2026年苏科版八升九年级数学暑期预习讲义（第6讲）——垂径定理（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第6讲）——垂径定理（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】前置知识回顾 2 【知识点二】垂径定理（核心必考） 2 【知识点三】垂径定理推论 2 【知识点四】垂径定理五要素（知二推三） 2 【知识点五】垂径定理——半径、弦心距、半弦长直角三角形模型 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】利用垂径定理求弦心距 3 【题型 2】利用垂径定理求半径 5 【题型 3】利用垂径定理求弓高 9 【题型 4】利用垂径定理求弦长 12 三.经典题型精析（巩固提升） 15 【知识点六】常见解题技巧指南 15 【题型 5】垂直定理及推论的理解 16 【题型 6】利用垂径定理求平行弦间距离（分类讨论） 18 【题型 7】利用垂径定理求同心圆中的值 20 【题型 8】垂径定理与折叠问题 22 【题型 9】利用垂径定理解决综合问题 25 四.同步自测 30 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 30 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 38 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 45 一.教材知识梳理 【知识点一】前置知识回顾 1. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴。 2. 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦是直径（圆中最长的弦）。 3. 圆心到弦的距离叫做弦心距。 4. 勾股定理：直角三角形中，，是垂径定理计算的核心工具。 【知识点二】垂径定理（核心必考） 定理 图示 几何语言 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 若为直径，于点， 则：，，。 【知识点三】垂径定理推论 文字语言：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 【要点提示】推论中弦不能是直径！因为任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，此条件缺一不可。 【知识点四】垂径定理五要素（知二推三） 一条直线若满足以下任意两个条件，可推出剩余三个结论： 1. 过圆心（直径）； 2. 垂直于弦； 3. 平分弦（非直径）； 4. 平分弦所对的优弧； 5. 平分弦所对的劣弧。 【知识点五】垂径定理——半径、弦心距、半弦长直角三角形模型 1. 遇到弦的计算，必做辅助线：过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的端点（半径）。 2. 构造Rt△： 3. 设：半径为，弦心距为，弦长为 4. 核心公式： 5. 拓展：弓形高（弦在圆心下方）或 （弦在圆心上方） 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用垂径定理求弦心距 【例题1】（24-25九年级上·江西新余·期末）如图，已知的半径为，是的弦，，点是线段上的动点，连接，则的最小值是____． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，理解垂线段最短是解题的关键．连接，当时，的最小值，由垂径定理可得：，再根据勾股定理即可求解． 解：连接，当时，的最小值， 是的弦，， ， 的半径为，即， ， 故答案为：． 【变式1】（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 解：为直径，，， ， 在中，． 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为________． 【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，根据垂径定理得出，设的半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 解：如图，连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 【变式3】（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵是上的一动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为， 故选：A 【题型 2】利用垂径定理求半径 【例题2】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，P是的弦延长线上的一点，，，求的半径． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．过点作于点，连接，先根据垂径定理可得，则可得，再在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 解：如图，过点作于点，连接， ∵于点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴在中，， 即的半径为． 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【答案】// 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在中由勾股定理建立方程求解即可． 解：如图，连接， 设圆的半径为， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴半径为． 【变式2】（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C． （1）用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）设是等腰三角形，底边cm，腰cm，求圆片的半径R． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）可根据，的垂直平分线来确定圆心． （2）本题可通过构建直角三角形来求解．连接交于．先求出的值，然后在直角三角形中，用半径表示出，，然后根据勾股定理求出半径的值． 解：（1）解：分别作、的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心． （2）连接交于，连接． ， ，（cm）， 在中，（cm）， 设的半径为cm，在中， ，即， ， ． 所以所求圆的半径为cm． 【点拨】本题综合考查了垂径定理，勾股定理等知识点，要注意作图中是根据垂径定理作为作图依据． 【题型 3】利用垂径定理求弓高 【例题3】（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，水平放置的一个油管的截面半径为，其中有油部分油面宽为，则截面上有油部分油面（单位：）等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂径定理，易知、的长；连接，根据勾股定理即可求出的长，进而可求出的值． 此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用． 解：如图；连接； 根据垂径定理，得； 中，，； 根据勾股定理，得：； ； 故选：A． 【变式1】（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知 是线段 的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出 的长，最后根据半径计算的长即可． 解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知， 垂直平分线段 ， ，， 在 中，由勾股定理得：， 点在上， ， ． 【变式2】（24-25九年级上·云南玉溪·期末） 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，则最大深度的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由题意可得：，根据垂径定理得，再由勾股定理得，即可求解． 解：连接， 由题意可得：， ， ， ， ， 故选：C． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，过点O作于点D，交于点C，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案． 解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：2． 【题型 4】利用垂径定理求弦长 【例题4】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，且，为上一点，过作，交于点，交于点．若为中点，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理可得，最后结合勾股定理求解即可． 解：连接， 是的直径，且，， ，， 为中点， ， 根据勾股定理，得， ． 【变式1】（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）在中，为一条弦（不是直径），过作交于点，交于点，．若的半径为5，则的长为（     ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的长度，再结合勾股定理求出半弦长，最后根据垂径定理得到弦的长度． 解：如图， 的半径为， ， ， ， ， 由垂径定理得，且， 在中，由勾股定理得：， ． 【变式2】（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）如图，为的直径，弦，垂足为E，，半径为3，则弦的长为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接，由，得，在中，利用勾股定理得，再由垂径定理可得． 解：连接， ∵，半径为3， ∴，， ∵，是的直径， ∴ , ∴， 故选：B． 【变式3】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，，求解，进一步可得答案． 解：∵点是劣弧中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 三.经典题型精析（巩固提升） 【知识点六】常见解题技巧指南 1. 辅助线口诀：遇弦作垂直，半径连端点，直角三角形一键成型。 2. 计算必用半弦长：垂径定理所有计算，一律用半弦长代入勾股定理，切勿直接用整弦长。 3. 推论避坑：平分直径的直径不垂直，做题看到“平分弦”优先确认是否为直径。 4. 平行弦必分类：题目无图时，默认双解（同侧、异侧）。 【题型 5】垂直定理及推论的理解 【例题5】（2026·上海松江·二模）已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 【答案】A 【分析】根据垂径定理及其推论求解即可． 解：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，因此命题①是真命题； 对于命题②，当被平分的弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不是直径”的条件，因此命题②是假命题， 综上，①是真命题，②是假命题． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．等弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】本题考查弧、弦、圆周角之间的关系，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据弦、弧、圆周角的关系及垂径定理，逐项分析判断即可得出答案． 解：A、相等的弦所对的弧不一定相等，要在同圆或者等圆中才成立，故原说法错误，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意； C、在同圆或者等圆中，长度相等的弧才是等弧，故原说法错误，不符合题意； D、等弧所对的圆周角相等，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 【变式3】（23-24九年级下·全国·课后作业）下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理对①进行判断；根据垂径定理的推论对②③④⑤进行判断． 解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条． ①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件，所以①正确； ②只满足其中的一个条件，所以不正确； ③不满足条件，所以不正确； ④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确． 故选：A． 【题型 6】利用垂径定理求平行弦间距离（分类讨论） 【例题6】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 【变式】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 解：解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 核心考点：圆中平行弦、动点弦问题，必须分类讨论，绝大多数学生只算一种情况导致丢分。 【题型 7】利用垂径定理求同心圆中的值 【例题7】（24-25九年级下·全国·期中）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由大圆的弦与小圆相切可得，再根据垂径定理得，进而推出是等腰直角三角形，再利用扇形的面积公式即可求解． 解：大圆的弦与小圆相切， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 扇形的面积． 故选：C． 【变式】（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． （1）求证：； （2）连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】（1）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； （2） 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：（1）略 （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 【题型 8】垂径定理与折叠问题 【例题8】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键．过点作的垂线交于点，交半圆于点，由轴对称的性质可知，，由勾股定理可得，再利用垂径定理求解即可． 解：如图，过点作的垂线交于点，交半圆于点， ， ， 由轴对称的性质可知，， 在中，， 是半径，， ， 故选：A． 【变式】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点C在优弧上，将沿直线折叠后刚好经过弦的中点D．若的半径为，，则折痕线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关性质，全等三角形的判定与性质以及运用勾股定理求线段长度，理解圆的对称性并运用对称性作相关辅助线是解题关键．取D关于的对称点，在上，连接，，，，，，，过点C作于点E，过点O作于点F．先求的长度，再证明，从而证明，最后运用矩形的判定及性质以及勾股定理求出的长． 解：取D关于的对称点，在上，连接，，，，，，，过点C作于点E，过点O作于点F． ∵D为弦的中点，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵D为弦的中点， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型 9】利用垂径定理解决综合问题 【例题9】（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； （2）的半径为． 【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 解：（1）证明：略； （2）解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 【变式1】（2026·山东临沂·二模）如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． （1）如图1，若，，求的半径； （2）如图2，若，求证：． 【答案】（1）；（2）证明：过作于， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）根据，结合同圆半径相等，推导与的位置关系，确定为直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可； （2）过作于，利用垂径定理求出长，进而得到，证明，则，从而得出结论． 解：（1）解：， ， ， ，即， ， ， ， 解得：， 即的半径为； （2）略． 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，中直径弦于E，点F是的中点，交于I，连接． （1）求证：． （2）若，求的半径长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查三角形内心的性质，勾股定理, 掌握三角形内心的性质及勾股定理是解题的关键. （1）利用三角形内心的性质及外角的性质可得，从而可证； （2）设的半径为r，根据勾股定理列方程得：，解方程可得结论． 解：（1）证明：如图，连接， ∵为的直径，且， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴I是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接， 设的半径为r， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ， （不合题意，舍去） 答：的半径是． 【变式3】（2025九年级上·山东·专题练习）如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． （1）证明：； （2）试猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质． （1）根据，证得，进而根据垂径定理证得； （2）先证明是的中位线，得出，进而得出结论． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想：． 证明：∵，， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）如图的直径为10，圆心到弦的距离的长为4，则弦的长是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查利用垂径定理和勾股定理求解，先根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出的值即可得出． 解：连接， ∵的直径为10， ∴， ∵圆心O到弦的距离的长为4， 由垂径定理知，点M是的中点，， 由勾股定理可得，， 所以． 故选：B． 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为，则圆柱形容器的截面直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是利用勾股定理建立方程求解半径．根据垂径定理得，设半径为，则，再由勾股定理得，代入相关长度即可求解圆柱形容器截面的半径，进而得到直径． 解：如图，标注字母， 由题意得，于点，， ， ， 设半径为，则， 在中，， 即， 解得， 该圆柱形容器的截面直径为， 故选：． 3．（2025·陕西西安·一模）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B．45 C．50 D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得． 解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， ∵是弦的垂直平分线， ∴圆心在直线上， 又∵是弦的垂直平分线，， ∴，， 设圆形工件的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴圆形工件的半径为， 故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．由题意和垂径定理得，，再根据勾股定理可得，即可得出答案． 解：如图，垂直平分，连接， 由题意得：， ∵垂直平分， ∴，，， 根据勾股定理可得，， ∴． 故选：C． 5．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，，，是⊙O上的点，，垂足为点，且为的中点，若的长为6，则的长为（   ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，根据已知条件证得，则． 解：∵，且D为的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 7．（22-23九年级下·广西防城港·阶段检测）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故选：A． 【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 8．（2026九年级下·甘肃临夏·学业考试）如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·天津·阶段检测）“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为⊙O的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（    ） A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识点，连接，设圆的半径是x寸，根据垂径定理得出寸，在中，寸，，在中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径的长，正确作出辅助线是关键． 解：连接，设圆的半径是x寸， ∵弦，寸， ∴寸， 在中，寸，， ∵， 则， 解得：， 则（寸）． 故选：D． 10．（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）如图，在中，直径于点，，，则弦的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 解：，， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：B． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，的直径，弦于点，若，则___． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理计算即可． 解：连接， ∵是的直径，弦于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：8． 12．（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为__． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，设圆的半径长是r，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的直径的长． 解：设圆的半径长是r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的直径． 故答案为：10． 13．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为一点，于D．若米，米，则的的半径长为_______米． 【答案】 【分析】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度．根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出半径长度即可． 解： ，点是这段弧所在圆的圆心， ， ，， ， . 米，， 米 设，则， 在中，， ， 即的半径长为米． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为______米． 【答案】1 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，作于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，利用勾股定理构建求解即可． 解：如图，过点O作交于点E， 交⊙O于点D，如图， ∵， ∴米， 根据题意得：米， 设圆的半径为r米， ∵， ∴（米）， ∵圆心到水面的距离为4米， ∴（米）， ∴该圆在水面下的最深处到水面的距离为为1米， 故答案为：1． 15．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，求得点的坐标是解题的关键． 作轴于点，交于点，作于点，连接，由于，，得到点的坐标为，则，为等腰直角三角形，根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，则，即可得到答案． 解：如图，作轴于点，交于点，作于点，连接， 的圆心坐标是， ， 把代入得， 点的坐标为， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 16．（24-25九年级上·重庆巫山·期末）如图，在半径为的中，是直径，是弦，交于点，与交于点．若是的中点，则的长是________　   【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理；根据垂径定理得出，进而证得，根据三角形中位线定理求得，从而求得，利用勾股定理即可求得，进而根据即可求解． 解：， ，， ，， ， 是直径， ， 是的中点， 在和中， ，   （）， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；也考查了勾股定理．过O点作于H点，连结，如图，根据垂径定理得到，设，则，再利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可． 解：过O点作于H点，连结，如图，则 设，则， 在中， 中，， ， 解得，或 即小圆半径是． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，是的外接圆，于点D，交于点E，若，，则的长为______． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得，，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵， ∴，， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·广东·一模）如图，在中，半径为5， （1）请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； （2）求的长． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 【分析】（1）根据题意作图，即可； （2）根据垂径定理可得，进而根据勾股定理，求得，再求得的长，即可求解． 解：（1）略 （2）∵， ∴， ∵半径， ∴在中，， ∴． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，有三点． （1）经过三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为_______； （2）点绕点逆时针旋转后的点的坐标为_______此时点旋转到点所经过的路径长为_______（结果保留）． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据垂径定理可作和的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为点M； （2）根据旋转的性质在图上作出线段，即可得到点D的坐标，得出，最后根据弧长公式即可求出点旋转到点所经过的路径长． 解：（1）解：如图，点的坐标为， 故答案为：； （2）如图，点绕点逆时针旋转后的点的坐标为， 点旋转到点所经过的路径长为， 故答案为：，． 【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，旋转的性质，掌握相关知识是解题的关键． 21．（本小题满分10分）（2025·安徽·一模）如图，是半圆的直径，弦，点在弦上，连接，． （1）若，，，求的长； （2）在上取一点，使得，求证：． 【答案】（1）；（2） 解：连接． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质． （1）过点作于点．利用垂径定理结合勾股定理求得，再利用三角函数的定义列式计算即可求解； （2）连接．利用平行线的性质结合等边对等角求得，再利用证明，即可证明． 解：（1）解：过点作于点． ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴； （2）略 22．（本小题满分10分）（第02讲垂直于弦的直径（2个知识点 4类热点题型讲练 习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版））如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，． （1）求证：； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）作，垂足为E，根据垂径定理求出，，得到，即可推出； （2）连接，，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出． 解：（1）证明：作，垂足为E， 由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点， ∴，， ， 即； （2）解：连接，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴小圆的半径为． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽为1.8米，高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，求月亮门所在圆O的半径为多少米？ 【答案】圆O的半径为米 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，连接，设圆O的半径为米，则米，由垂径定理可得米，求出米，再由勾股定理计算即可得解． 解：如图，连接， ， 设圆O的半径为米，则米， ∵，为1.8米， ∴米， ∵高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米， ∴米， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴圆O的半径为米． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知的直径垂直弦于点，连接并延长交于点，且 （1）求证：点是的中点； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】（1）根据垂径定理得出，证明，得出，同理：，证明是等边三角形，得出，根据直角三角形性质得出，即可证明结论； （2）根据，得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出结果． 解：（1）解：证明：如图，连接． ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 同理：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴ ∴是的中点． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴． 【点拨】本题主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含度角直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，证明是等边三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第6讲）——垂径定理（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】前置知识回顾 2 【知识点二】垂径定理（核心必考） 2 【知识点三】垂径定理推论 2 【知识点四】垂径定理五要素（知二推三） 2 【知识点五】垂径定理——半径、弦心距、半弦长直角三角形模型 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】利用垂径定理求弦心距 3 【题型 2】利用垂径定理求半径 4 【题型 3】利用垂径定理求弓高 5 【题型 4】利用垂径定理求弦长 6 三.经典题型精析（巩固提升） 7 【知识点六】常见解题技巧指南 7 【题型 5】垂直定理及推论的理解 7 【题型 6】利用垂径定理求平行弦间距离（分类讨论） 8 【题型 7】利用垂径定理求同心圆中的值 8 【题型 8】垂径定理与折叠问题 8 【题型 9】利用垂径定理解决综合问题 9 四.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.教材知识梳理 【知识点一】前置知识回顾 1. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴。 2. 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦是直径（圆中最长的弦）。 3. 圆心到弦的距离叫做弦心距。 4. 勾股定理：直角三角形中，，是垂径定理计算的核心工具。 【知识点二】垂径定理（核心必考） 定理 图示 几何语言 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 若为直径，于点， 则：，，。 【知识点三】垂径定理推论 文字语言：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 【要点提示】推论中弦不能是直径！因为任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，此条件缺一不可。 【知识点四】垂径定理五要素（知二推三） 一条直线若满足以下任意两个条件，可推出剩余三个结论： 1. 过圆心（直径）； 2. 垂直于弦； 3. 平分弦（非直径）； 4. 平分弦所对的优弧； 5. 平分弦所对的劣弧。 【知识点五】垂径定理——半径、弦心距、半弦长直角三角形模型 1. 遇到弦的计算，必做辅助线：过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的端点（半径）。 2. 构造Rt△： 3. 设：半径为，弦心距为，弦长为 4. 核心公式： 5. 拓展：弓形高（弦在圆心下方）或 （弦在圆心上方） 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用垂径定理求弦心距 【例题1】（24-25九年级上·江西新余·期末）如图，已知的半径为，是的弦，，点是线段上的动点，连接，则的最小值是____． 【变式1】（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为________． 【变式3】（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 【题型 2】利用垂径定理求半径 【例题2】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，P是的弦延长线上的一点，，，求的半径． 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【变式2】（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C． （1）用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）设是等腰三角形，底边cm，腰cm，求圆片的半径R． 【题型 3】利用垂径定理求弓高 【例题3】（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，水平放置的一个油管的截面半径为，其中有油部分油面宽为，则截面上有油部分油面（单位：）等于（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 【变式2】（24-25九年级上·云南玉溪·期末） 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，则最大深度的长为（       ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为_______． 【题型 4】利用垂径定理求弦长 【例题4】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，且，为上一点，过作，交于点，交于点．若为中点，则的长为____________． 【变式1】（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）在中，为一条弦（不是直径），过作交于点，交于点，．若的半径为5，则的长为（     ） A．10 B．5 C． D． 【变式2】（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）如图，为的直径，弦，垂足为E，，半径为3，则弦的长为（   ） A． B． C．2 D．1 【变式3】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 三.经典题型精析（巩固提升） 【知识点六】常见解题技巧指南 1. 辅助线口诀：遇弦作垂直，半径连端点，直角三角形一键成型。 2. 计算必用半弦长：垂径定理所有计算，一律用半弦长代入勾股定理，切勿直接用整弦长。 3. 推论避坑：平分直径的直径不垂直，做题看到“平分弦”优先确认是否为直径。 4. 平行弦必分类：题目无图时，默认双解（同侧、异侧）。 【题型 5】垂直定理及推论的理解 【例题5】（2026·上海松江·二模）已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．等弧所对的圆周角相等 【变式2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级下·全国·课后作业）下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型 6】利用垂径定理求平行弦间距离（分类讨论） 【例题6】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【变式】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 核心考点：圆中平行弦、动点弦问题，必须分类讨论，绝大多数学生只算一种情况导致丢分。 【题型 7】利用垂径定理求同心圆中的值 【例题7】（24-25九年级下·全国·期中）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． （1）求证：； （2）连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【题型 8】垂径定理与折叠问题 【例题8】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点C在优弧上，将沿直线折叠后刚好经过弦的中点D．若的半径为，，则折痕线段的长为_____． 【题型 9】利用垂径定理解决综合问题 【例题9】（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 【变式1】（2026·山东临沂·二模）如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． （1）如图1，若，，求的半径； （2）如图2，若，求证：． 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，中直径弦于E，点F是的中点，交于I，连接． （1）求证：． （2）若，求的半径长． 【变式3】（2025九年级上·山东·专题练习）如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． （1）证明：； （2）试猜想与之间的数量关系，并证明． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）如图的直径为10，圆心到弦的距离的长为4，则弦的长是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为，则圆柱形容器的截面直径为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·一模）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B．45 C．50 D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，，，是⊙O上的点，，垂足为点，且为的中点，若的长为6，则的长为（   ） A．3 B．5 C． D．6 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 7．（24-25九年级下·广西防城港·阶段检测）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　） A． B． C． D． 8．（2026九年级下·甘肃临夏·学业考试）如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·天津·阶段检测）“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为⊙O的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（    ） A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 10．（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）如图，在中，直径于点，，，则弦的长为（    ） A．9 B． C．10 D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，的直径，弦于点，若，则___． 12．（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为__． 13．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为一点，于D．若米，米，则的的半径长为_______米． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为______米． 15．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是________． 16．（24-25九年级上·重庆巫山·期末）如图，在半径为的中，是直径，是弦，交于点，与交于点．若是的中点，则的长是________　   17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是________． 18．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，是的外接圆，于点D，交于点E，若，，则的长为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·广东·一模）如图，在中，半径为5， （1）请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； （2）求的长． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，有三点． （1）经过三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为_______； （2）点绕点逆时针旋转后的点的坐标为_______此时点旋转到点所经过的路径长为_______（结果保留）． 21．（本小题满分10分）（2025·安徽·一模）如图，是半圆的直径，弦，点在弦上，连接，． （1）若，，，求的长； （2）在上取一点，使得，求证：． 22．（本小题满分10分）（第02讲垂直于弦的直径（2个知识点 4类热点题型讲练 习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版））如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，． （1）求证：； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽为1.8米，高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，求月亮门所在圆O的半径为多少米？ 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知的直径垂直弦于点，连接并延长交于点，且 （1）求证：点是的中点； （2）若，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $