第6讲 圆周运动模型-2026-2027学年高三物理暑假复习提升讲义

第6讲 圆周运动模型 【考点1：匀速圆周运动的基本性质】 考向1：匀速圆周运动的基本物理量计算 考向2：圆周运动的周期性多解问题 考向3：三种传动方式 考向4：圆周运动中的向心力计算 【考点2：水平面内圆周运动模型】 类型1：水平转盘模型 类型2：锥摆及锥型容器模型 类型3：水平面和倾斜面车辆转弯模型 【考点3：竖直面内圆周运动模型】 考向1：绳球模型 考向2：杆球模型 考向3：拱形桥模型 考向4：复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合） 考点1：匀速圆周运动的基本性质 一．匀速圆周运动 1.定义 做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 2.性质 一种变加速的变速运动。 3.描述圆周运动的物理量 物理量 物理意义 计算式 线速度v（m/s） 描述质点沿圆弧运动的快慢，线速度越大，质点沿圆弧运动越快 角速度ω（rad/s） 描述质点转过圆心角的快慢 周期T（s） 定量描述匀速圆周运动快慢。周期长说明运动得慢，周期短说明运动得快。 频率f（Hz） 定量描述匀速圆周运动的快慢，频率高说明运动得快，频率低说明运动得慢。 转速n（r/s或r/min） 实际中定量描述匀速圆周运动的快慢，转速高说明运动得快，转速低说明运动得慢。 向心加速度a（m/s2） 描述物体速度方向变化快慢 ①线速度和角速度都是描述做匀速圆周运动的物体运动快慢的物理量，线速度侧重于描述物体通过弧长的快慢程度：而角速度侧重于描述物体转过角度的快慢程度。它们都有一定的局限性，并不是线速度大的物体角速度一定大。例如，地球围绕太阳运动的线速度约是3×104 m/s，这个数低是较大的。但它的角速度却很小，为2×10-7rad/s。 ②频率表示单位时间（1s）内物体做圆周运动的圈数，因此当转速的单位取转每秒时，频率与转速含义相同，但转速在工程技术中常用的单位是转每分。 ③对于变速率圆周运动，可以用公式求质点在圆周上某点的向心加速度瞬时值，其中ω或v应取该点的线速度和角速度的瞬时值。 4．v、ω、r、a中任意三者关系的讨论 （1）对公式v＝ωr的理解：当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。 （2）对a＝＝ω2r＝ωv的理解：在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比。 （3）讨论ω、T和f中关系时，由公式可知，周期与角速度成反比；频率与角速度成正比。 5.三种传动方式 方式 同轴转动 皮带传动 齿轮传动（摩擦传动） 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上，到圆心的距离不同 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 A、B两点角速度、周期相同 A、B两点线速度相同 A、B两点线速度相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比： 二．圆周运动中的向心力计算 1.向心力 定义 由于匀速圆周运动具有向心加速度，根据牛顿第二定律，物体所受合外力不为零，且时刻与速度方向垂直，总是指向圆心。使物体产生向心加速度的力叫做向心力。 作用效果 产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 大小 F＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r 方向 方向时刻与运动（v）方向垂直，始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是几个性质力的合力或某个性质力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。如果物体作匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力。 2.变速圆周运动和一般曲线运动的处理方法 变速圆周运动 当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。合外力不等于向心力，合外力一般产生两个效果。如下图甲乙所示。 （1）跟圆周相切的分力Ft，只改变线速度的大小，Ft＝mat，产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢。 （2）跟圆周切线垂直而指向圆心的分力Fn，只改变线速度方向，Fn＝man，产生向心加速度。此加速度描述线速度方向变化快慢。 处理方法 解决变速圆周运动问题，依据的规律仍然是牛顿运动定律和匀速圆周运动的运动学公式，只是在公式Fn＝m中，Fn为指向圆心方向的合力，v为在该处速度的瞬时值。解决变速圆周运动除了依据上述规律外，还需要用到功能关系等知识。 一般的曲线运动 运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示. 处理方法 ①将曲线分割成为许多很短的小段，每一小段曲线都可以看作是一小段圆弧，这样物体在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分.通常这些圆弧的弯曲程度是不一样的，我们用曲率半径来表示圆弧的弯曲程度. ②将物体所受的合力沿曲线的切线方向和法线方向进行分解，沿切线方向的分力使物体加速或减速；沿法线方向的分力使物体的速度方向改变，此时有Fn＝m＝mω2r 3.圆周运动的解题思路 4.几种常见向心力模型分析 类别 实例 模型说明 重力提供向心力 小球沿光滑轨道下滑，经过圆轨道最高点时，若轨道对小球的弹力恰好为零，则此时小球的向心力由重力提供。 弹力提供向心力 小球沿光滑器壁在水平底面内做圆周运动，向心力由弹力提供。 摩擦力提供向心力 物体随转盘做圆周运动，且相对转盘静止，向心力由静摩擦力提供。 分力或合力提供向心力 小球由细线牵引着在水平面内做圆周运动。向心力可以认为由细线拉力的水平分力提供，也可以认为由细线拉力与小球重力的合力提供。 5.圆周运动中常见的连接体模型分析 情境示例 情景图示 情境说明(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 情境1 A、B两小球固定在轻杆上，随杆一起绕杆的端点O在水平面内做圆周运动。注意计算OA杆拉力时应以小球A、B整体为研究对象，而不能以A为研究对象。 情境2 A、B两物块叠放在一起随转盘一起转动，当求转盘对B的摩擦力时，取A、B整体为研究对象比较简单；当研究A、B谁先背离圆心运动时，注意比较两接触面间的动摩擦因数大小。 情境3 A、B两小球用轻线相连穿在光滑轻杆上随杆绕转轴O在水平面内做圆周运动时，两球所受向心力大小相等，角速度相同，圆周运动的轨道半径与小球质量成反比。 情境4 A、B两物块随转盘一起转动，当转盘转速逐渐增大时，物块A受到的静摩擦力先达到最大值，转速再增加，则A、B间绳子开始有拉力，当B受到的静摩擦力达到最大值后两物块开始滑动(设A、B两物块与转盘间的动摩擦因数相等)。 考向1：匀速圆周运动的基本物理量计算 【针对训练1】（2026·辽宁·二模）科学家利用量子纠缠原理研发出新型陀螺仪，该装置的核心部件是一个悬浮在真空腔内的碳环，通过激光场驱动以恒定转速旋转。已知碳环的直径为，转速为，下列说法正确的是（    ） A．碳环转动的频率为 B．碳环转动的周期为 C．碳环转动的角速度为 D．碳环边缘的线速度为 【答案】D 【详解】已知碳环半径，转速，根据圆周运动各物理量的关系可知： A． 频率等于单位时间内转动的圈数，即，A错误； B．周期，B错误； C．角速度，C错误； D．线速度，D正确。 故选D。 【针对训练2】（多选）“飞车走壁”是一种传统的杂技项目，杂技演员驾驶摩托车在倾角很大的“桶壁”内侧做圆周运动而不掉下来。如图所示，一杂技演员驾驶摩托车沿半径为5m的圆周做匀速圆周运动，10s内运动的弧长为200m，则（　　） A．摩托车的线速度大小为20m/s B．摩托车的角速度大小为4rad/s C．摩托车运动的周期为s D．摩托车运动的转速为r/s 【答案】ABC 【详解】A．杂技演员驾驶摩托车沿半径为5m的圆周做匀速圆周运动，10s内运动的弧长为200m，根据可得线速度大小为，故A正确； B．根据可得角速度为，故B正确； C．根据可得摩托车运动的周期为，故C正确； D．根据可得摩托车运动的转速为，故D错误。 故选ABC。 考向2：圆周运动的周期性多解问题 【针对训练3】（2026·云南·三模）如图所示，水平圆盘绕过盘心的竖直轴以角速度匀速转动。某时刻，当圆盘边缘某点转动到最右侧时，在轴上点以某一初速度水平向右抛出一个小球（可视为质点），经过一段时间，小球落在圆盘上的点。已知重力加速度大小为，不计空气阻力。则间距可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，设间距为，则有 小球落在圆盘上的点，且抛出时点在最右侧，小球水平向右抛出，说明小球落地时点恰好转回到最右侧位置。因此，在小球飞行的时间内，圆盘转过的角度应为的整数倍，即() 解得 联立解得 当时，；当时，；当时，。 故选C。 【针对训练4】（2026·山东泰安·模拟预测）如图所示，竖直放置的薄圆筒内壁光滑，在内表面距离底面高为的点处，给一个可视为质点的小滑块沿圆筒内壁水平切线方向的初速度，小滑块将沿筒内壁旋转滑下，恰好从点正下方的点滑离圆筒。假设滑块下滑过程中与筒内壁紧密贴合，圆筒内半径，重力加速度取。则小滑块的初速度大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于圆筒内壁光滑，滑块下滑过程中表面与筒内表面紧密贴合，小滑块下滑过程中，小滑块在水平方向做匀速圆周运动，在竖直方向做自由落体运动，设小滑块在水平方向做圆周运动的周期为T，则有 在竖直方向有 小滑块恰好从点正下方的点滑离圆筒，则 解得，故A正确，BCD错误。 故选A。 考向3：三种传动方式 【针对训练5】（2026·广东·一模）如图为道闸及其内部控制横杆起落的减速器结构图，a、b、c是三组相同的轮，用皮带传动，每组轮都由两个共轴轮叠合而成，大轮半径是小轮半径的2倍。在电动机的带动下，a轮转动的角速度为，则横杆随c轮共轴转动的角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】假设大轮半径是，小轮半径，， 根据 同理 故 所以 故选B 。 【针对训练6】（2026·广东揭阳·二模）图示为变速自行车的传动部件，变速自行车有三个飞轮和三个链轮，飞轮的齿数有24、18、12三种，链轮的齿数有48、36、24三种。当某同学以恒定的转速踩脚踏板时，下列说法正确的是（　　） A．链轮齿数不变，换用齿数更多的飞轮；自行车行驶速度变大 B．飞轮齿数不变，换用齿数更少的链轮，自行车行驶速度变大 C．该自行车行驶的最大速度与最小速度之比为 D．该自行车行驶的最大速度与最小速度之比为 【答案】C 【详解】链轮与脚踏板同轴，其齿数为；飞轮与后轮同轴，其齿数为；链条连接前后齿轮，则 所以飞轮与后轮角速度为 自行车行驶速度为 A．链轮齿数不变，换用齿数更多的飞轮；即不变，增大，则自行车速度减小，故A错误； B．飞轮齿数不变，换用齿数更少的链轮，即减小，不变，自行车行驶速度变小，故B错误； CD．该自行车行驶的最大速度与最小速度之比为，故C正确，D错误。 故选C。 考向4：圆周运动中的向心力计算 【针对训练7】（2026·贵州贵阳·二模）如图，将一根轻绳穿过一空心细管，在轻绳一端拴一个质量很小的物体，另一端挂一篮球。手握空心管，抡动物体，物体在轻绳的牵引下可做半径不同的匀速圆周运动，且均可使篮球悬停在空中。此时空心细管竖直，物体与管口间的轻绳近似水平，不计一切阻力。设小物体做半径为的匀速圆周运动时线速度大小为、加速度大小为；做半径为的匀速圆周运动时线速度大小为、加速度大小为。若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．篮球始终悬停静止，受力平衡，因此轻绳的拉力大小恒定，等于篮球的重力，即 （为篮球质量） 由向心力公式 整理得 可知与成正比，已知，因此，故A正确，B错误； CD．小物体做匀速圆周运动，绳近似水平，且小物体质量很小，重力可忽略，拉力完全提供向心力，由向心力公式 得 因均恒定，因此 ，故CD错误； 故选A。 【针对训练8】（2026·河南郑州·一模）2025年9月，杭州超重力场启动全球最大的离心机主机。如图为离心机结构的俯视图，质量均为的模型舱和配重系统通过转臂连接，在水平面内绕竖直转轴以角速度做匀速圆周运动。正常转动时，两者重心到转轴的距离均为，转轴受到的水平作用力为0。若某次实验中，模型舱的重心到转轴的距离增加了，其余条件不变，则转轴受到的水平作用力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若某次实验中，模型舱的重心到转轴的距离增加了，其余条件不变，以配重系统为对象，水平方向根据牛顿第二定律可得 以模型舱为对象，水平方向根据牛顿第二定律可得 以转臂为对象，可得转轴对转臂的水平作用力大小为 其中， 可得 则转轴受到的水平作用力大小为。 故选B。 考点2：水平面内圆周运动模型 1.水平转盘模型 2.锥摆及锥型容器模型 （1）锥摆模型 模型名称 模型分析 单线圆锥摆模型 单线圆锥摆的向心力由重力与拉力的合力提供，一般采用合成法较简便： ，悬线张力。 小球在球形光滑容器内的水平面上做圆周运动，所受弹力方向始终指向球形容器的球心，受力情况与单线圆锥摆类似，可归结于单线圆锥摆模型。 双线圆锥摆模型 双线圆锥摆中常采用正交分解法：沿半径方向利用牛顿第二定律列方程，垂直于半径方向利用平衡条件列方程来分析求解。如图甲所示， x轴方向上有FT1 sinθ1 + FT2 sinθ2=mrω², y轴方向上有FT1 cosθ1=FT2 cosθ2 + mg。 双线圆锥摆中常出现线松弛与张紧的临界状态，当给定线能承受的最大张力时也会出现线断裂的临界状态。如图乙所示，细线一端系于套在环上的球，另一端固定在环的最低点，当环绕竖直直径旋转时小球受力与双线圆锥摆类似时，可归结于双线圆锥摆模型。 （2）锥形容器模型 模型名称 模型分析 符合下列条件的物理情景：(1)锥形容器对称轴竖直；(2)物体轨迹平面与锥形容器对称轴正交即轨迹平面水平；(3)物体在锥形容器的内侧面或外侧面的某一水平面内运动，称为锥形容器模型，如图所示。 如图，可视为质点的小球紧贴着内壁光滑的圆锥斗做水平面内的匀速圆周运动。轴线与圆锥的母线夹角为θ,小球的轨道面距地面高度为h,圆周轨道的圆心是O,轨道半径是r =h tan θ,则有 向心力 支持力 由此得，， 结论：在同一地点，同一锥形斗内，在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则角速度越小，线速度越大。 3.水平面和倾斜面车辆转弯模型 模型名称 模型分析 水平路面车辆转弯模型 自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦力来提供,可知最大安全转弯速度 。 倾斜面车辆转弯模型 ①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v0转弯，重力与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得：,得。因为hL,θ角很小，所以,则;若火车经过弯道时的速度,外轨将受到挤压；若火车经过弯道时的速度,内轨将受到挤压。 ②汽车在倾斜公路上转弯时，若以设计时速v0转弯，重力与地面支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得,得。若v > v0,则由竖直方向,水平方向及f = μN可得不侧滑的最大转弯速度；若汽车经过弯道时的速度v ＜ v0,路面将对汽车产生向外的侧向摩擦力。 考向1：水平转盘模型 【针对训练9】（2026·四川泸州·一模）摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中、分别为两轮盘的轴心。已知两个轮盘的半径比，且在正常工作时两轮盘不滑，今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心、的间距分别为、，且，若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（     ） A．两个轮盘的角速度之比为1∶1 B．转速增加后，滑块B先发生滑动 C．转速增加后，滑块A先发生滑动 D．转速增加后，两滑块一起发生滑动 【答案】B 【详解】A．摩擦传动两轮边缘线速度大小相等，由可知 故两个轮盘的角速度之比为，故A错误； BCD．滑块随盘做圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时滑块开始滑动，此时向心加速度达到最大值满足 解得 两滑块的向心加速度分别为， 结合， 可得 由于两滑块材料相同，动摩擦因数相同，故最大静摩擦力提供的临界加速度相同。随着转速增加，始终是的倍，故先达到，滑块B先发生滑动，故B正确，C、D错误。 故选B。 【针对训练10】（2026·吉林长春·三模）如图A、B是水平转盘上的两物体，两物体之间用轻绳连接。其中A的质量为3m，到圆心O的距离为r；B的质量为m，到圆心O的距离为2r，物体A、B与圆盘间的动摩擦因数均为μ。现圆盘的转速从0开始缓慢增大，直至两物体相对转盘发生滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（　　） A．物体A先达到最大静摩擦力 B．B物体所受摩擦力先增大后保持不变 C．B达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度一定为 D．在范围内，A所受的摩擦力一直保持不变 【答案】D 【详解】A．根据，可得临界角速度 因B的转动半径较大，则临界角速度较小，则物体B先达到最大静摩擦力，A错误； BC．随着转盘的角速度从零开始增大时，根据，可知B物体所受摩擦力指向圆心逐渐增大，当静摩擦力达到最大值时，即 即 此后细绳出现张力，以后随角速度变大，细线张力变大，但B受最大静摩擦力不变；因，则最终当两物体都达到最大静摩擦力时B的最大静摩擦力方向背离圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆心，可知随着角速度增加，B的静摩擦力由指向圆心的最大变为逐渐减小然后反向增加到最大值，则B的静摩擦力先逐渐增加，后保持不变，然后逐渐减小，再逐渐变大；B达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度不一定为，BC错误； D．当A指向圆心的静摩擦力刚达到最大时，对A 对B 解得 当AB将要产生相对滑动时，A指向圆心的静摩擦力达到最大时，B背离圆心的静摩擦力达到最大时，则对A有 对B有 解得 可知在范围内，A所受的摩擦力一直保持指向圆心的最大值不变，D正确。 故选D。 考向2：锥摆及锥型容器模型 【针对训练11】（2026·浙江·二模）2026年春晚节目《世界义乌中国年》中，93名孩子齐摇拨浪鼓送上新春祝福。如图所示，拨浪鼓边缘上与圆心等高处关于转轴对称的位置固定有长度分别为、的两根不可伸长的细绳，两根细绳另一端分别系着质量相同的小球A、B，其中。现匀速转动手柄使两小球均在水平面内匀速转动，连接小球A、B的细绳与竖直方向的夹角分别为和，两小球线速度大小分别为、，细绳对小球A、B的拉力大小分别为、，下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．设拨浪鼓半径为R，细绳长为l，小球在水平面内做匀速圆周运动，设细绳与竖直方向夹角为，则有 解得 由题意可知两小球角速度相同，由于 则根据公式可知 故AB错误； C．两小球轨道半径满足 角速度 则 故C正确； D．绳子的拉力可表示为 由于 则可得 故D错误。 故选C。 【针对训练12】（2026·湖北恩施·二模）如图所示，一半径为R的光滑圆环竖直放置，AB为其竖直直径。一根细绳一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球套在圆环上并处于静止状态，细绳与AB夹角为30°。圆环现以角速度绕AB轴匀速转动，重力加速度为g，保证小球的位置不动，则（　　） A．小球一定受三个力的作用 B．绳中拉力为0时， C．圆环对小球的弹力为0时， D．若小球不相对圆环滑动，则不超过 【答案】B 【详解】解析：初始状态时，小球受重力、拉力和圆环弹力的作用，当圆环以角速度ω匀速转动，由正交分解可得： 水平方向： 竖直方向： 解得： 当时，支持力为0，故C错误； 当时，细绳拉力为0，故B正确 ； 当 ，小球不滑动，故D错误； ，支持力沿半径向外； ，支持力沿半径向内。 故选B。 考向3：水平面和倾斜面车辆转弯模型 【针对训练13】（2026·广东深圳·二模）2026年3月国际场地自行车世界杯女子团体竞速赛，中国队夺得金牌。为了平稳过弯，人的身体会主动向弯道内侧倾斜，保持地面对自行车的作用力恰好通过人车系统的重心。运动员做水平面内的匀速圆周运动，速度大小，弯道半径，车胎与地面间的动摩擦因数0.8，重力加速度取，忽略空气阻力。则自行车与地面夹角的正切值为（     ） A．0.8 B．1.25 C．2 D．5 【答案】C 【详解】人车匀速过弯，受重力、地面竖直支持力、地面水平静摩擦力，地面对自行车的作用力恰好通过人车系统的重心； 竖直方向受力平衡 水平方向静摩擦力提供向心力 代入，， 故选C。 【针对训练14】（2024·广东惠州·三模）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，火车转弯半径为r，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．火车以速度v转弯时，铁轨对火车支持力大于其重力 B．火车转弯时，实际转弯速度越小越好 C．当火车上乘客增多时，火车转弯时的速度必须降低 D．火车转弯速度大于时，外轨对车轮轮缘的压力沿水平方向 【答案】A 【详解】A．火车以速度v转弯时，对火车受力分析，如图 可得 解得 根据矢量三角形的边角关系可知铁轨对火车支持力大于其重力，故A正确； B．当火车以规定的行驶速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，效果最好，所以实际转弯速度不是越小越好，故B错误； C．由可知规定行驶的速度与质量无关，当火车质量改变时，规定的行驶速度不变，故C错误； D．火车转弯速度大于时，外轨对车轮轮缘的压力沿接触面指向轮缘，故D错误。 故选A。 考点3：竖直面内圆周运动模型 1.绳球模型 （1）模型分析 绳球模型 常见类型 均是没有支撑的小球 过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 讨论分析 (1)过最高点时，v≥ ，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN (2)当v＜时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (3)在最高点的FN－v2图线 （2）结合功能关系 2.杆球模型 （1）模型分析 杆球模型 常见类型 均是有支撑的小球 过最高点的临界条件 v临＝0 讨论分析 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0＜v＜时，mg－FN＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 (5)在最高点的FN－v2图线 （2）结合功能关系 3.拱形桥模型 拱形桥 圆轨外侧 凹形桥 示意图 分析 最高点(失重),有,有以下规律： (1)当v=0时，即汽车静止在最高点，FN = G; (2)当汽车的速度增大到满足，即时，FN =0,汽车在桥顶只受重力G,又具水平速度v,因此开始做平抛运动； (3)当时，满足，所以0≤FN≤mg,且速度v越大，FN越小； (4)当时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运动，即所谓的“飞车”; (5)若物体从最高点由静止无摩擦下滑，离开球面时的位置所在球面半径与竖直方向夹角满足 最低点(超重),有有以下规律： (1)当v =0时，即汽车静止在最低 点，FN = G; (2)当汽车的速度v≠0时，FN ＞ G,且速度v越大，FN越大 考向1：绳球模型 【针对训练15】（2026·广东东莞·二模）图示摩天轮在竖直平面以周期T匀速转动，座舱始终保持水平。已知乘客质量为m，随摩天轮转动半径为R，重力加速度为g。关于乘客运动，下列说法正确的是（     ） A．在最高点时处于平衡状态 B．从最高点向最低点的过程中，座舱速度不变 C．在最低点时，座椅对乘客的支持力的大小为 D．在最高点时，座椅对乘客的支持力的大小为 【答案】C 【详解】A．乘客做匀速圆周运动，所受合力不为零且始终指向圆心，在最高点时受力不平衡，故A错误； B．从最高点向最低点的过程中，座舱速度大小不变，方向变化，即速度变化，故B错误； C．座舱始终保持水平，在最低点时，根据重力与支持力的合力提供向心力有 解得，故C正确； D．座舱始终保持水平，在最高点时，根据重力与支持力的合力提供向心力有 解得，故D错误。 故选C 。 【针对训练16】（2026·陕西宝鸡·三模）如图甲所示，长为且不可伸长的轻绳一端固定在点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、绳子拉力的大小，作出与的关系图线如图乙所示。下列说法中正确的是（    ） A．根据图线可得重力加速度 B．根据图线可得小球的质量 C．由变为的过程中，小球克服阻力做功为 D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 【答案】C 【详解】AB．球在竖直圆周运动最高点时，合力提供向心力，由牛顿第二定律得 可得 结合图乙可知时，，代入得 解得 当时， 代入得 解得，AB错误； C．两次都对应小球在最高点，重力势能变化为0，动能减少量等于小球克服阻力做的功，故， C正确； D．图线与横轴交点对应，此时有 绳长变长，交点横坐标增大，位置改变，D错误。 故选C。 考向2：杆球模型 【针对训练17】（2026·天津南开·二模）如图甲所示为建筑行业使用的一种小型打夯机，其原理可简化为：一个质量为M的支架（含电动机）上，有一根长为L的轻杆带动一个质量为m的铁球（可视为质点）在竖直面内匀速转动，如图乙所示。若在某次打夯过程中，铁球转动到最高点时，支架对地面的压力刚好为零，重力加速度为g，则（　　） A．轻杆转动过程铁球所受合力不变 B．铁球转动到最高点时，轻杆的弹力为mg C．铁球匀速转动的角速度大小为 D．铁球转动到最低点时，支架对地面的压力大小为2（M+m）g 【答案】D 【详解】A．根据题意可知轻杆转动过程铁球做匀速圆周运动，合外力提供向心力，向心力大小不变，方向时刻在变，故A错误； B．以支架为研究对象，根据平衡条件可得铁球在最高点时，轻杆的弹力为，故B错误； C．以铁球为研究对象，在最高点，根据牛顿第二定律 可得铁球匀速转动的角速度大小为，故C错误； D．铁球转动到最低点时，设轻杆的弹力为，对铁球，根据牛顿第二定律 对支架，根据平衡条件可得 根据牛顿第三定律可得支架对地面的压力大小 联立可得，故D正确。 故选D。 【针对训练18】（2026·陕西渭南·二模）如图所示，长为0.5 m的轻杆一端固定质量为0.4 kg的小球（可视为质点），另一端与水平转轴O连接。现使小球在竖直面内绕O点做匀速圆周运动，当小球通过与圆心等高点A时，轻杆对小球的作用力为5.0 N。已知转动过程中轻杆不变形，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球转动的角速度为5 rad/s B．小球通过最高点时，杆对小球的作用力大小为2.0 N C．小球通过最低点时，杆对小球的作用力大小为7.0 N D．小球从最高点向最低点运动的过程中，杆对小球的作用力先变小后变大 【答案】C 【详解】A．小球通过与圆心等高点A时，受重力和杆的作用力，合力提供向心力，方向水平指向圆心，由矢量合成可知 代入数据解得，故A错误； B．小球通过最高点时，根据牛顿第二定律有 解得，故B错误； C．小球通过最低点时，根据牛顿第二定律有 解得，故C正确； D．小球从最高点向最低点运动的过程中，根据矢量三角形及余弦定理可知 其中 其中代表与 G 的夹角，从0增大到180°，则杆对小球的作用力持续增大，故D错误； 故选C。 考向3：拱形桥模型 【针对训练19】（2026·山东潍坊·模拟预测）如图所示，可以把地球看作一个巨大的拱形桥，拱面半径就是地球半径R，地面上沿地球赤道行驶的汽车，质量为m，地面对它的支持力是。已知地球表面的重力加速度为g，不考虑汽车行驶中空气的阻力和地球自转的影响。以下说法正确的是（　　） A．与车速v有关，v越大越大 B．与车速v无关，恒等于重力 C．当速度增大到，汽车不能再加速 D．随着汽车的不断加速，汽车可以离开地面绕地心做椭圆运动 【答案】C 【详解】AB．由牛顿第二定律可得 汽车速度越大，就越小，故AB错误； C．当速度增大到，可得 此时汽车对地面无压力，轮胎与地面间的摩擦力为零，汽车无法获得牵引力，因此不能再加速，故C正确； D．由C选项分析可知，当速度达到时，汽车无法继续加速，因此速度无法超过，汽车无法做离心运动从而绕地心做椭圆运动，若速度等于，汽车将绕地心做匀速圆周运动，故D错误。 故选C。 【针对训练20】（2025·江西赣州·二模）如图所示，当汽车行驶在这些路面上，在其他条件相同的情况下，则（    ） A．在图乙路面最高点，汽车对路面的压力大于汽车的重力 B．在图丙路面最低点，汽车对路面的压力小于汽车的重力 C．关于路面对汽车轮胎的磨损，图丙路面最大，图乙路面最小 D．关于路面对汽车轮胎的磨损，三种路面一样大 【答案】C 【详解】A．在图乙路面最高点，汽车做圆周运动，合力提供向心力，向心力方向竖直向下，则重力大于地面给的支持力，根据牛顿第三定律可知，汽车的重力大于汽车对路面的压力，故A错误； B．在图丙路面最高点，汽车做圆周运动，合力提供向心力，向心力方向竖直向上，则重力小于地面给的支持力，根据牛顿第三定律可知，汽车的重力小于汽车对路面的压力，故B错误； CD．图甲汽车做匀速直线运动，可知汽车对路面的压力等于汽车的重力，综合以上可知 可知图丙汽车对路面压力最大，轮胎磨损最大，汽车对图乙路面压力最小，轮胎磨损最小，故C正确，D错误。 故选C。 考向4：复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合） 【针对训练21】（2026·安徽·一模）如图所示，在坐标系的第四象限内，固定一光滑竖直圆弧轨道，B点和C点分别为圆弧轨道的最低点和最高点，C点在x轴上，已知圆弧轨道的半径，、A连线与竖直方向的夹角，小球从坐标原点O以一定速度水平抛出，恰好从圆弧轨道A点沿切线方向进入，取重力加速度大小，不计空气阻力。 (1)求小球到达A点时的速度大小； (2)通过计算判断小球能否到达C点； (3)改变抛出点的位置，将小球水平抛出，使小球仍然能从A点沿切线方向进入圆弧轨道，写出满足该条件抛出点位置的方程（不必写出推导过程）。 【答案】(1) (2)能到达C点 (3)，其中 【详解】（1）小球被抛出后，在竖直方向上有 解得 由，解得 小球到达A点时的速度大小 （2）小球从抛出点运动到C点，根据机械能守恒定律可知 [或者对小球从A点运动到C点，由动能定理有 解得 由，解得 则 小球刚好能到达C点。 （3）如图所示 连接A点和坐标原点，抛出点位置的方程 其中 【针对训练22】（2025·辽宁大连·三模）如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为与水平方向成45°角的斜面，B端在O的正上方，一个质量为m的小球在A点正上方某处由静止开始释放，自由下落至A点后进入圆形轨道并能沿圆形轨道到达B点，最后落到斜面上C点，且到达B处时小球的速度为（忽略空气阻力）。求： (1)小球到达B点时对轨道的压力； (2)小球从B点运动到C点所用的时间t； (3)小球离开B后，距离斜面的最远距离d。 【答案】(1)3mg (2) (3) 【详解】（1）小球到达B点时，根据牛顿第二定律有 求得轨道对小球的弹力 由牛顿第三定律，可知小球此时对轨道的压力为 （2）小球从B点运动到C点做平抛运动，有，， 联立求得所用的时间 （3）将小球在B点的速度和重力加速度分别沿斜面和垂直斜面方向分解，则有， 当减为零时，此时小球距离斜面的距离最远，有 【真题1】（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为，根据几何关系有 同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为，则有 设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有 由于 则有 转弯过程俯视图，如图所示 由几何关系有 联立解得 故选C。 【真题2】（2025·重庆·高考真题）“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度进入半径为R的OP圆弧段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则（　　） A．汽车到O点时，列车行驶距离为s B．汽车到O点时，列车行驶距离为 C．汽车在OP段向心加速度大小为 D．汽车在OP段向心加速度大小为 【答案】B 【详解】AB．对汽车，根据速度位移关系 可得匀减速运动的加速度大小 汽车做减速运动的时间 这段时间列车行驶距离为 B正确，A错误； CD．根据 可得汽车在OP段向心加速度大小为 CD错误。 故选B。 【真题3】（2025·安徽·高考真题）在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为M、N在运动过程中始终处于同一高度，所以N的速度与M在竖直方向的分速度大小相等， 设M做匀速圆周运动的角速度为，半径为r，其竖直方向分速度 即 则D正确，ABC错误。 故选D。 【真题4】（多选）（2026·广东·高考真题）如图所示，在光滑的水平地面上，P、Q、M、N四个质量相等的小球通过两根不可伸长的轻绳相连，P、Q间的绳长为，M、N间的绳长为，两绳相交于各自的中点，四球以相同角速度ω绕固定的点做匀速圆周运动，已知，P、Q的向心加速度大小均为，M、N的向心加速度大小均为，四球均可视为质点，忽略空气阻力，下列说法正确的有（     ） A． B． C．P的线速度大小为 D．轻绳对四球的拉力大小相等 【答案】AB 【详解】A．根据题意可知P、Q做圆周运动的半径 对P、Q根据可得，故A正确； B．因为四个球角速度相同，对球M、N有 所以，故B正确； C．对于P有，故C错误； D．绳子拉力提供向心力，根据可知由于四球质量相等，角速度相等，但半径不同，故拉力大小不相等，故D错误。 故选AB。 【真题5】（多选）（2025·广东·高考真题）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为，小球所在位置处的切面与水平面夹角为，小球质量为，重力加速度g取。关于该小球，下列说法正确的有（    ） A．角速度为 B．线速度大小为 C．向心加速度大小为 D．所受支持力大小为 【答案】AC 【详解】A．对小球受力分析可知 解得 故A正确； B．线速度大小为 故B错误； C．向心加速度大小为 故C正确； D．所受支持力大小为 故D错误。 故选AC。 【真题6】（2026·江苏·高考真题）一质量的汽车经过一半径的拱形桥顶部时，速度。已知牵引力，阻力。求此时： (1)汽车的向心加速度大小； (2)汽车受到的合力大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，由向心加速度公式可得 （2）汽车在最高点时，水平方向上有 竖直方向有 则汽车在最高点受到的合力大小为 一、单选题 1．（2026·河南新乡·模拟预测）刘同学在晚自习课间到操场跳绳，他用的跳绳是内嵌多个彩灯的塑料绳，班主任用手机拍下他跳绳的过程，照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，手机本次曝光的时间是，圆弧对应的圆心角约为，则该同学每分钟两手摇动跳绳手柄的圈数约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，彩灯做匀速圆周运动，曝光时间内转过的圆心角 由角速度定义式可得 则转速 即该同学每分钟两手摇动跳绳手柄的圈数约为120。 故选B。 2．（2026·广东·二模）如图甲，场地自行车的赛车场为盆形，其弯道可简化为图乙所示“内低外高”的斜坡，斜坡倾角为。若运动员经过图示位置时可视为做水平面内半径为的匀速圆周运动，车轮受到沿斜坡向下的摩擦力，重力加速度为，则运动员经过图示位置时（　　） A．速度大于 B．速度小于 C．加速度等于 D．加速度小于 【答案】A 【详解】当自行车转弯时摩擦力恰好为0，重力和支持力的合力提供向心力，有 解得临界速度为 车轮受到沿斜坡向下的摩擦力，则摩擦力和支持力的水平分力共同提供向心力，所以运动员和自行车的速度大于。 故选A。 3．（2025·辽宁·三模）如图所示，有一质量为m的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管径略大于小球的直径，小球的直径远小于内侧管壁半径R。A、C为管道的最高点和最低点，B为管道上与圆心等高的点，D为管道上的一点，且D与圆心连线和水平方向夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．若小球在A点的速度大小为，则外侧管壁对小球有作用力 B．若小球在B点的速度大小为，则内侧管壁对小球有作用力 C．若小球在C点的速度大小为，则小球对管道的内外壁均无作用力 D．若小球在D点的速度大小为，则外侧管壁对小球有作用力 【答案】D 【详解】A．若小球在A点的速度大小为，则小球在A点只受重力，管壁对小球无作用力，故A错误； B．在B点，外侧管壁对小球的作用力提供小球做圆周运动的向心力，且有 故B错误； C．在C点，小球受向下的重力和竖直向上的弹力，该弹力为外壁对小球的作用力，且有 解得 故C错误； D．在D点时，若只受重力，则 解得 由于，故外侧管壁对小球有指向圆心的作用力，故D正确。 故选D。 4．（2026·陕西榆林·三模）打铁花是我国的非物质文化遗产，燃烧的铁丝棉快速旋转，火花四溅，会在夜空中划出漂亮的抛物线轨迹，似繁星降落。如图所示，在细绳的一端拴一质量为的铁丝棉（可视为质点），使其在竖直平面内绕一固定点做半径为的圆周运动。细绳能承受的最大拉力，转轴离地高度，不计空气阻力，重力加速度取，若铁丝棉在某次运动到最低点时细绳刚好被拉断后做平抛运动，则铁丝棉做平抛运动落地时的水平距离为（　　） A．3.5m B．7m C．9m D．10.5m 【答案】B 【详解】设在最低点细绳刚好被拉断瞬间铁丝棉的速度大小为，则根据牛顿第二定律有 解得 所以铁丝棉将以的初速度做平抛运动，设铁丝棉从抛出到落地的时间间隔为，则有 解得 所以铁丝棉做平抛运动落地时的水平距离为 故选B。 5．（2026·四川成都·二模）如图所示，离地高度的处固定匀速转动的一电机，电机通过一根长度的不可伸长的轻绳使小球在水平面内做以为圆心的匀速圆周运动，此时。某时刻，绳子和小球的连接处突然断开，小球最终落在所在的水平地面上。的连线垂直地面，不计空气对小球运动的影响，小球可视为质点且落地后即静止。下面说法错误的是（　　） A．小球下落的时间为 B．小球的落点到的距离为1.2m C．若增大H，落点到的距离增大 D．若增大L，落点到的距离先增大后减小 【答案】D 【详解】A．绳子断开后小球做平抛运动，由 解得，故A正确，不符合题意； B．设小球做圆周运动的速度大小为v，则有 解得 小球平抛的水平位移 小球的落点到的距离，故B正确，不符合题意； C．若增大H，由 可知小球做平抛运动的时间变长，小球平抛运动的初速度大小不变，则小球平抛的水平位移x变大，落点到的距离s变大，故C正确，不符合题意； D．由 得 若增大L，由 得 小球平抛的水平位移 小球的落点到的距离，又，若增大L，由二次函数知识可知落点到的距离一直增大，故D错误，符合题意。 故选D。 6．（2026·湖南常德·一模）下图为中国航天员科研训练中心的载人离心机，某次训练中质量为m的航天员进入臂架末端的吊舱中呈仰卧姿态，航天员可视为质点。当航天员做水平匀速圆周运动的速率为v时，航天员所需的向心力大小为F，下列说法正确的是（　　） A．航天员运动的周期为 B．航天员运动的角速度为 C．航天员运动的转速为 D．吊舱对航天员的作用力为F 【答案】A 【详解】AB．航天员所需的向心力为 可得 则周期，A正确，B错误； C．航天员的转速为，C错误； D．设吊舱对航天员的作用力为，则，D错误。 故选A。 7．（2026·江西赣州·二模）轴承的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有需要旋转运动的机械设备。其中滚动轴承一般由套圈（内圈、外圈）、滚珠、保持架等部件构成，如图甲所示。一滚动轴承的简化模型如图乙所示，厚度均不计的同心内圈A、外圈B的半径分别为R、2R，两圈间夹有直径恰好为R的滚珠，若B固定不动，当A绕圆心O以角速度ω匀速转动时，滚珠也跟着转动，且与A、B圈的接触点间无相对滑动，则滚珠绕自身中心转动的角速度为（    ） A．2ω B．ω C． D． 【答案】B 【详解】内圈A的半径为R，外圈B的半径为2R，因此滚珠的半径 内圈A以角速度为转动，因此边缘线速度为 外圈固定，滚珠与无相对滑动，因此滚珠和的接触点速度为0。设滚珠绕自身中心转动的角速度为，滚珠中心绕公转的线速度为，对滚珠与的接触点，接触点相对于滚珠中心的速度大小为，方向与公转速度相反，因此速度满足 解得 滚珠与无相对滑动，因此滚珠和接触点的速度等于边缘的线速度。该接触点相对于滚珠中心的速度大小为，方向与公转速度同向，因此速度满足 将、代入上式，得 解得 故选B。 8．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的、两物块叠放在一起，与圆盘相对静止，一起做匀速圆周运动，和、和圆盘之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（     ） A．受到的向心力是受到的向心力的2倍 B．受到的合力是受到的合力的2倍 C．圆盘对的摩擦力是对的摩擦力的2倍 D．若缓慢增大圆盘的角速度，物块比物块先开始相对圆盘运动 【答案】C 【详解】AB．设两物块的质量为，依题意，二者叠放在一起做匀速圆周运动，做圆周运动的角速度和半径都相同，由牛顿第二定律有，因此一起运动时的、两物块受到的向心力大小相等，合力大小相等，A、B错误； C．根据前面分析可知，物块对物块的摩擦力等于物块的向心力，大小为 物块所受的合外力等于物块的向心力，分析物块的受力，有，其中 得，C正确； D．设和、和圆盘之间的动摩擦因数为，刚好相对滑动时的角速度为，有 得 、整体刚好相对圆盘滑动时的角速度为，有 得，二者临界角速度相等，会同时开始相对圆盘滑动，D错误。 故选C。 9．（2026·山东东营·二模）游乐场的转转杯由一个大圆盘和四个杯子构成，其简化示意图如图所示，大圆盘以绕顺时针转动，杯子随大圆盘转动的同时以绕顺时针转动。大圆盘和杯子的半径分别为3R和R，A为杯子边缘的一点，某时刻，、、A恰好共线，下列说法正确的是（　　） A．点A的运动轨迹是一个椭圆 B．经过，A点的位移是6R C．点A的运动周期是点的2倍 D．点A的线速度是点线速度的3倍 【答案】B 【详解】AB．大圆盘以绕顺时针转动，杯子随大圆盘转动的同时以绕顺时针转动，当相对转过的角度为时，点A相对转过的角度为，画出不同时刻对应情景如图所示 由图可知，点A的运动轨迹不是一个椭圆；经过，转过的角度为 此时点A处于大圆盘最右端，A点的位移为，故A错误，B正确； C．由上图，根据对称性可知，经过 转了一圈回到初始位置，此时A点也回到初始位置，可知点A的运动周期与点的运动周期相等，故C错误； D．点A的实际运动不是圆周运动，不同时刻线速度大小不相等，故D错误。 故选B。 10．（2026·贵州贵阳·一模）2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射，此次随飞船上行进入中国空间站的有4只“小黑鼠”。小鼠必须过体能关、挑战抗晕、勇闯迷宫等考核才能成为小鼠“航天员”。如图，一质量为m的小鼠进入离心管机器进行“天旋地转”挑战，若离心机绕着竖直平面内的O1O2轴以角速度ω匀速转动，小鼠旋转半径为r，重力加速度为g。则此次挑战，小鼠受到离心机对它的作用力F为（　　） A．，方向垂直指向转轴 B．，方向斜向上指向转轴 C．，方向垂直指向转轴 D．，方向斜向上指向转轴 【答案】D 【详解】由于小鼠合力提供向心力，合力指向转轴，小鼠受竖直向下的重力，则离心机对小鼠的作用力方向斜向上指向转轴，作用力大小为 故选D。 二、多选题 11．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图所示，水平轻杆的左端通过铰链固定在竖直转轴上，右端固定一个小球，小球通过轻绳与转轴上的O点连接。现通过转轴带动小球由静止开始缓慢加速做圆周运动，以下说法正确的是（　　） A．随角速度ω增大，轻绳拉力变小 B．随角速度ω增大，轻绳拉力的大小不变 C．随角速度ω增大，杆对小球的作用力越来越大 D．随角速度ω增大，杆对小球的作用力先变小后变大 【答案】BD 【详解】对小球受力分析，如图所示 初始时杆对小球的弹力水平向右，水平方向，有 竖直方向，有 由此可知，随着角速度ω增大，绳子拉力T不变，弹力逐渐减小到零，然后反向增大。 故选BD。 12．如图所示，半径为的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为，则圆筒转动的角速度可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】子弹做平抛运动，在竖直方向上 可得子弹在圆筒中运动的时间 因子弹从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，则圆筒转过的角度为（，，） 则圆筒转动的角速度为 当时，可得 当时，可得 当时，可得 当时，可得 故选AC。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 圆周运动模型 【考点1：匀速圆周运动的基本性质】 考向1：匀速圆周运动的基本物理量计算 考向2：圆周运动的周期性多解问题 考向3：三种传动方式 考向4：圆周运动中的向心力计算 【考点2：水平面内圆周运动模型】 类型1：水平转盘模型 类型2：锥摆及锥型容器模型 类型3：水平面和倾斜面车辆转弯模型 【考点3：竖直面内圆周运动模型】 考向1：绳球模型 考向2：杆球模型 考向3：拱形桥模型 考向4：复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合） 考点1：匀速圆周运动的基本性质 一．匀速圆周运动 1.定义 做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长 ，就是匀速圆周运动。 2.性质 一种 的 运动。 3.描述圆周运动的物理量 物理量 物理意义 计算式 线速度v（m/s） 描述质点沿圆弧运动的快慢，线速度越大，质点沿圆弧运动越快 角速度ω（rad/s） 描述质点转过圆心角的快慢 周期T（s） 定量描述匀速圆周运动快慢。周期长说明运动得慢，周期短说明运动得快。 频率f（Hz） 定量描述匀速圆周运动的快慢，频率高说明运动得快，频率低说明运动得慢。 转速n（r/s或r/min） 实际中定量描述匀速圆周运动的快慢，转速高说明运动得快，转速低说明运动得慢。 向心加速度a（m/s2） 描述物体速度方向变化快慢 ①线速度和角速度都是描述做匀速圆周运动的物体运动快慢的物理量，线速度侧重于描述物体通过弧长的快慢程度：而角速度侧重于描述物体转过角度的快慢程度。它们都有一定的局限性，并不是线速度大的物体角速度一定大。例如，地球围绕太阳运动的线速度约是3×104 m/s，这个数低是较大的。但它的角速度却很小，为2×10-7rad/s。 ②频率表示单位时间（1s）内物体做圆周运动的圈数，因此当转速的单位取转每秒时，频率与转速含义相同，但转速在工程技术中常用的单位是转每分。 ③对于变速率圆周运动，可以用公式求质点在圆周上某点的向心加速度瞬时值，其中ω或v应取该点的线速度和角速度的瞬时值。 4．v、ω、r、a中任意三者关系的讨论 （1）对公式v＝ωr的理解：当r一定时，v与ω成 ；当ω一定时，v与r成 ；当v一定时，ω与r成 。 （2）对a＝＝ω2r＝ωv的理解：在v一定时，a与r成 ；在ω一定时，a与r成 。 （3）讨论ω、T和f中关系时，由公式可知，周期与角速度成 ；频率与角速度成 。 5.三种传动方式 方式 同轴转动 皮带传动 齿轮传动（摩擦传动） 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上，到圆心的距离不同 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 A、B两点角速度、周期相同 A、B两点线速度相同 A、B两点线速度相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： 。 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 。 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比： 。 二．圆周运动中的向心力计算 1.向心力 定义 由于匀速圆周运动具有向心加速度，根据牛顿第二定律，物体所受合外力不为零，且时刻与速度方向垂直，总是指向圆心。使物体产生向心加速度的力叫做向心力。 作用效果 产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 大小 F＝ ＝ ＝ ＝ ＝4π2mf2r 方向 方向时刻与运动（v）方向垂直，始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是几个性质力的合力或某个性质力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。如果物体作匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力。 2.变速圆周运动和一般曲线运动的处理方法 变速圆周运动 当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。合外力不等于向心力，合外力一般产生两个效果。如下图甲乙所示。 （1）跟圆周相切的分力Ft，只改变线速度的 ，Ft＝mat，产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢。 （2）跟圆周切线垂直而指向圆心的分力Fn，只改变线速度 ，Fn＝man，产生向心加速度。此加速度描述线速度方向变化快慢。 处理方法 解决变速圆周运动问题，依据的规律仍然是牛顿运动定律和匀速圆周运动的运动学公式，只是在公式Fn＝m中，Fn为指向圆心方向的合力，v为在该处速度的 。解决变速圆周运动除了依据上述规律外，还需要用到功能关系等知识。 一般的曲线运动 运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示. 处理方法 ①将曲线分割成为许多很短的小段，每一小段曲线都可以看作是一小段圆弧，这样物体在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分.通常这些圆弧的弯曲程度是不一样的，我们用曲率半径来表示圆弧的弯曲程度. ②将物体所受的合力沿曲线的 方向和 方向进行分解，沿切线方向的分力使物体加速或减速；沿法线方向的分力使物体的速度方向改变，此时有Fn＝m＝mω2r 3.圆周运动的解题思路 4.几种常见向心力模型分析 类别 实例 模型说明 重力提供向心力 小球沿光滑轨道下滑，经过圆轨道最高点时，若轨道对小球的弹力恰好为零，则此时小球的向心力由重力提供。 弹力提供向心力 小球沿光滑器壁在水平底面内做圆周运动，向心力由弹力提供。 摩擦力提供向心力 物体随转盘做圆周运动，且相对转盘静止，向心力由静摩擦力提供。 分力或合力提供向心力 小球由细线牵引着在水平面内做圆周运动。向心力可以认为由细线拉力的水平分力提供，也可以认为由细线拉力与小球重力的合力提供。 5.圆周运动中常见的连接体模型分析 情境示例 情景图示 情境说明(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 情境1 A、B两小球固定在轻杆上，随杆一起绕杆的端点O在水平面内做圆周运动。注意计算OA杆拉力时应以小球A、B整体为研究对象，而不能以A为研究对象。 情境2 A、B两物块叠放在一起随转盘一起转动，当求转盘对B的摩擦力时，取A、B整体为研究对象比较简单；当研究A、B谁先背离圆心运动时，注意比较两接触面间的动摩擦因数大小。 情境3 A、B两小球用轻线相连穿在光滑轻杆上随杆绕转轴O在水平面内做圆周运动时，两球所受向心力大小相等，角速度相同，圆周运动的轨道半径与小球质量成反比。 情境4 A、B两物块随转盘一起转动，当转盘转速逐渐增大时，物块A受到的静摩擦力先达到最大值，转速再增加，则A、B间绳子开始有拉力，当B受到的静摩擦力达到最大值后两物块开始滑动(设A、B两物块与转盘间的动摩擦因数相等)。 考向1：匀速圆周运动的基本物理量计算 【针对训练1】（2026·辽宁·二模）科学家利用量子纠缠原理研发出新型陀螺仪，该装置的核心部件是一个悬浮在真空腔内的碳环，通过激光场驱动以恒定转速旋转。已知碳环的直径为，转速为，下列说法正确的是（    ） A．碳环转动的频率为 B．碳环转动的周期为 C．碳环转动的角速度为 D．碳环边缘的线速度为 【针对训练2】（多选）“飞车走壁”是一种传统的杂技项目，杂技演员驾驶摩托车在倾角很大的“桶壁”内侧做圆周运动而不掉下来。如图所示，一杂技演员驾驶摩托车沿半径为5m的圆周做匀速圆周运动，10s内运动的弧长为200m，则（　　） A．摩托车的线速度大小为20m/s B．摩托车的角速度大小为4rad/s C．摩托车运动的周期为s D．摩托车运动的转速为r/s 考向2：圆周运动的周期性多解问题 【针对训练3】（2026·云南·三模）如图所示，水平圆盘绕过盘心的竖直轴以角速度匀速转动。某时刻，当圆盘边缘某点转动到最右侧时，在轴上点以某一初速度水平向右抛出一个小球（可视为质点），经过一段时间，小球落在圆盘上的点。已知重力加速度大小为，不计空气阻力。则间距可能为（　　） A． B． C． D． 【针对训练4】（2026·山东泰安·模拟预测）如图所示，竖直放置的薄圆筒内壁光滑，在内表面距离底面高为的点处，给一个可视为质点的小滑块沿圆筒内壁水平切线方向的初速度，小滑块将沿筒内壁旋转滑下，恰好从点正下方的点滑离圆筒。假设滑块下滑过程中与筒内壁紧密贴合，圆筒内半径，重力加速度取。则小滑块的初速度大小可能为（　　） A． B． C． D． 考向3：三种传动方式 【针对训练5】（2026·广东·一模）如图为道闸及其内部控制横杆起落的减速器结构图，a、b、c是三组相同的轮，用皮带传动，每组轮都由两个共轴轮叠合而成，大轮半径是小轮半径的2倍。在电动机的带动下，a轮转动的角速度为，则横杆随c轮共轴转动的角速度为（　　） A． B． C． D． 【针对训练6】（2026·广东揭阳·二模）图示为变速自行车的传动部件，变速自行车有三个飞轮和三个链轮，飞轮的齿数有24、18、12三种，链轮的齿数有48、36、24三种。当某同学以恒定的转速踩脚踏板时，下列说法正确的是（　　） A．链轮齿数不变，换用齿数更多的飞轮；自行车行驶速度变大 B．飞轮齿数不变，换用齿数更少的链轮，自行车行驶速度变大 C．该自行车行驶的最大速度与最小速度之比为 D．该自行车行驶的最大速度与最小速度之比为 考向4：圆周运动中的向心力计算 【针对训练7】（2026·贵州贵阳·二模）如图，将一根轻绳穿过一空心细管，在轻绳一端拴一个质量很小的物体，另一端挂一篮球。手握空心管，抡动物体，物体在轻绳的牵引下可做半径不同的匀速圆周运动，且均可使篮球悬停在空中。此时空心细管竖直，物体与管口间的轻绳近似水平，不计一切阻力。设小物体做半径为的匀速圆周运动时线速度大小为、加速度大小为；做半径为的匀速圆周运动时线速度大小为、加速度大小为。若，则（　　） A． B． C． D． 【针对训练8】（2026·河南郑州·一模）2025年9月，杭州超重力场启动全球最大的离心机主机。如图为离心机结构的俯视图，质量均为的模型舱和配重系统通过转臂连接，在水平面内绕竖直转轴以角速度做匀速圆周运动。正常转动时，两者重心到转轴的距离均为，转轴受到的水平作用力为0。若某次实验中，模型舱的重心到转轴的距离增加了，其余条件不变，则转轴受到的水平作用力大小为（　　） A． B． C． D． 考点2：水平面内圆周运动模型 1.水平转盘模型 2.锥摆及锥型容器模型 （1）锥摆模型 模型名称 模型分析 单线圆锥摆模型 单线圆锥摆的向心力由重力与拉力的合力提供，一般采用合成法较简便： ，悬线张力。 小球在球形光滑容器内的水平面上做圆周运动，所受弹力方向始终指向球形容器的球心，受力情况与单线圆锥摆类似，可归结于单线圆锥摆模型。 双线圆锥摆模型 双线圆锥摆中常采用正交分解法：沿半径方向利用牛顿第二定律列方程，垂直于半径方向利用平衡条件列方程来分析求解。如图甲所示， x轴方向上有FT1 sinθ1 + FT2 sinθ2=mrω², y轴方向上有FT1 cosθ1=FT2 cosθ2 + mg。 双线圆锥摆中常出现线松弛与张紧的临界状态，当给定线能承受的最大张力时也会出现线断裂的临界状态。如图乙所示，细线一端系于套在环上的球，另一端固定在环的最低点，当环绕竖直直径旋转时小球受力与双线圆锥摆类似时，可归结于双线圆锥摆模型。 （2）锥形容器模型 模型名称 模型分析 符合下列条件的物理情景：(1)锥形容器对称轴竖直；(2)物体轨迹平面与锥形容器对称轴正交即轨迹平面水平；(3)物体在锥形容器的内侧面或外侧面的某一水平面内运动，称为锥形容器模型，如图所示。 如图，可视为质点的小球紧贴着内壁光滑的圆锥斗做水平面内的匀速圆周运动。轴线与圆锥的母线夹角为θ,小球的轨道面距地面高度为h,圆周轨道的圆心是O,轨道半径是r =h tan θ,则有 向心力 支持力 由此得，， 结论：在同一地点，同一锥形斗内，在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则角速度越小，线速度越大。 3.水平面和倾斜面车辆转弯模型 模型名称 模型分析 水平路面车辆转弯模型 自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦力来提供,可知最大安全转弯速度 。 倾斜面车辆转弯模型 ①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v0转弯，重力与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得：,得。因为hL,θ角很小，所以,则;若火车经过弯道时的速度,外轨将受到挤压；若火车经过弯道时的速度,内轨将受到挤压。 ②汽车在倾斜公路上转弯时，若以设计时速v0转弯，重力与地面支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得,得。若v > v0,则由竖直方向,水平方向及f = μN可得不侧滑的最大转弯速度；若汽车经过弯道时的速度v ＜ v0,路面将对汽车产生向外的侧向摩擦力。 考向1：水平转盘模型 【针对训练9】（2026·四川泸州·一模）摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中、分别为两轮盘的轴心。已知两个轮盘的半径比，且在正常工作时两轮盘不滑，今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心、的间距分别为、，且，若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（     ） A．两个轮盘的角速度之比为1∶1 B．转速增加后，滑块B先发生滑动 C．转速增加后，滑块A先发生滑动 D．转速增加后，两滑块一起发生滑动 【针对训练10】（2026·吉林长春·三模）如图A、B是水平转盘上的两物体，两物体之间用轻绳连接。其中A的质量为3m，到圆心O的距离为r；B的质量为m，到圆心O的距离为2r，物体A、B与圆盘间的动摩擦因数均为μ。现圆盘的转速从0开始缓慢增大，直至两物体相对转盘发生滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（　　） A．物体A先达到最大静摩擦力 B．B物体所受摩擦力先增大后保持不变 C．B达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度一定为 D．在范围内，A所受的摩擦力一直保持不变 考向2：锥摆及锥型容器模型 【针对训练11】（2026·浙江·二模）2026年春晚节目《世界义乌中国年》中，93名孩子齐摇拨浪鼓送上新春祝福。如图所示，拨浪鼓边缘上与圆心等高处关于转轴对称的位置固定有长度分别为、的两根不可伸长的细绳，两根细绳另一端分别系着质量相同的小球A、B，其中。现匀速转动手柄使两小球均在水平面内匀速转动，连接小球A、B的细绳与竖直方向的夹角分别为和，两小球线速度大小分别为、，细绳对小球A、B的拉力大小分别为、，下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【针对训练12】（2026·湖北恩施·二模）如图所示，一半径为R的光滑圆环竖直放置，AB为其竖直直径。一根细绳一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球套在圆环上并处于静止状态，细绳与AB夹角为30°。圆环现以角速度绕AB轴匀速转动，重力加速度为g，保证小球的位置不动，则（　　） A．小球一定受三个力的作用 B．绳中拉力为0时， C．圆环对小球的弹力为0时， D．若小球不相对圆环滑动，则不超过 考向3：水平面和倾斜面车辆转弯模型 【针对训练13】（2026·广东深圳·二模）2026年3月国际场地自行车世界杯女子团体竞速赛，中国队夺得金牌。为了平稳过弯，人的身体会主动向弯道内侧倾斜，保持地面对自行车的作用力恰好通过人车系统的重心。运动员做水平面内的匀速圆周运动，速度大小，弯道半径，车胎与地面间的动摩擦因数0.8，重力加速度取，忽略空气阻力。则自行车与地面夹角的正切值为（     ） A．0.8 B．1.25 C．2 D．5 【针对训练14】（2024·广东惠州·三模）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，火车转弯半径为r，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．火车以速度v转弯时，铁轨对火车支持力大于其重力 B．火车转弯时，实际转弯速度越小越好 C．当火车上乘客增多时，火车转弯时的速度必须降低 D．火车转弯速度大于时，外轨对车轮轮缘的压力沿水平方向 考点3：竖直面内圆周运动模型 1.绳球模型 （1）模型分析 绳球模型 常见类型 均是没有支撑的小球 过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 讨论分析 (1)过最高点时，v≥ ，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN (2)当v＜时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (3)在最高点的FN－v2图线 （2）结合功能关系 2.杆球模型 （1）模型分析 杆球模型 常见类型 均是有支撑的小球 过最高点的临界条件 v临＝0 讨论分析 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0＜v＜时，mg－FN＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 (5)在最高点的FN－v2图线 （2）结合功能关系 3.拱形桥模型 拱形桥 圆轨外侧 凹形桥 示意图 分析 最高点(失重),有,有以下规律： (1)当v=0时，即汽车静止在最高点，FN = G; (2)当汽车的速度增大到满足，即时，FN =0,汽车在桥顶只受重力G,又具水平速度v,因此开始做平抛运动； (3)当时，满足，所以0≤FN≤mg,且速度v越大，FN越小； (4)当时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运动，即所谓的“飞车”; (5)若物体从最高点由静止无摩擦下滑，离开球面时的位置所在球面半径与竖直方向夹角满足 最低点(超重),有有以下规律： (1)当v =0时，即汽车静止在最低 点，FN = G; (2)当汽车的速度v≠0时，FN ＞ G,且速度v越大，FN越大 考向1：绳球模型 【针对训练15】（2026·广东东莞·二模）图示摩天轮在竖直平面以周期T匀速转动，座舱始终保持水平。已知乘客质量为m，随摩天轮转动半径为R，重力加速度为g。关于乘客运动，下列说法正确的是（     ） A．在最高点时处于平衡状态 B．从最高点向最低点的过程中，座舱速度不变 C．在最低点时，座椅对乘客的支持力的大小为 D．在最高点时，座椅对乘客的支持力的大小为 【针对训练16】（2026·陕西宝鸡·三模）如图甲所示，长为且不可伸长的轻绳一端固定在点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、绳子拉力的大小，作出与的关系图线如图乙所示。下列说法中正确的是（    ） A．根据图线可得重力加速度 B．根据图线可得小球的质量 C．由变为的过程中，小球克服阻力做功为 D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 考向2：杆球模型 【针对训练17】（2026·天津南开·二模）如图甲所示为建筑行业使用的一种小型打夯机，其原理可简化为：一个质量为M的支架（含电动机）上，有一根长为L的轻杆带动一个质量为m的铁球（可视为质点）在竖直面内匀速转动，如图乙所示。若在某次打夯过程中，铁球转动到最高点时，支架对地面的压力刚好为零，重力加速度为g，则（　　） A．轻杆转动过程铁球所受合力不变 B．铁球转动到最高点时，轻杆的弹力为mg C．铁球匀速转动的角速度大小为 D．铁球转动到最低点时，支架对地面的压力大小为2（M+m）g 【针对训练18】（2026·陕西渭南·二模）如图所示，长为0.5 m的轻杆一端固定质量为0.4 kg的小球（可视为质点），另一端与水平转轴O连接。现使小球在竖直面内绕O点做匀速圆周运动，当小球通过与圆心等高点A时，轻杆对小球的作用力为5.0 N。已知转动过程中轻杆不变形，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球转动的角速度为5 rad/s B．小球通过最高点时，杆对小球的作用力大小为2.0 N C．小球通过最低点时，杆对小球的作用力大小为7.0 N D．小球从最高点向最低点运动的过程中，杆对小球的作用力先变小后变大 考向3：拱形桥模型 【针对训练19】（2026·山东潍坊·模拟预测）如图所示，可以把地球看作一个巨大的拱形桥，拱面半径就是地球半径R，地面上沿地球赤道行驶的汽车，质量为m，地面对它的支持力是。已知地球表面的重力加速度为g，不考虑汽车行驶中空气的阻力和地球自转的影响。以下说法正确的是（　　） A．与车速v有关，v越大越大 B．与车速v无关，恒等于重力 C．当速度增大到，汽车不能再加速 D．随着汽车的不断加速，汽车可以离开地面绕地心做椭圆运动 【针对训练20】（2025·江西赣州·二模）如图所示，当汽车行驶在这些路面上，在其他条件相同的情况下，则（    ） A．在图乙路面最高点，汽车对路面的压力大于汽车的重力 B．在图丙路面最低点，汽车对路面的压力小于汽车的重力 C．关于路面对汽车轮胎的磨损，图丙路面最大，图乙路面最小 D．关于路面对汽车轮胎的磨损，三种路面一样大 考向4：复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合） 【针对训练21】（2026·安徽·一模）如图所示，在坐标系的第四象限内，固定一光滑竖直圆弧轨道，B点和C点分别为圆弧轨道的最低点和最高点，C点在x轴上，已知圆弧轨道的半径，、A连线与竖直方向的夹角，小球从坐标原点O以一定速度水平抛出，恰好从圆弧轨道A点沿切线方向进入，取重力加速度大小，不计空气阻力。 (1)求小球到达A点时的速度大小； (2)通过计算判断小球能否到达C点； (3)改变抛出点的位置，将小球水平抛出，使小球仍然能从A点沿切线方向进入圆弧轨道，写出满足该条件抛出点位置的方程（不必写出推导过程）。 【针对训练22】（2025·辽宁大连·三模）如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为与水平方向成45°角的斜面，B端在O的正上方，一个质量为m的小球在A点正上方某处由静止开始释放，自由下落至A点后进入圆形轨道并能沿圆形轨道到达B点，最后落到斜面上C点，且到达B处时小球的速度为（忽略空气阻力）。求： (1)小球到达B点时对轨道的压力； (2)小球从B点运动到C点所用的时间t； (3)小球离开B后，距离斜面的最远距离d。 【真题1】（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【真题2】（2025·重庆·高考真题）“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度进入半径为R的OP圆弧段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则（　　） A．汽车到O点时，列车行驶距离为s B．汽车到O点时，列车行驶距离为 C．汽车在OP段向心加速度大小为 D．汽车在OP段向心加速度大小为 【真题3】（2025·安徽·高考真题）在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【真题4】（多选）（2026·广东·高考真题）如图所示，在光滑的水平地面上，P、Q、M、N四个质量相等的小球通过两根不可伸长的轻绳相连，P、Q间的绳长为，M、N间的绳长为，两绳相交于各自的中点，四球以相同角速度ω绕固定的点做匀速圆周运动，已知，P、Q的向心加速度大小均为，M、N的向心加速度大小均为，四球均可视为质点，忽略空气阻力，下列说法正确的有（     ） A． B． C．P的线速度大小为 D．轻绳对四球的拉力大小相等 【真题5】（多选）（2025·广东·高考真题）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为，小球所在位置处的切面与水平面夹角为，小球质量为，重力加速度g取。关于该小球，下列说法正确的有（    ） A．角速度为 B．线速度大小为 C．向心加速度大小为 D．所受支持力大小为 【真题6】（2026·江苏·高考真题）一质量的汽车经过一半径的拱形桥顶部时，速度。已知牵引力，阻力。求此时： (1)汽车的向心加速度大小； (2)汽车受到的合力大小。 一、单选题 1．（2026·河南新乡·模拟预测）刘同学在晚自习课间到操场跳绳，他用的跳绳是内嵌多个彩灯的塑料绳，班主任用手机拍下他跳绳的过程，照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，手机本次曝光的时间是，圆弧对应的圆心角约为，则该同学每分钟两手摇动跳绳手柄的圈数约为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·二模）如图甲，场地自行车的赛车场为盆形，其弯道可简化为图乙所示“内低外高”的斜坡，斜坡倾角为。若运动员经过图示位置时可视为做水平面内半径为的匀速圆周运动，车轮受到沿斜坡向下的摩擦力，重力加速度为，则运动员经过图示位置时（　　） A．速度大于 B．速度小于 C．加速度等于 D．加速度小于 3．（2025·辽宁·三模）如图所示，有一质量为m的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管径略大于小球的直径，小球的直径远小于内侧管壁半径R。A、C为管道的最高点和最低点，B为管道上与圆心等高的点，D为管道上的一点，且D与圆心连线和水平方向夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．若小球在A点的速度大小为，则外侧管壁对小球有作用力 B．若小球在B点的速度大小为，则内侧管壁对小球有作用力 C．若小球在C点的速度大小为，则小球对管道的内外壁均无作用力 D．若小球在D点的速度大小为，则外侧管壁对小球有作用力 4．（2026·陕西榆林·三模）打铁花是我国的非物质文化遗产，燃烧的铁丝棉快速旋转，火花四溅，会在夜空中划出漂亮的抛物线轨迹，似繁星降落。如图所示，在细绳的一端拴一质量为的铁丝棉（可视为质点），使其在竖直平面内绕一固定点做半径为的圆周运动。细绳能承受的最大拉力，转轴离地高度，不计空气阻力，重力加速度取，若铁丝棉在某次运动到最低点时细绳刚好被拉断后做平抛运动，则铁丝棉做平抛运动落地时的水平距离为（　　） A．3.5m B．7m C．9m D．10.5m 5．（2026·四川成都·二模）如图所示，离地高度的处固定匀速转动的一电机，电机通过一根长度的不可伸长的轻绳使小球在水平面内做以为圆心的匀速圆周运动，此时。某时刻，绳子和小球的连接处突然断开，小球最终落在所在的水平地面上。的连线垂直地面，不计空气对小球运动的影响，小球可视为质点且落地后即静止。下面说法错误的是（　　） A．小球下落的时间为 B．小球的落点到的距离为1.2m C．若增大H，落点到的距离增大 D．若增大L，落点到的距离先增大后减小 6．（2026·湖南常德·一模）下图为中国航天员科研训练中心的载人离心机，某次训练中质量为m的航天员进入臂架末端的吊舱中呈仰卧姿态，航天员可视为质点。当航天员做水平匀速圆周运动的速率为v时，航天员所需的向心力大小为F，下列说法正确的是（　　） A．航天员运动的周期为 B．航天员运动的角速度为 C．航天员运动的转速为 D．吊舱对航天员的作用力为F 7．（2026·江西赣州·二模）轴承的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有需要旋转运动的机械设备。其中滚动轴承一般由套圈（内圈、外圈）、滚珠、保持架等部件构成，如图甲所示。一滚动轴承的简化模型如图乙所示，厚度均不计的同心内圈A、外圈B的半径分别为R、2R，两圈间夹有直径恰好为R的滚珠，若B固定不动，当A绕圆心O以角速度ω匀速转动时，滚珠也跟着转动，且与A、B圈的接触点间无相对滑动，则滚珠绕自身中心转动的角速度为（    ） A．2ω B．ω C． D． 8．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的、两物块叠放在一起，与圆盘相对静止，一起做匀速圆周运动，和、和圆盘之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（     ） A．受到的向心力是受到的向心力的2倍 B．受到的合力是受到的合力的2倍 C．圆盘对的摩擦力是对的摩擦力的2倍 D．若缓慢增大圆盘的角速度，物块比物块先开始相对圆盘运动 9．（2026·山东东营·二模）游乐场的转转杯由一个大圆盘和四个杯子构成，其简化示意图如图所示，大圆盘以绕顺时针转动，杯子随大圆盘转动的同时以绕顺时针转动。大圆盘和杯子的半径分别为3R和R，A为杯子边缘的一点，某时刻，、、A恰好共线，下列说法正确的是（　　） A．点A的运动轨迹是一个椭圆 B．经过，A点的位移是6R C．点A的运动周期是点的2倍 D．点A的线速度是点线速度的3倍 10．（2026·贵州贵阳·一模）2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射，此次随飞船上行进入中国空间站的有4只“小黑鼠”。小鼠必须过体能关、挑战抗晕、勇闯迷宫等考核才能成为小鼠“航天员”。如图，一质量为m的小鼠进入离心管机器进行“天旋地转”挑战，若离心机绕着竖直平面内的O1O2轴以角速度ω匀速转动，小鼠旋转半径为r，重力加速度为g。则此次挑战，小鼠受到离心机对它的作用力F为（　　） A．，方向垂直指向转轴 B．，方向斜向上指向转轴 C．，方向垂直指向转轴 D．，方向斜向上指向转轴 二、多选题 11．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图所示，水平轻杆的左端通过铰链固定在竖直转轴上，右端固定一个小球，小球通过轻绳与转轴上的O点连接。现通过转轴带动小球由静止开始缓慢加速做圆周运动，以下说法正确的是（　　） A．随角速度ω增大，轻绳拉力变小 B．随角速度ω增大，轻绳拉力的大小不变 C．随角速度ω增大，杆对小球的作用力越来越大 D．随角速度ω增大，杆对小球的作用力先变小后变大 12．如图所示，半径为的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为，则圆筒转动的角速度可能为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $