5.5.1两角差的余弦公式 第1课时 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦“两角差的余弦公式”，通过数据表格引导学生观察cos(60°-30°)与cos60°、cos30°等的关系，搭建从具体数据到抽象公式的学习支架，衔接前后三角函数公式的推导与应用。 其亮点在于以问题驱动情境导入培养数学抽象，通过给角求值、给值求值、给值求角题型分类强化逻辑推理，结合通性通法和跟踪训练提升数学运算。例如用cos15°=cos(60°-45°)示范公式应用，帮助学生掌握公式结构与角的变换技巧，教师可直接使用分层例题与训练，提升教学效率。

第1课时　 两角差的余弦公式 新课程标准解读 核心素养 1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差余 弦公式的意义 数学抽象、 逻辑推理 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、 余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式， 了解它们的内在联系 逻辑推理、 数学运算 3.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二 倍角公式解决求值、化简等问题 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　观察下表中的数据： cos （60° －30°） cos 60° cos 30° sin 60° sin 30° 目录 数学·必修第一册 【问题】　分析数据， cos （α－β）与 cos α， cos β， sin α， sin β之间存在联系吗？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点　两角差的余弦公式 两角差的余弦公式 cos （α－β）＝ ⁠ ⁠ 简记符号 C（α－β） 使用条件 α，β都是 ⁠角 cos α cos β ＋ sin α sin β　 任意　 目录 数学·必修第一册 （2）公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个 角的组合. 提醒　（1）公式的结构特征： 目录 数学·必修第一册 1. cos 43° cos 13°＋ sin 43° sin 13°＝（　　） 解析： 　 cos 43° cos 13°＋ sin 43° sin 13°＝ cos （43°－ 13°）＝ cos 30°＝ . 目录 数学·必修第一册   解析： cos 15°＝ cos （60°－45°）＝ cos 60° cos 45°＋ sin 60° sin 45°＝ × ＋ × ＝ . 　 目录 数学·必修第一册 3. 已知 cos α＝－ ，α∈（0，π），则 cos （ －α） ＝ ⁠. 解析：因为α∈（0，π），且 cos α＝－ ，所以 sin α＝ ＝ ，所以 cos ＝ cos cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝ . 　 目录 数学·必修第一册 4. 已知 sin ＝ ，α∈ ，求 cos 的值. 解：由已知得 cos α＝ ， sin α＝－ ， 所以 cos ＝ cos α＋ sin α＝－ . 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 给角求值问题 【例1】　求值：（1） cos 75°； 解： 原式＝ cos （120°－45°） ＝ cos 120° cos 45°＋ sin 120° sin 45° ＝－ × ＋ × ＝ . 目录 数学·必修第一册 （2） cos cos ＋ cos sin . 解： 原式＝ cos cos ＋ sin sin ＝ cos ＝ cos ＝ . 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用两角差的余弦公式求值的一般思路 （1）把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求值； （2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的 右边形式，然后逆用公式求值. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 求下列各式的值： （1） cos 80°· cos 35°＋ cos 10°· cos 55°； 解： 原式＝ cos 80°· cos 35°＋ sin 80°· sin 35° ＝ cos （80°－35°）＝ cos 45°＝ . （2） cos 105°＋ sin 105°. 解： 原式＝ cos 60° cos 105°＋ sin 60° sin 105° ＝ cos （60°－105°）＝ cos （－45°）＝ . 目录 数学·必修第一册 题型二 给值求值问题 【例2】　（1）若 sin （π＋θ）＝－ ，θ是第二象限角， sin ＝－ ，φ是第三象限角，求 cos （θ－φ）的值； 目录 数学·必修第一册 解： ∵ sin （π＋θ）＝－ sin θ＝－ ，∴ sin θ＝ ， 又θ是第二象限角，∴ cos θ＝－ . ∵ sin ＝ cos φ＝－ ，且φ为第三象限角， ∴ sin φ＝－ ， ∴ cos （θ－φ）＝ cos θ cos φ＋ sin θ sin φ ＝ × ＋ × ＝ . 目录 数学·必修第一册 （2）已知α，β为锐角，且 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，求 cos β的值. 解： ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 由 cos （α＋β）＝－ ，得 sin （α＋β）＝ ＝ ＝ . 又∵ cos α＝ ，∴ sin α＝ . ∴ cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝ × ＋ × ＝ . 目录 数学·必修第一册 通性通法 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注 意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角； （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活 地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝（α－β） ＋β；②α＝ ＋ ；③2α＝（α＋β）＋（α－β）； ④2β＝（α＋β）－（α－β）. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 已知 sin ＝－ ，且 π＜α＜ π，则 cos α＝ 　－ 　. 解析：因为 π＜α＜ π，所以 π＜α＋ ＜2π，所以 cos ＞ 0，所以 cos ＝ ＝ ＝ ，所以 cos α ＝ cos ＝ cos cos ＋ sin sin ＝ × ＋ × ＝－ . － 　 目录 数学·必修第一册 题型三 给值求角问题 【例3】　已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ， 求β的值. 解：由 cos α＝ ，0＜α＜ ，得 sin α＝ ＝ ＝ . 由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ . 目录 数学·必修第一册 又∵ cos （α－β）＝ ，∴ sin （α－β）＝ ＝ ＝ . ∵β＝α－（α－β），∴ cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）＝ × ＋ × ＝ . ∵0＜β＜ ，∴β＝ . 目录 数学·必修第一册 通性通法 已知三角函数值求角的步骤 （1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围； （2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内 单调的三角函数； （3）结合三角函数值及角的范围求角. 提醒　由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误 答案. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 若 cos （α－β）＝ ， cos 2α＝－ ，α，β均为锐角，且α＜ β，求α＋β的值. 解：∵ cos （α－β）＝ ， cos 2α＝－ ，α，β∈ ，且 α＜β，∴α－β∈ ，2α∈（0，π）， ∴ sin （α－β）＝－ ， sin 2α＝ ， 目录 数学·必修第一册 ∴ cos （α＋β）＝ cos [2α－（α－β）] ＝ cos 2α cos （α－β）＋ sin 2α sin （α－β） ＝－ × ＋ × ＝－ ， ∵α＋β∈（0，π），∴α＋β＝ . 目录 数学·必修第一册 1. cos 20°＝（　　） A. cos 30° cos 10°－ sin 30° sin 10° B. cos 30° cos 10°＋ sin 30° sin 10° C. sin 30° cos 10°－ sin 10° cos 30° D. sin 30° cos 10°＋ sin 10° cos 30° 解析： 　 cos 20°＝ cos （30°－10°）＝ cos 30° cos 10°＋ sin 30° sin 10°. 目录 数学·必修第一册 2. cos （α－35°） cos （25°＋α）＋ sin （α－35°） sin （25° ＋α）＝（　　） 解析： 　原式＝ cos [（α－35°）－（α＋25°）]＝ cos （－ 60°）＝ cos 60°＝ . 目录 数学·必修第一册 3. 已知 cos α＝ ，α∈ ，则 cos ＝ 　 　. 解析：由 cos α＝ ，α∈ ，得 sin α＝－ ＝ － ＝－ .∴ cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ × ＋ × ＝ . 　 目录 数学·必修第一册 解：∵α，β均为锐角，∴ cos α＝ ， cos β＝ . ∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ . 又∵ sin α＞ sin β，∴0＜β＜α＜ ， ∴0＜α－β＜ . 故α－β＝ . 4. 已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ， sin β＝ ，求α－ β的值. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. cos 56° cos 26°＋ sin 56° cos 64°＝（　　） 解析： 　原式＝ cos 56° cos 26°＋ sin 56° sin 26°＝ cos （56°－26°）＝ cos 30°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 已知点 P （1， ）是角α的终边上一点，则 cos （ －α）＝ （　　） 解析： 　由题意可得 sin α＝ ， cos α＝ ，所以 cos （ － α）＝ cos cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 已知 cos ＝－ ，则 cos x ＋ cos ＝（　　） C. －1 D. ±1 解析： 　 cos x ＋ cos ＝ cos x ＋ cos x ＋ sin x ＝ cos x ＋ sin x ＝ （ cos x ＋ sin x ）＝ cos ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 在△ ABC 中，有关系式tan A ＝ 成立，则△ ABC 为 （　　） A. 等腰三角形 B. A ＝60°的三角形 C. 等腰三角形或 A ＝60°的三角形 D. 不能确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 因为tan A ＝ ＝ ，所以 sin A sin C － sin A sin B ＝ cos A cos B － cos A cos C ，所以 cos A cos C ＋ sin A sin C ＝ cos A cos B ＋ sin A sin B ，即 cos （ A － C ）＝ cos （ A － B ），所 以 A － C ＝ A － B 或 A － C ＋ A － B ＝0，所以 C ＝ B （舍）或 A ＝ 60°，所以△ ABC 为 A ＝60°的三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 已知0＜α＜ ，－ ＜β＜0， cos （ ＋α）＝ ， cos （ － ）＝ ，则 cos （α＋ ）＝ 　 　. 解析：由题设得 ＜ ＋α＜ ， ＜ － ＜ ，∴ sin （ ＋ α）＝ ， sin （ － ）＝ ，∴ cos （α＋ ）＝ cos ［（ ＋α）－（ － ）］＝ cos （ ＋α） cos （ － ）＋ sin （ ＋α） sin （ － ）＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $