专题06圆的对称性、圆周角 暑假预习讲义. -2026年苏科版数学八升九年级上册

专题06圆的对称性、圆周角 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.圆的对称性、垂径定理与圆心角定理体系：：认识圆的轴对称性与中心对称性，重点掌握由圆的轴对称性推导得出的垂径定理及推论；掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦三者的等量关系定理，能够实现三者之间的互相推理与等量转化。 2.圆周角定义与定理推论体系：掌握圆周角的定义与判定条件，区分圆周角与圆心角；熟练掌握圆周角定理及其两大重要推论，理解直径与直角圆周角的特殊关系，能够运用定理解决圆内角度计算与简单几何证明问题。 ✅本节严格遵循课本“图形性质探究—核心定理归纳—定理应用拓展”的递进逻辑，依托圆的对称性质，推导垂径定理及圆心角、弧、弦的等量关系，进一步探究圆周角定理及其推论。知识点体系完整、贴合课本基础要求，是解决圆中角度、弧、线段相关基础题型的核心理论依据。 ✺学习目标： 知识要求：1.理解圆的轴对称性和中心对称性，掌握圆的对称轴的数量与特征，熟练掌握垂径定理及其推论的内容与适用条件。 2.掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系定理，明确定理的适用条件，熟练掌握三者等量转化的规律。 3.掌握圆周角的定义与判定条件，能准确区分圆心角与圆周角。 4.理解并熟记圆周角定理及其推论，掌握直径所对圆周角的特殊性质，明晰定理的适用前提。 能力要求：1.能准确识别圆的对称特征，熟练运用垂径定理解决圆中弦长、弦心距、半径的简单计算与证明，能准确识别圆心角、圆周角，建立圆中角、弧、线段之间的关联思维。 2.能运用圆心角、弧、弦关系定理，完成圆中弧、弦、角相等的简单推理证明。 3.能熟练运用圆周角定理及推论进行圆内角度计算，掌握直径构造直角三角形的基础几何模型。 应试要求：吃透圆的对称性质、垂径定理、圆心角与弧弦关系、圆周角定理及推论等核心知识，熟练应对概念辨析、长度与角度计算、简单证明等基础题型，夯实圆的几何解题核心依据。 ✺题型归纳： 题型1.利用弧、弦、圆心角关系求解 题型2.利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型3.求圆弧的度数 题型4.利用垂径定理求值 题型5.利用垂径定理求平行弦问题 题型6.利用垂径定理求同心圆问题 题型7.利用垂径定理求解其他问题 题型8.垂径定理的推论 题型9.垂径定理的实际应用 题型10.圆周角的概念辨析及简单运算 题型11.圆周角定理 题型12.同弧或等弧所对的圆周角相等 题型13.半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型14.90度的圆周角所对的弦是直径 题型15.已知圆内接四边形求角度 题型16.求四边形外接圆的直径 ✺知识◆清单 知识点一、圆的对称性 1.轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，因此圆有无数条对称轴。任意一条直径所在的直线都能将圆分成两个能够完全重合的半圆。 2.中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是圆的对称中心。将圆绕着圆心旋转任意一个角度，旋转后的图形都能与原图形完全重合，这一特性是研究圆心角、弧、弦关系的重要基础。 知识点二、垂径定理及其推论 1.弦心距：圆心到弦的垂线段的长度，叫做弦心距。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 3.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.推论关键前提:推论中必须注明“弦不是直径”，因为圆中任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，因此被平分的弦为直径时，推论不成立。 知识点三、圆心角、弧、弦之间的关系 ▶本节所有圆心角、弧、弦的等量关系定理，只在同圆或等圆中成立，半径不等的不同圆不适用该定理。 1. 核心定理内容:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2.定理推论（知一推二） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.定理核心作用 该定理实现了圆中圆心角、弧、弦三类几何量的互相转化，是证明圆中弧相等、弦相等、圆心角相等的重要依据。 知识点四、圆周角 1. 圆周角定义:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角。如下图， ∠ABC是圆周角. 2.圆周角判定条件（缺一不可） ① 角的顶点必须在圆上；② 角的两条边必须与圆相交。 3.圆周角与圆心角的区别 对比维度 圆心角 圆周角 顶点位置 角的顶点在圆心 角的顶点在圆上 完整定义 顶点在圆心，两边与圆相交的角 顶点在圆上，且两边都与圆相交的角 判定要求 只需顶点在圆心，两边为半径，天然与圆相交 必须同时满足顶点在圆上、两边与圆相交两个条件 弧角对应关系 同一个圆心角唯一对应一段对应弧 同一段弧可对应无数个度数相等的圆周角 角度数量关系 同弧所对的圆心角度数是圆周角的2倍 同弧所对的圆周角度数是圆心角的二分之一 二者之间的联系：两边都与圆相交。 知识点五、圆周角定理及其推论 1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 即在下图中，∠ABC=∠AOC 2.定理解读:在圆中，同一条弧可以对应无数个圆周角，这些圆周角的度数全部相等，且始终等于该弧对应圆心角度数的一半。 3.圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；（即∠DBE=∠DAE=∠DCE） 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 4.基础几何结论:一条弧只对应唯一的圆心角，但对应无数个相等的圆周角；利用直径所对的圆周角为直角，可快速构造直角三角形，是圆中最基础、最常用的几何模型。 知识点六、圆内接多边形 1.圆内接多边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。 2.圆内接四边形性质： ●圆内接四边形的对角互补，； ●圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。 ✺题型◆精讲 题型1.利用弧、弦、圆心角关系求解 1．如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径，即点O是与的交点， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【答案】 【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与相等的弧是， 故答案为： 3．如图，是直径，，．求的大小． 【答案】 【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：，， ， 是直径， ． 题型2.利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．如图，在同圆中，若，则______．（“”“”或“”） 【答案】 【分析】取的中点E，根据圆心角、弦的关系、三角形三边关系求解即可． 【详解】解：取的中点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 3．如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可． 【详解】证明：∵， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∴． 题型3.求圆弧的度数 1．已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 2．如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 【答案】55 【分析】连接，由求得，根据，得到，再利用对顶角相等，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 3．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 题型4.利用垂径定理求值 1．在中，为一条弦（不是直径），过作交于点，交于点，．若的半径为5，则的长为（     ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的长度，再结合勾股定理求出半弦长，最后根据垂径定理得到弦的长度． 【详解】解：如图， 的半径为， ， ， ， ， 由垂径定理得，且， 在中，由勾股定理得：， ． 2．如图，于E，，，则的半径为___________． 【答案】10 【分析】连接，然后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 即的半径为10． 3．如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 【答案】(1) 解：如图所示： (2) 【分析】（1）根据题意作图，即可； （2）根据垂径定理可得，进而根据勾股定理，求得，再求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∵半径， ∴在中，， ∴． 题型5.利用垂径定理求平行弦问题 1．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 2．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 3．如图（1），⊙O与矩形ABCD的边AB相切于点H，与边AD，BC分别交于点G，E，F，K，． （1）求证：∠AEH＝∠BFH； （2）如图（2），连接GF，连接DF交⊙O于点M，且GM平分∠DGF，若半径＝5，ED＝4，求BK． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）连接EF，作OT⊥HE，ON⊥HF，由矩形的性质和垂径定理得Rt△HTO≌Rt△HNO（HL），由矩形的判定证得四边形ABFE是矩形，最后证得Rt△AHE≌Rt△BHF（HL）即可得出结论； （2）连接GK、EF、HO、GK与HO相交于点S，由题意证得Rt△GDM≌Rt△GFM（ASA），得GD＝GF＝2r，由矩形的判定得四边形GKCD、四边形ABKG、四边形BKSH是矩形，即可得出结论． 【详解】解：（1）连接EF，作OT⊥HE，ON⊥HF，垂足分别为T、N， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠B＝90°，AD//BC，AD＝BC， ∵， ∴， 又∵OT⊥HE，ON⊥HF， ∴，， ∴， 在Rt△HTO和Rt△HNO中， ∴Rt△HTO≌Rt△HNO（HL） ∴， ∴HL平分∠EHF， ∵HL⊥EF， ∵⊙O与AB相切于点H，且HL经过圆心O， ∴HL⊥AB， ∴AB//EF， 又∵AE//BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴AE＝BF， 在Rt△AHE和Rt△BHF中， ∴Rt△AHE≌Rt△BHF（HL） ∴∠AEH＝∠BFH； （2）连接GK、EF、HO、GK与HO相交于点S， 由（1）得四边形ABFE为矩形， ∴∠GEF＝90°， ∴GF为与的直径， ∴GF经过点O， ∴∠GKF＝90°，∠GMD＝∠GMF＝90°， ∵GM平分∠DGF， ∴∠FGM＝∠DGM， 在Rt△GDM和Rt△GFM中， ∴Rt△GDM≌Rt△GFM（ASA）， ∴GD＝GF＝2r＝2×5＝10， ∴∠GKF＝90°＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形GKCD为矩形， ∴KF＝GE＝GD－ED＝10－4＝6， ∵∠GKB＝180°－∠GKF＝90°＝∠A＝∠B，BF⊥AB， ∴四边形ABKG是矩形， ∴GK//AB， ∴OS⊥GK， ∴四边形BKSH也是矩形，GS＝SK， ∴SO是△GKF的中中位线， ∴SO＝ ∴BK＝HS＝HO－SO＝5－3＝2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，垂径定理以及中位线定理，熟练掌握各性质定理作出合适的辅助线是解题的关键． 题型6.利用垂径定理求同心圆问题 1．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 2．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 3．如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； (2) 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 题型7.利用垂径定理求解其他问题 1．如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题． 【详解】解：为的直径，点为的中点． ， 故选：B． 2．如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB___________2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】= 【分析】过点作于点，交于点，根据 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ， AD⊥OC， 即 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线的判定定理，等弧所对的圆心角相等，掌握垂径定理是解题的关键． 3．已知：如图，为直径上一点，、为过点的两条弦，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题利用了垂径定理和全等三角形的判定和性质及在同圆划等圆中，等弧对等弦，等弦对等弧求解． （1）过点作于，作于，根据全等三角形的判定方法得到，根据对应边相等，从而不难求得结论； （2）根据从而得到由等量减去等量还是等量即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作于，作于，连接、， ， ． 又， ， ． ． ，， 点是的中点，点是的中点． ，． ； （2）证明：， ， ． 即． 题型8.垂径定理的推论 1．下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了弧，弦，圆心角以及垂径定理，要求学生对基本的概念定理有透彻的理解．判断四个说法关于圆的性质的正确性，需结合同圆或等圆的条件及垂径定理． 【详解】解：①∵相等的弦在不同圆中所对圆心角可能不等，∴①错误． ②∵等圆中半径相等，相等的圆心角所对弧相等，∴②正确． ③∵根据圆心角与弧的关系定理，同圆中等弧所对圆心角相等，∴③正确． ④∵平分弦的直径若弦为直径，不一定平分弧，∴④错误． ∴正确的有②和③，共2个， 故选：C． 2．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是___________．    【答案】/度 【分析】过O作半径于点F，连，由垂径定理得到，则有，再根据题意证明为等边三角形，得到，则的度数可求． 【详解】解：过O作半径于点F，连， ∴， ∴，    ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 则的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的性质、垂径定理、等边三角形的性质和判定，及轴对称图形的性质，熟练根据垂径定理作辅助线得到等边三角形是关键． 3．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，求的半径．      【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，连接，由垂径定理的推论得，，设的半径长为m，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可求解，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是弦的中点，， ∴，， 设的半径长为m，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为．    题型9.垂径定理的实际应用 1．图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接交于点，设灯罩截面所在圆的圆心为，连接，设灯罩截面所在圆的半径为,则由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴于点M， ∴， ∴， 设灯罩截面所在圆的圆心为，连接， 设灯罩截面所在圆的半径为,则 由勾股定理可得，， 即 解得 即灯罩截面所在圆的半径为 故选：B 2．将一个底面半径为的圆柱形玻璃水杯横放在桌面上，杯内水面宽度为，则水面到桌面距离为________． 【答案】2或8 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．注意分类思想的应用．分两种情况：（1）杯内水的高度在球形容器的球心下面；（2）杯内水的高度在球形容器的球心上面；根据垂径定理和勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图为圆柱形玻璃水杯横截面，点O为横截面圆心，过O作于C， ∴． 在中， ∵， 则． 分两种情况讨论： （1）容器内水的高度在球形容器的球心下面时，如图①，延长交于D， 杯内水面到桌面距离为； （2）容器内水的高度在球形容器的球心是上面时，如图②，延长交于D， 杯内水面到桌面距离为； 综上，杯内水面到桌面距离为或． 故答案为：2或8． 3．如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）连接交于点D．连接．利用勾股定理求出，再利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：连接交于点D．连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 在中，， 解得． 题型10.圆周角的概念辨析及简单运算 1．如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 2．如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断． 【详解】解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念， 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角的概念，解题的关键是熟练掌握圆周角的概念． 3．如图，是的直径，是弦，平分交于D，连交于E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，解得直角三角形的性质，角的平分线，等腰三角形的性质解答即可； （2）根据垂径定理，勾股定理，圆的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴，的半径 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的性质，熟练掌握定理和圆的性质是解题的关键． 题型11.圆周角定理 1．如图，已知A、B、C都在圆O上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角与圆心角的关系，由此计算的度数即可． 【详解】解：弧所对的圆周角是，圆心角是， 已知，由圆周角定理可得． 2．如图，A、B、C点在圆O上，若，则______． 【答案】36 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可求出的度数． 【详解】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角， ， ， ． 3．如图，在中，弦相交于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，证明即可得到结论． 【详解】证明：由圆周角定理得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 题型12.同弧或等弧所对的圆周角相等 1．如图，在中，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同圆中，等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 2．如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，，，则________． 【答案】/100度 【分析】先求出∠ADB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠AOB的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，中，弦与相交于点H，，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，根据圆周角定理得出，，再根据全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴． 题型13.半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，先确定点在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点在该量角器所在的圆上， ∴， 故选：B ． 2．如图，内接于，是直径，若，则___________°． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据圆周角定理解题即可． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵是直径， ∴， ∴． 故答案为： ． 3．如图，是的直径，点，，，在上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆周角定理的推论，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 先根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：是直径， ， 又， ， ， ， 题型14.90度的圆周角所对的弦是直径 1．下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是_____________． 【答案】 【分析】以为直径作，连接交于E，则E为所求，由此能求出结果． 【详解】解：与点E，D为边上动点， 点E的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的圆， 当点B，O，E共线时，最小， 此时， 的半径为， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面几何中的最值问题，将转换成圆的直径是解题的关键． 3．如图，四边形内接于，连接、相交于点E．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用得到，则，然后根据圆周角定理得到，从而得到结论； （2）作直径，连接，如图2，先利用垂直定义得到，再利用圆周角定理得到，，，然后根据等角的余角相等得到结论． 【详解】（1）， ， 即， ， ， ； （2）作直径，连接，如图2，   ， ， ， ，， ， 为直径， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 题型15.已知圆内接四边形求角度 1．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理可得：． 2．如图，四边形是的内接四边形，已知，则______． 【答案】125 【分析】由圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 3．如图，四边形内接于，延长至点E，连接，，平分，且． (1)求所对的圆心角的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据圆周角定理即可得出圆心的度数， （2）先根据圆内接四边形的性质，得出，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴所对的圆心角的度数． （2）证明：∵平分，且, ∴， ∴ 四边形内接于， ． ， ． ， ∴ ∴ 是等边三角形， 题型16.求四边形外接圆的直径 1．如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 2．在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则=________． 【答案】5 【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D四点共圆，推出点C在上，然后利用勾股定理可得，于是得到结论． 【详解】解：∵如图，在四边形ABCD中，， ∴点A，B，C，D四点共圆， ∵是的外接圆， ∴点C在上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 3．如图，四边形是的内接四边形，为延长线上一点，． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，对角线，交于点，，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得出，结合，推出，即可证明； （2）作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可得出过圆心，利用勾股定理求得，进一步求得，，连接，设的半径为，则，在中，由得出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 为等边三角形； （2）解：如图，作于， ， ， 过圆心， ，，， ， ， ， ， ， 连接，设的半径为，则， 在中，， ， 解得：， 的半径为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，等边三角形的判断，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理对①进行判断；根据垂径定理的推论对②③④⑤进行判断． 【详解】解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条． ①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件，所以①正确； ②只满足其中的一个条件，所以不正确； ③不满足条件，所以不正确； ④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确． 故选：A． 2．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 3．如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 4．甘肃定西的灞陵桥（图1）是全国独一无二的纯木古桥，图2为其模型，模型跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），则拱桥模型的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，设拱桥的圆心为O，连接，设拱桥的半径为r，由垂径定理可得，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱桥的半径r． 【详解】解：如图2，设拱桥的圆心为O，连接、 设拱桥的半径为r， 由题意可得：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦的长为，瓶内液体已经过半，最大深度，则球的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的圆心为点，连接，利用垂径定理得出，设半径为，在中利用勾股定理列关于的方程，求解即可． 【详解】解：设圆的圆心为点， 如图，连接， 由题意得，， ， 设半径为，即， 则， 在中， ，即， 解得， 球的半径为：． 二、填空题 6．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【分析】连接，由题意得，由直角三角形两个锐角互余可得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，过原点，且与轴、轴交于点A，，点A的坐标为，的直径为10．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】连接AB，根据90°的圆周角所对的弦是直径可知，AB是直径；再根据勾股定理求出OB的长，可得出答案． 【详解】连接AB, ∵∠AOB=90°， ∴AB是直径， ∴AB=10． 又∵∠AOB=90°，点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的定理是90°的圆周角所对的弦是直径，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 8．如图，点、、、在上，且，．则的周长为___________． 【答案】9 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等得到，进而推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为． 故答案为：9． 9．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 10．如图，在扇形中，点C、D在上，连接、交于点E，若，的度数为，则______°． 【答案】 【分析】利用弧的度数等于圆心角的度数，和同弧所对的圆周角是圆心角的一半以及三角形的外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的度数为：， ∵的度数为， ∴的度数和为：， ∵分别是的度数的一半， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查弧的度数等于圆心角的度数，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半和三角形外角的性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 三、解答题 11．如图所示，、是的切线，、为切点，，点是上不同于、的任意一点，求的度数． 【答案】当点在劣弧上时，；当点在优弧上时，． 【分析】本题主要考查圆的切线的性质、四边形的内角和、同弧所对的圆心角与圆周角的关系等知识．本题注意要分情况讨论：C点在劣弧上或点C点在优弧上．连接过切点的半径，根据四边形的内角和定理求得的度数，进一步根据圆周角定理进行计算． 【详解】连接，在弧上任取一点C，连接． ∵是的切线，A、B为切点， ∴， ∵，在四边形中，可得， 分两种情况讨论： ①若C点在劣弧上，则； ②若C点在优弧上，则． 12．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； (2)40 【分析】（1）先由等边对等角得，，则，根据同位角相等两直线平行得，再根据直径所对应的圆周角为得，然后根据两直线平行，同位角相等得，即可证明； （2）先根据垂径定理得，设，在中，由勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积为：． 13．如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵，点G恰好是的中点 ∴ ∴， ∴； (2)2 【分析】（1）根据同角的余角相等以及直角三角形斜边中线的性质证明即可； （2）连接，连接并延长交于点，先得到，再由垂径定理的推论得到，利用三线合一得到，设，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，连接并延长交于点， ∵ ∴ ∴ ∵经过圆心， ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴． 14．如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论； （2）过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于，如图， ，， ， ， 在中，，， 则， ， ， ， ． 15．如图，四边形内接于，连接交于点M，延长至点E． (1)若，猜想和的数量关系，并说明理由； (2)若．求的直径． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、勾股定理、圆周角定理，熟记有关定理是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质求解即可； （2）连接并延长，交于点，连接，根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理求出，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形内接于， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴； （2）解：如图，连接并延长，交于点，连接， ∵是直径， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴的直径为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06圆的对称性、圆周角 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.圆的对称性、垂径定理与圆心角定理体系：：认识圆的轴对称性与中心对称性，重点掌握由圆的轴对称性推导得出的垂径定理及推论；掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦三者的等量关系定理，能够实现三者之间的互相推理与等量转化。 2.圆周角定义与定理推论体系：掌握圆周角的定义与判定条件，区分圆周角与圆心角；熟练掌握圆周角定理及其两大重要推论，理解直径与直角圆周角的特殊关系，能够运用定理解决圆内角度计算与简单几何证明问题。 ✅本节严格遵循课本“图形性质探究—核心定理归纳—定理应用拓展”的递进逻辑，依托圆的对称性质，推导垂径定理及圆心角、弧、弦的等量关系，进一步探究圆周角定理及其推论。知识点体系完整、贴合课本基础要求，是解决圆中角度、弧、线段相关基础题型的核心理论依据。 ✺学习目标： 知识要求：1.理解圆的轴对称性和中心对称性，掌握圆的对称轴的数量与特征，熟练掌握垂径定理及其推论的内容与适用条件。 2.掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系定理，明确定理的适用条件，熟练掌握三者等量转化的规律。 3.掌握圆周角的定义与判定条件，能准确区分圆心角与圆周角。 4.理解并熟记圆周角定理及其推论，掌握直径所对圆周角的特殊性质，明晰定理的适用前提。 能力要求：1.能准确识别圆的对称特征，熟练运用垂径定理解决圆中弦长、弦心距、半径的简单计算与证明，能准确识别圆心角、圆周角，建立圆中角、弧、线段之间的关联思维。 2.能运用圆心角、弧、弦关系定理，完成圆中弧、弦、角相等的简单推理证明。 3.能熟练运用圆周角定理及推论进行圆内角度计算，掌握直径构造直角三角形的基础几何模型。 应试要求：吃透圆的对称性质、垂径定理、圆心角与弧弦关系、圆周角定理及推论等核心知识，熟练应对概念辨析、长度与角度计算、简单证明等基础题型，夯实圆的几何解题核心依据。 ✺题型归纳： 题型1.利用弧、弦、圆心角关系求解 题型2.利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型3.求圆弧的度数 题型4.利用垂径定理求值 题型5.利用垂径定理求平行弦问题 题型6.利用垂径定理求同心圆问题 题型7.利用垂径定理求解其他问题 题型8.垂径定理的推论 题型9.垂径定理的实际应用 题型10.圆周角的概念辨析及简单运算 题型11.圆周角定理 题型12.同弧或等弧所对的圆周角相等 题型13.半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型14.90度的圆周角所对的弦是直径 题型15.已知圆内接四边形求角度 题型16.求四边形外接圆的直径 ✺知识◆清单 知识点一、圆的对称性 1.轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，因此圆有无数条对称轴。任意一条直径所在的直线都能将圆分成两个能够完全重合的半圆。 2.中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是圆的对称中心。将圆绕着圆心旋转任意一个角度，旋转后的图形都能与原图形完全重合，这一特性是研究圆心角、弧、弦关系的重要基础。 知识点二、垂径定理及其推论 1.弦心距：圆心到弦的垂线段的长度，叫做弦心距。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 3.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.推论关键前提:推论中必须注明“弦不是直径”，因为圆中任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，因此被平分的弦为直径时，推论不成立。 知识点三、圆心角、弧、弦之间的关系 ▶本节所有圆心角、弧、弦的等量关系定理，只在同圆或等圆中成立，半径不等的不同圆不适用该定理。 1. 核心定理内容:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2.定理推论（知一推二） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.定理核心作用 该定理实现了圆中圆心角、弧、弦三类几何量的互相转化，是证明圆中弧相等、弦相等、圆心角相等的重要依据。 知识点四、圆周角 1. 圆周角定义:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角。如下图， ∠ABC是圆周角. 2.圆周角判定条件（缺一不可） ① 角的顶点必须在圆上；② 角的两条边必须与圆相交。 3.圆周角与圆心角的区别 对比维度 圆心角 圆周角 顶点位置 角的顶点在圆心 角的顶点在圆上 完整定义 顶点在圆心，两边与圆相交的角 顶点在圆上，且两边都与圆相交的角 判定要求 只需顶点在圆心，两边为半径，天然与圆相交 必须同时满足顶点在圆上、两边与圆相交两个条件 弧角对应关系 同一个圆心角唯一对应一段对应弧 同一段弧可对应无数个度数相等的圆周角 角度数量关系 同弧所对的圆心角度数是圆周角的2倍 同弧所对的圆周角度数是圆心角的二分之一 二者之间的联系：两边都与圆相交。 知识点五、圆周角定理及其推论 1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 即在下图中，∠ABC=∠AOC 2.定理解读:在圆中，同一条弧可以对应无数个圆周角，这些圆周角的度数全部相等，且始终等于该弧对应圆心角度数的一半。 3.圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；（即∠DBE=∠DAE=∠DCE） 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 4.基础几何结论:一条弧只对应唯一的圆心角，但对应无数个相等的圆周角；利用直径所对的圆周角为直角，可快速构造直角三角形，是圆中最基础、最常用的几何模型。 知识点六、圆内接多边形 1.圆内接多边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。 2.圆内接四边形性质： ●圆内接四边形的对角互补，； ●圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。 ✺题型◆精讲 题型1.利用弧、弦、圆心角关系求解 1．如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 3．如图，是直径，，．求的大小． 题型2.利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 2．如图，在同圆中，若，则______．（“”“”或“”） 3．如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 题型3.求圆弧的度数 1．已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 2．如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 3．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 题型4.利用垂径定理求值 1．在中，为一条弦（不是直径），过作交于点，交于点，．若的半径为5，则的长为（     ） A．10 B．5 C． D． 2．如图，于E，，，则的半径为___________． 3．如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 题型5.利用垂径定理求平行弦问题 1．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 2．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 3．如图（1），⊙O与矩形ABCD的边AB相切于点H，与边AD，BC分别交于点G，E，F，K，． （1）求证：∠AEH＝∠BFH； （2）如图（2），连接GF，连接DF交⊙O于点M，且GM平分∠DGF，若半径＝5，ED＝4，求BK． 题型6.利用垂径定理求同心圆问题 1．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 2．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 3．如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 题型7.利用垂径定理求解其他问题 1．如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB___________2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）． 3．已知：如图，为直径上一点，、为过点的两条弦，且．求证： (1)； (2)． 题型8.垂径定理的推论 1．下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 2．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是___________．    3．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，求的半径．      题型9.垂径定理的实际应用 1．图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 2．将一个底面半径为的圆柱形玻璃水杯横放在桌面上，杯内水面宽度为，则水面到桌面距离为________． 3．如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 题型10.圆周角的概念辨析及简单运算 1．如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 2．如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，是弦，平分交于D，连交于E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长度． 题型11.圆周角定理 1．如图，已知A、B、C都在圆O上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，A、B、C点在圆O上，若，则______． 3．如图，在中，弦相交于点E，且．求证：． 题型12.同弧或等弧所对的圆周角相等 1．如图，在中，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，，，则________． 3．如图，中，弦与相交于点H，，连接．求证：． 题型13.半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（    ） A． B． C． D． 2．如图，内接于，是直径，若，则___________°． 3．如图，是的直径，点，，，在上，，求的度数． 题型14.90度的圆周角所对的弦是直径 1．下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是_____________． 3．如图，四边形内接于，连接、相交于点E．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，连接，求证：． 题型15.已知圆内接四边形求角度 1．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，已知，则______． 3．如图，四边形内接于，延长至点E，连接，，平分，且． (1)求所对的圆心角的度数； (2)求证：是等边三角形． 题型16.求四边形外接圆的直径 1．如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 2．在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则=________． 3．如图，四边形是的内接四边形，为延长线上一点，． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，对角线，交于点，，若，，求的半径． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．D． 4．甘肃定西的灞陵桥（图1）是全国独一无二的纯木古桥，图2为其模型，模型跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），则拱桥模型的半径为（    ） A． B． C． D． 5．如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦的长为，瓶内液体已经过半，最大深度，则球的半径为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 7．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，过原点，且与轴、轴交于点A，，点A的坐标为，的直径为10．则点的坐标为______． 8．如图，点、、、在上，且，．则的周长为___________． 9．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为________． 10．如图，在扇形中，点C、D在上，连接、交于点E，若，的度数为，则______°． 三、解答题 11．如图所示，、是的切线，、为切点，，点是上不同于、的任意一点，求的度数． 12．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 13．如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 14．如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 15．如图，四边形内接于，连接交于点M，延长至点E． (1)若，猜想和的数量关系，并说明理由； (2)若．求的直径． 学科网（北京）股份有限公司 $