第04讲 实数的运算（知识详解+9典例精讲+课后作业）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学暑假预习讲义

第04讲 实数的运算（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：实数的运算 知识点02：科学记数法 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：实数的混合运算 题型02：程序设计与实数运算 题型03新定义下的实数运算： 题型04：实数运算的实际应用 题型05：与实数运算相关的规律题 题型06：用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型07：将用科学记数法表示的数变回原数 题型08：用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型09：还原用科学记数法表示的小数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（5） 二、填空题（12） 三、解答题（7） 【知识点01】实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 【知识点02】科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 【题型01】实数的混合运算 【典例1-1】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的有（    ） ①无理数与无理数的差一定是无理数： ②无理数与无理数的商一定是无理数； ③有理数与无理数的差一定是无理数， ④有理数与无理数的商一定是无理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查有理数和无理数的运算性质，解题的关键是通过举反例来判断每个说法的正误． 逐一分析每个说法，通过举反例的方法判断其是否正确，从而确定正确说法的个数． 【详解】解：①例如和都是无理数，它们的差为是有理数，所以“无理数与无理数的差一定是无理数”说法错误； ②例如和都是无理数，它们的商为是有理数，所以“无理数与无理数的商一定是无理数”说法错误； ③：假设有理数与无理数的差是有理数，即（为有理数），那么．因为和都是有理数，有理数的差也是有理数，这与是无理数矛盾，所以“有理数与无理数的差一定是无理数”说法正确； ④：当有理数为0时，0除以无理数结果为0，是有理数，所以“有理数与无理数的商一定是无理数”说法错误． 综上，只有③说法正确，正确的有1个． 故选：A． 【典例1-2】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）计算：_______． 【答案】/ 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查实数的加减运算，解题的关键是掌握去括号法则和合并同类项的方法． 先去括号，再将有理数部分合并，即可得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1-1】．（25-26八年级上·上海·期中）计算的值________． 【答案】 / 【知识点】实数的混合运算 【分析】此题考查了实数的混合运算． 分别计算算术平方根、绝对值、立方根，再进行加减法即可． 【详解】解：原式 故答案为： 【变式1-2】．（25-26八年级上·上海·期中）计算∶ 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 【变式1-3】．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算，先计算算术平方根、开立方和绝对值，后计算加减． 【详解】解： ． 【题型02】程序设计与实数运算 【典例2-1】．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】把各选项中的a，b代入即可求解判断． 【详解】A.当，时，代入程序为，故错误； B.，时，代入程序为，故错误； C.，时，代入程序为，故错误； D.，时，代入程序为，正确； 故选D． 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是根据程序进行计算． 【变式2-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）按如图所示的运算程序计算，若输入“3”，则输出的结果是______． 【答案】3 【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、程序设计与实数运算 【分析】本题考查程序框图的运算，熟练掌握运算法则并准确计算是解题的关键．根据输入的数字从左往右依次计算即可． 【详解】解：输入3， 第一步， 第二步， 第三步 ． 故答案为：3． 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为____________________． 【答案】或 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图且运用分类讨论思想，进行分析，列式计算，求解即可． 【详解】解：∵输出的值是， ∴， ∴或， 解得或， ∵为负整数， ∴， 或， 则或， 解得或 ∵， ∴， 故答案为：或． 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【知识点】求一个数的立方根、程序设计与实数运算 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 【题型03】新定义下的实数运算 【典例3-1】．（2025八年级上·上海·专题练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义运算以及不等式的应用，熟练掌握根整数的定义并结合不等式求解是解题的关键． 根据根整数的定义，分别对每个选项进行分析计算． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意． 第一次：； 第二次：； 第三次：， ∴对100连续求根整数，3次之后结果为1，故选项B正确，不符合题意． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的x的整数值为2、3、4，它们的和为，故选项C错误，符合题意． 设第3次运算的数为x，则， ∴，即； 第2次运算的数为y，则， ∴， ∵， ∴取，则； 第1次运算的数为a，则， ∴，取，则， ∴a的最大值为255，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 【答案】2 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键．根据题目先判断的整数部分，再根据加减法即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式3-2】．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段检测）定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-3】．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么必然有且．据此，解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，那么__________，__________； (2)如果，其中，有理数，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】新定义下的实数运算、求代数式的平方根 【分析】（1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可; （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值． 【详解】（1），其中，为有理数， ∴， ∴ 故答案为：3,2 （2）整理，得 ． 因为，为有理数，为无理数， 所以，应有 解之，得． 则． 所以，的平方根是． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型04】实数运算的实际应用 【典例4-1】．（23-24八年级上·上海长宁·期中）在实数范围内因式分解： ____________________． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式、实数运算的实际应用 【分析】本题主要考查了实数内的因式分解、综合运用平方差公式和完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算公式是解题关键．利用配方法将原式整理为，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式4-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 【答案】或1 【知识点】实数运算的实际应用、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 综上所述：的值为或1． 【变式4-2】．虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【知识点】实数的大小比较、实数运算的实际应用 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 【变式4-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝3厘米，DA＝DC＝4厘米，∠DAB＝∠DCB＝90°，点P从A点开始沿射线AB方向运动，点Q从点C开始沿射线BC方向运动，P、Q两点运动速度均为1厘米/秒，两点同时运动． （1）在P、Q两点运动过程中，请问∠PDQ的大小是否发生变化？请说明理由； （2）当点P在线段AB上运动时（如图1），请求出四边形PDQB的而积； （3）如图2，P点运动到AB延长线上，设DP与线段BC的交点为E． ①当P、Q运动了多少秒时，S△CDE=S△BPE． ②当P、Q运动了多少秒时，第①小问中两个三角形的面积差为（3﹣）平方厘米． 【答案】（1）∠PDQ的大小不发生变化，总等于∠ADC；（2）四边形PDQB的而积为12平方厘米；（3）①P、Q运动了6秒时，S△CDE=S△BPE；②当秒或秒时，S△BPE与S△CDE的差为（3﹣）平方厘米． 【知识点】实数运算的实际应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据SAS证DAP≌△DCQ，推出∠ADP=∠CDQ，即可求出∠PDQ=∠ADC； （2）求出四边形PDQB的面积=四边形ABCD的面积，求出四边形ABCD的面积即可； （2）①S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=0，根据三角形面积公式得出方程，求出方程的解即可； ②得出S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB，或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB，根据三角形面积公式得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：（1）∠PDQ的大小不发生变化， 理由是：∵∠A=∠DCB=∠DCQ=90°，由已知得出AP=CQ， ∴在△DAP和△DCQ中， ， ∴△DAP≌△DCQ（SAS）， ∴∠ADP=∠CDQ， ∴∠PDQ=∠PDC+∠CDQ=∠PDC+∠ADP=∠ADC， 即∠PDQ的大小不发生变化，总等于∠ADC； （2）∵△ADP≌△DCQ， ∴S△ADP=S△DCQ， ∴四边形PDQB的面积是： S四边形PDQB=S四边形PDCB+S△CDQ =S四边形PDCB+S△ADP =S四边形ABCD =×3×4+×3×4 =12(平方厘米)； （2）①连接BD， 设P、Q运动了t秒时，S△CDE=S△BPE， ∵S△CDE=S△DCB-S△DEB，S△BPE=S△PDB-S△DEB， ∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=0， ∵AB=BC=3，AP=t，DA=DC=4， ×3×4-×（t-3）×4=0， 解得t=6， 即P、Q运动了6秒时，S△CDE=S△BPE； ②连接BD， 设P、Q运动了t秒时，S△CDE-S△BPE=3-(平方厘米)， ∴AP=CQ=t， ∴S△CDE=S△DCB-S△DEB，S△BPE=S△PDB-S△DEB， ∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB，或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB， ∵AB=BC=3，AP=t，DA=DC=4， ∴S△DCB=×3×4=6，S△PDB=×（t-3）×4=2（t-3）， ∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=6-2（t-3）=3-． 解得(秒)， 或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB=2（t-3）-6=3-． 解得(秒)， 综上，当秒或秒时，S△BPE与S△CDE的差为（3﹣）平方厘米． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力． 【题型05】与实数运算相关的规律题 【典例5-1】．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（9，3）与（2019，2019）表示的两个数的积是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】根据观察数列，可得，每三个数一循环，根据有序数对的表示方法，可得有序数对表示的数，根据实数的运算，可得答案． 【详解】每三个数一循环，1、、，则前8排共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7+8＝36个数， 因此（9，3）在排列中是第36＋3＝39个， 39÷3＝13，（9，3）表示的数正好是第13轮的最后一个， 即（9，3）表示的数是， 前2019排共有1＋2＋3…＋2019＝（1＋2019）×2019÷2＝2039190个数， 2039190÷3＝679730， （2019，2019）表示的数正好是第679730轮的最后一个数， 即（2019，2019）表示的数是， ×＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的变化类，解题的关键是根据题意找到数字的变化规律． 【典例5-2】．（22-23八年级下·上海闵行·期中）观察等式：，，，按上述规律，若，则______． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】观察等式的左边等于等号的右边为，据此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴第个式子为， ∴第个式子为 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数有关的规律题，找到规律是解题的关键． 【典例5-3】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律，正确找到数字的变化规律是解题的关键． 观察已知等式的规律，发现对于形如 的式子，其计算结果为 ，将，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 由此发现规律：， 那么， 计算， 通分后，，， 则， 因此． 故答案为：． 【变式5-1】．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 【答案】(1)， (2)2024 【知识点】数字类规律探索、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了代数式规律、实数的运算等知识点，发现式子的变化规律是解题的关键． （1）根据已有式子类比、归纳即可解答； （2）先利用（1）的规律化简原式，然后再计算即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， …， ，． 故答案为：，． （2）解： ． 【变式5-2】．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）阅读与理解： (1)观察一组有规律的等式：① ，②，③，…发现规律，第⑩个等式是________； (2)利用第一小题发现的规律计算：； (3)已知一组有规律的数： …，它们的和为 ，试探究这组数共有几个？ 【答案】(1) (2) (3)9 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】（1）根据规律即可求解； （2）利用第（1）小题发现的规律进行计算； （3）先找到这组数的规律，然后利用规律进行加法计算． 【详解】（1） （2） （3） ∵ …，它们的和为， ∴， ∴， ∴ ∴这组数共有9个 【点睛】本题考查规律题目，解题的关键是明确规律的意思，根据规律进行运算． 【变式5-3】．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： （1）__________； （2）__________； （3）__________； 根据你的阅读回答下列问题： （4）请根据上面式子的规律填空： ____________________（为正整数）； （5）请直接写出下列式子的结果 ____________． 【答案】（1），（2），（3）；（4），；（5）或． 【知识点】利用二次根式的性质化简、分式加减混合运算、数字类规律探索、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了数字类规律的探索，此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的. （1）（2）（3）（4）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；（5）根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） 证明： ∵为正整数， ∴ ∴. （5） 故答案为（1），（2），（3）；（4），；（5）或． 【题型06】 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例6-1】．（25-26八年级上·上海·期末）2025年前三季度上海市实现地区生产总值亿元人民币，根据最新经济预测，上海市城市经济规模将进入万亿元以上的新阶段，是中国第一个实现此目标的城市．数据亿元人民币用科学记数法表示为______________元． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：亿． 故答案为： 【变式6-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）据统计：2025年南汇新城镇发放临港惠民消费券，带动消费约11亿元，“11亿”用科学记数法表示为______．（1亿） 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查的知识点是科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法的定义． 将“11亿”转换为数值1100000000，再写成科学记数法形式，其中，n为整数． 【详解】解：11亿， 故答案为：． 【变式6-2】．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）有资料显示，一个人每次在刷牙的过程中，如果及时关闭水龙头，将节约7杯水（每杯水约有）．按此数据估算，如果某市某日早晨有100万人在刷牙的过程中都及时关闭水龙头，那么将节约多少毫升水？（结果用科学记数法表示） 【答案】将节约毫升水． 【知识点】有理数乘法的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定的值以及的值即可． 【详解】解：（毫升）． 答：将节约毫升水． 【变式6-3】．某沙漠可以粗略看成一个长方体，该沙漠的长度约是4800000m，沙层的深度大约是366cm，已知该沙漠中的体积约为33345km3立方千米． （1）请将沙漠中沙的体积用科学记数法表示出来（单位：m3）； （2）该沙漠的宽度是多少米（精确到万位）？ （3）如果一粒沙子体积大约是0.036mm3，那么，该沙漠中有多少粒沙子（用科学记数法表示）？ 【答案】（1）3.334 5×1013m3；（2）1.90×104m；（3）9.26×1023 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【详解】【分析】（1）首先把3 3345km3换算成33 345 000 000 000m3，再写成科学记数法． （2）沙漠的体积÷撒哈拉沙漠的长度÷沙层的深度＝撒哈拉沙漠的宽度． （3）沙漠的体积÷一粒沙子体积＝沙漠沙子的粒数． （1）33 345km3＝33 345 000 000 000m3＝3.334 5×1013m3； （2）3.334 5×1013m3÷4800000m÷366m≈1.90×104m． 答：沙漠的宽度是1.90×104m． （3）3.334 5×1013m3＝3.334 5×1022mm3， 3.3345×1022mm3÷0.036mm3＝9.26×1023（粒）． 答：沙漠中有9.26×1023粒沙子． 【题型07】将用科学记数法表示的数变回原数 【典例7-1】．已知某数用科学记数法表示为，则这个数是（   ） A．41000 B．410000 C．4100000 D．41000000 【答案】C 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原成原数．根据有理数乘法与乘方作答即可． 【详解】依题意：； 故选：C． 【变式7-1】．2023年8月31日，世界首个超超临界二次再热火电工程在山东郓城开建，与常规煤电组比较，每年可节约标煤吨，将数据还原正确的是（   ） A．35000000 B．3500000 C．350000 D．35000 【答案】C 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉即可． 【详解】解：． 故选C． 【变式7-2】．（25-26八年级上·上海·期中）用科学记数法表示的数有______个整数位． 【答案】7 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法表示的数的整数位数比指数多1，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示的数的原数的整数位数是位． 故答案为：7． 【变式7-3】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 【答案】7 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了科学记数法，将科学记数法表示的数还原为原数，然后数出其中“0”的个数． 【详解】解：因为科学记数法表示为，所以原数为．其中“0”有7个． 故答案为：7． 【题型08】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例8-1】．（2025·上海·模拟预测）个某球形病毒首尾直线相连总长度约为9纳米，单个该病毒直径用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：单个该病毒直径为：纳米， 故选：D． 【典例8-2】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）用科学记数法表示：___________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定，即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 【典例8-3】．（25-26八年级上·上海青浦·期末）“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，已知某种梅花的花粉直径是，这个直径用科学记数法表示为_____． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查单位换算和科学记数法，掌握科学记数法是解题的关键． 先将米转换为厘米，再用科学记数法表示绝对值小于1的数． 【详解】解：，． 故答案为：． 【变式8-1】．（25-26八年级上·上海·期末）铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：将这个数用科学记数法表示为， 故选：B． 【变式8-2】．（25-26八年级上·上海·期末）一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成，已知氢原子（H）的原子半径约为，氧原子（O）的原子半径约为，已知，那么用科学记数法表示一个水分子中氧原子（O）的原子半径为__________m． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的应用． 将氧原子半径从单位转换为单位m，并表示为科学记数法形式即可． 【详解】解：氧原子半径为，已知，因此， 故答案为： 【变式8-3】．（23-24八年级上·上海·单元测试）人们常说“捡了芝麻丢了西瓜”，这是形容有的人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽视具有重要意义的大事，据测算，万粒芝麻才克，那一粒芝麻有多少千克？（用科学记数法表示）． 【答案】千克． 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，科学记数法，设一粒芝麻有千克，根据题意列出方程即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设一粒芝麻有千克， 由题意得，， 解得， 答：一粒芝麻有千克． 【题型09】还原用科学记数法表示的小数 【典例9-1】已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【典例9-2】．用科学记数法表示的数写成小数是 _____． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】利用科学记数法逆运算把数写成小数形式． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法的逆运算，将科学记数法表示的数，还原成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． 【变式9-1】．（25-26八年级上·上海·期末）以下用科学记数法表示的小数中，转化为小数形式后，小数点与左起第一个非零数字之间恰有三个0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】还原用科学记数法表示的小数、将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查科学记数法，将每个选项的科学记数法转化为小数形式，检查小数点与左起第一个非零数字之间零的个数，恰有三个0的选项符合要求． 【详解】解：A、，小数点后第一个非零数字为1，之间有一个0，不符合； B、，左起第一个非零数字为9，小数点与9之间有两个0，不符合； C、，绝对值小数形式为，小数点后第一个非零数字为5，之间有两个0，不符合； D、，绝对值小数形式为，小数点后第一个非零数字为6，之间有三个0，符合； 故选：D． 【变式9-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）的小数点与左起第一个非零数字之间有______个0． 【答案】5 【知识点】还原用科学记数法表示的小数、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案． 【详解】解：， ∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0． 故答案为：5． 【变式9-3】．将下列用科学记数法表示的数还原． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】（1）将小数点向左移动4位即可； （2）将小数点向左移动5为即可； （3）将小数点向左移动6为即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查了将用科学记数法表示绝对值小于1的数还原，解题的关键是掌握用还原科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原． 本节课在有理数运算的基础上，拓展学习了实数范围内的四则运算、乘方、开方运算，打通了有理数与无理数的运算体系，掌握了实数运算的核心规则、顺序与化简方法，具体知识点总结如下： 一、核心基础：实数运算的通用规律 有理数的所有运算规则、运算律、运算顺序，在全体实数范围内依然成立，是实数运算的核心依据。 1. 适用运算：实数可进行加、减、乘、除、乘方运算，正数和0可进行开平方运算，任意实数可进行开立方运算。 2. 五大运算律（恒成立）： 加法交换律、加法结合律； 乘法交换律、乘法结合律； 乘法对加法的分配律。 3. 特殊规定：0不能作为除数；任意实数的平方非负。 二、实数运算结果的两种处理方式 1. 精确计算：题目无近似要求时，通过运算律化简、合并根式，保留最简实数形式，不取近似小数。 2. 近似计算：题目要求保留小数位数时，先将无理数取近似值，再进行有理数运算，最终按要求保留精度。 三、关键易错点 无理数运算结果不一定是无理数：两个无理数的和、差、积、商，可能是有理数（如），切勿主观判定结果形式。 非同类二次根式不能随意合并，避免出现无理数加减运算的计算错误。 开方运算注意取值范围，负数不能开平方，避免无意义运算。 近似计算时，中途取值尽量多保留小数，防止最终结果精度偏差。 四、数学思想总结 本节课核心运用类比思想，由有理数运算类比推广到实数运算；同时运用化简转化思想，将复杂的实数算式转化为最简形式，简化运算过程，是后续根式化简、实数综合计算的基础。 五、学习总结 实数运算本质是有理数运算与二次根式运算的结合，核心是守顺序、用定律、化最简、辨精度，熟练掌握法则和化简技巧，可解决所有实数基础运算问题。 一、单选题 1．在2025年11月2日巴中经开区体育馆举行的川超比赛中，巴中队与遂宁队以战平．据统计，现场观看这场比赛的人数约为人，把写成原数是（    ） A．230 B．2300 C．23000 D．23 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法转换为原数时，根据10的指数移动小数点位置，指数为正时小数点向右移动，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．三台山国家森林公园，是国家级旅游景区，位于湖滨新区嶂山林场境内，总占地面积约万平方米．把万用科学记数法表示为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将万转化为普通整数，再根据科学记数法的规则写出结果即可，科学记数法的表示形式为，满足，为整数． 【详解】解：∵万，根据科学记数法要求，，将的小数点向左移动位得到，可得， ∴万用科学记数法表示为． 3．a满足以下说法：①a是无理数；②；③是整数．那么a可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了估算无理数的大小、无理数的定义、实数的运算等知识，先根据无理数定义判断C、D，再由；③是整数判断A、B，得到答案． 【详解】解：∵a是无理数，、是有理数， ∴a不可能是、， ∵，，、都是无理数， ∴满足①a是无理数；③是整数． ∵、，， ∴a可能是． 故选：A． 4．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对2026逐步进行操作： ∵ ， ∴ ，可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果； ∵，可得第四次操作结果； 因此对2026只需进行4次操作后变为2． 5．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查流程图与实数运算，二次根式的混合运算，正确理解流程图是关键． 根据流程图的计算公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意，当输入时，， ∵， ∴循环计算； 当输入时，， ∵， ∴输出的结果为． 故选：C． 二、填空题 6．某种原子的直径为，数据化为小数是________． 【答案】0.012 【分析】本题考查了利用科学记数法表示比较小的数，将用科学记数法表示的数还原即可，熟练掌握科学记数法是解决此类问题的关键． 【详解】解：， 化为小数是． 故答案为：． 7．计算：______． 【答案】2 【分析】先计算算术平方根，再计算减法即可． 【详解】解：． 8．某种球形病毒的直径大约为，则数用科学记数法表示为_____ ． 【答案】 【详解】解： 9．近似数精确到_____位． 【答案】万 【分析】本题考查了科学记数法和有效数字，注意精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入． 将科学记数法表示的近似数还原为一般形式，通过确定最后一个有效数字的位置来判断精确度． 【详解】解：近似数还原为5320000，最后一个有效数字2位于万位，因此精确到万位． 故答案为：万 10．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 11．根据图所示的程序计算，若输入x的值为64，则输出结果为_____． 【答案】 【分析】先求算术平方根，再求除以2得到的商，再减去3，然后与比较，直至结果小于0即可． 【详解】解：若输入x的值为64，则， 此时输入的x的值为1，则， ∴输出的结果为． 12．计算：______（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，指数除法，科学记数法，解题的关键是掌握以上运算法则． 先计算平方部分，再计算除法，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： 故答案为：． 13．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 【答案】/ 【分析】根据相反数，倒数的定义，以及无理数的估算得到各未知量的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵实数、互为相反数， ∴， ∵、互为倒数， ∴， ∵， ∴的整数部分为，即， ∵， ∴的小数部分为，即， ∴ ． 14．在实数范围内因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内分解因式，先利用配方法，再利用平方差公式进行分解即可解答． 【详解】， 故答案为：． 15．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下： ．例如： ．若，则的值为_______． 【答案】1013 【分析】本题考查了分式化简求值，新定义下的运算，掌握相应的运算法则是关键．根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，（x，y不为0）， ∴， ∴． 故答案为：1013． 16．定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 【答案】 【分析】先根据已知条件中的新定义，求出，，再代入，进行约分即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 17．计算：__________ 【答案】10 【分析】先利用零指数幂、负整数指数幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 三、解答题 18．用四舍五入的方法，按要求对下列各数取近似值，其中（3）（4）用科学记数法表示． (1)（精确到千分位）； (2)（精确到）： (3)8263（精确到1000）； (4)（精确到）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，科学记数法，正确求出对应的近似数是解题的关键． （1）精确到千分位，那么对万分位上的数字进行四舍五入即可； （2）精确到，那么对千分位上的数字进行四舍五入即可； （3）精确到1000，那么对百位上的数字进行四舍五入，并将近似数用科学记数法表示即可； （4）精确到，那么对千万分位上的数字进行四舍五入，并将近似数用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：精确到千分位为； （2）解：精确到为； （3）解：8263精确到1000为； （4）解：精确到为． 19．用小数表示下列各数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，解题的关键是正确理解科学记数法表示的数中还原成小数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． （）把小数点向左移动位即可得出答案， （）把小数点向左移动位即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 20．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 21．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 22．解答下列各题： (1)发现，①；②；③；写出：④______． (2)归纳猜想：若为正整数且，用含的式子表示这个运算规律______． (3)请证明你猜想的规律． 【答案】(1) (2) (3) 见解析 【分析】（）通过观察时的运算结果，发现规律并直接推导出时的对应式子与结果； （）基于（）中呈现的具体例子，归纳得出当(为正整数)时，式子的通用运算规律； （）通过对等式左边的二次根式进行通分、化简，结合为正整数时的性质，证明了归纳得出的通用规律成立． 【详解】（1）解：观察已知式子：时： 时：， 时：， 因此第④个式子对应，可得； （2） 解：根据上述规律， 直接得出（为正整数）时的运算规律为：； （3）证明：， ∵， ∴， ∴， 即． 23．阅读与探究 我们在八年级上册第二章《实数》中学习了：负数没有平方根，即方程在实数范围内无解．为了解决这个问题，数学家引入了一个新数i，叫做虚数单位．规定：；实数范围内的运算法则（如交换律、结合律、分配律、完全平方公式等）在i引入后仍然适用． 例如：． 计算：．解：原式（利用平方差公式）（将换成）． 我们将形如（a，b均为实数）的数称为复数． (1)根据此规律，计算：_________． (2)请参照材料中的例子，计算和的值． (3)在实数范围内，方程无解．但在引入虚数i后，我们利用可以这样求解： ， ． 请你仿照上述方法，求方程的解． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，求平方根的方法解方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得（n为正整数）这列数每4个数为一个循环，依次为，据此求出2026除以4的余数即可得到答案； （2）根据题目中给出的运算方法进行计算即可； （3）根据题目中给出的运算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ……， 以此类推，可知，（n为正整数）这列数每4个数为一个循环，依次为， ∵， ∴； （2）解： ； ； （3）解：∵， ∴， ， ， 24．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，记为有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算 的值． 【答案】(1)1 (2)“望一”数对的有③④，“望音”数对的有①⑤ (3)0，1，2 (4) 【分析】（1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据“望音”数对的定义进行求解即可； （4）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解: ①∵ ∴是“望音”数对； ②∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ③∵, ∴是“望一”数对； ④∵， ∴是“望一”数对； ⑤∵， ∴是“望音”数对； 故“望一”数对的有③④，“望音”数对的有①⑤； （3）解：∵有序数对是“望音”数对， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴整数x的值为0，1，2； （4）解：∵，，， ，，，，， ，，，，，，， ……， ， ， ∴ 设， 当不是完全平方数时，存在整数m使得，此时， 则该项的值为； 当是完全平方数时，设 (m为正整数)， 则， ∵是偶数， ∴m必为偶数， 此时, ∴该项的值为． 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵且， ∴， 又∵m为偶数， ∴m可取2，4，6，8，10，m的个数为5个， ∴原式的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 实数的运算（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：实数的运算 知识点02：科学记数法 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：实数的混合运算 题型02：程序设计与实数运算 题型03新定义下的实数运算： 题型04：实数运算的实际应用 题型05：与实数运算相关的规律题 题型06：用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型07：将用科学记数法表示的数变回原数 题型08：用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型09：还原用科学记数法表示的小数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（5） 二、填空题（12） 三、解答题（7） 【知识点01】实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 【知识点02】科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 【题型01】实数的混合运算 【典例1-1】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的有（    ） ①无理数与无理数的差一定是无理数： ②无理数与无理数的商一定是无理数； ③有理数与无理数的差一定是无理数， ④有理数与无理数的商一定是无理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例1-2】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）计算：_______． 【变式1-1】．（25-26八年级上·上海·期中）计算的值________． 【变式1-2】．（25-26八年级上·上海·期中）计算∶ 【变式1-3】．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【题型02】程序设计与实数运算 【典例2-1】．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）按如图所示的运算程序计算，若输入“3”，则输出的结果是______． 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为____________________． 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【题型03】新定义下的实数运算 【典例3-1】．（2025八年级上·上海·专题练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 【变式3-2】．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段检测）定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【变式3-3】．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么必然有且．据此，解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，那么__________，__________； (2)如果，其中，有理数，求的平方根． 【题型04】实数运算的实际应用 【典例4-1】．（23-24八年级上·上海长宁·期中）在实数范围内因式分解： ____________________． 【变式4-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 【变式4-2】．虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【变式4-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝3厘米，DA＝DC＝4厘米，∠DAB＝∠DCB＝90°，点P从A点开始沿射线AB方向运动，点Q从点C开始沿射线BC方向运动，P、Q两点运动速度均为1厘米/秒，两点同时运动． （1）在P、Q两点运动过程中，请问∠PDQ的大小是否发生变化？请说明理由； （2）当点P在线段AB上运动时（如图1），请求出四边形PDQB的而积； （3）如图2，P点运动到AB延长线上，设DP与线段BC的交点为E． ①当P、Q运动了多少秒时，S△CDE=S△BPE． ②当P、Q运动了多少秒时，第①小问中两个三角形的面积差为（3﹣）平方厘米． 【题型05】与实数运算相关的规律题 【典例5-1】．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（9，3）与（2019，2019）表示的两个数的积是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【典例5-2】．（22-23八年级下·上海闵行·期中）观察等式：，，，按上述规律，若，则______． 【典例5-3】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【变式5-1】．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 【变式5-2】．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）阅读与理解： (1)观察一组有规律的等式：① ，②，③，…发现规律，第⑩个等式是________； (2)利用第一小题发现的规律计算：； (3)已知一组有规律的数： …，它们的和为 ，试探究这组数共有几个？ 【变式5-3】．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： （1）__________； （2）__________； （3）__________； 根据你的阅读回答下列问题： （4）请根据上面式子的规律填空： ____________________（为正整数）； （5）请直接写出下列式子的结果 ____________． 【题型06】 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例6-1】．（25-26八年级上·上海·期末）2025年前三季度上海市实现地区生产总值亿元人民币，根据最新经济预测，上海市城市经济规模将进入万亿元以上的新阶段，是中国第一个实现此目标的城市．数据亿元人民币用科学记数法表示为______________元． 【变式6-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）据统计：2025年南汇新城镇发放临港惠民消费券，带动消费约11亿元，“11亿”用科学记数法表示为______．（1亿） 【变式6-2】．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）有资料显示，一个人每次在刷牙的过程中，如果及时关闭水龙头，将节约7杯水（每杯水约有）．按此数据估算，如果某市某日早晨有100万人在刷牙的过程中都及时关闭水龙头，那么将节约多少毫升水？（结果用科学记数法表示） 【变式6-3】．某沙漠可以粗略看成一个长方体，该沙漠的长度约是4800000m，沙层的深度大约是366cm，已知该沙漠中的体积约为33345km3立方千米． （1）请将沙漠中沙的体积用科学记数法表示出来（单位：m3）； （2）该沙漠的宽度是多少米（精确到万位）？ （3）如果一粒沙子体积大约是0.036mm3，那么，该沙漠中有多少粒沙子（用科学记数法表示）？ 【题型07】将用科学记数法表示的数变回原数 【典例7-1】．已知某数用科学记数法表示为，则这个数是（   ） A．41000 B．410000 C．4100000 D．41000000 【变式7-1】．2023年8月31日，世界首个超超临界二次再热火电工程在山东郓城开建，与常规煤电组比较，每年可节约标煤吨，将数据还原正确的是（   ） A．35000000 B．3500000 C．350000 D．35000 【变式7-2】．（25-26八年级上·上海·期中）用科学记数法表示的数有______个整数位． 【变式7-3】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 【题型08】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例8-1】．（2025·上海·模拟预测）个某球形病毒首尾直线相连总长度约为9纳米，单个该病毒直径用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 【典例8-2】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）用科学记数法表示：___________． 【典例8-3】．（25-26八年级上·上海青浦·期末）“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，已知某种梅花的花粉直径是，这个直径用科学记数法表示为_____． 【变式8-1】．（25-26八年级上·上海·期末）铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】．（25-26八年级上·上海·期末）一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成，已知氢原子（H）的原子半径约为，氧原子（O）的原子半径约为，已知，那么用科学记数法表示一个水分子中氧原子（O）的原子半径为__________m． 【变式8-3】．（23-24八年级上·上海·单元测试）人们常说“捡了芝麻丢了西瓜”，这是形容有的人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽视具有重要意义的大事，据测算，万粒芝麻才克，那一粒芝麻有多少千克？（用科学记数法表示）． 【题型09】还原用科学记数法表示的小数 【典例9-1】已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 【典例9-2】．用科学记数法表示的数写成小数是 _____． 【变式9-1】．（25-26八年级上·上海·期末）以下用科学记数法表示的小数中，转化为小数形式后，小数点与左起第一个非零数字之间恰有三个0的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）的小数点与左起第一个非零数字之间有______个0． 【变式9-3】．将下列用科学记数法表示的数还原． (1)； (2)； (3)． 本节课在有理数运算的基础上，拓展学习了实数范围内的四则运算、乘方、开方运算，打通了有理数与无理数的运算体系，掌握了实数运算的核心规则、顺序与化简方法，具体知识点总结如下： 一、核心基础：实数运算的通用规律 有理数的所有运算规则、运算律、运算顺序，在全体实数范围内依然成立，是实数运算的核心依据。 1. 适用运算：实数可进行加、减、乘、除、乘方运算，正数和0可进行开平方运算，任意实数可进行开立方运算。 2. 五大运算律（恒成立）： 加法交换律、加法结合律； 乘法交换律、乘法结合律； 乘法对加法的分配律。 3. 特殊规定：0不能作为除数；任意实数的平方非负。 二、实数运算结果的两种处理方式 1. 精确计算：题目无近似要求时，通过运算律化简、合并根式，保留最简实数形式，不取近似小数。 2. 近似计算：题目要求保留小数位数时，先将无理数取近似值，再进行有理数运算，最终按要求保留精度。 三、关键易错点 无理数运算结果不一定是无理数：两个无理数的和、差、积、商，可能是有理数（如），切勿主观判定结果形式。 非同类二次根式不能随意合并，避免出现无理数加减运算的计算错误。 开方运算注意取值范围，负数不能开平方，避免无意义运算。 近似计算时，中途取值尽量多保留小数，防止最终结果精度偏差。 四、数学思想总结 本节课核心运用类比思想，由有理数运算类比推广到实数运算；同时运用化简转化思想，将复杂的实数算式转化为最简形式，简化运算过程，是后续根式化简、实数综合计算的基础。 五、学习总结 实数运算本质是有理数运算与二次根式运算的结合，核心是守顺序、用定律、化最简、辨精度，熟练掌握法则和化简技巧，可解决所有实数基础运算问题。 一、单选题 1．在2025年11月2日巴中经开区体育馆举行的川超比赛中，巴中队与遂宁队以战平．据统计，现场观看这场比赛的人数约为人，把写成原数是（    ） A．230 B．2300 C．23000 D．23 2．三台山国家森林公园，是国家级旅游景区，位于湖滨新区嶂山林场境内，总占地面积约万平方米．把万用科学记数法表示为（） A． B． C． D． 3．a满足以下说法：①a是无理数；②；③是整数．那么a可能是（ ） A． B． C． D． 4．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 5．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．某种原子的直径为，数据化为小数是________． 7．计算：______． 8．某种球形病毒的直径大约为，则数用科学记数法表示为_____ ． 9．近似数精确到_____位． 10．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 11．根据图所示的程序计算，若输入x的值为64，则输出结果为_____． 12．计算：______（用科学记数法表示）． 13．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 14．在实数范围内因式分解：________． 15．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下： ．例如： ．若，则的值为_______． 16．定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 17．计算：__________ 三、解答题 18．用四舍五入的方法，按要求对下列各数取近似值，其中（3）（4）用科学记数法表示． (1)（精确到千分位）； (2)（精确到）： (3)8263（精确到1000）； (4)（精确到）． 19．用小数表示下列各数： (1)； (2)． 20．计算：． 21．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 22．解答下列各题： (1)发现，①；②；③；写出：④______． (2)归纳猜想：若为正整数且，用含的式子表示这个运算规律______． (3)请证明你猜想的规律． 23．阅读与探究 我们在八年级上册第二章《实数》中学习了：负数没有平方根，即方程在实数范围内无解．为了解决这个问题，数学家引入了一个新数i，叫做虚数单位．规定：；实数范围内的运算法则（如交换律、结合律、分配律、完全平方公式等）在i引入后仍然适用． 例如：． 计算：．解：原式（利用平方差公式）（将换成）． 我们将形如（a，b均为实数）的数称为复数． (1)根据此规律，计算：_________． (2)请参照材料中的例子，计算和的值． (3)在实数范围内，方程无解．但在引入虚数i后，我们利用可以这样求解： ， ． 请你仿照上述方法，求方程的解． 24．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，记为有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算 的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $