2026年苏科版八升九年级数学暑期预习讲义（第7讲）——圆心角与圆周角定理（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第7讲）——圆心角与圆周角定理（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】基本概念 1 【知识点二】圆心角定理（同圆或等圆中） 2 【知识点三】圆周角定理 2 【知识点四】圆周角定理四大核心推论（必考） 2 【知识点五】圆内接四边形 3 【知识点六】易错知识点总结 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】圆心角、圆周角的辨析 3 【题型 2】利用圆心角定理求值证明 4 【题型 3】圆周角与圆心角的角度换算（基础计算） 5 【题型 4】直径所对圆周角模型（直角模型） 6 【题型 5】同弧圆周角相等的证明与求值 7 【题型 6】利用圆内接四边形定理证明与求值 8 三.经典题型精析（综合提升） 9 【题型 7】圆心角与圆周角综合 9 【题型 8】圆周角定理与圆内接四边形综合 10 四.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.教材知识梳理 【知识点一】基本概念 类型 定义 图示 要点说明 圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 对应关系：圆心角的度数与它所对弧的度数相等。如图就是圆心角 圆周角 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 核心三要素：①顶点在圆上；②角的两边与圆各有一个交点；③两边为圆的弦。如图、、就是圆周角 【知识点二】圆心角定理（同圆或等圆中） 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 定理 图示 几何语言 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 在中, 2. 推论（知一推三）：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量中，任意一组量相等，其余三组量对应相等。 3. 关键前提：必须是同圆或等圆，不同圆中该定理不成立。 【知识点三】圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等. 定理 图示 几何语言 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等. 在中, 【知识点四】圆周角定理四大核心推论（必考） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。（常用于角度等量代换） 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）。 推论3：90°的圆周角所对的弦是直径。（判定直径的重要方法） 推论4：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 【知识点五】圆内接四边形 类型 定义 图示 要点说明 圆内接四边形 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形. 如图,四边形ABCD是⊙o内接四边形,⊙O四边形ABCD的外接圆. 定理 圆内接四边形的对角互补,一个外角等于其内对角 【知识点六】易错知识点总结 1. 一条弧对应无数个圆周角，但只有一个圆心角； 2. 圆周角的度数只与所对弧的度数有关，与顶点在圆上的位置无关； 3. 优弧、劣弧对应的圆周角不同，解题需注意区分弧的类型； 4. 无“同圆或等圆”前提，不可直接判定弧、弦、角相等。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】圆心角、圆周角的辨析 【例题1】（23-24九年级上·全国·课后作业）图中是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式1】（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·全国·课后作业）图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【题型 2】利用圆心角定理求值证明 【例题2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知的半径为3，弦AB，CD所对的圆心角分别是，．若与互补，弦，求弦AB的长． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）.如图，在半径不等的同心圆中，圆心角∠AOB所对的，的长度有__________关系；的度数与的度数有_____________关系. 【变式3】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【题型 3】圆周角与圆心角的角度换算（基础计算） 【例题3】（2026·山西运城·一模）如图，在中，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·山东菏泽·模拟预测）如图，已知A、B、C都在圆O上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽合肥·一模）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为________． 【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，是的直径，若，则圆周角的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型 4】直径所对圆周角模型（直角模型） 【例题4】（2026·安徽淮南·一模）如图，内接于于点，连接，若，则的大小为___________． 【变式1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图，为的直径，点C，D均在上，，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽阜阳·一模）如图，正方形内接于，点在上，则的度数为___________． 【变式3】（2026·安徽阜阳·一模）如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型 5】同弧圆周角相等的证明与求值 【例题5】（23-24九年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，是的外接圆⊙O的直径，若∠ACB=50°，求∠BAD的度数． 【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，是半圆O的直径，，D是半圆上任意一点，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽芜湖·二模）如图，的两条直径互相垂直，点E在半径上，连接并延长交于点F，若，则________°． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形内接于，延长至点E，连接，，平分，且． （1）求所对的圆心角的度数； （2）求证：是等边三角形． 【题型 6】利用圆内接四边形定理证明与求值 【例题6】（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）已知点A、B、C、D在上，是直径，，，的半径为2． （1）求证：是的平分线； （2）求圆内接四边形的周长． 【变式1】（2026·贵州黔东南·三模）如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽池州·一模）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形内接于，延长至点E，连接，，平分，且． （1）求所对的圆心角的度数； （2）求证：是等边三角形． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 7】圆心角与圆周角综合 【例题7】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【变式1】（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，是的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接是上不与点重合的点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西西安·三模）如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，C是上的一点，且于点O，点D是的中点，连接交于M，连接． （1）的度数为 度． （2）求证：； （3）过点C作于点E，若，求的长． 【题型 8】圆周角定理与圆内接四边形综合 【例题8】（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，，连接． （1）求的度数； （2）求证：． 【变式1】（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是五边形的外接圆，C是的中点，若，，则的度数为________ 【变式3】（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，四边形内接于，连接交于点M，延长至点E． （1）若，猜想和的数量关系，并说明理由； （2）若．求的直径． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·海南儋州·模拟预测）如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南长沙·一模）如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点，，，均在上，连接，，，，于点，若，则的度数是（） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的直径，点，是圆上两点，连接，，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面内，，，是平面内的一动点，且满足，则的最大值为（    ） A．8 B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·北京·阶段检测）如图，是的直径，点是上的一点，点是弧的中点，连接，．若，，则______． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，内接于，，则________． 13．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是直径，点E在上，连接，若，则________． 14．（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）如图，四边形内接于，若弧所对圆心角的度数为，则的度数为__________． 15．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 16．（22-23九年级上·辽宁沈阳·周测）在中，于，，，．则的外接圆的半径为_____． 17．（2021九年级·辽宁沈阳·学业考试）如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，，，则________． 18．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，P是扇形内部的一点（不含边界），连接．若，则的取值范围是__________________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是的两条直径，点、点是圆上的两个点，．求证：． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． （1）求证：； （2）若，求圆弧所对的圆心角的度数． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河北邯郸·期中）点为半圆的圆心，是半圆的直径，．为半圆上的两点，点是弧的中点，连接．，的延长线与的延长线相交于点． （1）若，求_____ （2）求证：； 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连接，，与交于点． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，直径交于点，连接，弦过点且与相交于点G，点D平分． （1）求证：； （2）若的半径为3，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第7讲）——圆心角与圆周角定理（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】基本概念 1 【知识点二】圆心角定理（同圆或等圆中） 2 【知识点三】圆周角定理 2 【知识点四】圆周角定理四大核心推论（必考） 2 【知识点五】圆内接四边形 3 【知识点六】易错知识点总结 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】圆心角、圆周角的辨析 3 【题型 2】利用圆心角定理求值证明 5 【题型 3】圆周角与圆心角的角度换算（基础计算） 9 【题型 4】直径所对圆周角模型（直角模型） 11 【题型 5】同弧圆周角相等的证明与求值 14 【题型 6】利用圆内接四边形定理证明与求值 17 三.经典题型精析（综合提升） 20 【题型 7】圆心角与圆周角综合 20 【题型 8】圆周角定理与圆内接四边形综合 26 四.同步自测 30 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 30 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 38 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 44 一.教材知识梳理 【知识点一】基本概念 类型 定义 图示 要点说明 圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 对应关系：圆心角的度数与它所对弧的度数相等。如图就是圆心角 圆周角 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 核心三要素：①顶点在圆上；②角的两边与圆各有一个交点；③两边为圆的弦。如图、、就是圆周角 【知识点二】圆心角定理（同圆或等圆中） 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 定理 图示 几何语言 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 在中, 2. 推论（知一推三）：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量中，任意一组量相等，其余三组量对应相等。 3. 关键前提：必须是同圆或等圆，不同圆中该定理不成立。 【知识点三】圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等. 定理 图示 几何语言 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等. 在中, 【知识点四】圆周角定理四大核心推论（必考） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。（常用于角度等量代换） 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）。 推论3：90°的圆周角所对的弦是直径。（判定直径的重要方法） 推论4：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 【知识点五】圆内接四边形 类型 定义 图示 要点说明 圆内接四边形 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形. 如图,四边形ABCD是⊙o内接四边形,⊙O四边形ABCD的外接圆. 定理 圆内接四边形的对角互补,一个外角等于其内对角 【知识点六】易错知识点总结 1. 一条弧对应无数个圆周角，但只有一个圆心角； 2. 圆周角的度数只与所对弧的度数有关，与顶点在圆上的位置无关； 3. 优弧、劣弧对应的圆周角不同，解题需注意区分弧的类型； 4. 无“同圆或等圆”前提，不可直接判定弧、弦、角相等。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】圆心角、圆周角的辨析 【例题1】（23-24九年级上·全国·课后作业）图中是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】圆心角是过弧AB两端的半径构成的角． 解：A为圆周角，不符合题意； B是圆心角，符合题意； C不是圆心角，不符合题意； D不是圆心角，不符合题意； 故选：B 【点拨】本题考查圆心角的定义．熟记相关定义即可． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断． 解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念， 故选：D． 【点拨】此题考查了圆周角的概念，解题的关键是熟练掌握圆周角的概念． 【变式2】（25-26六年级下·全国·课后作业）图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 【变式3】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 【题型 2】利用圆心角定理求值证明 【例题2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知的半径为3，弦AB，CD所对的圆心角分别是，．若与互补，弦，求弦AB的长． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，利用等角的补角相等得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理计算的长． 解：如图，延长交于点T，连接． ，， ， ． ， ，， ， ． ， ． 【点拨】本题考查了圆的基本性质，解题的关键是应用圆的性质和勾股定理解决问题． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质． 根据弧、弦、圆心角之间的关系，可得，从而得到，再根据等边对等角的性质求解即可． 解：连接， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）.如图，在半径不等的同心圆中，圆心角∠AOB所对的，的长度有__________关系；的度数与的度数有_____________关系. 【答案】 相等 【分析】根据弧长公式l=，圆心角相同，半径OA＞OA′，得出＞，根据圆心角与弧的关系得出的度数=的度数即可． 解：根据l=，圆心角相同，半径不等，OA＞OA′，，， ∴＞， ∴的度数=的度数，即的度数与的度数有相等关系． 故答案为＞；相等． 【点拨】本题考查圆的弧长公式，圆心角与弧的关系，掌握圆的弧长公式，圆心角与弧的关系是解题关键． 【变式3】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【题型 3】圆周角与圆心角的角度换算（基础计算） 【例题3】（2026·山西运城·一模）如图，在中，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同圆中，等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 解：∵， ∴． 【变式1】（2024·山东菏泽·模拟预测）如图，已知A、B、C都在圆O上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角与圆心角的关系，由此计算的度数即可． 解：弧所对的圆周角是，圆心角是， 已知，由圆周角定理可得． 【变式2】（2026·安徽合肥·一模）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，是的直径，若，则圆周角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求出，再结合圆周角定理即可得到答案． 解：∵是的直径，， ∴， ∴． 【题型 4】直径所对圆周角模型（直角模型） 【例题4】（2026·安徽淮南·一模）如图，内接于于点，连接，若，则的大小为___________． 【答案】/度 【分析】延长交于点，连接，由直径所对圆周角为直角得到，由同弧或等弧所对圆周角相等得到，根据直角三角形两锐角互余得到，由角的和差列式计算即可． 解：如图，延长交于点，连接， ∵是直径，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ． 【变式1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图，为的直径，点C，D均在上，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查直径所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余． 由为的直径，得，而，则，于是得到问题的答案． 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：B． 【变式2】（2026·安徽阜阳·一模）如图，正方形内接于，点在上，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】根据正方形的性质得出，根据圆周角定理即可得答案． 解：如图，连接， ∵正方形内接于， ∴， ∵和是所对的圆周角， ∴． 【变式3】（2026·安徽阜阳·一模）如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可知，，即可得出答案． 解：连接， 是的直径， ， , , ． 【题型 5】同弧圆周角相等的证明与求值 【例题5】（23-24九年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，是的外接圆⊙O的直径，若∠ACB=50°，求∠BAD的度数． 【答案】40° 【分析】连接BD，可得∠ABD=90°，再由∠D=∠C=50°，即可求解． 解：如图，连接BD， ∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径， ∴∠ABD=90°， ∵∠D=∠C=50°， ∴∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°． 【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，是半圆O的直径，，D是半圆上任意一点，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径所对圆周角等于，得到，进而得到，再根据圆周角定理得到． 解：连接， 是半圆O的直径， ， ， ， ， ． 【变式2】（2026·安徽芜湖·二模）如图，的两条直径互相垂直，点E在半径上，连接并延长交于点F，若，则________°． 【答案】67.5 【分析】根据题意可得，再证即可求解． 解：连接， 的两条直径互相垂直， ，， ， ， ， 又， ， 又， ． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形内接于，延长至点E，连接，，平分，且． （1）求所对的圆心角的度数； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）；（2）证明见详解 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据圆周角定理即可得出圆心的度数， （2）先根据圆内接四边形的性质，得出，即可证明是等边三角形． 解：（1）解：∵， ∴， ， ∴所对的圆心角的度数． （2）证明：∵平分，且, ∴， ∴ 四边形内接于， ． ， ． ， ∴ ∴ 是等边三角形， 【题型 6】利用圆内接四边形定理证明与求值 【例题6】（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）已知点A、B、C、D在上，是直径，，，的半径为2． （1）求证：是的平分线； （2）求圆内接四边形的周长． 【答案】（1）见分析；（2）10 【分析】（1）由圆内接四边形性质求出，由直径得到，求出，然后得到，求出即可证明； （2）连接，如图，证明出为等边三角形，得到，，然后证明出四边形为菱形，得到，进而求解即可． 解：（1）证明：∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：连接，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形的周长． 【变式1】（2026·贵州黔东南·三模）如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 【变式2】（2026·安徽池州·一模）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 【答案】/52度 【分析】根据三角形外角的性质可求出，根据圆内接四边形的性质可求出，最后再次利用三角形外角的性质即可求解． 解：∵，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形内接于，延长至点E，连接，，平分，且． （1）求所对的圆心角的度数； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）；（2）证明见详解 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据圆周角定理即可得出圆心的度数， （2）先根据圆内接四边形的性质，得出，即可证明是等边三角形． 解：（1）解：∵， ∴， ， ∴所对的圆心角的度数． （2）证明：∵平分，且, ∴， ∴ 四边形内接于， ． ， ． ， ∴ ∴ 是等边三角形， 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 7】圆心角与圆周角综合 【例题7】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∵，点G恰好是的中点 ∴ ∴， ∴； （2）2 【分析】（1）根据同角的余角相等以及直角三角形斜边中线的性质证明即可； （2）连接，连接并延长交于点，先得到，再由垂径定理的推论得到，利用三线合一得到，设，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 解：（1）略 （2）解：连接，连接并延长交于点， ∵ ∴ ∴ ∵经过圆心， ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴． 【变式1】（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，是的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接是上不与点重合的点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明为等边三角形，可得，根据弧、圆心角的关系求出，再由圆周角定理解答即可． 解：连接， 作图知垂直平分， ∴，弧弧， 为等边三角形， ， 弧弧， ， ． 【变式2】（2025·陕西西安·三模）如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 【答案】/75度 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理证明，则由圆周角定理得到，再由点A、B、C是三等分点，得到，即可利用三角形内角和定理求出答案． 解：如图所示，连接， ． ∵半径长， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 连接， ∵点A、B、C是三等分点， ∴, ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，C是上的一点，且于点O，点D是的中点，连接交于M，连接． （1）的度数为 度． （2）求证：； （3）过点C作于点E，若，求的长． 【答案】（1）22.5；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了圆的相关概念性质的应用，等腰直角三角形的性质及勾股定理的计算是解题关键． （1）由圆周角定理及弧中点性质可得答案； （2）根据等腰三角形的判定，判断，即可证明； （3）利用（1）、（2）的结论，再证明出是等腰直角三角形即可． 解：（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：22.5． （2）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴． 【题型 8】圆周角定理与圆内接四边形综合 【例题8】（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，，连接． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据圆内接四边形的性质，得出，进一步证明是等边三角形，得出，最后根据圆周角定理的推论即可求出的度数； （2）通过在上截取，再连接，构造出全等三角形和等边三角形，再利用其性质即可证明． 解：（1）解：四边形内接于， ． ， ． ， 是等边三角形， ， ， ． 答：的度数为． （2）证明：如图， 在上截取，连接， 由（1）知，是等边三角形， ． ， ． 在和中， ， ． ， 是等边三角形， ， ． 【变式1】（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得的度数，由三角形内角和定理可得的度数，由圆内接四边形对角互补可得的度数，据此可得答案． 解：∵是的直径， ∴； ∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是五边形的外接圆，C是的中点，若，，则的度数为________ 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 连接，，根据圆内接四边形的性质证得，,进而证得，根据三角形内角和定理证得，再利用圆内接四边形的性质，进行计算求解即可． 解：连接，， 四边形是的内接四边形， ，, 是的中点， ， , , 四边形是的内接四边形， , 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，四边形内接于，连接交于点M，延长至点E． （1）若，猜想和的数量关系，并说明理由； （2）若．求的直径． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、勾股定理、圆周角定理，熟记有关定理是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质求解即可； （2）连接并延长，交于点，连接，根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理求出，则，再根据勾股定理求解即可． 解：（1）解：，理由如下： ∵四边形内接于， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴； （2）解：如图，连接并延长，交于点，连接， ∵是直径， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴的直径为． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∵是的直径，即点O是与的交点， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·海南儋州·模拟预测）如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系．先利用直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补可得，再求得，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可解答． 解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是半的内接四边形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，先确定点在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 解：如图，连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点在该量角器所在的圆上， ∴， 故选：B ． 6．（2026·湖南长沙·一模）如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案． 解：四边形内接于， ， 由圆周角定理可得：． 7．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明为等腰直角三角形．设，则，根据勾股定理求得的值，即可求解． 解：如图，连接， ， ， ． 又， ， 为等腰直角三角形． 设，则， 根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 8．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点，，，均在上，连接，，，，于点，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，先证明，得出，再结合同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行作答即可． 解：如图，连接，，， 点，，，均在上，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的直径，点，是圆上两点，连接，，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理以及等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质求出的度数，从而求出的度数，再由等边三角形的性质求出和的度数，最后由圆周角定理求出的度数即可． 解：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：B． 10．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面内，，，是平面内的一动点，且满足，则的最大值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，连接，证明出是等边三角形，得到，得到点A，B，C，D在同一个圆上，得到当是圆的直径时，取得最大值，然后利用含30度角直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 解：如图所示，连接， ∵，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴点A，B，C，D在同一个圆上 ∴如图所示，当是圆的直径时，取得最大值， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的最大值为． 故选：D． 【点拨】此题考查了等边三角形的性质和判定，直径所对的圆周角是直角，含30度角直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·北京·阶段检测）如图，是的直径，点是上的一点，点是弧的中点，连接，．若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查圆的性质，弧、弦、圆心角的性质，直径所对圆周角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆中的相关性质是解题的关键．连接，，，，，连接交于点，先证明，，设，在与中利用勾股定理列式求出，再利用勾股定理求出，得出，利用直径所对圆周角为得，再利用勾股定理求解即可． 解：如图，连接，，，，，连接交于点， ∵点是弧的中点， ∴， 又∵， ∴，， 设， 则， 在与中，得， 得， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，内接于，，则________． 【答案】50 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，由圆周角定理可得的度数，根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 解：如图所示，连接， ∵内接于，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是直径，点E在上，连接，若，则________． 【答案】20 【分析】连接，由圆内接四边形对角互补可得的度数，由直径所对的圆周角相等和直角三角形两锐角互余可得的度数，再由同弧所对的圆周角相等可得答案． 解：如图所示，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）如图，四边形内接于，若弧所对圆心角的度数为，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据圆周角定理可得，由圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 解：∵弧所对圆心角的度数为， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 15．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 【答案】 【分析】根据垂径定理得，继而得到，可得答案． 解：∵的直径弦，， ∴， ∴． 16．（22-23九年级上·辽宁沈阳·周测）在中，于，，，．则的外接圆的半径为_____． 【答案】 【分析】如图，作及的外接圆，直径为，连接，根据圆周角定理得，证明得，代入数据求得的长，可得答案． 解：如图，作及的外接圆，直径为，连接， ∵， ∴， ∵是外接圆的直径， ∴， 又∵与所对的弧为，，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴外接圆的半径为：． 17．（2021九年级·辽宁沈阳·学业考试）如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，，，则________． 【答案】/100度 【分析】先求出∠ADB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠AOB的度数． 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，P是扇形内部的一点（不含边界），连接．若，则的取值范围是__________________． 【答案】 【分析】延长交于，根据圆周角定理，根据三角形的外角的性质可得，得出，当点在上时，得出，即可求解． 解：如图1，延长交于，连接， ， ， ， ， 如图，当点在上时， ∵， ∴ ∵P是扇形内部的一点（不含边界）， ∴ ， 的取值范围是， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 连接，根据平行线的性质，得、，通过等腰三角形的性质，推得，利用圆心角、弧、弦的关系即可求解． 解：如图，连接， ， ，， ， ， ， ． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是的两条直径，点、点是圆上的两个点，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了等角对等弧、等弧对等弦，全等三角形的判定与性质，连接，，由得，进而得，证明即可得出结论． 解：如图，连接，， ∵是的两条直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． （1）求证：； （2）若，求圆弧所对的圆心角的度数． 【答案】（1）见分析；（2）圆弧所对的圆心角的度数为． 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）连接，利用，，得到，再利用圆周角定理即可解答． 解：（1）证明：连接， ∵是半的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴圆弧所对的圆心角的度数为． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河北邯郸·期中）点为半圆的圆心，是半圆的直径，．为半圆上的两点，点是弧的中点，连接．，的延长线与的延长线相交于点． （1）若，求_____ （2）求证：； 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查了圆周角定理（直径所对圆周角为直角、弧中点对应圆周角相等）、全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理并结合全等三角形证明是解题的关键． （1）先根据直径所对圆周角为直角得，结合求出；再利用弧中点的性质得，进而求出． （2）利用弧中点的性质得，结合，证明，从而得出． 解：（1）解：∵ 是半圆的直径， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∵ 点是弧的中点， ∴ ， ∴ ， 故答案为：； （2）证明：∵ 点是弧的中点， ∴ ， ∵ 是半圆的直径， ∴ ， ∴ ， 在和中， ∵ ，，， ∴（）， ∴ ． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连接，，与交于点． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）如图，连接，利用等腰三角形的性质证明 ，再利用中位线的性质可得答案； （2）先证明， 求解 再利用角的和差关系可得答案． 解：（1）证明：如图，连接， 为⊙O的直径， ，而 ， ， ， ； （2）解：为⊙O的直径， ，而， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理的应用，三角形内角和定理等知识，熟悉以上重点图形的基本性质是解本题的关键． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，直径交于点，连接，弦过点且与相交于点G，点D平分． （1）求证：； （2）若的半径为3，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理的应用； （1）根据垂径定理的推论可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据圆周角定理可得，进而即可得证； （2）根据直径所对的圆周角是直角，以及勾股定理求得的长，进而根据中位线的性质即可求解． 解：（1）证明：如图，连接， ∵弦过点 ∴是的直径， ∵点D平分 ∴， ∴，， ∴ 又∵ ∴ （2）解：连接， ∵ ∴ 又∵是的直径，则， ∴， ∴， 由（1）可得，是的直径， ∴， 又∵， ∴ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $