山西现代双语学校联校2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题

山西现代双语学校联校高一年级第二学期期末考试 数学试题 时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的， 1.（选编复数改编)已知复数=满足=(1+)2(2+31)，其共轭复数为z,则=·z等于() A.52 B.20 C.-6+4i D.1-i 2.（选编概率)己知数据1,2,3,4，(0<<5)的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个 数字之积大于5的概率为() A号 B时 c D 3.（选编表面积与体积)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为 () A.1:1 B.1:2 C.1:√3 D.1:2 4.(选编垂直改编)如图，三棱柱ABCA1B1C的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中 心，则AD与平面ABC所成的角为() A.30° B.45° C.60° D.90° 5.(教材向量)若非零向量AB与AC满足 AC BC=0,且AB AC 1 2 则△ABC为() A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形D.等边三角形 6.(选编平行)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形CDD1C1内（包括 边界)的一动点，且满足B1P∥平面BA1E,则点P的轨迹长为() A.2V2 B.2 c D.1 7.(选编球体改编)将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为( A号 B c D.2π 8.(选编共面向量)己知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P,M为空间任意两点，如果有PM=PB1十7BA十6AA1 4A1D1,那么点M必() A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 第1页 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(选编概率)下列说法正确的是() A.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些 B.若事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1 C.如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A+P(B)=1 D.已知事件A发生的概率P(A)=0.3,则它的对立事件A发生的概率P(A)=0.7 10.(选编空间几何体改编)下列说法正确的是() A.若一条直线平行于两平行平面中的一个，则它也平行于另一个平面 B.若两个平面a∥B,aca,则a∥B C.若两个平面a∥B,aCa,bcB,则a与b一定不相交 D.若两个平面a∩B=b,aCa,则a与B可能相交也可能平行 11.如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得到三棱锥A-BCD,设CD=2, 点E,F分别为棱BC,BD的中点，M为线段AE上的动点，则下列正确命题() A.在翻折过程中，存在某个位置使得AC⊥CD: B,若AB1CD,则AD与平面BCD所成角的正切值为2 7 C.三棱锥A-BCD体积的最大值为2： 60 D.当AB=AD时，CM+FM的最小值为V4+3√2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12(教材向量)已知4(2，B4,-3》点P在线段AB的延长线上且A叫=P 则点P的坐标 13.在△ABC中，内角A,B,C,的对边分别是a,b,c,b=4,且acosC+ccos4=2bc0sB,△ABC的面积的最 大值是 14.(教材空间几何体)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边 BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题： (1)有水的部分始终呈棱柱形； (2)没有水的部分始终呈棱柱形： (3)水面EFGH所在四边形的面积为定值： (4)棱A1D1始终与水面所在平面平行； (⑤5)当容器倾斜如图(3)所示时，BE·BF是定值 其中所有正确命题的序号是 1 3 共2页 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(选编相互独立)在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场），共赛三场，每场 比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率 为胡 (1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率： (2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率. 16.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 bcos C+c=2a (1)求角B的大小： ②若c0sA=求的值 17.(选编垂直)如图①，在矩形ABCD中，AB=12,AD=6,E,F分别为CD,AB边上的点，且DE=3,BF-4, 将△BCE沿BE折起至△PBE的位置（如图②所示），连接AP,PF,其中PF=2V5 (I)求证：PF⊥平面ABED:(6分) (2)求点A到平面PBE的距离.(6分) 图① 图② 第2页 18.(高考真题和月考试题改编)为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举 办“数学文化”知识竞赛.为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本， 并按[40,50)，[50,60)，，[90,100]分组，作出频率分布直方图如图所示 频率 (1)求m的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数： 个组距 0.030-- m (2)估计样本中成绩的上四分位数； 0.020 0.015 (3)若规定成绩不低于80分为“良好"等级，已知样本中成绩在[80,90)内的平均数 0.005 为88，方差为7，成绩在[90,100]内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好” 0√405060708090100成绩/分 等级的成绩的平均数和方差. 19.(本题17分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，对角线AC与BD交于点O,PA⊥平面ABCD, E为PD的中点 (1)证明：PB//平面AEC; (2)设AP=1,AD=√3，直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为 A (i)求四棱锥P-ABCD外接球的表面积： (ii)求平面AEC与平面PAD夹角的余弦值. 共2页山西现代双语学校联校高一年级第二学期期末考试 数学答案 1.A 2B[由数据1,2,3,4,0<5)的平均数为+2计#2+∈2,3》， 5 可得2+x,所以x3,从这5个数中任取2个，有1,2)，（1，)，1,3)，1,4)，（2，)，(2,3)，2，④， (,3),(,4),3,4),共10个样本点，这2个数字之积大于5的有(2,3)，(2，④，(，3)，(（，4,3， 4),共5个样本点， D 所以所求概率P。力 B 3.C如图，三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线设正方体 D 的棱长为a,则对角线长为V2a,S4*年(W202V3a,SE6,故S推：S1: 3 4.A 5.D 6A如图，分别作CC1,C1D1,DD1的中点G,H,F,连接B1G,BH,GH,HE,CD1, 11B A1F,EF,BE,由题可知HE∥CC1∥BB1,HE=CC1=BB1, 则四边形BB1HE为平行四边形，.BH∥BE, ,B1Ht平面BA1E,BEC平面BA1E, ∴.B1H∥平面BAE;同理可得B1G∥平面BA1E,又B1HnB1G-B1, B1H,B1GC平面B1GH,.平面B1GH∥平面BA1E, 由题意知P∈平面B1GH,又点P为四边形CDD1C1内（包括边界）的一动点， ∴P∈线段GH,即点P的轨迹为GH,∴点P的嘞迹长为GH=2V2. 7.A设圆锥的底面半径为，高为h,则2加2x3, 1,3-亚-2，设内切球的半径为R,则w是 “R,Rx(） 8.C[PM=PB1+7BA+64A1-441D1=PB1+BA+6BA1-441D: =PB1+B1A1+6BA1-441D1=PA1+6(PA1-PB)-4(PD1-PA1) =11PA1-6PB-4PD1,又11-6-4=1， 于是M,B,A1,D1四点共面，所以点M必在平面BA1D1内. 第1页 9、BD 10、BCD 11.AC 【详解】对A,当平面ABC与平面BCD垂直时， :CD⊥BC,平面ABC与平面BCD的交线为BC,CDC平面BCD,∴，CD⊥平面ABC,又AB,ACC平面ABC, .CD⊥AB,CD⊥AC,故A正确： 对B,连接AD,DE,因为AB⊥CD,BC⊥CD,ABOBC=B,AB,BCC平面ABC, 所以CD⊥平面ABC,又AEC平面ABC,所以AE⊥CD, 因为AB=AC,E为BC的中点，所以AE⊥BC, 又BC∩CD=C,BC,CDC平面BCD,所以AE⊥平面BCD,则∠ADE即为AD 与平面BCD所成角的平面角，在RtABCD中，CD=2,∠BDC=60°，则BC=2√3， D5=E+cD-7,4-8c-5, 前A0E侣写.a0与干面CD所成布的正切值6 > ,故B错误： 对C,三棱锥A-BCD的体积P-号S.scDh(h为点A到平面BCD的距离)， SD号BCxCD=-分25x2=-25.当平面45C上平面CD时，A最大，A的最大值为AB-5, 2 此时T=x2√5x√5=2，所以三棱锥A-BCD体积的最大值为2，故C正确： 3 对D,当AB=AD时，因为F为BD的中点，所以AF1BD,则AF=√6-4=√2， 又因E为8C的中点，所以BPCD-1,又AB=5,所以B8+=A6, 所以AF⊥EF,如图将△AEF沿AE旋转，使其与△ACF在同一平面内， 则当C,M,F三点共线时，CM+FM最小，即CM+FM的最小值为CF, 在RtAEF中，sim∠ABP-4g-后，则os∠CaF=cos(乙AEr+∠ABC-sm∠ABR= √6 AE 3 3 所以CF=,1+3-2×1×5× 6 3 4+2迈，所以CM+FM的最小值为√4+2W互，故D错误. 12、(8,-15) 13、4√5由余弦定理：b2=a+c2-2acc0sB→+c2-ac=16→16+ac=0+c2≥2ac,所以ac≤16，当a=b=4 时取等号所以8e0csin2s分x16x9=4W5 14、①②④⑤ 2 2 15解①)设“甲队获第一名且丙队获第二名”为事件A,则P4)(1-）站 共2页 (2)甲队至少得3分，有两种情况 两场只胜一场，两场都胜，设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得 3分”为BUC,P(BUC=P(B)十P(C 1-》1-品品 16.解(1).2 bcos C+c=2a, 由正弦定理，得2 sin Bcos C+sinC=2sinA, 又，'A+B+C=元，∴.sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, .2sin Bcos C+sin C=2(sin Bcos C+cos Bsin C), 即sinC=2 cos Bsin C.0<C<元，sinC≠0.cosB=1 2 0B<元，B=π 31 ②在△18C中，8-cosA-nA=4制 7 'sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=5\3csin C5 14 a sinA 8 17.(1)证明连接EF(图略)，由题意知，PB=BC=6,PE=CE=9, 在△PBF中，PF2+BF2=-20叶16=36=PB2,所以PF⊥BF 易得EF=√62+(12-3-4)=V1,在△PEF中，EF2+PF2-61+20=81=PE, 所以PF⊥EF又BFOEF=-F,BF,EFC平面ABED,所以PF⊥平面ABED. (2)解由(1)知，PF⊥平面ABED,连接AE(图略)， 则PF为三棱锥P-ABE的高设点A到平面PBE的距离为L, 由Va,Pa8=pABa,得XSPB8 PF又SPB8×6x9-27,SABa12x6=36, 所以F36g585,即点A到平面PBB的距离为 S△PBE 27 18.(1)在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则(0.005+0.005+0.020+0.030++0.015)×10=1，解得m=0.025,…2分 估计样本中成绩不低于60分的人数为100-(0.005+0.005)×10×100=90.…4分 (2)前四个小矩形的面积之和为(0.005+0.005+0.020+0.030)×10=0.6，…5分 前五个小矩形的面积之和为0.6+0.025×10=0.85，…7分 所以成绩的上四分位数落在[80,90)内，设其为4，…8分 第2页 则0.60+(a-80)×0.025=0.75,解得a=86,即估计样本中成绩的上四分位数为86.…10分 (3)样本中成绩在[80,90)内占成绩在[80,100]内的比例为。025，。=三 0.25+0.158 …12分 样本中成绩在[90,100]内占成绩在[80,100]内的比例为。 0.153 …13分 .25+0.158 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为x,了 由分层随机抽样的平均数公式可得x=×88+3×96=91,…15分 8 8 由分层随机抽样的方差公式可得-7+（袋-90门+7+(96-9]-2。 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22.…17分 19.【详解】(1)连接EO,因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点. 又点E为PD的中点，所以EO∥PB, 因为EOC平面AEC,PB在平面AEC,所以PB∥平面AEC. (2):PA⊥底面ABCD,.AC为PC在底面内的射影， ∴直线PC与平面ABCD所成角为∠PCA, 则a2心4是-专所以心 在RIPAC中，可得AC:公，在taBC中，可得B, 2 (1)设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R,则四棱锥P-ABCD外接球即其所在长方体的外接球， 25」 球心为PC的中点，所以4R=P℃=，故其外接球的表面积为4 (i)作DH⊥AE交AE的延长线于点H,连接CH, :PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD. .PA⊥CD,CD⊥AD,PAOAD=A, 则CD⊥平面PAD,AEC平面PAD,故CD⊥AE, 又DH⊥AE,CD与DH相交，则AE⊥平面CDH,CHc平面CDH,故AE⊥CH, 所以∠CHD为平面AEC与平面PAD的夹角， 在Rt△PAD中，AP=1,AD=√5，则PD=2,AE=1,所以∠EAD=∠EDA=30°， 在AD中，可得DH=号AD=y5 2 2 在RiACDH中，可得CH=V5,则cos∠CHD=DH-L」 CH 2' 即平面ABC与平面PAD夹角的余弦值为) 共2页■■■■ ■■■■ ■■■■ 山西现代双语学校联校高一年级第二学期期末考试 数学试题·答题卡 姓名： 班级： 准考证号： 考生条形码粘贴处 -、 单选题 (共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、多选题（共18分） O9[A][B][C] [D] 10[A][B][C][D] 11[AJ[B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14 四、解答题（共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 15.（本小题满分13分)（续） 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（本小题满分17分) 频率 组距 0.030 m 0.020 0.015 0.005 √405060708090100成绩/分 情在各题且的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答室于效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（本小题满分17分) E A D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！