预习手册 13《第3章圆第6节正多边形与圆》预习讲义 2026年暑假苏科版九年级数学上册

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册13 《第3章圆第6节正多边形与圆》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握正多边形定义（各边相等+各内角相等双条件），能区分菱形、矩形等非正多边形。 2.理解正多边形与圆双向关系：等分圆得正多边形、任意正多边形有唯一同心外接/内切圆；熟记中心、外接圆半径R、边心距r、中心角4个核心概念。 3.熟练运用核心公式：中心角 、内角 、通用面积S= × 周长 × 边心距 ；会用R、r、构成的直角三角形勾股计算边长、边心距。 4.掌握正多边形对称性质：所有正n边形有n条对称轴；偶数边正多边形兼具中心对称性，奇数边无中心对称。 5.掌握尺规作图方法：可尺规作正3、4、6、8、12边形，通用量角器等分圆作任意正n边形。 6.规避江苏考试高频易错点：混淆中心角与内角、忘记正多边形双定义条件、奇数边图形误判中心对称、面积公式漏乘 、尺规作图步骤遗漏等分弧。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.正多边形四大概念（中心、半径、边心距、中心角）与对应计算公式； 2.R、r、 直角三角形模型线段计算； 3.正多边形周长、面积通用计算； 4.正多边形轴对称、中心对称性质区分； 5.圆内接正六边形特殊结论：边长=外接圆半径。 （二）难点 1.结合圆周角、切线综合求正多边形内角度数； 2.正多边形全等证明、旋转对称类几何探究大题； 3.尺规作图规范书写步骤，等分弧加倍边数拓展作图； 4.同圆内两种不同正多边形叠加中心角计算（江苏一模压轴小问）。 ) 三．自主探究 （一）正多边形定义 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？ 【解析】每个多边形的各边都相等，各内角也相等. 1.定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形.如果一个正多边形有 n (n ≥ 3) 条边，那么这个正多边形叫作正 n 边形. 2.理解： 各边相等，各内角也相等的凸多边形叫正多边形，两个条件缺一不可。 （1）菱形：四边相等，但内角不等，不是正多边形； （2）矩形：四角相等，但边长不等，不是正多边形。 （二）正多边形与圆的双向关系 1.圆生成正多边形 【思考】如何作一个正多边形呢？ 如图，把 ☉O 分成相等的 5 段弧，即，连接各等分点，所得五边形 ABCDE 是正五边形吗？ 【解析】∵，∴AB = BC = CD = DE = EA.∴ ∴∠A = ∠B.同理∠B = ∠C = ∠D = ∠E.∴五边形 ABCDE 是正五边形. 【探究】将圆 n (n ≥ 3) 等分，依次连接各等分点，所得到的多边形是正多边形吗？ 将一个圆 n (n ≥ 3) 等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正 n 边形的各顶点 n 等分其外接圆. 2.正多边形生成双圆 任意正多边形有且只有1个外接圆、1个内切圆，两圆为同心圆，公共圆心称为正多边形中心。 （三）四大核心量（必考） 正多边形外接圆的圆心，称其为正多边形的中心.外接圆的半径叫作正多边形的半径.中心到正多边形一边的距离叫作正多边形的边心距.正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫作正多边形的中心角. 设正n边形中心为O，边长a 1.外接圆半径R：中心到顶点的线段长（斜边）； 2.边心距r：中心到一条边的垂线段长，即内切圆半径； 3.中心角：一条边所对圆心角，公式： 4.拆分直角三角形：半径R、边心距r、半边长构成全等直角三角形，满足勾股定理： R2=r2+()2 （四）角度计算公式 1.单个内角： 2.单个外角： ，外角=中心角 3.内角+中心角=180o，（互补） （五）周长与面积通用公式 1.周长：C=na 2.面积（所有正多边形通用）：S=Cr（周长×边心距÷2） 特殊：正六边形边长a=R，可拆分为6个全等等边三角形。 （六）对称性质 1.轴对称： 正三角形、正方形、正五边形、正六边形是否为轴对称图形？如果是轴对称图形，试画它们所有的对称轴. （1）正n边形是轴对称图形，共有n条对称轴; （2）n为奇数时，n条对称轴过中心与顶点; （3）n为偶数时，n条对称轴中:条过中心与顶点:条过中心与边的中点。 2.中心对称： 下列正多边形中哪些是中心对称图形？哪些是旋转对称图形？如果是旋转对称图形，绕中心最少旋转多少度所得图形与原图形重合？ 正 n 边形 ( n 为偶数) 是中心对称图形，它的对称中心就是这个正 n 边形的中心. 正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心. 当 n 为奇数时，正 n 边形的 n 条对称轴都是顶点与中心的连线；当 n 为偶数时，正 n 边形有n/2条对称轴是顶点与中心的连线，有n/2条对称轴是过中心与边垂直的直线.一个正 n 边形，绕它的中心旋转所得图形与这个正 n 边形重合，从而当 n 为偶数时，正 n 边形绕它的中心旋转所得图形与这个正 n 边形重合. 因此正 n 边形( n为偶数)也是中心对称图形，它的对称中心就是这个正 n 边形的中心. （七）等分圆作图方法 用量角器画☉O 的内接正六边形. 【分析】:因为正六边形每条边所对的圆心角为60所以正六边形的边长与圆的半径 相等因此，在半径为r的圆上依次截取等于 r的弦，即可将圆六等分. 【作法】:(1)在O上以任意一点A为圆心、以r为半径画弧，连续截取点B、C、D、E、F; (2)依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，则六边形ABCDEF即为所求. 如图，已知☉O 的半径为 r，求作☉O 的内接正方形. 【分析】：作两条互相垂直的直径，就可以将☉O 四等分. 【作法】：(1) 作直径 AC 与 BD，使 AC⊥BD； (2) 依次连接 AB、BC、CD、DA，则四边形 ABCD 就是所求作的☉O 的内接正方形，如图. 1.通用量角器法：计算中心角，在圆心截取n个等角，等分圆周； 2.尺规可作图（仅特殊边数）：正4、8、3、6、12边形；对等分弧作角平分线可加倍边数（正6→正12，正4→正8）。 四．经典例题 例1.（2025·镇江丹徒期末）下列图形一定是正多边形的是（ ） A.四边相等四边形 B.四角相等四边形 C.正方形 D.矩形 【答案】：C 【解析】：正方形四边相等、四角均为90°，满足正多边形双定义；菱形仅边等、矩形仅角等，均不满足。 例2.（2024·苏州吴中期末）正十边形的中心角度数为（ ） A.30° B.36° C.40° D.45° 【答案】：B 【解析】：中心角公式360°÷10=36°。 例3.（2026·南通通州一模）圆内接正六边形外接圆半径为3，则正六边形边长为（ ） A.3 B.3 C. D.6 【答案】：A 【解析】：正六边形中心角60°，相邻半径与边长构成等边三角形，边长=外接圆半径。 例4.（2025·泰州姜堰期末）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（ ） A.正八边形 B.正六边形 C.正五边形 D.正方形 【答案】：C 【解析】：奇数边正多边形无中心对称性，正五边形边数5为奇数。 例5．如图，正方形ABCD内接于，点E为上一点，连接BE，若，，则正方形ABCD的边长为___________. 【答案】： 【解析】：连接DB、OC、OE，∵正方形内接于， ∴，，三点共线，又∵，∴，又∵BO=CO=OE，∴是等边三角形，又∵，∴BO=CO=OE=5，∴， 例6．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为________. 【答案】：12 【解析】：连接OA、OB、OC，如图，∵AC，AB分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOC＝＝90°，∠AOB＝＝120°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°，∴n＝＝12， 例7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，求△AMN周长的最小值． 解：连接AC.因为⊙O的面积为2π，所以⊙O的半径为，则BD＝2＝AC，由正方形的性质知，C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM，CM，则M，N即为所求点．因为A′C∥MN，且A′C＝MN， 所以四边形MCA′N为平行四边形，所以A′N＝CM＝AM，所以△AMN的周长＝AM＋AN＋MN＝AA′＋1最小．因为A′A＝＝3，所以△AMN周长的最小值为3＋1＝4. 例8.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O内接正十二边形的一条边，CD＝5 cm，求⊙O的半径． 解：如图，连接OB，OC，OD.因为等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一条边，所以∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°，所以∠COD＝∠BOC－∠BOD＝90°.因为OC＝OD，所以△OCD是等腰直角三角形，所以OC＝OD＝CD＝×5＝5(cm)， 即⊙O的半径为5 cm. 例9.（2024扬州广陵期中）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作⊙O的切线与AG的延长线交于点M，连接EG. (1) 求AG的长； (2) 求ME的长． 图1 图2 解：(1) 因为AE为⊙O的直径，所以∠AGE＝90°.因为＝，所以AG＝EG，所以∠GAE＝∠AEG＝45°，所以AG＝EG＝10. (2) 因为ME为⊙O的切线，所以∠AEM＝90°，由(1)知，∠GAE＝45°，所以ME＝AE＝20. 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·镇江丹徒期末）一个正多边形外角为30°，则边数为（ ） A.10 B.12 C.14 D.16 【答案】：B 【解析】：外角和360°，n=360÷30=12，外角=中心角。 2.（2025·宿迁宿豫期末）正多边形的边心距是它的（ ） A.外接圆半径 B.内切圆半径 C.边长一半 D.中心角平分线 【答案】：B 【解析】：边心距定义：中心到边的垂线段，即内切圆半径。 3.（2026·盐城阜宁一模）下列正多边形对称轴数量最多的是（ ） A.正五边形 B.正七边形 C.正九边形 D.正十边形 【答案】：D 【解析】：正n边形对称轴数量=边数，10条最多。 4.（2025·淮安淮阴期末）半径相等的正三角形、正方形、正六边形，边长最大的是（ ） A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.三者相等 【答案】：A 【解析】：正六边形边长=R；正方形边长=\sqrt2R；正三角形边长=\sqrt3R，正三角形边长最大。 5．如图为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 【答案】A 【解析】如图，连接，∵，∴，， ∴是正九边形的一条边，故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，点是正六边形的边与轴的交点，，点在第一象限．将绕点顺时针旋转后点的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由、可知，正六边形的中心在原点，边长为4，即，正六边形的中心角为，点在第一象限，  旋转到，如图所示，此时，，在中，，， 在第四象限，旋转后对应点坐标为．故选D． 7．如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中， ， 即它的内切圆半径为 ， 故选：D． 8．如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a，∵六边形是正六边形，，是其对角线，∴，平分，平分∴，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵点J是正六边形的对角线的交点，∴．∵四边形是正方形， ∴，∴，∴，∵在中，，即，∴，∴， ∴．故选：C． （二）填空题 9.（2025·苏州吴中期末）正四边形（正方形）中心角=________° 【答案】：90 【解析】：360°÷4=90°。 10.（2026·盐城滨海二模）正五边形单个内角=________° 【答案】：108° 【解析】：(5-2)×180°÷5=108°。 11.（2025·连云港东海期末）正多边形周长30，边心距2，面积=________ 【答案】：30 【解析】：S=×30×2=30，通用面积公式直接代入。 12．如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正八边形的一边．则以为边的内接正多边形的边数为 ． 【答案】24 【解析】∵是的内接正六边形的一边，∴，∵是的内接正八边形的一边，∴，∴，∵， ∴以为边的内接正多边形的边数为24．故答案为：24． （三）解答题 13、如图，已知正三角形ABC内接于，AD是的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若，求的半径． 解：如图所示，连接OA、OD、OC，等边内接于，AD为内接正十二边形的一边，，，，，是等腰直角三角形， ，即的半径为6cm． 14.如图,☉O的半径为4 cm,六边形ABCDEF是其内接正六边形,点P,Q分别从点A,D同时出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE,PE,BQ. 设运动时间为t s. (1)求证:四边形PBQE为平行四边形. (2)填空: ①当t=　　　　时,四边形PBQE为菱形;  ②当t=　　　　时,四边形PBQE为矩形.  解:(1)证明:∵正六边形ABCDEF内接于☉O,∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.∵点P,Q分别从点A,D同时出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动, ∴AP=DQ. 在△ABP和△DEQ中,∴△ABP≌△DEQ(SAS),∴BP=EQ.同理可证PE=QB, ∴四边形PBQE是平行四边形. (2)①当PA=PF,QC=QD时,四边形PBQE是菱形,此时t=2.故答案为2. ②当t=0时,∠EPF=∠PEF=30°,∴∠BPE=120°-30°=90°,∴此时四边形PBQE是矩形.当t=4 s时,同法可知∠BPE=90°,此时四边形PBQE是矩形.综上所述,当t=0或4时,四边形PBQE是矩形. 15、如图，正方形内接于，为上的一点，连接，． （1）求的度数； （2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 解：（1）连接，，∵正方形内接于，∴． ∴；（2）连接，，∵正方形内接于，∴．∵点为的中点，∴，∴∠COP=∠BOP， ∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，∴，∴． 16.如图,正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是☉O的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点M,N分别从点B,C开始,同时以相同的速度在☉O上逆时针运动,AM,BN相交于点P. (1)求图①中∠APB的度数. (2)图②中∠APB的度数是　　　　,图③中∠APB的度数是　　　　.  (3)根据前面的探索,你能否将本题推广到一般的正n边形?若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由. 解:(1)∵点M,N分别从点B,C开始,同时以相同的速度在☉O上逆时针运动, ∴=,∴∠BAM=∠CBN,∴∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°, ∴∠APB=180°-∠BPM=120°. (2)90°　72° (3)能推广到一般的正n边形. 问题:正n边形ABCD…内接于☉O,点M,N分别从点B,C开始,同时以相同的速度在☉O上逆时针运动,AM,BN相交于点P,求∠APB的度数. 结论:∠APB的度数为所在正多边形一个外角的度数,即∠APB=. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·徐州铜山期末）把圆6等分，顺次连接等分点得到图形是（ ） A.正三角形 B.正六边形 C.正八边形 D.正方形 【答案】：B 【解析】：圆6等分，内接正六边形，边长等于半径。 2.（2024·扬州广陵期末）正多边形内角144°，则边数n=（ ） A.8 B.9 C.10 D.12 【答案】：C 【解析】：(n-2)×180÷n=144，解得n=10。 3.（2026·盐城市直二模）正多边形边心距r、半径R关系正确的是（ ） A.r>R B.r=R C.r<R D.无固定大小 【答案】：C 【解析】：R是直角三角形斜边，r为直角边，斜边大于直角边。 4.（2025·宿迁沭阳期末）同圆内接正三角形与正六边形周长之比为（ ） A.1:2 B.:2 C.:1 D.1: 【答案】：B 【解析】：设半径R，正六边形边长R，周长6R；正三角形边长R，周长3R，比值:2。 5．如图，正五边形内接于，连接，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，连接， 则有，∴，根据正多边形的性质可得：，∴，根据圆周角定理可得：，∴，故选：A． 6．如图，将正方形和正五边形的中心重合，按如图位置放置，连接、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，连接，点是正五边形和正方形的中心，，， ．故选：A． 7．如图，A、、、为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解析】如图所示，作正多边形的外接圆，∵，∴， ∴，故选D． 8．如图，正六边形的两条对角线、把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，，∴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的面积比为，故选：A． 　 9、如图，边长为2+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（　　） A．0.5 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为x，∵正方形的边长为2+，∴x+x+x＝2+，解得x＝＝，∴正八边形的边长为，故选：D． 10.如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为(　D　) A.10 B.9 C.8 D.7 【答案】D 【解析】∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°.如图,延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=360°-108°×3 =360°-324°=36°,360°÷36°=10.∵已经有3个正五边形,∴10-3=7,即完成这一圆环还需7个正五边形.故选D. （二）填空题 11.（2025·苏州姑苏期末）正多边形外接圆、内切圆公共圆心称为________ 【答案】：中心 【解析】：教材基础概念填空。 12.（2026·盐城大丰一模）正十二边形外角=________° 【答案】：30 【解析】：外角=中心角=360°÷12=30°。 13.（2024·南通海门期末）正六边形周长36，则外接圆半径=________ 【答案】：6 【解析】：边长36÷6=6，正六边形边长=外接圆半径。 14.（2025·泰州海陵期末）正九边形中心角与内角之和=________° 【答案】：180 【解析】：核心结论：任意正多边形单个内角+同边中心角互补，和为180°。 15.（2026·盐城阜宁二模）正三角形外接圆半径2，面积=________ 【答案】：3 【解析】：边长2，边心距1，S=×6×1=3。 16．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是___________ 【答案】 【解析】如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，由正六边形的性质可得ON＝2，∴ODOF，∴MF1，由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、 △GQM都是正三角形，∴FHMF， 17.阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为__________ 【答案】 【解析】：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=4，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×4=8，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为． 18.如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为____________． 【答案】6-2 【解析】如图，连接OB，OF，OE，OE交BF于点G，根据题意得：△BFO是等边三角形，△CDE是等腰直角三角形， ∴BF=OB=OE=2，∴△BFO的高为：，∴，∵△CDE是等腰直角三角形，OE⊥CD，∴，∴CD=2（2-）= 4−2，∴BC=（2-4+2）=-1∴阴影部分的面积=4S△ABC=4×（-1）•=6-2． 19.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为2，则边心距OM的长为________． 【答案】3 【解析】：如图，连接OB、OC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，OB=OC=2， ∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=OC=2，∵OM⊥BC，∴BM=CM=，在Rt△OBM中，， 20．如图，已知为正六边形的内切圆，M，N是与的切点，连接，若，则五边形的周长为 ． 【答案】 【解析】连接，如图∵为正六边形的内切圆， ∴，，∴是等边三角形， ∴，∴，∵M，N是与的切点，∴，即∴，∴，∴，同理可得：， ∴五边形的周长为． 故答案为：． （三）解答题 21、如图正六边形的边长为1，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出一条长度为0.5的线段，（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形． 解：（1）如图1：连接CF，BD交于点G，则CG即为所求；理由：∵正六边形ABCDEF的边长1，∴BC=CD=1，∠BCD=120°，∴△CBD是等腰三角形，∴∠CBG=30°， 又∵CF是正六边形的对称轴，∴CG⊥BD，在Rt△CBG中，CG=BC=； （2）画图如下：解法一：菱形FGCH即为所求．解法二：菱形AGDH即为所求． 22．历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 解：（1）如图，六边形即为所求；证明：由作图可得， ∴，， ∴， ∴六边形是圆内接正六边形； （2）连接，，过点作于点．∵六边形是圆内接正六边形， ∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，即正六边形的边心距为． 23.如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON. (1)求图①中∠MON的度数； (2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________； (3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案). 解：(1)如图，连接OB，OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°. 又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°. (2)90°，72° （3）∠MON= 24.如图，中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t s. (1) 求证：四边形PBQE为平行四边形； (2) 当四边形PBQE为矩形时，求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比． 解：(1) 证明：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F.因为点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，所以AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6－t.在△ABP和△DEQ中， 所以△ABP≌△DEQ(SAS)，所以BP＝EQ，同理可证PE＝QB，所以四边形PBQE为平行四边形． (2) 连接BE，OA.因为∠AOB＝＝60°，OA＝OB，所以△AOB是等边三角形，所以AB＝OA＝6 cm，BE＝2OB＝12 cm.当t＝0时，点P与点A重合，点Q与点D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1，则∠EAF＝∠AEF＝30°，所以∠BAE＝120°－30°＝90°，所以四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．又AE＝＝6(cm)，所以S矩形PBQE＝S矩形ABDE＝AB·AE＝6×6＝36(cm2)；当t＝6时，点P与点F重合，点Q与点C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2，同理可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形． 综上，当t＝0或t＝6时，四边形PBQE是矩形，且矩形PBQE的面积为36 cm2.因为正六边形ABCDEF的面积＝6S△AOB＝6×S矩形ABDE＝6××36＝54(cm2)，所以当四边形PBQE为矩形时，矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比为2∶3. 25.(1) 如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明； (2) 如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明； (3) 如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，直接写出结论不需证明． 图1 图2 图3 解：(1) 如图1，延长BP至点E，使PE＝PC，连接CE.因为A，B，P，C四点共圆，所以∠BAC＋∠BPC＝180°.因为∠BPC＋∠EPC＝180°，所以∠BAC＝∠CPE＝60°.又PE＝PC，所以△PCE是等边三角形，所以CE＝PC，∠E＝60°.又因为∠BCE＝60°＋∠BCP，∠ACP＝60°＋∠BCP，所以∠BCE＝∠ACP.因为△ABC，△ECP为等边三角形，所以CE＝PC，AC＝BC.在△BEC和△APC中，，所以△BEC≌△APC(SAS)，所以PA＝EB＝PB＋PC. (2) 如图2，过点B作BE⊥PB交PA于点E.因为∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3.易得∠APB＝45°，所以BP＝BE，所以PE＝PB.在△ABE和△CBP中，所以△ABE≌△CBP(SAS)，所以PC＝AE，所以PA＝AE＋PE＝PC＋PB. (3) PA＝PC＋PB.证明如下：如图3，过点B作BM⊥AP于点M，在AP上截取AQ＝PC，连接BQ.因为∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，在△ABQ和△CBP中，， 所以△ABQ≌△CBP(SAS)，所以BQ＝BP，所以MP＝QM.在Rt△PBM中，又因为∠APB＝30°，所以BM＝PB，所以PM＝＝PB，所以PQ＝PB，所以PA＝PQ＋AQ＝PC＋PB. 图1 图2 图3 26．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)【定义】我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)【探索】分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)【总结】随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 解：（1）由题意得，，故答案为：； （2）假设正方形边长1，∴此时正方形的内切圆半径为，∴； 设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则，又∵， ∴是等边三角形，∴，∴，∴； （3），随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册13 《第3章圆第6节正多边形与圆》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握正多边形定义（各边相等+各内角相等双条件），能区分菱形、矩形等非正多边形。 2.理解正多边形与圆双向关系：等分圆得正多边形、任意正多边形有唯一同心外接/内切圆；熟记中心、外接圆半径R、边心距r、中心角4个核心概念。 3.熟练运用核心公式：中心角 、内角 、通用面积S= × 周长 × 边心距 ；会用R、r、构成的直角三角形勾股计算边长、边心距。 4.掌握正多边形对称性质：所有正n边形有n条对称轴；偶数边正多边形兼具中心对称性，奇数边无中心对称。 5.掌握尺规作图方法：可尺规作正3、4、6、8、12边形，通用量角器等分圆作任意正n边形。 6.规避江苏考试高频易错点：混淆中心角与内角、忘记正多边形双定义条件、奇数边图形误判中心对称、面积公式漏乘 、尺规作图步骤遗漏等分弧。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.正多边形四大概念（中心、半径、边心距、中心角）与对应计算公式； 2.R、r、 直角三角形模型线段计算； 3.正多边形周长、面积通用计算； 4.正多边形轴对称、中心对称性质区分； 5.圆内接正六边形特殊结论：边长=外接圆半径。 （二）难点 1.结合圆周角、切线综合求正多边形内角度数； 2.正多边形全等证明、旋转对称类几何探究大题； 3.尺规作图规范书写步骤，等分弧加倍边数拓展作图； 4.同圆内两种不同正多边形叠加中心角计算（江苏一模压轴小问）。 ) 三．自主探究 （一）正多边形定义 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？ 1.定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形.如果一个正多边形有 n (n ≥ 3) 条边，那么这个正多边形叫作正 n 边形. 2.理解： 各边相等，各内角也相等的凸多边形叫正多边形，两个条件缺一不可。 （1）菱形：四边相等，但内角不等，不是正多边形； （2）矩形：四角相等，但边长不等，不是正多边形。 （二）正多边形与圆的双向关系 1.圆生成正多边形 【思考】如何作一个正多边形呢？ 如图，把 ☉O 分成相等的 5 段弧，即，连接各等分点，所得五边形 ABCDE 是正五边形吗？ 【探究】将圆 n (n ≥ 3) 等分，依次连接各等分点，所得到的多边形是正多边形吗？ 将一个圆 n (n ≥ 3) 等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正 n 边形的各顶点 n 等分其外接圆. 2.正多边形生成双圆 任意正多边形有且只有1个外接圆、1个内切圆，两圆为同心圆，公共圆心称为正多边形中心。 （三）四大核心量（必考） 正多边形外接圆的圆心，称其为正多边形的中心.外接圆的半径叫作正多边形的半径.中心到正多边形一边的距离叫作正多边形的边心距.正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫作正多边形的中心角. 设正n边形中心为O，边长a 1.外接圆半径R：中心到顶点的线段长（斜边）； 2.边心距r：中心到一条边的垂线段长，即内切圆半径； 3.中心角：一条边所对圆心角，公式： 4.拆分直角三角形：半径R、边心距r、半边长构成全等直角三角形，满足勾股定理： R2=r2+()2 （四）角度计算公式 1.单个内角： 2.单个外角： ，外角=中心角 3.内角+中心角=180o，（互补） （五）周长与面积通用公式 1.周长：C=na 2.面积（所有正多边形通用）：S=Cr（周长×边心距÷2） 特殊：正六边形边长a=R，可拆分为6个全等等边三角形。 （六）对称性质 1.轴对称： 正三角形、正方形、正五边形、正六边形是否为轴对称图形？如果是轴对称图形，试画它们所有的对称轴. （1）正n边形是轴对称图形，共有n条对称轴; （2）n为奇数时，n条对称轴过中心与顶点; （3）n为偶数时，n条对称轴中:条过中心与顶点:条过中心与边的中点。 2.中心对称： 下列正多边形中哪些是中心对称图形？哪些是旋转对称图形？如果是旋转对称图形，绕中心最少旋转多少度所得图形与原图形重合？ 正 n 边形 ( n 为偶数) 是中心对称图形，它的对称中心就是这个正 n 边形的中心. 正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心. 当 n 为奇数时，正 n 边形的 n 条对称轴都是顶点与中心的连线；当 n 为偶数时，正 n 边形有n/2条对称轴是顶点与中心的连线，有n/2条对称轴是过中心与边垂直的直线.一个正 n 边形，绕它的中心旋转所得图形与这个正 n 边形重合，从而当 n 为偶数时，正 n 边形绕它的中心旋转所得图形与这个正 n 边形重合. 因此正 n 边形( n为偶数)也是中心对称图形，它的对称中心就是这个正 n 边形的中心. （七）等分圆作图方法 用量角器画☉O 的内接正六边形. 如图，已知☉O 的半径为 r，求作☉O 的内接正方形. 1.通用量角器法：计算中心角，在圆心截取n个等角，等分圆周； 2.尺规可作图（仅特殊边数）：正4、8、3、6、12边形；对等分弧作角平分线可加倍边数（正6→正12，正4→正8）。 四．经典例题 例1.（2025·镇江丹徒期末）下列图形一定是正多边形的是（ ） A.四边相等四边形 B.四角相等四边形 C.正方形 D.矩形 例2.（2024·苏州吴中期末）正十边形的中心角度数为（ ） A.30° B.36° C.40° D.45° 例3.（2026·南通通州一模）圆内接正六边形外接圆半径为3，则正六边形边长为（ ） A.3 B.3 C. D.6 例4.（2025·泰州姜堰期末）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（ ） A.正八边形 B.正六边形 C.正五边形 D.正方形 例5．如图，正方形ABCD内接于，点E为上一点，连接BE，若，，则正方形ABCD的边长为___________. 例6．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为________. 例7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，求△AMN周长的最小值． 例8.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O内接正十二边形的一条边，CD＝5 cm，求⊙O的半径． 例9.（2024扬州广陵期中）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作⊙O的切线与AG的延长线交于点M，连接EG. (1) 求AG的长； (2) 求ME的长． 图1 图2 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·镇江丹徒期末）一个正多边形外角为30°，则边数为（ ） A.10 B.12 C.14 D.16 2.（2025·宿迁宿豫期末）正多边形的边心距是它的（ ） A.外接圆半径 B.内切圆半径 C.边长一半 D.中心角平分线 3.（2026·盐城阜宁一模）下列正多边形对称轴数量最多的是（ ） A.正五边形 B.正七边形 C.正九边形 D.正十边形 4.（2025·淮安淮阴期末）半径相等的正三角形、正方形、正六边形，边长最大的是（ ） A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.三者相等 5．如图为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 6．如图，在平面直角坐标系中，点是正六边形的边与轴的交点，，点在第一象限．将绕点顺时针旋转后点的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 7．如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． （二）填空题 9.（2025·苏州吴中期末）正四边形（正方形）中心角=________° 10.（2026·盐城滨海二模）正五边形单个内角=________° 11.（2025·连云港东海期末）正多边形周长30，边心距2，面积=________ 12．如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正八边形的一边．则以为边的内接正多边形的边数为 ． （三）解答题 13、如图，已知正三角形ABC内接于，AD是的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若，求的半径． 14.如图,☉O的半径为4 cm,六边形ABCDEF是其内接正六边形,点P,Q分别从点A,D同时出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE,PE,BQ. 设运动时间为t s. (1)求证:四边形PBQE为平行四边形. (2)填空: ①当t=　　　　时,四边形PBQE为菱形;  ②当t=　　　　时,四边形PBQE为矩形.  15、如图，正方形内接于，为上的一点，连接，． （1）求的度数； （2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 16.如图,正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是☉O的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点M,N分别从点B,C开始,同时以相同的速度在☉O上逆时针运动,AM,BN相交于点P. (1)求图①中∠APB的度数. (2)图②中∠APB的度数是　　　　,图③中∠APB的度数是　　　　.  (3)根据前面的探索,你能否将本题推广到一般的正n边形?若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·徐州铜山期末）把圆6等分，顺次连接等分点得到图形是（ ） A.正三角形 B.正六边形 C.正八边形 D.正方形 2.（2024·扬州广陵期末）正多边形内角144°，则边数n=（ ） A.8 B.9 C.10 D.12 3.（2026·盐城市直二模）正多边形边心距r、半径R关系正确的是（ ） A.r>R B.r=R C.r<R D.无固定大小 4.（2025·宿迁沭阳期末）同圆内接正三角形与正六边形周长之比为（ ） A.1:2 B.:2 C.:1 D.1: 5．如图，正五边形内接于，连接，则的大小是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将正方形和正五边形的中心重合，按如图位置放置，连接、，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，A、、、为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．如图，正六边形的两条对角线、把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（    ） A． B． C． D． 　 9、如图，边长为2+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（　　） A．0.5 B． C．1 D． 10.如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 （二）填空题 11.（2025·苏州姑苏期末）正多边形外接圆、内切圆公共圆心称为________ 12.（2026·盐城大丰一模）正十二边形外角=________° 13.（2024·南通海门期末）正六边形周长36，则外接圆半径=________ 14.（2025·泰州海陵期末）正九边形中心角与内角之和=________° 15.（2026·盐城阜宁二模）正三角形外接圆半径2，面积=________ 16．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是___________ 17.阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为__________ 18.如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为____________． 19.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为2，则边心距OM的长为________． 20．如图，已知为正六边形的内切圆，M，N是与的切点，连接，若，则五边形的周长为 ． （三）解答题 21、如图正六边形的边长为1，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出一条长度为0.5的线段，（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形． 22．历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 23.如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON. (1)求图①中∠MON的度数； (2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________； (3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案). 24.如图，中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t s. (1) 求证：四边形PBQE为平行四边形； (2) 当四边形PBQE为矩形时，求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比． 25.(1) 如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明； (2) 如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明； (3) 如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，直接写出结论不需证明． 图1 图2 图3 26．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)【定义】我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)【探索】分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)【总结】随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $