三角函数专项突破版寒假作业08 三角函数中的给值求值（角）问题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版08 ——三角函数中的求值问题 一、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧： ，，，，；；；；；⑤． 2、三角函数的条件求值问题常有两种解题途径 (1)对题设条件变形,把条件中的角(或函数名)向结论中的角(或函数名)靠拢. (2)对结论变形,将结论中的角(或函数名)向题设条件中的角(或函数名)靠拢,以便将题设条件代入结论. 例1、已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角差的余弦公式求，再利用倍角公式运算求解. 【详解】因为 ，所以. 故选：C. 例2、已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解. 【详解】因为，所以，又，所以，所以，由同角三角函数的基本关系知， 则. 故选：D. 例3、已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的三角函数关系、三角和差的余弦公式、二倍角公式化简计算即可，注意在用同角的三角函数关系求值时正负值的取舍. 【详解】，，， ，， . 故选：B. 例4、（多选）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件结合两角和的余弦公式，两角差的余弦公式，同角三角函数关系，两角和的正切公式依次判断每个选项即可. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误；对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确.故选：BCD. 例5、已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【详解】由题意得，所以，因为，所以， 所以，又，所以，且,所以， 且.因为，所以，又，所以， 所以，又， 所以.因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 例6、已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求、的值. 【答案】(1)；(2), 【详解】（1）由题意可知， 而，所以，即，则， 结合上知，而，所以； （2）由上易知： ，又， 因为，所以. 二、三角函数中的给值求角问题 1、实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 2、在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生增根。 例7、已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，，所以，，所以， 则， 所以，故选：A． 例8、已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为所以则所以 则，因为，所以， 又则，所以 故 因为所以则.故选：A. 例9、已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系切化弦之后，结合正弦两角和公式、三角函数取值关系即可得结论；或者根据三角恒等变换利用半角公式化简，结合正切函数的性质得结论. 【详解】解法1：由得，，又因为，所以，则或，整理得或（舍去）.故选：C． 解法2：因为，所以， 又因为，所以，则，整理得.故选：C． 例10、已知为锐角，且，则角等于 . 【答案】/ 【分析】根据已知角与未知角之间的关系，先用已知角表示出的正切值，从而再求出的正切值． 【详解】， ．又因为是锐角，所以． 例11、若，且，，则 . 【答案】 【分析】先通过角的范围求出，，再利用展开计算即可. 【详解】因为，所以，又，所以， 则，因为，，所以， 又，所以，所以， 因为，，所以， 所以， 所以. 三、三角函数中无条件求值问题 1.对于非特殊角的三角函数式,要利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求出具体数值,一般有以下三种途径 (1)化为特殊角的三角函数值; (2)化为正负相消的项,相消去求值; (3)化为分子、分母形式,先约分再求值. 2.在进行求值过程的变换中,一定要本着先整体后局部的基本原则.整体分析三角函数式的特点,如果整体符合三角公式,那么整体变形,否则要进行局部的变换. 例12、（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为， 所以.故选：B. 例13、（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得. 【详解】 . 故选：A 例14、（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C. 例15、著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】将代入，利用凑特殊角的方法，结合两角差的正弦公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，则 .故选：C 例16、 . 【答案】 【详解】 . 【过关练习06】 一、单选题 1、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式.故选：A 2、已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的正弦结合弦切互化化简即可. 【详解】，，又由，得，即，，即． 故选：D 3、已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用差角的正弦公式化简给定等式得，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】依题意，， 则，所以. 故选：A 4、已知，则（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式化弦为切得，利用得，，然后利用两角和的正切公式求值即可. 【详解】因为，即，等式两边同时除以，可得，又，所以，，则故选：D 5、已知，，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】 根据同角三角函数的关系分别求解，再结合两角和的余弦公式，结合角度大小判断即可. 【详解】∵和均为钝角，∴，． ∴．由和均为钝角， 得，∴．故选：D 6、已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦与余弦的两角和与两角差，以及余弦的二倍角公式。 【详解】由，得，由，得， 联立解得，，因为， 所以， 故选：A 7、已知，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为，，所以或； 若，则，此时（舍）；若，则， 此时（符合题意），所以，即； 因为且，所以且，解得，，则，又，所以. 故选：B. 8、已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得， 所以，又，所以，所以. 故选：A 9、已知，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求，再由两角和与差的余弦公式结合弦化切即可求解. 【详解】由题意有：，又，即， 所以，解得， 所以， 故选：D. 10．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据，根据二倍角公式及的范围求，，对于A，由，结合商的关系求即可判断，对于B，利用二倍角公式求，根据平方关系求，再由结合两角和正弦公式求即可判断，对于C，由，结合余弦函数的有界性即可判断，对于D，先求，再由结合两角和正切公式求即可判断. 【详解】因为，所以，，又，所以，，故，，对于A选项，因为，，所以，故A正确； 对于B选项，因为，，所以，因为，所以，又，所以，， 所以，B错误，对于C选项，因为，，故，C错误， 对于D选项，因为，，所以，又，所以，故D正确， 故选：AD. 11、已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方关系求出，再由求出，及可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以，所以 ，因为，所以， 可得，， 所以.故选：A. 12、已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系及诱导公式得到，结合平方关系求出，再由两角差的正弦公式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为，即， 即，所以，又， 所以，解得或（舍去）， 所以，即，所以. 故选：B 二、填空题 13、在中，已知，是关于的方程的两个实根，则 . 【答案】 【分析】结合韦达定理与两角和的正切公式，可得，从而得解. 【详解】因为，是关于的方程的两个实根，所以，，因为，因为，所以。 14、 ． 【答案】 【详解】 .故. 15．已知都是锐角，，则 . 【答案】/ 【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求. 【详解】、为锐角，，， ，， ，由于为锐角，。 16．已知，，，，则 ． 【答案】 【详解】因为，，则，，， 所以，，， 所以， ，因此，. 17、 . 【答案】/0.5 【详解】 18．若，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求解即得． 【详解】因为，解得，又因为，所以. 19、若，，则 ， . 【答案】 / 【分析】由已知结合二倍角公式可求，利用同角间关系可求，然后所求式子进行化简即可求解. 【详解】因为， 所以，解得，或（舍去）， 又，所以，所以，则， 则. 20、已知且，，则 . 【答案】 【分析】利用两角差的正弦公式结合求，注意确定角的范围，然后得出结论． 【详解】因为且，函数在上单调递减， ，，又，，所以， ，，， 所以， 又，，所以，结合，可得， 所以，所以， 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版08 ——三角函数中的求值问题 一、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧： ，，，，；；；；；⑤． 2、三角函数的条件求值问题常有两种解题途径 (1)对题设条件变形,把条件中的角(或函数名)向结论中的角(或函数名)靠拢. (2)对结论变形,将结论中的角(或函数名)向题设条件中的角(或函数名)靠拢,以便将题设条件代入结论. 例1、已知，，则（    ） A． B． C． D． 例2、已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 例3、已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 例4、（多选）设，，则（   ） A． B． C． D． 例5、已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 例6、已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求、的值. 二、三角函数中的给值求角问题 1、实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 2、在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生增根。 例7、已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 例8、已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 例9、已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 例10、已知为锐角，且，则角等于 . 例11、若，且，，则 . 三、三角函数中无条件求值问题 1.对于非特殊角的三角函数式,要利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求出具体数值,一般有以下三种途径 (1)化为特殊角的三角函数值; (2)化为正负相消的项,相消去求值; (3)化为分子、分母形式,先约分再求值. 2.在进行求值过程的变换中,一定要本着先整体后局部的基本原则.整体分析三角函数式的特点,如果整体符合三角公式,那么整体变形,否则要进行局部的变换. 例12、（    ） A．4 B． C．2 D． 例13、（    ） A． B． C． D． 例14、（    ） A．1 B． C． D． 例15、著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 例16、 . 【过关练习06】 一、单选题 1、的值为（    ） A． B． C． D． 2、已知，则（   ） A． B． C． D． 3、已知，则（    ） A． B． C． D． 4、已知，则（　　） A． B． C． D．3 5、已知，，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 6、已知，则（ ） A． B． C． D． 7、已知，，，则（    ） A． B． C． D．或 8、已知，，，则（    ） A． B． C． D． 9、已知，满足，，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 11、已知，，则（    ） A． B． C． D． 12、已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 二、填空题 13、在中，已知，是关于的方程的两个实根，则 . 14、 ． 15．已知都是锐角，，则 . 16．已知，，，，则 ． 17、 . 18．若，，则 ． 19、若，，则 ， . 20、已知且，，则 . 学科网（北京）股份有限公司 $