2026年苏科版八升九年级数学暑期预习讲义（第10讲）——弧长与扇形面积（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第10讲）——弧长与扇形面积（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】基本概念 1 【知识点二】两大核心公式（必考、必须熟记） 2 【知识点三】公式常见变形（逆向计算高频考点） 2 【知识点四】阴影面积常用解题方法 2 【知识点五】高频易错点汇总 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】弧长公式直接计算 2 【题型 2】扇形面积基础计算 7 【题型 3】公式逆向求值（求圆心角、半径） 10 三.经典题型精析（综合提升） 11 【题型 4】组合图形阴影面积计算（重难点） 11 四.同步自测 15 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 15 （二） 填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 20 （三） 解答题（本大题共4个小题,每小题9分,共36分） 25 一.教材知识梳理 【知识点一】基本概念 1. 弧长：圆上任意一段曲线的长度叫做弧长。整个圆的周长为360°圆心角对应的弧长，度数小于360°的圆心角对应对应部分弧长。 2. 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。扇形是圆的一部分，由一段弧、两条半径围成。 【知识点二】两大核心公式（必考、必须熟记） 设圆的半径为，扇形圆心角度数为（为正整数，） 1. 弧长公式： 推导：360°圆心角对应周长，则1°对应弧长，对应弧长即为。 2. 扇形面积公式（两个，灵活选用） 公式一（知圆心角、半径）： 公式二（知弧长、半径）： 公式选用技巧：题目给圆心角用公式一，题目给弧长优先用公式二，计算更简便。 【知识点三】公式常见变形（逆向计算高频考点） 1. 已知弧长求圆心角： 2. 已知扇形面积求圆心角： 【知识点四】阴影面积常用解题方法 1. 割补法：将不规则阴影拼接、平移、旋转，转化为扇形、三角形、半圆等规则图形； 2. 加减法则：阴影面积 = 整体图形面积 − 空白图形面积； 3. 多扇形拼接：相同半径、不同圆心角的扇形可合并计算总面积。 【知识点五】高频易错点汇总 1. 区分弧长单位与面积单位：弧长是长度单位，扇形面积是面积单位，不可混用； 2. 公式中不带单位，仅代入数值计算，切勿重复加°； 3. 两个扇形面积公式适用场景不同，禁止混淆； 4. 计算结果若无特殊要求，保留即可，无需取近似小数。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】弧长公式直接计算 【例题1】（2026·福建莆田·模拟预测）如图，中，直径于点，是弧上一点，连接交于点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若与互相平分，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： ， ，            ， ．         ， ， ，              即， ， 是的切线． （2） 【分析】（1）连接，根据圆内等腰三角形及垂直的定义得到，故可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，然后证明四边形是菱形，即可证明是等边三角形，则，再由弧长公式求解． 解：（1）略 （2）解：如图， ∵与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 【变式1】（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，在中，于点C，若的半径为10，，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，构造圆心角，因为要求劣弧的长，所以需要先求出弧所对的圆心角的度数和已知的半径，用弧长公式计算．由垂径定理，因为，所以是的一半，可求出的长度．在中，已知是半径、的长度，用三角函数可求出的度数，进而得到圆心角的度数．代入弧长公式，其中n为圆心角度数，R为半径，计算劣弧的长度． 解： 连接，， ∵，， ∴． ∵半径， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴直角三角形中直角边， ∴， ∴， ∴圆心角． 弧长公式为（为圆心角度数，为半径），代入得： 劣弧的长． 选：C． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可． 解：设扇形的半径为， 根据题意，得， 则 解得或（不符合题意，舍去）， 扇形的半径是． 【变式3】（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，四边形内接于，且的半径为r，．   （1）若，求的长． （2）若，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）连接，，根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论； （2）根据，得，根据，得，所以，，可得为等边三角形，即可得出结论． 解：（1）解：连接，，，   四边形内接于，， ， ， 的长为； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 【点拨】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【题型 2】扇形面积基础计算 【例题2】（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，，平分． （1）求和的度数； （2）若，求扇形（阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】（1），=20°；（2） 【分析】（1）根据以及角的和差关系得，又因为平分，得出，最后把数值代入计算，即可作答． （2）结合（1）得，再运用扇形面积公式列式计算，即可作答． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ． （2）解：由（1）得 扇形的面积为． 【变式1】（2026·安徽合肥·二模）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式得到，即可得到答案． 解：重物上升， 故， 即， 解得，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为． 【变式2】（2026·四川绵阳·二模）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_______． 【答案】 【分析】用大扇形面积减去小扇形面积即可得山水画所在纸面的面积． 解：，， ∴山水画所在纸面的面积为． 【变式3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，弦，，的平分线交于点，连接． （1）求直径的长； （2）求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1）；（2） 【分析】（）根据圆周角定理求出，再根据勾股定理求出即可； （）连接，根据圆周角定理求出圆心角，再分别求出扇形和的面积即可； 本题考查了圆周角定理，勾股定理和扇形的面积计算等知识点，能根据圆周角定理求出是解此题的关键． 解：（1）解：∵是的直径， ∴， 由勾股定理得：； （2）解：连接， 由（）得：， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 【题型 3】公式逆向求值（求圆心角、半径） 【例题3】（2026·安徽合肥·三模）2026年春晚合肥分会场上，科创硬核与翰墨书香的文化底蕴完美交融：“天地矩阵”彰显硬核实力，水墨宣纸铺展，笔走龙蛇，在皖美画卷中绘出一个诗意盎然的中国年．宣扇是一种以宣纸为扇面的传统工艺品（如图），当扇形完全打开后，扇面（扇形）的面积为，、的长均为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据扇形的面积公式列方程求解即可． 解：设， 由题意得， 解得， 即． 【变式1】（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）用半径为6，圆心角为的扇形做成的圆锥的底面半径是______________． 【答案】 【分析】利用弧长公式和圆的周长公式列方程求解即可． 解：设圆锥的底面圆半径为， 圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ，化简得，解得． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，边长为2的等边，将边不改变长度，变为弧，得到以A为圆心，为半径的扇形，由三角形变成扇形，下列量的变化情况是：的度数______，图形的面积______．（空格处填“变大”，“变小”或“不变”） 【答案】 变小 变大 【分析】根据扇形面积公式求出圆心角的度数，与原来的度数比较，分别求出扇形和等边三角形的面积，比较即可得到答案． 解：设的度数大小由变为， 由题意得， ∵， ∴， 即的度数变小， 以A为圆心，为半径的扇形的面积为， 边长为2的等边的面积为， ∵， ∴图形的面积变大． 故答案为：变小，变大 【点拨】此题考查了扇形面积、弧长公式、等边三角形的性质和面积等知识，读懂题意是解题的关键． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 4】组合图形阴影面积计算（重难点） 【例题4】（2026·内蒙古赤峰·一模）如图， 的直径，的平分线交于D，过点 D作交延长线于点 E，连接、． （1）求证: 是的切线; （2）求由，，弧围成的阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接, 平分， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【分析】（1）先证明，再证明，继而证明即可； （2）由，，弧围成的阴影部分的面积为求解即可． 解：（1）略 （2）解：， ， 的直径， ， 阴影部分的面积为： 【变式1】（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形的内角和，利用四边形内角和为及扇形面积公式即可求解． 解：四边形的内角和为， 四个扇形的圆心角之和为 四个圆的半径都是， 四个扇形的面积之和． 【变式2】（2026·山东青岛·二模）如图，边长为的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】根据得出是等边三角形，，利用三角函数求出，根据，利用扇形及三角形面积公式求解即可． 解：如图，连接、，过点作于， ∵正方形的边长为，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴． 【变式3】（2026·山东济宁·一模）如图，内接于，直径与弦相交于点E，F是延长线上的一点，连接，，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【分析】（1）连接．证明．由是的直径可得，得出，从而可得结论； （2）先证明四边形是平行四边形．是菱形，再证明是等边三角形，求出，根据可得结论． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． ∴，． ∴是等边三角形， ∴． 在中，，， ∴， ∴, ∴． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（2026·陕西·模拟预测）如图，点均在上，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求得所对的圆心角度数，即可利用弧长公式求解． 解：， 所对的圆心角为， ， 的长为． 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 3．（2025·广东东莞·模拟预测）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案． 解：设滑轮上点转过的度数为， 重物上升， 点转过的弧长为， 滑轮的半径为， ， 整理得，， 解得， 滑轮上点转过的度数为， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选C． 4．（2026·广东深圳·三模）如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，由勾股定理得出，根据扇形面积公式求解即可． 解：由题意得， 由勾股定理得， ∴， ∴扇形面积为． 5．（2023·山东菏泽·一模）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边边上的点处，线段扫过的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，由锐角三角函数可求，由扇形面积公式可求解． 解：， ， 四边形是矩形， ，， 将线段绕点按逆时针方向旋转， ， ， ， ， 线段扫过的面积， 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 6．（24-25九年级上·吉林白城·阶段检测）如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弓形面积等于扇形面积减去三角形面积求解即可． 解：由题意得，， 弓形的面积=扇形OAB的面积-的面积 故选：A． 【点拨】本题考查弓形的面积，牢记弓形的面积等于扇形面积减去三角形面积是解题的关键． 7．（23-24九年级下·四川达州·阶段检测）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求扇形面积公式，根据题意得出，进而即可求解． 解：半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置， ，， ， 故选：C． 8．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． （2） 填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 9．（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 10．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）有一个弧长为的扇形，它的圆心角为，则该扇形的面积为________________． 【答案】 【分析】根据弧长的计算公式，扇形面积的计算方法即可求解． 解：设该扇形的半径为， ∴，解得，， ∴该扇形的面积为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查扇形弧长的计算，扇形面积的计算，掌握弧长和扇形面积公式是解题的关键． 11．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知扇形半径是，弧长为，则扇形的圆心角为________ 【答案】/135度 【分析】已知扇形的半径和弧长，直接利用弧长公式即可求出圆心角的度数． 解：设扇形的圆心角为度，根据弧长公式， 将，代入， 得 解得． 12．（2026·江苏苏州·一模）图中的银杏叶的面积可近似地看成扇形的面积．已知，，则该银杏叶的面积约为_________．（结果保留） 【答案】 【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，得到答案． 解：扇形的面积． 13．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，在扇形中，，在上有一点C，将绕点O顺时针旋转与交于D点，过D作交圆弧于点E，若，，求阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，锐角三角函数．连接交于点F，在中，根据锐角三角函数可得，从而得到，再由阴影部分的面积，即可求解． 解：如图，连接交于点F， 根据题意得：，， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为： 14．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【答案】/30度 【分析】根据扇形面积公式结合已知弧长和面积求出扇形半径，再利用弧长公式计算得到圆心角度数． 解：设扇形半径为，圆心角为， 由扇形面积公式，将，代入得：， 解得， 将，代入弧长公式得：， 解得， 即该扇形的圆心角为． 15．（2026·江苏盐城·二模）如图，正六边形的边长为3，经过点、，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质可知其内角为，结合题干中正六边形的边长为3，可知阴影部分为半径为、圆心角为的扇形，利用扇形面积公式求解即可． 解：多边形 是正六边形，边长为3， ，且， 经过点、， 的半径， ． 16．（2026·山东青岛·二模）如图，为的直径，，，是上的一点，连接．若，阴影部分的面积是_________． 【答案】 【分析】连接，过点D作于点F，根据圆周角定理得出，解直角三角形得出，根据直角三角形的性质求出，根据求出结果即可． 解：连接，过点D作于点F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． （3） 解答题（本大题共4个小题,每小题9分,共36分） 17．（2024·江苏淮安·一模）如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， （1）求证：平分； （2）若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 【答案】（1）证明：连结，如图所示， 切与点， ， ， ， ， ， 平分． （2）． 【分析】（1）连结,由切线的性质得出,证出，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出，即可证明． （2）由圆周角定理得出,由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果． 解：（1）略 （2）如图，过作与点 点是弦所对的优弧上一点，且， , ， ， ， ， ， 阴影部分面积等于扇形的面积与三角形的差，即为：． 【点拨】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键． 18．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，四边形是⊙O的内接四边形，是⊙O的直径，平分，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求和的长． 【答案】（1）证明：连接 ∵平分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵为⊙O半径 ∴与⊙O相切 （2）， 【分析】本题考查了切线的证明、三角函数的应用以及弧长的求解等知识点，掌握圆中相关结论是解题关键． （1）连接，证明即可求解； （2）根据=可得，进而可求出⊙O的半径，即可求解的长；在直角三角形中求出，即可求解的长． 解：（1）略 （2）解：∵是⊙O的直径 ∴ ∴= 即 ∴ ∵ ∴为等边三角形， ∴长为： 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 19．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，． （1）判断直线与的位置关系．并说明理由； （2）若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）与相切，理由见分析；（2） 【分析】（1）连接、，由等边三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得，再证明，即可得证； （2）先求出，，再由计算即可得出结果． 解：（1）解：与相切，理由如下： 如图，连接、，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是半径， ∴与相切； （2）解：如图，作于点，    ∵圆的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了圆周角定理、证明直线是圆的切线、等边三角形的性质、扇形面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 20．（2026·辽宁锦州·三模）如图1，点C在直径的延长线上，且直线是的切线，切点为点D，连接，． （1）点E是弧上的任意一点，连接、，求证：； （2）如图2，的半径长为6，，点E是弧的中点，连接交于点F，连接．求阴影的面积．（结果用表示） 【答案】（1）证明：如图1，连接， ∵直线是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2） 【分析】（1）根据切线的性质以及圆周角定理可知，进而可知，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）根据两个角对应相等可证，根据相似三角形的性质可知，根据圆周角定理可知，，根据角度转化可知，根据等角对等边可知，即可求解，根据面积公式可知． 解：（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， 又∵， ∴， ∴， 即， ， ∵点E是弧的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第10讲）——弧长与扇形面积（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】基本概念 1 【知识点二】两大核心公式（必考、必须熟记） 2 【知识点三】公式常见变形（逆向计算高频考点） 2 【知识点四】阴影面积常用解题方法 2 【知识点五】高频易错点汇总 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】弧长公式直接计算 2 【题型 2】扇形面积基础计算 3 【题型 3】公式逆向求值（求圆心角、半径） 4 三.经典题型精析（综合提升） 5 【题型 4】组合图形阴影面积计算（重难点） 5 四.同步自测 6 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 6 （二） 填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 8 （三） 解答题（本大题共4个小题,每小题9分,共36分） 10 一.教材知识梳理 【知识点一】基本概念 1. 弧长：圆上任意一段曲线的长度叫做弧长。整个圆的周长为360°圆心角对应的弧长，度数小于360°的圆心角对应对应部分弧长。 2. 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。扇形是圆的一部分，由一段弧、两条半径围成。 【知识点二】两大核心公式（必考、必须熟记） 设圆的半径为，扇形圆心角度数为（为正整数，） 1. 弧长公式： 推导：360°圆心角对应周长，则1°对应弧长，对应弧长即为。 2. 扇形面积公式（两个，灵活选用） 公式一（知圆心角、半径）： 公式二（知弧长、半径）： 公式选用技巧：题目给圆心角用公式一，题目给弧长优先用公式二，计算更简便。 【知识点三】公式常见变形（逆向计算高频考点） 1. 已知弧长求圆心角： 2. 已知扇形面积求圆心角： 【知识点四】阴影面积常用解题方法 1. 割补法：将不规则阴影拼接、平移、旋转，转化为扇形、三角形、半圆等规则图形； 2. 加减法则：阴影面积 = 整体图形面积 − 空白图形面积； 3. 多扇形拼接：相同半径、不同圆心角的扇形可合并计算总面积。 【知识点五】高频易错点汇总 1. 区分弧长单位与面积单位：弧长是长度单位，扇形面积是面积单位，不可混用； 2. 公式中不带单位，仅代入数值计算，切勿重复加°； 3. 两个扇形面积公式适用场景不同，禁止混淆； 4. 计算结果若无特殊要求，保留即可，无需取近似小数。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】弧长公式直接计算 【例题1】（2026·福建莆田·模拟预测）如图，中，直径于点，是弧上一点，连接交于点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若与互相平分，，求的长． 【变式1】（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，在中，于点C，若的半径为10，，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【变式3】（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，四边形内接于，且的半径为r，． （1）若，求的长． （2）若，求证：． 【题型 2】扇形面积基础计算 【例题2】（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，，平分． （1）求和的度数； （2）若，求扇形（阴影部分）的面积．（结果保留） 【变式1】（2026·安徽合肥·二模）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川绵阳·二模）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_______． 【变式3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，弦，，的平分线交于点，连接． （1）求直径的长； （2）求阴影部分的面积．（结果保留） 【题型 3】公式逆向求值（求圆心角、半径） 【例题3】（2026·安徽合肥·三模）2026年春晚合肥分会场上，科创硬核与翰墨书香的文化底蕴完美交融：“天地矩阵”彰显硬核实力，水墨宣纸铺展，笔走龙蛇，在皖美画卷中绘出一个诗意盎然的中国年．宣扇是一种以宣纸为扇面的传统工艺品（如图），当扇形完全打开后，扇面（扇形）的面积为，、的长均为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）用半径为6，圆心角为的扇形做成的圆锥的底面半径是______________． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，边长为2的等边，将边不改变长度，变为弧，得到以A为圆心，为半径的扇形，由三角形变成扇形，下列量的变化情况是：的度数______，图形的面积______．（空格处填“变大”，“变小”或“不变”） 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 4】组合图形阴影面积计算（重难点） 【例题4】（2026·内蒙古赤峰·一模）如图， 的直径，的平分线交于D，过点 D作交延长线于点 E，连接、． （1）求证: 是的切线; （2）求由，，弧围成的阴影部分的面积． 【变式1】（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东青岛·二模）如图，边长为的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为____________． 【变式3】（2026·山东济宁·一模）如图，内接于，直径与弦相交于点E，F是延长线上的一点，连接，，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（2026·陕西·模拟预测）如图，点均在上，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·广东东莞·模拟预测）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·三模）如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·山东菏泽·一模）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边边上的点处，线段扫过的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·吉林白城·阶段检测）如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级下·四川达州·阶段检测）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π B． C． D． 8．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 9．（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 10．（24-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）有一个弧长为的扇形，它的圆心角为，则该扇形的面积为________________． 11．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知扇形半径是，弧长为，则扇形的圆心角为________ 12．（2026·江苏苏州·一模）图中的银杏叶的面积可近似地看成扇形的面积．已知，，则该银杏叶的面积约为_________．（结果保留） 13．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，在扇形中，，在上有一点C，将绕点O顺时针旋转与交于D点，过D作交圆弧于点E，若，，求阴影部分的面积为_______． 14．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 15．（2026·江苏盐城·二模）如图，正六边形的边长为3，经过点、，则阴影部分的面积为________． 16．（2026·山东青岛·二模）如图，为的直径，，，是上的一点，连接．若，阴影部分的面积是_________． （3） 解答题（本大题共4个小题,每小题9分,共36分） 17．（2024·江苏淮安·一模）如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， （1）求证：平分； （2）若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 18．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，四边形是⊙O的内接四边形，是⊙O的直径，平分，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求和的长． 19．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，． （1）判断直线与的位置关系．并说明理由； （2）若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． 20．（2026·辽宁锦州·三模）如图1，点C在直径的延长线上，且直线是的切线，切点为点D，连接，． （1）点E是弧上的任意一点，连接、，求证：； （2）如图2，的半径长为6，，点E是弧的中点，连接交于点F，连接．求阴影的面积．（结果用表示） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $