精品解析：北京市东城区2025-2026学年第二学期期末样卷初一数学

2025—2026学年第二学期期末样卷 初一数学 一、选择题（共30分，每题3分） 第题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 2. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构．下列各样式的窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，适合全面调查的是（ ） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查某品牌洗衣机的使用寿命 C. 调查永定河的水质情况 D. 了解全班同学的身高情况 5. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年是红军长征胜利90周年，伟大的长征精神，是中国革命史上不朽的丰碑，在历史长河中散发着永恒的光芒，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 一张长方形纸条按如图折叠后，若（　　） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于5”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于5，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次就停止了，那么输入x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 建设美丽中国是全面建设社会主义现代化国家的重要目标，我国在经济高速发展的同时，生态环境质量实现持续改善，十年间，北京以“前所未有”的治理力度让蓝天回归，被联合国环境署誉为“北京奇迹”．下图是北京市2015年至2025年年均浓度及空气质量优良天数情况： ①2015年至2025年北京的年均浓度至少下降了50微克/立方米； ②2020年北京市空气质量优良天数比例首次突破； ③2027年北京市年均浓度肯定可以达到2026版国家标准（25微克/立方米）； ④2021年北京市年均浓度首次达到2012版国家标准（年均浓度二级限值为35微克/立方米）后连续五年达到国家标准． 上述说法中，正确的是（ ） A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 11. 请写出一个小于4的无理数：________. 12. 噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越近，听到的声音越大，受到的危害就越大．如图，工厂处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在___________处（填、或）受到的危害较大． 13. 对于命题“若，则”，请你列举一组a，b的值，说明它是一个假命题，例如：__________，__________． 14. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆从原点出发沿轴正方向滚动一周，圆上一点由原点到达点，圆心也从点到达点．点的坐标为___________． 16. 如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将直角三角板绕点O旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是________． 17. 某手工社团准备将一根长的彩带，全部剪成和两种规格的装饰条（每种规格至少一条），用于布置活动现场，那么不同的裁剪方案共有________种． 18. 某剧场设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散200名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________． 三、解答题（共54分，第题每题5分，第题每题6分，第25题7分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别是，．将三角形先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形． （1）在平面直角坐标系中，画出三角形． （2）求四边形的面积． 20. 将下面的推理过程及依据补充完整． 如图，点D在上，点B在上，，，请说明． 理由：（已知）， （ ① ）， （等量代换）． ② （ ③ ）． ④ （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （等量代换）． （ ⑤ ）． 21. 2026年是国家确定的“健康体重管理年”，主题为“健康体重，一起行动”，旨在应对超重肥胖引发的慢性病问题．目前，国际上常用身体质量指数（）来衡量胖瘦程度，其计算公式是，数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某单位随机抽取50名员工，测得他们的身高、体重数据，将所得数据进行了整理、描述． 【整理数据】 根据样本的数据分成A，B，C，D四个组进行整理，如表： 组别 A B C D 人数 8 m n 12 【描述数据】根据数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 【分析数据】 （1）填空：________，________； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是________； （4）该单位总人数为300人，估计其中体重肥胖（）的人数是多少． 22. 如果一元一次方程的解在一元一次不等式（组）的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式的“关联方程”． （1）方程是以下不等式________的“关联方程”（填序号）； ①；②；③． （2）若方程，都是关于x的不等式组的“关联方程”，求出m的取值范围． 23. 2026年全国低碳日定于6月17日，活动主题为“绿色转型，全民同行”，鼓励全民共同参与低碳行动．“碳足迹”是指一个人或一个家庭的活动产生的二氧化碳排放量．通过计算“碳足迹”，我们可以更好地了解自己的生活方式对环境的影响，采取低碳生活的方式，减少碳排放量，同时也可以通过一定“碳补偿”措施，来达到平衡． 下表是小明同学查询相关资料计算出一家三口某月的“碳足迹”： 序号 种类 消耗量 碳排放系数 碳排放量（） 1 家庭用电 93.6 2 自来水 8t 7.28 3 天然气 25.92 4 牛肉 135 5 国际长途飞行 720 6 应季蔬菜 24 （1）若一棵树每年吸收大约，则根据上表至少需要________棵树一年才能抵消该月使用天然气产生的碳排放量；（结果保留整数） （2）小明家本月购买牛肉和应季蔬菜共，这两种食材产生的总碳排放量为．求小明家本月购买牛肉和应季蔬菜各多少千克？ （3）为了抵消国际长途飞行的碳排放量，小明计划调整家中空调的使用方案．已知1.5匹家用空调制冷模式每小时碳排放量约，制热模式每小时碳排放量约，小明家夏季（120天）每天开8小时，冬季（90天）每天开6小时，其余季节不开空调．他计划在夏季和冬季都将每日空调使用时长减少相同的时间．请通过计算说明：他能否在一年内通过减少空调使用，抵消全部飞行产生的碳排放量？ 24. 已知直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线，外一点，连接，．的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点M． （1）如图1，若，，则________； （2）如图2，当点P位于直线与直线之间，直线右侧时，试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3．当点P在直线上方时，补全图形并写出与之间的数量关系． 25. 对于实数x，表示不小于的最小整数，例如：，，．在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，点称为点的取整点，若点满足且，则称点是点的取整关联点． （1）已知点，则点的取整点的坐标是，点，，中，点是点的取整关联点； （2）已知点． ①过点的取整点向轴，轴作垂线段，垂足分别为，．若长方形的面积等于，则的取值范围是； ②已知点，，，当三角形上任意一点都是点的取整关联点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末样卷 初一数学 一、选择题（共30分，每题3分） 第题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：． 【点睛】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 2. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构．下列各样式的窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有C选项中的图案可以有平移得到， 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键．根据点的坐标特征，即可得出答案． 【详解】解：位于第三象限的点的特征是横坐标为负值，纵坐标为负值， 位于第三象限． 故选：B． 4. 下列调查中，适合全面调查的是（ ） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查某品牌洗衣机的使用寿命 C. 调查永定河的水质情况 D. 了解全班同学的身高情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全面调查的适用条件，根据调查是否具有破坏性，调查范围大小判断即可，全面调查适用于范围小，无破坏性，要求结果准确的调查． 【详解】选项A调查汽车抗撞击能力，调查具有破坏性，不适合全面调查； 选项B调查洗衣机使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查； 选项C永定河范围较大，调查水质工作量大，适合抽样调查； 选项D全班同学人数少，调查范围小，易完成调查，适合全面调查． 5. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故本选项的结论正确； B、∵， ∴，故本选项的结论正确； C、∵， ∴， ∴，故本选项的结论正确； D、∵， ∴， ∴，故本选项的结论错误． 故选：D 6. 2025年是红军长征胜利90周年，伟大的长征精神，是中国革命史上不朽的丰碑，在历史长河中散发着永恒的光芒，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，由吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为，建立平面直角坐标系，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】进而：∵表示吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为 ∴建立平面直角坐标系如图所示： ∴表示会宁会师的点的坐标为， 故选：A． 7. 一张长方形纸条按如图折叠后，若（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 8. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方程，即可选出正确答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ∵五只雀，六只燕共重16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等， ∴可得第二个方程 ， 因此列出的方程组为． 9. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于5”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于5，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次就停止了，那么输入x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第一次不停止、第二次停止列不等式组求解即可． 【详解】解：设输入的为x， 由题意知， 解得：． 10. 建设美丽中国是全面建设社会主义现代化国家的重要目标，我国在经济高速发展的同时，生态环境质量实现持续改善，十年间，北京以“前所未有”的治理力度让蓝天回归，被联合国环境署誉为“北京奇迹”．下图是北京市2015年至2025年年均浓度及空气质量优良天数情况： ①2015年至2025年北京的年均浓度至少下降了50微克/立方米； ②2020年北京市空气质量优良天数比例首次突破； ③2027年北京市年均浓度肯定可以达到2026版国家标准（25微克/立方米）； ④2021年北京市年均浓度首次达到2012版国家标准（年均浓度二级限值为35微克/立方米）后连续五年达到国家标准． 上述说法中，正确的是（ ） A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【详解】解：①由图1可知，2015年年均浓度在微克/立方米以上，2025年在微克/立方米以下， 下降浓度大于（微克/立方米），故①正确； ②由图2可知，2020年空气质量优良天数约为天， ， 2020年未突破，故②错误； ③统计图只能反映数据的变化趋势，不能确定未来的具体数值， 不能肯定2027年达到标准，故③错误； ④由图1可知，2020年年均浓度约为微克/立方米，2021年约为微克/立方米， ，且2021年至2025年每年的浓度均低于微克/立方米， 2021年首次达标后连续五年达到国家标准，故④正确． 综上所述，正确的说法是①④． 二、填空题（共16分，每题2分） 11. 请写出一个小于4的无理数：________. 【答案】答案不唯一如，等 【解析】 【分析】开放性的命题，答案不唯一，写出一个小于4的无理数即可. 【详解】开放性的命题，答案不唯一，如等． 故答案为不唯一，如等． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根． 12. 噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越近，听到的声音越大，受到的危害就越大．如图，工厂处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在___________处（填、或）受到的危害较大． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短．根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵垂线段最短， ∴人站在D处受到的危害较大． 故答案为：D． 13. 对于命题“若，则”，请你列举一组a，b的值，说明它是一个假命题，例如：__________，__________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例的方法，理解两个数互为相反数，则这两个是的平方相等．举两个互为相反数的数即可． 【详解】解：当时，满足，即，但，即， ∴命题“若，则”是假命题； 故答案为：、（答案不唯一）． 14. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程组中两个方程相加，整理得到关于的表达式，再结合已知，构造关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 得，， 等式两边同除以得，， ， ， 解得． 15. 如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆从原点出发沿轴正方向滚动一周，圆上一点由原点到达点，圆心也从点到达点．点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据根据沿横轴向右滚动一周，求出点向右运动的距离，是解答本题的关键．滚动过程中，圆心的纵坐标不变，再根据沿横轴向右滚动一周，则向右运动的距离为：，问题得解． 【详解】由图可知：， 根据题意可知，滚动过程中，圆心的纵坐标不变，即为， 根据沿横轴向右滚动一周，则向右运动的距离为：， 即此时圆心的向右运动的距离为：， ∴， 故答案为：． 16. 如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将直角三角板绕点O旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差计算，分在直线的右侧和在直线的左侧两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 当在直线的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 当在直线的左侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 17. 某手工社团准备将一根长的彩带，全部剪成和两种规格的装饰条（每种规格至少一条），用于布置活动现场，那么不同的裁剪方案共有________种． 【答案】##三 【解析】 【分析】设出两种规格装饰条的数量，根据总长度列出二元一次方程，结合x，y均为正整数的条件，找出方程所有符合要求的正整数解，即可得到不同裁剪方案的种数． 【详解】解：设的装饰条有根，的装饰条有根，其中为正整数， 根据题意得：， 整理得：， 变形得：， 因为是正整数， 所以为正偶数， 因此为偶数，且， 可得为偶数，且． 满足条件的的取值为，，， 对应得到的正整数分别为，，，共有组不同的正整数解． 18. 某剧场设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散200名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________． 【答案】D 【解析】 【分析】本题通过比较不同出口组合的疏散时间，利用不等式的性质比较单个出口疏散时间的大小，即可得到疏散最快的安全出口编号． 【详解】解：设安全出口A，B，C，D，E疏散名乘客所需时间分别为， 根据题意得：， 由，得， 即B比E快； 由，得， 即A比C快； 由，得， 即D比B快； 由，得， 即D比A快； 综上可得D的疏散时间最短，疏散乘客最快． 三、解答题（共54分，第题每题5分，第题每题6分，第25题7分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别是，．将三角形先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形． （1）在平面直角坐标系中，画出三角形． （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用四边形的面积得出答案． 【小问1详解】 解：三角形如图所示． 【小问2详解】 解：四边形的面积为． 20. 将下面的推理过程及依据补充完整． 如图，点D在上，点B在上，，，请说明． 理由：（已知）， （ ① ）， （等量代换）． ② （ ③ ）． ④ （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （等量代换）． （ ⑤ ）． 【答案】对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】根据等量代换、平行线的判定与性质补全推理过程即可． 【详解】略． 21. 2026年是国家确定的“健康体重管理年”，主题为“健康体重，一起行动”，旨在应对超重肥胖引发的慢性病问题．目前，国际上常用身体质量指数（）来衡量胖瘦程度，其计算公式是，数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某单位随机抽取50名员工，测得他们的身高、体重数据，将所得数据进行了整理、描述． 【整理数据】 根据样本的数据分成A，B，C，D四个组进行整理，如表： 组别 A B C D 人数 8 m n 12 【描述数据】根据数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 【分析数据】 （1）填空：________，________； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是________； （4）该单位总人数为300人，估计其中体重肥胖（）的人数是多少． 【答案】（1）20；10 （2）补全条形统计图如图： （3）72 （4）体重肥胖（）的人数约是72人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图信息关联，样本估计总体等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先由抽取的50名员工乘以B的占比即可求解，再由50减去A，B，D的人数即可求解； （2）根据（1）中求出的数据即可补全条形统计图； （3）由乘以C的占比即可求解圆心角； （4）用样本估计总体的方法即可求解． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：（人）， 答：其中体重肥胖（）的人数约是72人． 22. 如果一元一次方程的解在一元一次不等式（组）的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式的“关联方程”． （1）方程是以下不等式________的“关联方程”（填序号）； ①；②；③． （2）若方程，都是关于x的不等式组的“关联方程”，求出m的取值范围． 【答案】（1）②③ （2） 【解析】 【分析】（1）先求解对应一元一次方程的解，再分别求解各个不等式的解集，根据“关联方程”的定义，判断方程的解是否在解集范围内即可． （2）先求解两个给定的一元一次方程得到它们的解，再求解关于的含参数的不等式组，得到用表示的解集，因为两个方程的解都属于不等式组的解集，所以将两个解分别代入解集的约束条件，得到关于的不等式组，解该不等式组即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：解方程，移项得，解得． 分别解三个不等式： ① ，解得，不在该解集内，不是关联方程； ② ，解得，，在该解集内，是关联方程； ③ ，解得，，在该解集内，是关联方程． 因此填②③． 【小问2详解】 解：先解两个给定方程： 方程，移项得，解得； 方程，移项得． 解不等式组， 解第一个不等式：， ， ， 解第二个不等式：； ∴不等式组的解集为， 根据“关联方程”定义，两个解和都要在解集内，因此满足：  ， 解得：， 即． 23. 2026年全国低碳日定于6月17日，活动主题为“绿色转型，全民同行”，鼓励全民共同参与低碳行动．“碳足迹”是指一个人或一个家庭的活动产生的二氧化碳排放量．通过计算“碳足迹”，我们可以更好地了解自己的生活方式对环境的影响，采取低碳生活的方式，减少碳排放量，同时也可以通过一定“碳补偿”措施，来达到平衡． 下表是小明同学查询相关资料计算出一家三口某月的“碳足迹”： 序号 种类 消耗量 碳排放系数 碳排放量（） 1 家庭用电 93.6 2 自来水 8t 7.28 3 天然气 25.92 4 牛肉 135 5 国际长途飞行 720 6 应季蔬菜 24 （1）若一棵树每年吸收大约，则根据上表至少需要________棵树一年才能抵消该月使用天然气产生的碳排放量；（结果保留整数） （2）小明家本月购买牛肉和应季蔬菜共，这两种食材产生的总碳排放量为．求小明家本月购买牛肉和应季蔬菜各多少千克？ （3）为了抵消国际长途飞行的碳排放量，小明计划调整家中空调的使用方案．已知1.5匹家用空调制冷模式每小时碳排放量约，制热模式每小时碳排放量约，小明家夏季（120天）每天开8小时，冬季（90天）每天开6小时，其余季节不开空调．他计划在夏季和冬季都将每日空调使用时长减少相同的时间．请通过计算说明：他能否在一年内通过减少空调使用，抵消全部飞行产生的碳排放量？ 【答案】（1） （2）小明家本月购买牛肉，购买应季蔬菜 （3）能 【解析】 【分析】（1）用天然气的总碳排放量除以单棵树一年的吸收量，将结果向上取整即可得到所需树的数量； （2）设出一种食材的购买质量，结合总质量得到另一种食材的质量，根据总碳排放量列一元一次方程求解即可； （3）设每日减少的空调使用时长为，表示出一年内减少的总碳排放量，计算得到最大减少量，与飞行碳排放量比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：已知该月天然气碳排放量为，一棵树每年吸收， 可得：， 树的数量为正整数，且需抵消全部碳排放， 因此向上取整得至少需要棵树； 【小问2详解】 解：设小明家本月购买牛肉，则购买应季蔬菜， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：小明家本月购买牛肉，购买应季蔬菜； 【小问3详解】 解：设夏季和冬季每日减少的空调使用时长为， 冬季原每日空调使用时长为，因此， 一年内减少的总碳排放量为：， 当取最大值时，总减少碳排放量为：， 已知国际长途飞行的碳排放量为， ∵， ∴小明可以通过减少空调使用抵消全部飞行产生的碳排放量， 答：小明能在一年内通过减少空调使用，抵消全部飞行产生的碳排放量． 24. 已知直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线，外一点，连接，．的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点M． （1）如图1，若，，则________； （2）如图2，当点P位于直线与直线之间，直线右侧时，试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3．当点P在直线上方时，补全图形并写出与之间的数量关系． 【答案】（1）90 （2）；理由如下： 作，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）点P位于直线左侧时，； 或点P位于直线右侧时，， 【解析】 【分析】（1）作，利用平行线的判定和性质求解即可； （2）作，设，，求得，再利用平行线的判定和性质结合三角形内角和定理求解即可； （3）分两种情况讨论，同（2）的方法求解即可． 【小问1详解】 解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点P位于直线左侧时，作，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 点P位于直线右侧时，作，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 25. 对于实数x，表示不小于的最小整数，例如：，，．在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，点称为点的取整点，若点满足且，则称点是点的取整关联点． （1）已知点，则点的取整点的坐标是，点，，中，点是点的取整关联点； （2）已知点． ①过点的取整点向轴，轴作垂线段，垂足分别为，．若长方形的面积等于，则的取值范围是； ②已知点，，，当三角形上任意一点都是点的取整关联点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②或 【解析】 【分析】本题为新定义题型，先理解取整点和取整关联点的定义，利用是不小于的最小整数得到性质，其中为整数，再结合题干条件计算坐标、列不等式求解取值范围． （1）根据新定义得出，，即可得出的坐标，进而根据且，取整关联点的定义，即可判断点的取整关联点； （2）①长方形的面积为，根据定义得，若，为正整数，则满足，得出当，得且，求得的范围，即可求解； ②依题意，所有满足，最大，即点，所有满足，的最小值为，因此．进而分类讨论，找到的范围即可求解． 【小问1详解】 解：已知，其中，， 根据定义，是不小于的最小整数，得，是不小于的最小整数，得， 因此的坐标是． 取整关联点需满足且， 对，，不符合； 对，，不符合； 对，，，符合， 因此点是点的取整关联点． 【小问2详解】 ①解：已知，，则，和都为正整数， 长方形的面积为， 根据定义得，若，为正整数，则满足， 乘积为的正整数对有：， 当，得且，无解，不成立； 当，得且， ∴ ②解：三角形上所有点满足：，， ∵， 所以， 得，， 若所有点都是取整关联点，需满足： 所有满足，最大，即点， 因此， 得； 所有满足，的最小值为，因此． 令，则是正整数，且 ∵． ∴ 解得： 当时，，即， 则 ∴ 当时，，即， 则 ∴ 当，，满足的条件，由定义得， 因此， 即，恒满足条件，所有都成立； 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $