同一轨道上的卫星，图（b）中阴影部分的面积为探测器在不同轨道上时相同时间扫过的面积，故图（b）中两阴影部分的面积不相等，故A正确； B．根据开普勒第三定律有 其中 可得地火转移轨道的周期为 故探测器在地火转移轨道上从A点转移到C点的时间年，故B正确； C．探测器从调相轨道变到停泊轨道是从高轨变到低轨，做向心运动，需要的向心力减小，故需要在P点减速，故C错误 D．地球、火星都绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，则有 解得 地球运行的轨道半径小于火星运行的轨道半径，故地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度；探测器在C点需要加速才能进入火星所在轨道，则探测器在转移轨道上C点的速度小于火星绕太阳的速度，所以地球绕太阳的速度大于探测器在地火转移轨道上C点的速度，故D错误。 故选AB。 考向3：拉格朗日点卫星模型 【针对训练16】（2026·甘肃陇南·二模）拉格朗日点指的是在太空中类似于“地—月”或“日—地”的天体系统中的某些特殊位置，在该位置处的第三个相对小得多（质量可忽略不计）的物体靠两个天体的引力的矢量和提供其运行所需要的向心力，进而使得该物体与该天体系统处于相对静止状态，即具有相同的角速度，如图所示是地—月天体系统，在月球外侧的地月连线上存在一个拉格朗日点，发射一颗质量为m的人造卫星至该点跟着月球一起转动，该拉格朗日点与月球球心的距离为s。已知地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，地月球心之间的距离为r，月球的公转周期为T，则由以上数据判断（     ） A．地球的密度为 B．在拉格朗日点的卫星的线速度比月球的线速度小 C．在拉格朗日点的卫星的发射速度大于11.2km/s D．月球对该卫星的引力为 【答案】D 【详解】A．对月球，根据万有引力提供向心力有 地球的密度为，其中 联立解得，A错误； B．卫星与月球的角速度相等，根据可知，卫星的运动半径较大，则在拉格朗日点的卫星的线速度比月球的线速度大，B错误； C．在拉格朗日点的卫星没有脱离地球的引力束缚，所以发射速度小于第二宇宙速度，即小于，C错误； D．设月球对卫星的引力为F，则卫星所受向心力为 结合“黄金代换”公式 联立解得，D正确。 故选D。 【针对训练17】（2026·天津红桥·二模）如图所示，是地月系统的其中一个拉格朗日点，处于该位置的卫星1在地球与月球的共同引力作用下与月球同步绕地球做匀速圆周运动。卫星2是地球的一颗同步卫星（月球对其引力可忽略不计），卫星1的轨道半径大于卫星2的轨道半径，则（　　） A．卫星1的周期等于卫星2的周期 B．卫星2的线速度大于卫星1的线速度 C．卫星1的向心加速度大于月球的向心加速度 D．卫星1所受向心力大于卫星2所受向心力 【答案】B 【详解】A．卫星2和月球仅由地球的引力提供向心力，由 解得 月球的轨道半径大，周期大，卫星1的周期等于月球的周期，因此卫星1的周期大于卫星2的周期，故A错误； B．根据 解得 可得月球的线速度小于卫星2的线速度；根据可知，月球的线速度大于卫星1的线速度，因此卫星2的线速度大于卫星1的线速度，故B正确； C．根据可知，卫星1的向心加速度小于月球的向心加速度，故C错误； D．卫星1、2的质量关系不清楚，因此无法判断卫星1与卫星2所受向心力的大小关系，故D错误。 故选B。 考向4：卫星追及相遇问题 【针对训练18】（2026·河南平顶山·三模）2025年1月16日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。若火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比为，地球的质量为火星质量的9倍，火星的半径是地球半径的0.5倍，如图所示。根据以上信息可以得出（     ） A．火星与地球绕太阳公转的角速度之比为 B．火星与地球绕太阳公转的线速度之比为 C．火星与地球的第一宇宙速度之比为 D．下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之前 【答案】C 【详解】AB．火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力 整理得， 则火星与地球绕太阳公转的角速度之比为 火星与地球绕太阳公转的线速度之比为。故AB错误； C．由万有引力提供向心力 解得第一宇宙速度为 火星与地球的第一宇宙速度之比为。故C正确； D．由可得地球与火星公转周期之比 地球的周期为1年，可得火星的周期 设连续两次发生“火星冲日”的时间为t，有 解得 则下一次“火星冲日”一定出现在2026年1月16日之后，故D错误。 故选C。 【针对训练19】（2026·江西南昌·三模）如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从此时刻到下一次A、B相距最远，转过的角度差为π，即 根据题意知 根据开普勒第三定律，有 联立解得所经历的最短时间为 故选C。 考向5：太空电梯模型 【针对训练20】太空电梯的设想屡屡出现在近年的科幻大片中，其基本原理简化如图所示。假设有一太空电梯轨道连接地球赤道上的固定基地与同步空间站A，空间站A相对地球静止，地球质量为。某时刻质量为的电梯停靠在距离地球球心为的电梯轨道上，卫星B与同步空间站A的运行方向相同，此时二者距离最近，经过时间后，A、B第一次相距最远。已知地球自转周期为，则下列说法正确的是（　　） A．太空电梯内的宇航员乘客处于完全失重状态 B．电梯轨道外部某物体脱落仍沿原轨道做匀速圆周运动 C．电梯轨道对电梯的作用力大小为，方向沿电梯轨道背离地心 D．卫星B绕地球做圆周运动的周期为 【答案】C 【详解】A．太空电梯相对地球静止，其角速度与地球自转角速度相同。电梯内的宇航员随电梯做圆周运动，向心力由万有引力和轨道支持力的合力提供，并非完全失重，故A错误； B．电梯轨道上的物体随电梯一起以地球自转角速度转动，其所需向心力小于万有引力。若物体脱落，原轨道的向心力需求与万有引力大小不相等，无法继续做匀速圆周运动，故B错误； C．对电梯，根据牛顿第二定律有 解得电梯轨道对电梯的作用力大小 方向沿电梯轨道背离地心，故C正确； D．题意可知经过时间t后，A、B第一次相距最远，则有 解得，故D错误。 故选C。 【针对训练21】（多选）（2026·内蒙古兴安·二模）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太空电梯”（如图甲所示）。图乙中，图线表示地球引力对航天员产生的加速度大小与航天员距地心的距离的关系，图线表示航天员相对地面静止时的向心加速度大小与的关系。其中地球半径R=6400 km，地球同步轨道近似高度为。已知地球自转周期为，引力常量为，地球表面重力加速度为g，下列说法正确的有（　　） A．太空电梯停在处时，航天员对电梯舱没有弹力 B．随着的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小 C．太空电梯在地球同步轨道高度处的向心加速度约为 D．地球的质量为 【答案】AD 【详解】AB．航天员所需的向心力，随着的增加，航天员所需的向心力逐渐增加，在时，引力完全提供向心力，此时航天员与电梯舱的弹力为0；当时，电梯舱对航天员的弹力表现为支持力，则 解得，随着的增大而减小；当时，电梯舱对航天员的弹力表现为指向地心的压力，此时，随着的增大而增大，故A正确、B错误； C．由， 联立解得，故C错误； D．太空电梯在时，由于航天员的引力完全提供其所需的向心力，设地球的质量为，航天员的质量为，则 解得地球质量，故D正确。 故选AD。 考点4：双星与多星模型 一．双星模型 1.定义 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点（公共圆心）做匀速圆周运动的行星组成的系统，我们称之为双星系统，由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。 2.双星的特点 ①“向心力等大反向” 对m1有：＝m1ωr1 对m2有：＝m2ωr2 两者之间的万有引力提供向心力，大小相等，方向相反，作用在同一直线上，也分别作用在两星上。 ②“周期、角速度相同” T1＝T2 ω1＝ω2 ③“距离不变” r1＋r2＝L ④“半径反比” 两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比。 ⑤运动周期 T＝2π ⑥双星的总质量 m1＋m2＝ 3.模型条件 ①两颗星彼此相距较近。 ②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。 ③两颗星绕同一圆心做圆周运动。 ①由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω2可得，可得，即固定点离质量大的星较近。 ②万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。 ③当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时，其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。可以认为它是固定不动的。 二．多星模型 1.定义 所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。 2.多星问题 ①多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个行星对该行星的万有引力的合力提供。 ②每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等。 ③注意利用几何知识求半径。 3.三星模型 ①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 ②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供：×2×cos 30°＝ma其中L＝2rcos 30°。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 4.四星模型 四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动，由万有引力的合力提供向心力：×2×cos 45°＋＝ma，其中r＝L。四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动，由万有引力的合力提供向心力：×2×cos 30°＋＝ma。其中L＝2rcos 30°。外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。 考向1：双星模型 【针对训练22】（多选）（2026·海南海口·二模）科学家通过引力波探测器观测到一个由两颗恒星组成的双星系统，它们围绕共同的中心做匀速圆周运动，科学家发现该双星系统的运动周期与两颗恒星的质量和距离之间存在某种关系。已知两颗恒星质量分别为和，它们之间的距离为，引力常量为。则关于该双星系统下列说法正确的是（　　） A．两颗恒星所受的向心力大小相等 B．该双星系统的质量比越大，两颗恒星的轨道半径比也越大 C．两颗恒星的运动周期与成反比，与成正比 D．研究发现该双星系统会通过引力波辐射损失能量，则该双星系统的距离L会逐渐减小，运动周期也会逐渐减小 【答案】AD 【详解】A．双星系统围绕共同的中心做匀速圆周运动，由双星之间的万有引力提供圆周运动的向心力，可知，两颗恒星所受的向心力大小相等，故A正确； B．双星圆周运动的角速度相等，根据， 解得 可知，双星系统的质量比越大，两颗恒星的轨道半径比越小，故B错误； C．根据角速度与周期的关系有 由于双星系统围绕共同的中心做匀速圆周运动，则有 结合上述解得 可知，两颗恒星的运动周期与成正比，与成反比，故C错误； D．双星系统通过引力波辐射损失能量，导致轨道收缩，距离L减小，根据周期公式 可知L减小时T也减小，故D正确。 故选AD。 【针对训练23】（2026·山东聊城·二模）“食双星”是一种双星系统，两颗恒星在引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动，由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但两颗恒星的彼此“掩食”会使观测到的亮度发生周期性变化。如图所示，两颗恒星相邻两次“掩食”的时刻分别为、。时刻，较亮的恒星遮挡较暗的恒星，观测到亮度L稍微减弱；时刻，较暗的恒星遮挡较亮的恒星，观测到亮度L减弱比较明显。若双星间的距离始终为d，引力常量为G，不计其他星球的影响，下列说法正确的是（　　） A．根据已知条件，可求得两恒星质量之比 B．双星系统的角速度为 C．双星系统的总质量为 D．双星做圆周运动的速率之和为 【答案】C 【详解】A．由万有引力提供向心力得 化简可得 根据已知条件无法求得半径的比值，因此无法得到质量比，故A错误； B．根据题意可得双星系统周期为 双星系统的角速度为，故B错误； C．因为 得 根据 得 两式相加可得 双星系统的总质量为，故C正确； D．双星做圆周运动的速率之和为，故D错误。 故选C。 考向2：多星模型 【针对训练24】（2026·山东日照·三模）如图所示，质量均为的四个星体均匀分布在同一个圆周上，它们均绕圆心做匀速圆周运动，轨道半径均为，引力常量为，忽略其他天体对四个星体的影响。则（     ） A．四个星体的向心力相同 B．每个星体的向心力大小为 C．每个星体运动的周期为 D．每个星体运动的线速度大小为 【答案】B 【详解】A．向心力是矢量，四个星体所在位置不同，向心力方向分别指向圆心，方向不同，所以向心力不同，故A错误； B．任意一个星体受其他三个星体的万有引力合力提供向心力，相邻星体距离为，对角星体距离为，合力大小，故B正确； C．根据向心力公式 解得周期，故C错误； D．根据向心力公式 解得线速度，故D错误。 故选B。 【针对训练25】（2026·吉林·模拟预测）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则（　　） A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B．直线三星系统的运动周期为4πR C．三角形三星系统中星体间的距离为L＝R D．三角形三星系统的线速度大小为 【答案】B 【详解】A．因两种系统的运动周期相同,则直线三星系统中甲星和丙星角速度相同，又运动半径相同，由 甲星和丙星的线速度大小相等，方向不同，故A错误； B．万有引力提供向心力 得，故B正确； C．两种系统的运动周期相同，根据题意可得，三星系统中任意星体所受合力为 则 轨道半径r与边长L的关系为 解得，故C错误； D．三角形三星系统的线速度大小为 得，故D错误。 故选B。 【真题1】（2026·湖北·高考真题）已知某卫星绕地球做椭圆运动，在近地点所受的地球引力为其在地面附近的，在远地点所受的地球引力为其在地面附近的。地面附近的重力加速度大小为，地球半径为，该卫星的运动周期为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，对于地球表面的物体，由万有引力等于重力有 可得 由万有引力公式有 可知，近地点到焦点的距离为，远地点到焦点的距离为，则卫星椭圆轨道的半长轴为 设卫星在轨道半径为的圆周上做圆周运动的周期为，在椭圆轨道上的运动周期为，由开普勒第三定律有 由万有引力提供向心力有 联立解得 故选B。 【真题2】（2026·四川·高考真题）离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 【答案】B 【详解】根据题意，由万有引力提供向心力有 可得 则有 故选B。 【真题3】（2026·湖南·高考真题）郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设恒星半径为R，由题意得行星轨道半径r = nR 行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 整理得恒星质量 恒星为均匀球体，体积，平均密度，将r = nR代入得 故选C。 【真题4】（2026·广东·高考真题）如图所示，某行星对单个卫星表面最远点与最近点的单位质量物体的“引力差值”可近似为，其中为常量，为行星质量，为卫星球体半径，为行星中心到卫星中心的距离。两卫星P和Q的球体半径之比为，它们绕该行星做匀速圆周运动的周期之比为 ，该行星对卫星P、Q的“引力差值”分别为、，则为（     ） A．1∶4 B．1∶16 C．1∶32 D．1∶64 【答案】C 【详解】根据可得 又因为两卫星绕该行星做匀速圆周运动的周期之比为8：1，可得 根据“引力差值”公式，其中M和k相同，所以 故选C。 【真题5】（2026·陕晋青宁卷·高考真题）我国自主建设运行的北斗全球卫星导航系统空间段由多颗卫星组成。若轨道半径不同的两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，角速度大小分别为，线速度大小分别为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 其中为引力常量，为地球质量，为轨道半径，为角速度，为线速度。 推导得 A．由，由于轨道半径不同，则，故A错误； B．由以上分析可知，，与有关，，故B错误； C．由以上分析可知，，与有关，，故C错误； D．由以上分析可知，，与无关，故D正确。 故选D。 【真题6】（多选）（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）我国计划将“羲和二号”太阳探测卫星部署至日地系统拉格朗日点L5。研究表明，太阳中心、地球中心和的连线构成稳定的等边三角形，太阳、地球和部署在的卫星以相同周期绕日地连线上的点做圆周运动，如图所示，则（     ） A．卫星的向心加速度比地球的大 B．卫星与地球的线速度大小相等 C．太阳和地球对卫星引力的合力指向、连线中点 D．太阳和地球对卫星的引力大小之比等于太阳和地球的质量之比 【答案】AD 【详解】A．根据题图可知卫星的运动半径大于地球的运动半径，卫星、太阳和地球周期相等，根据可知三者角速度相等，根据可知卫星的向心加速度比地球的大，故A正确； B．根据结合A选项分析可知卫星线速度大于地球的线速度，故B错误； C．根据题意可知太阳和地球对卫星引力的合力提供卫星做圆周运动的向心力，向心力一定指向圆心，即向心力一定指向点，故C错误； D．根据题意可知太阳和卫星的距离等于地球和卫星的距离，根据万有引力的表达式可知太阳和地球对卫星的引力大小之比等于太阳和地球的质量之比，故D正确。 故选AD。 一、单选题 1．（2026·重庆沙坪坝·三模）如题图所示，有L、M、N三颗地球卫星，L还未发射，在赤道上随地球转动；M是近地卫星，轨道半径可认为等于地球半径；N是地球同步卫星。将它们的运动均视为匀速圆周运动，地球表面重力加速度为，忽略地球自转对重力加速度的影响，下列说法正确的是（　　） A．M的向心加速度等于 B．L的向心加速度大于 C．相同时间内，N转过的弧长最短 D．M在12h内转过的角度小于 【答案】A 【详解】A．对于近地卫星M，有 可得M的向心加速度为，故A正确； BCD．对于卫星M、N，由万有引力提供向心力得 可得，， 则有，， 由于卫星N、L的角速度相同，根据， 则有， 综上分析可知L的向心加速度小于；L的线速度最小，所以相同时间内，L转过的弧长最短；已知同步卫星N的周期为24h，由于M的角速度大于N的角速度，所以M的周期小于24h，则M在12h内转过的角度大于，故BCD错误。 故选A。 2．（2026·贵州黔西南·二模）2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射，飞船与空间站组合体自主对接后绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径。下列说法正确的是（     ） A．飞船的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．飞船在轨运行的线速度小于地球同步卫星在轨运行的线速度 C．飞船在轨运行的周期大于地球自转周期 D．飞船返回地球时，需要点火加速做离心运动 【答案】A 【详解】A．第一宇宙速度是绕地球做圆周运动的最小发射速度，第二宇宙速度是脱离地球引力的最小发射速度，飞船与空间站组合体自主对接后绕地球做匀速圆周运动，说明卫星的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故A正确； B．根据万有引力提供向心力 得线速度，轨道半径r越小，线速度越大，故B错误； C．根据万有引力提供向心力 解得周期 可知轨道半径越小，周期越小，同步卫星周期等于地球自转周期，因此飞船周期小于地球自转周期，故C错误； D．飞船返回地球时，需要点火减速使万有引力大于向心力，做近心运动降低轨道才能返回，故D错误。 故选A。 3．（2026·北京西城·二模）火星具有诸多与地球相似的特征，例如存在昼夜交替与四季更迭，这使其理论上具备成为人类宜居星球的潜在条件。已知，火星的公转轨道半径约为地球的1.5倍，火星的半径约为地球的，火星的质量约为地球的，火星的自转周期、自转轴倾角均与地球相近，由此可推测（　　） A．火星上的一年约为地球的1.5倍 B．火星表面的重力加速度约为地球的 C．火星表面接收到的太阳辐射功率约为地球的 D．若星球上的温度仅受太阳辐射的影响，当太阳辐射功率增大为现在的2.25倍时，火星可以达到适合人类居住的温度 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第三定律，绕太阳公转的天体满足 因此 ，火星年约为地球的1.84倍，故A错误； B．根据牛顿第二定律 可得星球表面重力加速度满足 因此 火星表面重力加速度约为地球的，故B错误； C．太阳辐射为球面波，单位面积接收功率 和公转轨道半径平方成反比，因此 火星接收的太阳辐射功率约为地球的，故C错误； D．星球热平衡时吸收的太阳辐射功率等于自身热辐射功率，温度由接收的太阳辐射功率决定。当太阳总辐射功率增大为现在的2.25倍时，火星处的太阳辐射功率 和地球现在接收的太阳辐射功率相同，热平衡温度与地球相近，适合人类居住，故D正确。 故选D。 4．（2026·湖南长沙·三模）“月地检验”验证了万有引力定律。通过测量和观测可知，地球表面的重力加速度为，月球表面的重力加速度为，地球的半径为，月球的半径为，月球与地球中心的距离为，地球的自转周期为，月球绕地球公转的周期为，下列等式成立且能验证万有引力定律的是（    ） A． B．月球的向心加速度 C． D． 【答案】C 【详解】A．地球表面有 可得重力加速度满足 同理月球表面重力加速度满足 由于地球和月球质量不相等，因此，故A错误； B．该式是圆周运动向心加速度的运动学定义式，仅描述月球的运动规律，未与万有引力定律关联，无法验证万有引力定律，故B错误； C．对地球表面物体，重力等于万有引力 得 月球绕地球公转时万有引力提供向心力 将代入整理可得 该式将地面重力规律和月球公转规律结合，可验证万有引力定律，故C正确； D．开普勒第三定律适用于绕同一中心天体运动的天体，且为地球自转周期，和月球公转无关联，等式不成立，故D错误。 故选C。 5．（2026·山东济宁·三模）如图甲所示，某飞行器绕地球变轨过程中的两椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ相切于点。图乙为该飞行器在两轨道上受到地球引力大小随时间的变化规律。下列说法正确的是（     ） A．飞行器在时刻恰好到达点 B．飞行器在时刻与时刻到地心的距离之比为 C．飞行器沿轨道Ⅰ和Ⅱ运行的周期之比为5∶9 D．与之比为 【答案】D 【详解】A．根据万有引力定律，可得，即引力越小，距离地心越远。结合变轨过程（先在轨道Ⅱ运行，后变轨到轨道Ⅰ）和图像分析：时刻引力最小，对应最远点，因此时刻不在P点，故A错误； B．时刻，时刻，由 得，故B错误； C．设，轨道Ⅰ：近地点， 远地点，，半长轴 轨道Ⅱ：近地点，，远地点， 半长轴 根据开普勒第三定律 得： ，故 C错误； D．是轨道Ⅱ从近地点到远地点的时间，为 是轨道Ⅰ从近地点到远地点的时间，为 因此，故D正确。 故选D。 6．（2026·广西桂林·三模）2026年4月25日，我国“长征六号”运载火箭成功将巴基斯坦PRSC-EO3卫星送入预定轨道。若新发射卫星与另一颗在轨卫星分别在如图所示的椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ上沿逆时针方向运行，两轨道相切于近地点P，A、B为Ⅱ轨道上关于Ⅱ轨道长轴对称的两点。已知轨道Ⅰ、Ⅱ的长轴分别为、，两卫星运动的周期分别为、。则（    ） A． B． C．Ⅱ轨道卫星在A、B两点速度相同 D．在P点，Ⅰ轨道卫星的速度小于Ⅱ轨道卫星的速度 【答案】D 【详解】AB．由开普勒第三定律可知 可知半长轴越大，周期越大，则有，故AB错误； C．根据对称性可知，Ⅱ轨道卫星在A、B两点速度大小相等，但方向不同，故C错误； D．卫星从低轨道变轨到高轨道，需要在变轨处点火加速，所以在P点，Ⅰ轨道卫星的速度小于Ⅱ轨道卫星的速度，故D正确。 故选D。 7．（2025·湖南岳阳·三模）如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期为2T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力，引力常量为G，下列说法正确的（　　） A．C的质量为 B．B的质量为 C．A的质量为 D．A、B的轨道半径之比为 【答案】D 【详解】A、B相距，绕共同质心做周期为的匀速圆周运动。由万有引力提供向心力、，周期满足、，轨道半径满足 联立得总质量，轨道半径与质量成反比 C绕B做匀速圆周运动，轨道半径，周期。忽略A对C的引力，且C对B的引力远小于A对B的引力，可认为B静止。由万有引力提供向心力，周期满足 联立解得 AB．由上述分析得B的质量，C的质量在求解过程被消掉，无法由已知条件求得，故AB错误； C．，故C错误； D．，故D正确。 故选D。 8．（2026·河南三门峡·二模）科学研究表明，当天体的逃逸速度（逃逸速度为其第一宇宙速度的倍）大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的半径之比为，地球的质量为，地球的环绕速度（第一宇宙速度）为，光速为，则要使该天体成为黑洞，其质量不应小于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】首先推导地球第一宇宙速度的关系，近地卫星受万有引力提供向心力 整理得，其中为地球半径。 设该天体质量为，其半径，同理其第一宇宙速度满足 得 天体成为黑洞的条件为逃逸速度大于光速，即。 将代入条件后平方得，再将代入，约去后解得 故选C。 9．（2026·山东·模拟预测）“地球隧道”作为物理思想实验，一经提出受到广泛关注。现一质量为的列车从点由静止开始仅在万有引力作用下沿隧道、运动。地球可视作质量分布均匀的半径为的球体，地心在点，。已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零，引力常量为，地表重力加速度为。不考虑地球的自转，下列说法正确的是（　　） A．列车在点的速度大小为 B．列车在点的速度大小为 C．列车在点的加速度大小为 D．列车在点的加速度大小为 【答案】C 【详解】CD．设地球的密度为，因为质量均匀球壳对其内部物体的引力为零，所以列车在距离地心处，只受到来自以地心为球心、半径为、质量为的球体的万有引力，可得 可知地心内的列车受到的力与列车相对于地心的距离成正比，在地球表面列车受到的万有引力 列车在点受到的万有引力大小为 由牛顿第二定律可得 解得列车在点的加速度大小为 在地球表面有 化简可得 故C正确，D错误； AB．由于地心内的列车受到的力与列车相对于地心的距离成正比，从点运动到点的过程中，由动能定理可得 解得 故AB错误。 故选C。 二、多选题 10．（2026·湖南长沙·三模）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则卫星在各轨道上正常运行时，以下说法正确的是（     ） A．卫星在轨道3上的速度小于在轨道1上的速度 B．卫星在轨道3上的P点的速度大于在轨道2上经过P点时的速度 C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D．卫星在轨道2上运动的周期大于在轨道3上运动的周期 【答案】AB 【详解】A．根据万有引力提供向心力有 解得 可知轨道半径越大线速度越小，则卫星在轨道3上的速度小于在轨道1上的速度，故A正确； B．卫星由轨道2要经过点火加速才可以变轨到轨道3，所以卫星在轨道3上经过P点的速度大于在轨道2上经过P点时的速度，故B正确； C．根据牛顿第二定律可得 解得 可知卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，故C错误； D．由图可知轨道3的轨道半径大于轨道2的半长轴，根据开普勒第三定律，可知卫星在轨道3上运动的周期大于在轨道2上运动的周期，故D错误。 故选AB。 11．（2026·江西上饶·二模）“嫦娥七号”探测器计划于2026年8月发射，开启人类对月球南极区域勘查任务。“嫦娥七号”探测器被月球捕获进入月球轨道的部分过程如图所示，探测器在椭圆轨道1运行经过点时变轨进入椭圆轨道2，在轨道2上经过点时再次变轨进入圆轨道3（忽略变轨时质量变化）。三个轨道相切于点，点是轨道2上离月球最远的点（选项中速度、机械能以及引力势能中出现的1、2、3分别对应轨道1、2、3上的物理量）。则探测器（     ） A．在轨道2上、点的速度大小关系： B．在轨道2上点的速度与在轨道3上点的速度大小关系： C．在三个轨道上机械能大小关系： D．在三个轨道上点的引力势能大小关系： 【答案】AC 【详解】A．根据开普勒第二定律可知，探测器在轨道2的近月点（点）的速度大于在远月点（点）的速度，即，故A正确； B．探测器在轨道2上经过点时，需减速做向心运动才能进入圆轨道3，即，故B错误； C．探测器在轨道1上经过点时减速做向心运动进入轨道2，在轨道2上经过点时再次减速做向心运动进入轨道3，因减速变轨过程发动机做负功，探测器的机械能减小，所以三个轨道上机械能大小关系为，故C正确； D．引力势能仅与探测器到月球中心的距离有关，因三个轨道在点距月球中心的距离相同，故在三个轨道上点的引力势能大小相等，即，故D错误。 故选AC。 12．（2026·福建福州·三模）如图所示，中国“天眼”球面射电望远镜发现了一对脉冲双星，该双星质量分布均匀，由一颗脉冲星和一颗白矮星组成，双星、围绕中心点沿逆时针方向做匀速圆周运动，运动周期为，双星间距为。为白矮星的卫星，围绕沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为，且。与之间的引力远大于与之间的引力，不考虑对的影响。已知白矮星的质量为，引力常量为，则（　　） A．双星的质量和为 B．卫星围绕做匀速圆周运动的半径为 C．卫星围绕的向心加速度大小为 D．、、三星相邻两次共线时间间隔为 【答案】BD 【详解】A．对脉冲星a进行受力分析，有 对白矮星b进行受力分析，有 其中 解得，故A错误； B．对卫星c进行受力分析，有 解得，故B正确； C．对卫星c进行受力分析有 解得，故C错误； D．设a、b、c三星相邻两次共线时间间隔为，则有 解得，故D正确。 故选BD。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $