第09讲 配方法与公式法解一元二次方程（知识详解+5典例精讲+课后作业）2026年七升八数学暑假预习讲义（沪教版五四制）

第09讲 配方法与公式法解一元二次方程 （知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直接开平方法 知识点02：配方法 知识点03：一元二次方程求根公式 知识点04：一元二次方程解法综合 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：解一元二次方程-直接开平方法 题型02：解一元二次方程-配方法 题型03：配方法的应用 题型04：公式法解一元二次方程 题型05：换元法解一元二次方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】直接开平方法 如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如的形式求解． 【知识点02】配方法 先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 配方法的理论依据是完全平方公式：． 配方法解一元二次方程一般步骤 ①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； ②移项：把常数项移到方程右边； ③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成的形式； ④当时，用直接开平方的方法解变形后的方程． 【知识点03】一元二次方程求根公式 1、公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：．对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 2、求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 3、用公式法解一元二次方程一般步骤 ①把一元二次方程化成一般形式（）； ②确定a、b、c的值； ③求出的值（或代数式）； ④若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 【知识点04】一元二次方程解法综合 ①开平方法：形如及的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程． ②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若，则或． ③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解 即：，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程 一元二次方程，当时，有两个实数根： 【题型01】解一元二次方程-直接开平方法 【典例1-1】．用直接开平方法解方程，方程必须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】根据平方的非负性即可求解． 【详解】解：， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解直接开平方法的条件是解题的关键． 【典例1-2】．（22-23八年级·上海长宁·期中）方程的解是_______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，任意有理数的平方都为非负数，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程-直接开平方法，任意有理数的平方都为非负数，即可解答． 【详解】解： ， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴． 【典例1-3】．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）方程的解为________． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．用直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ，． 故答案为：，． 【典例1-4】．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，利用直接开平方法将方程两边开平方可得，再将此分解为两个方程分别求解即可． 【详解】解：将方程两边开平方得： ， 或， 解得：，． 【变式1-1】．下列说法不正确的是（　　） A．方程的根为， B．方程的根为 C．方程的根为， D．方程的根为， 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；（a，b同号且）；（a，c同号且）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 根据直接开方法求一元二次方程的解的法则即可判断． 【详解】解：将A、B中的两方程直接开平方，就会发现A、B中所求根正确； C、解方程，解得，，故选项错误． D、中方程，先移项得，系数化为1得，，开方得，，故选项正确； 故选：C． 【变式1-2】．（25-26八年级上·上海·期末）方程的解是____________． 【答案】 ．/． 【知识点】利用平方根解方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键．通过移项和开平方解方程，运用平方根的性质求解． 【详解】解：移项得， 开平方得，即， 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：． 【变式1-3】．（24-25八年级下·上海闵行·期末）解关于的方程： 【答案】当时，；当时，方程无实数解． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法． 移项，对的取值范围进行分类讨论，解方程即可． 【详解】解：∵ ∴ 当时，，开方得，， 当时，方程无实数解． 综上，当时，；当时，方程无实数解． 【变式1-4】．（22-23八年级下·上海宝山·阶段检测）解方程：． 【答案】，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了高次方程的解法，运用直接开配方法进行解答即可，掌握直接开配方法是解题的关键． 【详解】解： 或 ∴，． 【题型02】解一元二次方程-配方法 【典例2-1】．（23-24八年级上·上海·期中）用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解：∵配方法需要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程为，一次项系数为，一半的平方为 ， ∴方程两边同时加，得， 整理得. 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）将一元二次方程配方，其正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先将二次项系数化为，再根据完全平方公式进行配方计算． 【详解】解：， 两边同时除以，得， 方程两边同时加，得， 即． 【典例2-3】．（25-26八年级上·上海闵行·期末）用配方法解方程时，将它配成的形式是_____． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，关键是通过移项、配方，将方程转化为完全平方形式． 【详解】解：， 移项，得； 配方，得； 即． 故答案为：． 【典例2-4】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）用配方法解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【变式2-1】．（2025八年级上·上海杨浦·专题练习）用配方法解一元二次方程，则方程变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．使用配方法将方程转化为完全平方形式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴两边加9得 ， 即， 故选：C． 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）1.用配方法解一元二次方程，将原方程转化为的形式，则__________，____________． 【答案】 2 7 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程转化为完全平方形式，从而求出a和b的值． 【详解】解：由原方程 ， 移项得，， 配方得，， 即 ， ∴ 故答案为：，． 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海·期末）用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为的形式．现如果用配方法解一元二次方程，那么此时的值是______． 【答案】2027 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较系数求a和b的值，再代入求值即可． 【详解】解： 移项得， 配方得，即， 与对比，得，， 所以． 故答案为：2027． 【变式2-4】．（25-26八年级下·上海·期中）（用配方法解方程） 【答案】 ， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，. 【变式2-5】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 【答案】(1)③，配方出错； (2)见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）根据配方法的步骤，进行作答即可． 【详解】（1）解：第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）解：， 移项，得， 将二次项系数化为1，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 所以， 即． 【题型03】配方法的应用 【典例3-1】．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配方法的应用 【分析】设围成矩形的长为厘米，则围成矩形的宽为厘米，利用矩形的面积计算公式，即可得出，利用完全平方公式可得出，利用平方的非负性可求出的最大值，再对比各选项中的数据后即可得出结论． 【详解】解：设围成矩形的长为厘米， ∴围成矩形的宽为：， ∴ ， ∵ ∴ ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的值不可能为． 故选：A． 【点睛】本题考查列代数式，完全平方公式，平方的非负性．根据各数量之间的关系，找出关于的关系式是解题的关键． 【典例3-2】．（2025八年级上·上海·专题练习）用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是____． 【答案】24 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解： ，则， ∴， 故答案为：． 【典例3-3】．（23-24八年级上·上海·单元测试）（1）已知为实数，且，求的值． （2）用配方法求： ①的最小值； ② 的最大值． 【答案】（1）；（2）①；② 【知识点】因式分解法解一元二次方程、配方法的应用 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，配方法的应用： （1）把看做一个整体，利用因式分解法得到，据此求解即可； （2）①利用配方法得到，据此可得答案；②利用配方法得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）① ， ∵， ∴， ∴的最小值为； ② ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【变式3-1】．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为______． 【答案】10 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】解：由题意得 ， 即． ∴． 故答案为：10． 【变式3-2】．阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解的应用、配方法的应用、通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用， （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解． 掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【详解】（1）解：∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴代数式的最大值为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 【变式3-3】“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值是7 (3)， 【知识点】平方差公式分解因式、配方法的应用 【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式． （1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可； （2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可； （3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7； （3）解：， ， ， ，， 解得，． 【题型04】公式法解一元二次方程 【典例4-1】．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）方程的根为________． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，， 故答案为：，． 【典例4-2】．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）一元二次方程的根是___________． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；对于一元二次方程，由于无法直接因式分解，采用求根公式求解，先计算判别式，再代入公式求解即可． 【详解】解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【典例4-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）用公式法解方程：． 【答案】 ， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】找准方程各项系数，正确计算判别式后代入求根公式求解即可； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴代入求根公式得， ∴，． 【变式4-1】 【变式4-1】．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为_____； 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程求根公式的推导，解题的关键是掌握配方法推导求根公式的步骤． 按照配方法的步骤，移项，系数化为1，同时加上一次项系数一半的平方，求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 （其中 ）， 移项得，， 系数化为1得，， 两边加上 得，， 则， 开平方得，， 移项得，， 故答案为： ． 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海青浦·期中）解方程；． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】利用公式法求解即可． 本题考查了求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 【变式4-3】．（25-26八年级上·上海·期中）用公式法解方程： 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程． 先将方程整理成一元二次方程的标准形式，然后利用求根公式求解即可． 【详解】解：原方程为， 整理得， 则，，， ， ， 所以，． 【题型05】换元法解一元二次方程 【典例5-1】．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．设，则原方程化为，再整理即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为：， ， ， 故选：． 【典例5-2】．（25-26八年级上·上海·期末）已知为实数，且，则的值是___________． 【答案】4 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法，解一元二次方程，注意解的取值范围是解题关键． 设，则原方程化为，解二次方程并根据确定值． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 即， ， ， 解得或， 由于，故， 即． 故答案为：4． 【典例5-3】．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 【答案】（1）9或；（2）81；（3）1 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】（1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （2）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （3）设，则由原方程得到关于的一元二次方程，通过解该方程得到的值；然后将其代入所求的变形后的代数式进行求值． 【详解】解：（1）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或． 即值为9或． 故答案为：9或； （2）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或（舍去）． 即代数式的值为81； （3）设，则， 整理，得， 解得或， 当时，无解（舍去）， 即， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 【变式5-1】．（22-23八年级下·上海闵行·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D．． 【答案】A 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次） 【分析】设，原方程中用代替，这样原方程转化为：，然后把方程两边乘以y得到整式方程． 【详解】解：设，原方程转化为， 方程两边乘以y得，． 故选：A． 【点睛】本题考查了换元法解分式方程：用一个字母代替分式方程中某一个的整体，使原分式方程转化为简单的分式方程或整式方程，从而达到解决原方程的目的． 【变式5-2】．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段检测）用换元法解方程时，设，则原方程可化为 ______________ ． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法求分式方程，根据换元法及完全平方公式求解． 【详解】解：原方程可化为：，即：， 故答案为：． 【变式5-3】．（24-25八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，可以把原方程化为关于y的整式方程是__________． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查换元法解分式方程，理解换元法的意义是正确解答的关键． 原方程变为，将代入得，再去分母化为整式方程，即可解答． 【详解】解：， 即， ∵， ∴原方程化为， 即． ∴ 故答案为：． 【变式5-4】．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），，，；（2），． 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令，即原方程=，求解即可． （2）同理，令，即原方程=，求解即可． 【详解】（1）设， 得：， 解得：，． 当时，，解得：， 当时，，解得：，． ∴原方程的解为，，，． （2）设，则方程可变成， ∴， ，． 当时，，所以无解． 当时，， ∴， ∴，． 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键． 一、解法优选技巧（解题优先级） 1.能直接开平方→优先直接开平方法（最简）； 2.能因式分解→优先因式分解法（最快）； 3.无法简便求解→用公式法（万能通用）； 4.特殊题型（最值、配方变形）→用配方法（必考基础）。 二、常见易错点总结 1.直接开平方法容易漏写负根，开方必须保留； 2.因式分解法必须先移项使右边为0，严禁直接拆分非零等式； 3.配方法化二次项系数为1时，所有项均要同除，配方时两边必须同步加减； 4.公式法代入时，注意的正负符号，先算判别式再求解； 5.一元二次方程若无特殊说明，需要写全两个根（含相等两根的情况）。 一、单选题 1．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程．根据关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），可知或，进一步求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，）， ∴在方程中，或， 解得， 故选：C． 2．若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键． 根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程的问题，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可． 【详解】解： 故选D． 4．将一元二次方程化成的形式，则，的值分别是（    ） A．2，7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握完全平方式的特征是解题关键． 通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，比较系数得出m和n的值即可． 【详解】解：， 移项，得， 方程两边同时加4，得 ，即， 配方，得， ∴ ，， 故选：A． 5．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，分别求出每个方程的解，进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴；不符合题意； B、， ∴；符合题意； C、，此方程无解；不符合题意； D、， ∴， ∴；不符合题意； 故选B． 6．定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 首先根据非负性得到，则，再分类讨论，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ①当时，符合题意； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ③时，， 则化为：，解得：或（舍）； ④时，， 则化为：，解得：或（舍）； ⑤当时，均不成立， ∴方程的解为或或， 故选：A． 二、填空题 7．方程的根是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查直接开平方法解方程，由，方程等价于，从而直接求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 8．二次三项式的最小值是________． 【答案】0 【分析】本题考查了配方法求最值，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法，把二次三项式配方成，再根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解：， 根据平方的非负性，得， 所以的最小值为0， 二次三项式的最小值是0． 故答案为：0． 9．方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题可采用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程，依据平方根的定义或因式分解的性质得出方程的解． 【详解】解：方法一：直接开平方法 移项，得 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数 则，即 故，． 方法二：因式分解法 将方程左边因式分解，得 则或 故，． 10．用配方法解方程，配方后方程转化为的形式为________． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题关键． 通过配方法，将常数项移项后，添加一次项系数一半的平方完成配方，转化为完全平方式即可得出答案． 【详解】解： ， 移项，得， 配方，得，即 ， ∴ ， 故答案为： ． 11．定义新运算：．例如：，则关于x的方程的解为________． 【答案】， 【分析】本题考查新定义运算以及一元二次方程的求解．解题的关键在于根据新定义运算的规则，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解的方法求解方程． 【详解】解：由新运算定义，，则， 由题意，， 整理得， 解得，． 故答案为：，． 12．方程的根为_____________________ 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程，直接利用换元法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 设， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或， ∴当时， ， ∴无实数根， 当时， 解得：，， 故答案为：，． 13．若x、y为实数，且，则___________． 【答案】 3 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于t的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 通过换元法，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解并考虑非负性． 【详解】解：设 ，则 ． 原方程化为 ， 即 ． 解得 或 ． 由于 ， 故 ． 因此 ． 故答案为：3 14．如果实数满足，则代数式 的值为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解的应用，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于的二次方程，解出的值．再将所求代数式用表示，代入的值求解．由于时对应方程无实数解，故只取，得到代数式的值为2． 【详解】解：设，则原方程化为． 解方程， 判别式， 所以， 得，． 所求代数式． 当 时，； 当时，． 但， 即，整理得， 判别式，无实数解． 故只有符合题意，代数式的值为2． 故答案为：2． 15．已知方程和方程的根完全相同，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程；由于两个方程的根完全相同，先求第一个方程的根，再代入第二个方程求参数，最后求和． 【详解】解：解方程 ，得 ，． 将 代入方程 ， 得 ， 即 ， ， ， 所以 ． 则第二个方程为 ， 两边乘以2，得 ． 解此方程，， 所以 ，． 因此 ， 故 ． 故答案为：． 16．定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 【答案】2026 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值． 【详解】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 17．阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；通过观察方程，发现含有重复表达式，因此采用换元法，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后再代回求解． 【详解】解：设，则原方程可化为． 展开得，即． 因式分解得，解得，． 当时，，即，解得，． 当时，，即，判别式，解得，即，． 经检验，所有解均满足原方程． 故答案为：，，，． 18．我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，设，代入原方程，利用换元法将方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，设，则， 代入原方程，得， ， ∵， ∴， ∴， ， 设（)，则， 代入得：，即， 整理为：， ∴，（舍去，因为)， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．解方程：． 【答案】 ， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据公式法计算即可． 【详解】解： ∴， ∴， ∴，． 20．解方程： 【答案】，． 【分析】令，得到关于的方程，利用配方法求得，，进而求出的值即可． 【详解】解：令，代入方程得， ， ， ， ， ， 解得：，， 当时，， 当时，， 原方程的解为，． 21．解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把化为一般式，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ∴， 则， ∴，； 22．用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）两边同时除以5，再根据直接开平方法求解即可； （2）此方程可用换元法求解，也可展开整理后用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 整理得， 开方得， 解得，； （2）解：， 展开得， 合并同类项得， 方程两边同除以2，得， 因式分解得， ∴，， 解得，． 23．解下列方程： (1) (2) (3)解关于的方程：（用配方法） (4)； 【答案】(1)， (2)， (3)当时，，；当时，方程无实数根 (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常见方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 令，则， ∴， 解得，， ∴或， 解得，； （3）解： ①当，即， 则， ∴，； ②当，即， 则方程无实数根； ∴综上所述，当时，，；当时，方程无实数根； （4）解： ，，， ， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴， ∴，． 24．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）先换元，再求出的值，最后求出答案即可； （2）先换元，再求出的值，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：设， 则原方程变形为， 即， 解得：或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：设， 则原方程可化为：， 即， 解得，， ∵时，，，无解． ∴． 25．（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 【答案】（1）② （2） （3） 【分析】考查一元二次方程解法（因式分解、换元法）及降次思想．关键是因式分解降次、换元简化方程，易错点是漏项和忽略判别式． （1）解一元二次方程的基本思想是“降次”，选②． （2）提取公因式并因式分解，降次求解得三个根． （3）换元后解方程，结合判别式得． 【详解】（1）② （2）提取公因式x，得． ∴或， 方程，因式分解可得． ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为： （3）设，则． ， 解得，． 当时，，即， ，∴无实数根． 当时，，即，有实数根． 因为a是方程的根， ． 26．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，则的最小值为______； (2)）若，求y的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    【答案】(1)2； (2)y最小值为4； (3)25． 【分析】（1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可； （2）将的分子分别除以分母，展开，将含的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可； （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】（1）当时，，当且仅当时取等号， 当时，的最小值为2． 故答案为：2； （2）由， ， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，y最小值为4； （3）设，已知， 则由等高三角形可知： ， 四边形面积， 当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 配方法与公式法解一元二次方程 （知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直接开平方法 知识点02：配方法 知识点03：一元二次方程求根公式 知识点04：一元二次方程解法综合 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：解一元二次方程-直接开平方法 题型02：解一元二次方程-配方法 题型03：配方法的应用 题型04：公式法解一元二次方程 题型05：换元法解一元二次方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】直接开平方法 如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如的形式求解． 【知识点02】配方法 先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 配方法的理论依据是完全平方公式：． 配方法解一元二次方程一般步骤 ①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； ②移项：把常数项移到方程右边； ③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成的形式； ④当时，用直接开平方的方法解变形后的方程． 【知识点03】一元二次方程求根公式 1、公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：．对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 2、求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 3、用公式法解一元二次方程一般步骤 ①把一元二次方程化成一般形式（）； ②确定a、b、c的值； ③求出的值（或代数式）； ④若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 【知识点04】一元二次方程解法综合 ①开平方法：形如及的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程． ②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若，则或． ③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解 即：，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程 一元二次方程，当时，有两个实数根： 【题型01】解一元二次方程-直接开平方法 【典例1-1】．用直接开平方法解方程，方程必须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】．（22-23八年级·上海长宁·期中）方程的解是_______． 【典例1-3】．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）方程的解为________． 【典例1-4】．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【变式1-1】．下列说法不正确的是（　　） A．方程的根为， B．方程的根为 C．方程的根为， D．方程的根为， 【变式1-2】．（25-26八年级上·上海·期末）方程的解是____________． 【变式1-3】．（24-25八年级下·上海闵行·期末）解关于的方程： 【变式1-4】．（22-23八年级下·上海宝山·阶段检测）解方程：． 【题型02】解一元二次方程-配方法 【典例2-1】．（23-24八年级上·上海·期中）用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）将一元二次方程配方，其正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【典例2-3】．（25-26八年级上·上海闵行·期末）用配方法解方程时，将它配成的形式是_____． 【典例2-4】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）用配方法解方程：． 【变式2-1】．（2025八年级上·上海杨浦·专题练习）用配方法解一元二次方程，则方程变形为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）1.用配方法解一元二次方程，将原方程转化为的形式，则__________，____________． 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海·期末）用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为的形式．现如果用配方法解一元二次方程，那么此时的值是______． 【变式2-4】．（25-26八年级下·上海·期中）（用配方法解方程） 【变式2-5】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 【题型03】配方法的应用 【典例3-1】．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 【典例3-2】．（2025八年级上·上海·专题练习）用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是____． 【典例3-3】．（23-24八年级上·上海·单元测试）（1）已知为实数，且，求的值． （2）用配方法求： ①的最小值； ② 的最大值． 【变式3-1】．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为______． 【变式3-2】．阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 【变式3-3】“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 【题型04】公式法解一元二次方程 【典例4-1】．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）方程的根为________． 【典例4-2】．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）一元二次方程的根是___________． 【典例4-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）用公式法解方程：． 【变式4-1】．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为_____； 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海青浦·期中）解方程；． 【变式4-3】．（25-26八年级上·上海·期中）用公式法解方程： 【题型05】换元法解一元二次方程 【典例5-1】．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 【典例5-2】．（25-26八年级上·上海·期末）已知为实数，且，则的值是___________． 【典例5-3】．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 【变式5-1】．（22-23八年级下·上海闵行·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D．． 【变式5-2】．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段检测）用换元法解方程时，设，则原方程可化为 ______________ ． 【变式5-3】．（24-25八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，可以把原方程化为关于y的整式方程是__________． 【变式5-4】．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 一、解法优选技巧（解题优先级） 1.能直接开平方→优先直接开平方法（最简）； 2.能因式分解→优先因式分解法（最快）； 3.无法简便求解→用公式法（万能通用）； 4.特殊题型（最值、配方变形）→用配方法（必考基础）。 二、常见易错点总结 1.直接开平方法容易漏写负根，开方必须保留； 2.因式分解法必须先移项使右边为0，严禁直接拆分非零等式； 3.配方法化二次项系数为1时，所有项均要同除，配方时两边必须同步加减； 4.公式法代入时，注意的正负符号，先算判别式再求解； 5.一元二次方程若无特殊说明，需要写全两个根（含相等两根的情况）。 一、单选题 1．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．将一元二次方程化成的形式，则，的值分别是（    ） A．2，7 B． C． D． 5．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 6．定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 二、填空题 7．方程的根是___________． 8．二次三项式的最小值是________． 9．方程的解是______． 10．用配方法解方程，配方后方程转化为的形式为________． 11．定义新运算：．例如：，则关于x的方程的解为________． 12．方程的根为_____________________ 13．若x、y为实数，且，则___________． 14．如果实数满足，则代数式 的值为_____． 15．已知方程和方程的根完全相同，则_____． 16．定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 17．阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 18．我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 三、解答题 19．解方程：． 20．解方程： 21．解方程 (1) (2) 22．用适当的方法解方程： (1) (2) 23．解下列方程： (1) (2) (3)解关于的方程：（用配方法） (4)； 24．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 25．（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 26．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，则的最小值为______； (2)）若，求y的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    1 学科网（北京）股份有限公司 $