暑期预习讲义（第1讲）——反比例函数的图象与性质 （知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

暑期预习讲义（第1讲）——反比例函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】反比例函数的定义（基础入门） 1 【题型 1】反比例函数的判断 2 【题型 2】求反比例函数解析式及求值 4 【知识点二】反比例函数的图象（自主探究） 6 【题型 3】描点法画函数图象，并总结性质 6 【题型 4】反比例函数图象特征 11 【知识点三】反比例函数的核心性质（重点背诵） 13 【题型 5】反比例函数图象位置 14 【题型 6】反比例函数的增减性 15 【题型 7】反比例函数值大小比较 17 【知识点四】k的几何意义（预习拓展） 19 【题型 8】已知比例系数求面积 19 【题型 9】已知面积求比例系数 23 【题型 10】反比例函数图象与性质综合 27 二.同步自测 33 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 33 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 39 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 43 一.教材知识梳理 学习方法：先读概念→观察实例→学例题→练变式→同步自测 【知识点一】反比例函数的定义（基础入门） 1、定义：一般地，形如 （为常数，）的函数，叫做反比例函数。 2. 反比例函数三种等价表达式：（1）一般式：（最常用）；（2）乘积式：（快速判断、求值专用）；（3）负指数式：（区分一次函数、正比例函数） 3. 关键取值范围（易错点）：自变量，函数值，因此函数图象永远不与x轴、y轴相交。 4. 定义核心三要素（缺一不可）：变量x、y成反比例关系；常数（k为比例系数，决定函数图象与性质）；自变量x的次数为-1，且分母仅含自变量x，无常数项。 【题型 1】反比例函数的判断 【例题1】（25-26八年级·上海·寒假作业）下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【答案】（1）（3）（5）（6）不是反比例函数，（2）（4）是反比例函数，理由见分析 【分析】本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数的三种等价形式：（为常数，，），，．判断函数是否为反比例函数，需看其能否化为上述形式，且满足、自变量的次数为（或分母为单独的）． （1）分析函数中的次数，判断是否符合反比例函数对次数的要求； （2）利用负整数指数幂的意义将函数转化为标准形式，验证是否符合定义； （3）识别函数为正比例函数形式，对比反比例函数定义进行判断； （4）直接对比反比例函数的标准形式，验证参数是否不为0； （5）观察分母是否为单独的自变量，判断是否符合定义； （6）分析函数的结构，判断是否为纯粹的反比例式形式． 解：（1）解：∵反比例函数要求自变量的次数为，而中的次数是，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：∵，符合反比例函数的形式， ∴是反比例函数； （3）解：∵，是形如的正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：∵符合反比例函数的标准形式， ∴是反比例函数； （5）解：∵该函数的分母是，不是单独的自变量，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （6）解：∵是与常数的和，不是纯粹的的形式，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 【变式2】（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【分析】反比例函数的一般形式为 （, 为常数），可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值． 解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数． （1）当为何值时，该函数是一次函数？ （2）当为何值时，该函数是正比例函数？ （3）当为何值时，该函数是反比例函数？ 【答案】（1）当时，该函数是一次函数；（2）当时，该函数是正比例函数；（3）当时，该函数是反比例函数 【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据一次函数的定义，得到，进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （3）根据反比例函数的定义，得到，进行求解即可． 解：（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． 【题型 2】求反比例函数解析式及求值 【例题2】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）已知反比例函数（）的图象经过点． （1）求的值； （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 【答案】（1）；（2）点不在该反比例函数的图象上． 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）将代入即可求解； （2）计算当时的函数值，即可求解． 解：（1）解：将代入， 得 解得； （2）解：， 当时，， ∴点不在该反比例函数的图象上． 【变式1】（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）下列四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：将依次代入各选项计算函数值， 选项A，，，，不符合题意； 选项B，，，满足函数值为的条件，符合题意； 选项C，，，，不符合题意： 选项D，，，，不符合题意． 【变式2】（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】分别把点和点的坐标代入反比例函数的解析式，求出和的值，进而代入计算即可求解． 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ． 【变式3】（25-26九年级上·广西贺州·阶段检测）已知，反比例函数图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）请你判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】（1）；（2）点不在图象上 【分析】本题考查反比例函数解析式的求法及点是否在函数图象上的判断． （1）将点代入反比例函数中，求出的值即可； （2）将点的横坐标代入所求解析式，计算对应的函数值，与点 的纵坐标比较，若相等则在图象上，否则不在． 解：（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的解析式为 ； （2）解：当时，， ∵， ∴点不在图象上． 【知识点二】反比例函数的图象（自主探究） 预习核心：通过描点法画图，直观感知反比例函数图象特征，自主总结规律。 1、描点法画图基本步骤： （1）列表：取值x≠0，正负对称取值（优先取整数，方便计算）； （2）描点：在平面直角坐标系中精准描出对应点； （3）连线：用平滑曲线分别连接左右两侧的点，延伸两端，切忌连成直线。 【题型 3】描点法画函数图象，并总结性质 【例题3】（24-25八年级下·全国·课后作业）用描点法画出反比例函数的图像． 【答案】见分析 【分析】根据列表描点连线画函数图像即可． 解：列表如下： ... ... ... ... 反比例函数的图像如下． 【点拨】本题考查了画反比例函数图像，掌握描点法画函数图像的方法是解本题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． （1）完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … （2）描点、连线画图： 【答案】（1） 4， （2） 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量，即可求函数值； （2）描点连线绘制即可． 解：（1）， 当时，； 当时，； 当时，. 故答案为：. （2）描点连线绘制函数图像如下： 【点拨】本题考查了反比例图像的知识，正确理解题意是解题的关键. 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 【答案】 1 2 4 2 1 ，见分析 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法，解题的关键是准确计算函数值、规范进行描点和连线操作． 先将的值代入反比例函数求出对应的值完成表格，再依据表格中的坐标进行描点、连线，画出函数图象 解： 1 2 4 2 1 【变式3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）已知函数y＝的图象经过点（－2，3）． （1）求k的值，并在正方形网格中画出这个函数的图象； （2）当x取什么值时，函数的值小于0? 【答案】（1），见分析；（2）x＞0时，函数的值小于0 【分析】（1）将点（－2，3）代入函数解析式，即可得出的值，画出反比例函数的图像即可； （2）根据反比例函数图像解答． 解：（1）把（-2，3）代入y＝，得k=-2×3=-6， ∴y=- ，图如下： ； （2）由图象可以看出，当x＞0时，函数的值小于0． 【点拨】本题考查了求反比例函数解析式，画反比例函数图像，根据反比例函数图像得出函数的取值范围，熟练掌握发反比例函数的性质是解本题的关键． 2. 图象整体特征（核心结论） 能过例题3练习，我们知道：图象的位置由K值的正负性与绝对值的大小来决定： （1）反比例函数的图象是双曲线，由两支独立的曲线组成； （2）图象关于原点中心对称，无对称轴； （3）两支曲线无限靠近x轴、y轴，但永远不与坐标轴相交； （4）越大，双曲线离原点越远、曲线越平缓；越小，双曲线越靠近原点、曲线越陡峭。 【题型 4】反比例函数图象特征 【例题4】（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交点的中心对称得出自变量的关系，然后根据反比例函数的性质求解． 解：∵反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限， ∴，，， 当时，由图象可得， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】（204-2025九年级下·湖南长沙·期中）已知正比例函数与反比例函数交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则的值为________． 【答案】0 【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其横纵坐标互为相反数，得出答案． 解：正比例函数与反比例函数交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点 ∴根据图象和性质可知， 其交点A（x1，y1）与B（x2， y2 ）关于原点对称， ∴x1十x2=0，y1十y2=0， ∴=0， 故答案为：0 【点拨】本题考查一次函数、 反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确判断的前提． 【知识点三】反比例函数的核心性质（重点背诵） 通过例题3及变式练习，我们知道：反比例函数的所有性质仅由比例系数k的正负决定，分类讨论是核心思想。 类别1：当k>0时 图象分布：双曲线两支分别在第一、三象限； 增减性：在每个象限内，y随x的增大而减小； 图象趋势：每一象限内，曲线从左上向右下延伸。 类别2：当k<0时 图象分布：双曲线两支分别在第二、四象限； 增减性：在每个象限内，y随x的增大而增大； 图象趋势：每一象限内，曲线从左下向右上延伸。 【题型 5】反比例函数图象位置 【例题5】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数比例系数与图象位置的关系列不等式求解即可． 解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， 解得：． 【变式1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果反比例函数的图像经过第一、三象限，那么k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解不等式，对于反比例函数，当时，图象在第一、三象限，当时，图象在第二、四象限，据此可得，解不等式即可得到答案． 解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质； 先根据反比例函数的图象得到，再根据一次函数的图象与性质解答即可. 解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴ ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限； 故选：A. 【变式3】（2024·湖北荆门·模拟预测）已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象及其性质，完全平方公式．根据多项式是一个完全平方式得，再根据反比例函数的图象位于第二、四象限得，由此解得，据此可得出的值． 解：多项式是一个完全平方式， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ， 故答案为：． 【题型 6】反比例函数的增减性 【例题6】（上海市崇明区（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置与增减性，结合已知的取值范围计算端点对应的值，即可得到的取值范围． 解：∵反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， 图象在第二象限， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测），为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，由已知条件可得出反比例函数的图象位于一、三象限，进而可得出，解不等式即可求出． 解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·上海静安·期末）如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性即可判断的取值范围． 解：反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，即随的增大而增大， ． 【变式3】（2026·上海·中考真题）已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 【题型 7】反比例函数值大小比较 【例题7】（25-26八年级下·上海·期末）已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据判断函数的增减性与所在象限，再结合三个点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小． 解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ ，， ∵，三个点的横坐标都为正数， ∴ 三点都在第四象限， ∴，即． 【变式1】（2026年天津和平区中招考前模拟数学试卷）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数判断函数图象所在象限和增减性，再结合各点纵坐标的大小比较横坐标即可. 解：∵反比例函数中，， ∴函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点A纵坐标为，点B纵坐标为，点C纵坐标为， ∴A、B在第三象限，C在第一象限，可得，，， 又∵，第三象限内随的增大而减小， ∴， ∴. 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）已知反比例函数的图象上有三个点，，，，，的大小关系是_______．（用“”号连接）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质解题即可． 解：反比例函数中，， ∴它的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ∵，且，在第四象限， ∴， 而在第二象限，即， ∴． 【变式3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）在反比例函数图象上有三个点，，，若，把用“”连接起来为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，根据题意得出，可知y随x的增大而增大，图象经过二，四象限，继而利用题干条件判断函数值大小即可得到本题答案． 解：∵反比例函数， ∴，可知y随x的增大而增大，图象经过二，四象限， ∵， ∴，， ∴用“”连接起来为：， 故答案为：． 【知识点四】k的几何意义（预习拓展） 过反比例函数图象上任意一点，作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积=，围成的直角三角形面积=（九年级高频考点，暑期提前掌握）。 【题型 8】已知比例系数求面积 【例题8】（24-25八年级下·四川乐山·阶段检测）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． （1）求的值； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）四边形的面积为． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，比例系数的几何意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）先求出，又为边的中点，则有，，，然后通过即可求解． 解：（1）解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式1】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，进一步求解即可． 解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】（1）；（2）12． 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． （1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 解：（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：12． 【题型 9】已知面积求比例系数 【例题9】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知点是反比例函数图象上一点，是坐标原点，轴，，且图象经过；求： （1）反比例函数解析式． （2）的值． 【答案】（1）反比例函数解析式是；（2）． 【分析】（）设反比例函数解析式为，由点在函数图象上，，，则，从而求解； （）把代入即可求解； 本题考查了反比例函数比例系数的意义，反比例函数的图象及性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（1）设反比例函数解析式为， ∵过点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式是； （2）由（）得：反比例函数解析式是， ∵在图象上， ∴， 解得：． 【变式1】（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则的值是（） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】连接，根据平行线间的距离相等可知，再根据反比例函数系数的几何意义即可求出的值 解：连接，如图， ∵轴，轴轴， ∴轴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 【变式2】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）连接，若的面积是3，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：延长 交轴于点 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得． 【题型 10】反比例函数图象与性质综合 【例题10】（2026·宁夏银川·三模）如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）点C的坐标为 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可设，然后根据中点坐标公式进行求解即可． 解：（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可设， ∵，即点C是的中点，，点D在x轴上， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象在第二、四象限 C．当时， D．当时，y随着x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及相关性质，掌握相关知识是解题的关键． 把代入解析式看左边是否等于右边即可；根据反比例函数的选择性当，图象在第二、四象限；只有在第二象限时，当时，；当，且k，y随x的增大而增大． 解：A、把代入解析式得：左边＝右边，故本选项正确，不符合题意； B、因为，图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； C、在第二象限时，当时，，故本选项错误，符合题意； D、当，且，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（2025·四川绵阳·二模）如图，矩形的顶点C在反比例函数的图象．上，反比例函数的图象与，分别交于点E，F，轴于点H，轴于点G，与相交于点M．有下列说法：①矩形的面积是1；②的面积是 ；③矩形与矩形的面积一定相等；④若的面积为，矩形的面积为，则必有．其中说法正确的是_________（填序号）． 【答案】②③ 【分析】该题考查了反比例函数与几何综合，以及反比例函数值的几何意义，解题的关键是数形结合． 根据题意设，则，从而得出，再根据图象解答判断即可． 解：根据题意设， 则， ∴， ∴矩形的面积，故①错误； 的面积 ，故②正确； ∵反比例函数的图象与，分别交于点E，F， ∴， ∴， 即矩形与矩形的面积相等，故③正确； ∵的面积， 矩形的面积， ∴，故④错误； 故答案为：②③． 【变式3】（25-26八年级下·上海闵行·期末）已知反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点和点，点是反比例函数图像上的一点，且点在第一象限． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）如果的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】（1）；；（2）点的坐标为或 【分析】（1）将点代入，求解得出反比例函数解析式；将代入反比例解析式，得，即点，将、坐标代入一次函数，列方程组，进行求解得出一次函数解析式； （2）先求直线与轴交点，由，计算得，设点，求直线与轴交点，分、、三种情况，进行讨论求解即可． 解：（1）解：设反比例函数的解析式为， ∴将点代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 由题意得，将代入中， 得， ∴点的坐标为， 设一次函数的解析式为， 将和分别代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，连接，连接直线交x轴于点E，如图， 令，代入得， 解得， ∴点的坐标为，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为， 设点的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得， ∴点，， 当时，此时点在点右侧， ∴， ∵， ∴ 解得，（舍去）， ∴点的坐标为； 当时，此时在点左侧，如图， ∴， ∵， ∴ 解得，（舍去）， ∴点的坐标为； 当时，点与点重合，无法构成三角形，舍去， 综上所述，点的坐标为或． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（上海市崇明区（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C选项中的函数是反比例函数． 2．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分析两个函数图象所在象限， 即可选出答案 ． 解：∵ ， 的图象在一、 三象限， 在一、 二、 四象限， 故选：A． 3．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知点，都是反比例函数图象上的点，并且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数的性质比较y的大小即可． 解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点A，B都在第三象限，可得，，排除A，B选项； ∵当时，反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小. 又∵， ∴， 综上可得． 4．（24-25九年级上·全国·阶段检测）若反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数上中，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随的增大而增大是解答此题的关键． 根据当时，y随x的增大而增大得出k的取值范围即可． 解：解∶反比例函数中， 当时，y随x的增大而增大， ， 故选∶A． 5．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（    ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义．根据反比例函数k的几何意义求解即可． 解：设点P的坐标为， 则的面积为：， 即的面积保持不变， 故选：D． 6．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（   ） A． B．32 C． D．16 【答案】A 【分析】由两点之间距离公式得到，再由菱形性质得到，然后由点的平移得到点的坐标为，最后由待定系数法将代入函数确定值即可得到答案． 解：点的坐标为， ， 在菱形中，，则由点的平移可得点的坐标为， 将代入函数得， 故选：A． 【点拨】本题考查求反比例函数的值，涉及两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值，熟记两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值方法是解决问题的关键． 7．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出时x的取值范围是解答此题的关键． 先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点横坐标，再由函数图象即可得出结论． 解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴A、B两点关于原点对称， ∵点A的横坐标为2， ∴点B的横坐标为， ∵由函数图象可知，当或时函数的图象在的上方， ∴当时，x的取值范围是或． 故选：D． 8．（25-26八年级下·上海青浦·期末）已知点，，在反比例函数的图像上，那么，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据确定反比例函数的图像位置与增减性，再结合各点横坐标的符号判断的正负，最后比较同一象限内的函数值大小即可． 解：∵反比例函数中， ∴函数图像分布在第二、四象限，且每个象限内随的增大而增大． ∵，，， ∴点在第二象限，点在第四象限． ∴，，，可得且． 又∵，根据函数增减性可得． ∴三者大小关系为． 9．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，过点作于，点A的横坐标为1．有以下结论： ①点C的坐标为；②线段的长为9； ③当时，正比例函数的值大于反比例函数的值； ④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象和性质，逐项进行判断． 解：①联立， 解得（负值已舍）， ∴点C的坐标为，该选项正确； ②当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴， 该选项错误； ③由正比例函数和反比例函数的交点C的坐标为，以及函数图象可得， 当时，正比例函数的值大于反比例函数的值， 该选项正确； ④∵轴，，，点C的坐标为， ∴， ∴， 该选项正确； 综上，正确的选项有①③④，共3个． 10．（2026·安徽·二模）如图，点在双曲线（且）上，作轴于点A，轴于点C，将四边形绕点A顺时针旋转得到四边形，若双曲线经过的中点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，然后根据旋转的性质表示出点E、F的坐标，再根据中点坐标公式得到点P的坐标，最后根据点B和点P都是图象上列出等式，化简即可解答． 解：由题意可得，， ∵将四边形绕点A顺时针旋转得到四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵点P是的中点， ∴， ∵点B和点P都在双曲线（且）上， ∴， 整理得． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】4 【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值． 解：点在反比例函数的图象上， 将，代入得：， 则． 12．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 解：∵反比例函数的图象有一支位于第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知反比例函数（k为常数，），从，，3，这四个数中任取一个数作为k的值，得到的反比例函数中，其图象位于第二、四象限内的概率为 __． 【答案】 【分析】要使图象在第二、四象限，则，找出满足条件的个数，即可得出概率． 解：依题意共有4种，要使图象在二、四象限，则，满足条件的有3种， 因此概率为：． 故答案为：． 【点拨】本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象在第________象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数的性质，确定出k的正、负情况是解题的关键． 把代入，可得，即可求解． 解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴， ∴此反比例函数的图象在第一、三象限． 故答案为：一、三 15．（2025九年级上·北京·专题练习）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据，图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，据此作答即可． 解：∵， ∴图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小． ∵ ∴． 故答案为：． 16．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与双曲线交于点C．若，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，本题的突破点是求出点C的坐标．求解，，设，利用中点坐标公式可得的坐标，再代入反比例函数解析式建立方程求解即可． 解： ∵直线与坐标轴交于A、B两点， ∴将代入，得，将代入，得， ∴，， ∵，设， ∴， ∴， ∴， ∵点C在上， ∴． ∴， ∵反比例函数图像在第一、三象限， ∴． 故答案为：． 17．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 18．（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系中，有函数（且）和反比例函数（），点在上，过点作轴，交于点，连接，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，设，可得，，进而得到，即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 解：设， ∵点在上， ∴， ∵轴，， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2023·四川乐山·二模）如图，已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接． （1）这个反比例函数的解析式； （2）的面积． 【答案】（1）；；（2）2 【分析】（1）根据题意将代入正比例函数，求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数求出解析式即可； （2）根据反比例函数关于原点对称，从而得出，据此求解即可． 解：（1）解：∵点A在正比例函数的图象上， ∴， ∴； 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角形面积的求法，注意反比例函数的对称性． 20．（本小题满分8分）（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入求出，然后代入求解即可； （2）将代入求出，然后求出，进而求解即可． 解：（1）解：在一次函数的图象上， ，即 在反比例函数的图象上 ，解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：在反比例函数的图象上 ∴， 解得，即 轴 点的横坐标与点的横坐标相等， 将代入，得，即 ． 21．（本小题满分10分）（24-25·河南信阳·三模）如图，的边在x轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点 （1）求反比例函数的表达式． （2）P为反比例函数图像上一动点，过点P作轴交于点N，交于点M，当点P的纵坐标为2时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入反比例函数解得k即可； （2）根据反比例函数的性质和平行四边形的性质分别求出和的长，即可求得的值． 解：（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）点P的纵坐标为2， 当时，， ∴点P的坐标为， 设所在直线的表达式为， 将点代入，得， ∴所在直线的表达式为， 令，则， ∴点N的坐标为， ∴， ， ， 四边形为平行四边形，轴，， ， ∴点M的坐标为， ∴， ∴． 【点拨】本题考查反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质、一次函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 22．（本小题满分10分）（2026·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，过两点的直线与轴， 轴分别交于点，双曲线与该直线交于两点． （1）求直线和双曲线的函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】（1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，据此可解决问题． 解：（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将 代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得， ， 点P坐标为． 23．（本小题满分10分）（2024·湖南·模拟预测）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式， （2）求的面积、 （3）结合函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合吗，涉及待定系数法确定函数解析式、平面直角坐标系中求三角形面积、图象法解不等式等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）在平面直角坐标系中，求出，数形结合，利用，代值求解即可得到答案； （3）不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合即可得到答案． 解：（1）解：反比例函数过点， ，即； 将，代入，得， 点的坐标为， 将点，的坐标代入一次函数中，得，解得， ； （2）解：在直线中，当时，， 点的坐标为，即， ； （3）解：不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，且、， 或． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·山西晋城·期末）综合与探究 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，P为x轴负半轴上一动点，作直线，连接． （1）求一次函数的表达式． （2）若的面积为，求点P的坐标． （3）在（2）的条件下，若E为直线PA上一点，F为y轴上一点，是否存在点E，F，使以E，F，P，B为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数解析式为；（2）；（3）（-7，-4）或． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，设，根据三角形的面积为，建立方程求解即可得出，得出答案； （3）利用待定系数法可得直线的解析式为，设，，当、为平行四边形对角线时，与的中点重合；当，为平行四边形对角线时，与的中点重合；分别建立方程求解即可得出答案． 解：（1）解：把代入，得 ， ∴反比例函数解析式为， ∴， 把，代入得 解得， ∴一次函数解析式为； （2）如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，    设， ∵，， ∴，， 在中，令，得， 解得：， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）存在； 设直线的解析式为，把，坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 又，， 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， ∴， 解得， ∴； 当，为平行四边形对角线时，与的中点重合， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点E的坐标为或． 【点拨】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，防止漏解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第1讲）——反比例函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】反比例函数的定义（基础入门） 1 【题型 1】反比例函数的判断 2 【题型 2】求反比例函数解析式及求值 2 【知识点二】反比例函数的图象（自主探究） 2 【题型 3】描点法画函数图象，并总结性质 3 【题型 4】反比例函数图象特征 4 【知识点三】反比例函数的核心性质（重点背诵） 5 【题型 5】反比例函数图象位置 6 【题型 6】反比例函数的增减性 6 【题型 7】反比例函数值大小比较 7 【知识点四】k的几何意义（预习拓展） 7 【题型 8】已知比例系数求面积 7 【题型 9】已知面积求比例系数 8 【题型 10】反比例函数图象与性质综合 10 二.同步自测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.教材知识梳理 学习方法：先读概念→观察实例→学例题→练变式→同步自测 【知识点一】反比例函数的定义（基础入门） 1、定义：一般地，形如 （为常数，）的函数，叫做反比例函数。 2. 反比例函数三种等价表达式：（1）一般式：（最常用）；（2）乘积式：（快速判断、求值专用）；（3）负指数式：（区分一次函数、正比例函数） 3. 关键取值范围（易错点）：自变量，函数值，因此函数图象永远不与x轴、y轴相交。 4. 定义核心三要素（缺一不可）：变量x、y成反比例关系；常数（k为比例系数，决定函数图象与性质）；自变量x的次数为-1，且分母仅含自变量x，无常数项。 【题型 1】反比例函数的判断 【例题1】（25-26八年级·上海·寒假作业）下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数． （1）当为何值时，该函数是一次函数？ （2）当为何值时，该函数是正比例函数？ （3）当为何值时，该函数是反比例函数？ 【题型 2】求反比例函数解析式及求值 【例题2】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）已知反比例函数（）的图象经过点． （1）求的值； （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 【变式1】（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）下列四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【变式3】（25-26九年级上·广西贺州·阶段检测）已知，反比例函数图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）请你判断点是否在这个函数的图象上． 【知识点二】反比例函数的图象（自主探究） 预习核心：通过描点法画图，直观感知反比例函数图象特征，自主总结规律。 1、描点法画图基本步骤： （1）列表：取值x≠0，正负对称取值（优先取整数，方便计算）； （2）描点：在平面直角坐标系中精准描出对应点； （3）连线：用平滑曲线分别连接左右两侧的点，延伸两端，切忌连成直线。 【题型 3】描点法画函数图象，并总结性质 【例题3】（24-25八年级下·全国·课后作业）用描点法画出反比例函数的图像． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． （1）完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … （2）描点、连线画图： 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 【变式3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）已知函数y＝的图象经过点（－2，3）． （1）求k的值，并在正方形网格中画出这个函数的图象； （2）当x取什么值时，函数的值小于0? 2. 图象整体特征（核心结论） 能过例题3练习，我们知道：图象的位置由K值的正负性与绝对值的大小来决定： （1）反比例函数的图象是双曲线，由两支独立的曲线组成； （2）图象关于原点中心对称，无对称轴； （3）两支曲线无限靠近x轴、y轴，但永远不与坐标轴相交； （4）越大，双曲线离原点越远、曲线越平缓；越小，双曲线越靠近原点、曲线越陡峭。 【题型 4】反比例函数图象特征 【例题4】（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（204-2025九年级下·湖南长沙·期中）已知正比例函数与反比例函数交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则的值为________． 【知识点三】反比例函数的核心性质（重点背诵） 通过例题3及变式练习，我们知道：反比例函数的所有性质仅由比例系数k的正负决定，分类讨论是核心思想。 类别1：当k>0时 图象分布：双曲线两支分别在第一、三象限； 增减性：在每个象限内，y随x的增大而减小； 图象趋势：每一象限内，曲线从左上向右下延伸。 类别2：当k<0时 图象分布：双曲线两支分别在第二、四象限； 增减性：在每个象限内，y随x的增大而增大； 图象趋势：每一象限内，曲线从左下向右上延伸。 【题型 5】反比例函数图象位置 【例题5】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果反比例函数的图像经过第一、三象限，那么k的取值范围是_______． 【变式2】（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【变式3】（2024·湖北荆门·模拟预测）已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为_______． 【题型 6】反比例函数的增减性 【例题6】（上海市崇明区（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测），为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海静安·期末）如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 【变式3】（2026·上海·中考真题）已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【题型 7】反比例函数值大小比较 【例题7】（25-26八年级下·上海·期末）已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026年天津和平区中招考前模拟数学试卷）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）已知反比例函数的图象上有三个点，，，，，的大小关系是_______．（用“”号连接）． 【变式3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）在反比例函数图象上有三个点，，，若，把用“”连接起来为______． 【知识点四】k的几何意义（预习拓展） 过反比例函数图象上任意一点，作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积=，围成的直角三角形面积=（九年级高频考点，暑期提前掌握）。 【题型 8】已知比例系数求面积 【例题8】（24-25八年级下·四川乐山·阶段检测）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． （1）求的值； （2）求四边形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 【变式3】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【题型 9】已知面积求比例系数 【例题9】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知点是反比例函数图象上一点，是坐标原点，轴，，且图象经过；求： （1）反比例函数解析式． （2）的值． 【变式1】（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则的值是（） A．3 B． C．6 D． 【变式2】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）连接，若的面积是3，求的值． 【题型 10】反比例函数图象与性质综合 【例题10】（2026·宁夏银川·三模）如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象在第二、四象限 C．当时， D．当时，y随着x的增大而增大 【变式2】（2025·四川绵阳·二模）如图，矩形的顶点C在反比例函数的图象．上，反比例函数的图象与，分别交于点E，F，轴于点H，轴于点G，与相交于点M．有下列说法：①矩形的面积是1；②的面积是 ；③矩形与矩形的面积一定相等；④若的面积为，矩形的面积为，则必有．其中说法正确的是_________（填序号）． 【变式3】（25-26八年级下·上海闵行·期末）已知反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点和点，点是反比例函数图像上的一点，且点在第一象限． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）如果的面积等于的面积，求点的坐标． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（上海市崇明区（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知点，都是反比例函数图象上的点，并且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·阶段检测）若反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（    ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．保持不变 6．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（   ） A． B．32 C． D．16 7．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（25-26八年级下·上海青浦·期末）已知点，，在反比例函数的图像上，那么，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，过点作于，点A的横坐标为1．有以下结论： ①点C的坐标为；②线段的长为9； ③当时，正比例函数的值大于反比例函数的值； ④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2026·安徽·二模）如图，点在双曲线（且）上，作轴于点A，轴于点C，将四边形绕点A顺时针旋转得到四边形，若双曲线经过的中点P，则的值为（    ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 12．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是________． 13．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知反比例函数（k为常数，），从，，3，这四个数中任取一个数作为k的值，得到的反比例函数中，其图象位于第二、四象限内的概率为 __． 14．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象在第________象限． 15．（2025九年级上·北京·专题练习）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是______． 16．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与双曲线交于点C．若，则k的值为______． 17．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 18．（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系中，有函数（且）和反比例函数（），点在上，过点作轴，交于点，连接，若，则______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2023·四川乐山·二模）如图，已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接． （1）这个反比例函数的解析式； （2）的面积． 20．（本小题满分8分）（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 21．（本小题满分10分）（24-25·河南信阳·三模）如图，的边在x轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点 （1）求反比例函数的表达式． （2）P为反比例函数图像上一动点，过点P作轴交于点N，交于点M，当点P的纵坐标为2时，求的值． 22．（本小题满分10分）（2026·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，过两点的直线与轴， 轴分别交于点，双曲线与该直线交于两点． （1）求直线和双曲线的函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 23．（本小题满分10分）（2024·湖南·模拟预测）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式， （2）求的面积、 （3）结合函数图象直接写出不等式的解集． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·山西晋城·期末）综合与探究 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，P为x轴负半轴上一动点，作直线，连接． （1）求一次函数的表达式． （2）若的面积为，求点P的坐标． （3）在（2）的条件下，若E为直线PA上一点，F为y轴上一点，是否存在点E，F，使以E，F，P，B为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $