精品解析：河北省邢台市任泽区2025-2026学年度第二学期期末学业质量检测 八年级数学(A)

2025－2026学年度第二学期期末学业质量检测 八年级数学（A） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 2．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 一组数据是：35，42，36，38，40，75，42，50，这组数据的中位数是（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. 3，4，5 D. 1，2，3 4. 下列关于变量x，y的关系中：①；②；③；④．其中y是x的函数的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①③④ 5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 20 6. 已知点在直线上，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为一蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的深度h和时间t之间的关系（　　） A. B. C. D. 8. 点都在直线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较大小 9. 如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 10. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（ ） A. 三个班级中，甲班分数的方差最大 B. 三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C. 丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D. 若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 11. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 平均数是8 B. 众数是6 C. 中位数是9 D. 方差是3 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 化简：________． 14. 某校组织环保知识竞赛，为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有4名同学成为区级参赛选手的候选人，这4名同学成绩的相关情况如下表： 甲 乙 丙 丁 平均分 90 92 95 95 方差 36 32 21 33 如果从这4名同学中选出1名参加区级比赛(总体水平高且状态稳定)，你会推荐________． 15. 如图，直线（为常数且）与直线（为常数）交于点，则关于的不等式的解集是______． 16. 已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 图1，图2中每个小正方形的边长都是1，在图1中画一个面积为2的直角三角形；在图2中画一条长度等于的线段． 19. 周六小峰去博物馆参观学习，他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图所示是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系，根据图象完成下列各题： （1）小峰家到早餐店的距离是___________米； （2）小峰吃早餐用了____________分钟，小峰在博物馆参观了____________分钟； （3）小峰家到博物馆的距离是_______米； （4）求小峰从博物馆返回家的平均速度是多少？ 20. 国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行了续航里程实测，将测试的结果（续航里程用公里）分成4组：A．；B．；C．；D．；并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．10辆款纯电动汽车的实际续航里程： 330，375，435，410，410，470，380，365，365，410 b．10辆款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）： c．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 395 395 397 425 d．10辆款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：． 根据以上信息，解答下列问题 （1）表格中的______，______； （2）根据上述数据，你认为款和款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即可） （3）小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的三项性能进行了打分（百分制），如下表： 续航里程得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 88 85 90 乙车 80 90 100 续航里程、百公里能耗、智能化水平三项性能在小王心中所占比例是，你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 21. 如图，直线 与x轴和y轴分别交于点A，B，与直线 交于点 C． （1）求点 C 的坐标； （2）求的面积； （3）点 D 在直线 上且在点 C 的右侧，如果的面积和的面积相等，求点D 的坐标． 22. （1）如图1,在中,求证：； （2）如图2,四边形是长方形纸片,点E,F分别为边的中点,且．沿过B的折痕将C角翻折,使得点C落在上的点H处,折痕交于点I．证明：为等边三角形．（提示：利用（1）的结论） 23. 实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，切身深入了解山西文化，某山西省实验中学走进香菇龙头企业的韦禾农业集团有限公司，开展了“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题： 该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 现某客户需要购买香菇酱30盒，香菇脆x瓶（）． （1）若该客户按方案一购买，需付款元与x的函数关系式是_________；若该客户按方案二购买，需付款元与x的函数关系式是__________． （2）选择哪种方案更优惠？ 24. 小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期期末学业质量检测 八年级数学（A） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 2．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 一组数据是：35，42，36，38，40，75，42，50，这组数据的中位数是（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中位数．根据中位数的定义，将数据从小到大排列后，位于中间位置的数或中间两个数的平均数即为中位数，据此求解即可． 【详解】解：1． 数据排序：将原数据从小到大排列： 原数据：35，42，36，38，40，75，42，50 排序后：35，36，38，40，42，42，50，75 2． 确定数据个数：共有8个数据，为偶数个． 3． 计算中位数： 偶数个数据时，中位数为中间两个数的平均数． 中间两个数为第4个和第5个数，即40和42． 即中位数为：． 因此，这组数据的中位数是41， 故选：D． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可解题． 【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. 3，4，5 D. 1，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理（看看两小边的平方和是否等于大边的平方）分别进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴以为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； B、 ∴， ∴以为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； C、 ∵， ∴以为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴以为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列关于变量x，y的关系中：①；②；③；④．其中y是x的函数的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的定义，解题思路是根据函数定义判断每个关系式：若对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】① 可整理为 ，对任意x的确定值，y都有唯一确定的值对应， 故①中y是x的函数； ② ，对任意x的确定值，y都有唯一确定的值对应， 故②中y是x的函数； ③ ，对任意不为0的x的确定值，y都有唯一确定的值对应， 故③中y是x的函数； ④，即 ，当x取正数值时，例如，可得或，一个x对应两个不同的y值，y不唯一， 故④中y不是x的函数； 因此y是x的函数的是①②③． 5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质．由菱形四边相等，对角线垂直，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且其周长为40， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴． 故选：B． 6. 已知点在直线上，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，点在直线上则点的坐标满足直线解析式，据此可直接得到方程的解． 【详解】解：∵ 点在直线上． ∴ 将代入，得 ． 又∵ 待求解方程为． ∴ 方程的解为． 7. 如图为一蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的深度h和时间t之间的关系（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故与的关系变为先慢后快． 【详解】解：根据题意和图形的形状， 可知水的最大深度与时间之间的关系分为两段，先慢后快． 故选：B． 【点睛】本题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象． 8. 点都在直线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较大小 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵点都在直线上，且，即， ∴． 9. 如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，可知，由勾股定理的逆定理得到是一个直角三角形，则四边形面积可求． 【详解】解：连接，如图所示： 在 中， ， ∴ 在中，， 即， ∴为直角三角形， ∴. 10. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（ ） A. 三个班级中，甲班分数的方差最大 B. 三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C. 丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D. 若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项正确，符合题意； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项错误，不符合题意； 11. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 平均数是8 B. 众数是6 C. 中位数是9 D. 方差是3 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差公式得出各数据以及各数据出现的次数，然后根据平均数、众数、中位数、方差的定义依次计算判断即可． 【详解】解：根据方差公式可得，这组数据中，出现次，出现次，出现次，出现次，出现次数最多， 众数是，故B正确，不符合题意； 按从小到大的顺序排列为：6，6，6，6，8，9，9，10，10，10， 中位数是，故C错误，符合题意； 总样本容量为， 平均数为，故A正确，不符合题意； 方差 ，故D正确，不符合题意． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解． 【详解】解：连接、 ∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形． ∴， 则， 依题意，， ∴，则， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 化简：________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 14. 某校组织环保知识竞赛，为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有4名同学成为区级参赛选手的候选人，这4名同学成绩的相关情况如下表： 甲 乙 丙 丁 平均分 90 92 95 95 方差 36 32 21 33 如果从这4名同学中选出1名参加区级比赛(总体水平高且状态稳定)，你会推荐________． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的意义．此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．所以应选平均分数高、方差小的选手参赛，从而得出答案． 【详解】解：从表中可知，丙和丁的平均分最高，均为95分；在平均分相同的情况下，丙的方差21小于丁的方差33，说明丙的成绩更稳定，所以应推荐丙． 故答案为：丙． 15. 如图，直线（为常数且）与直线（为常数）交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点坐标与解析式构成的不等式解集的关系，确定交点的横坐标，结合不等式，利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴根据图象可知，当时，直线的图象在线的下面， ∴关于x的不等式的解集是． 故答案为：． 16. 已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形等判定方法一一判定即可． 【详解】解：①∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴此项成立； ②∵菱形是平行四边形，它的对角线也互相垂直，但它不是矩形，∴此项不成立； ③∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴此项成立； ④∵平行四边形的对角线互相平分，由可得它的对角线相等，∴此项成立． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后按照二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式除法运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 图1，图2中每个小正方形的边长都是1，在图1中画一个面积为2的直角三角形；在图2中画一条长度等于的线段． 【答案】见解析 【解析】 【分析】画两个直角边长都为2的直角三角形即可得到面积为2的直角三角形．根据勾股定理，只需构造一个以1和4为直角边长的直角三角形，斜边长度等于的线段． 【详解】解：如图，，线段为所求． 由图可得，， ∴． 由图可得． 19. 周六小峰去博物馆参观学习，他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图所示是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系，根据图象完成下列各题： （1）小峰家到早餐店的距离是___________米； （2）小峰吃早餐用了____________分钟，小峰在博物馆参观了____________分钟； （3）小峰家到博物馆的距离是_______米； （4）求小峰从博物馆返回家的平均速度是多少？ 【答案】（1）400 （2）15；50 （3）3000 （4）250米/分钟 【解析】 【分析】（1）根据图象的信息即可求解； （2）根据图象的信息即可求解； （3）根据图象的信息即可求解； （4）根据图象的信息求出小峰从博物馆返回家所用时间，再根据速度路程时间即可求解． 【小问1详解】 解：由图象得，小峰家到早餐店的距离是400米； 【小问2详解】 解：小峰吃早餐所用时间为（分钟）； 小峰在博物馆参观所用时间为（分钟）； 【小问3详解】 解：由图象得，小峰家到博物馆的距离是3000米； 【小问4详解】 解：小峰从博物馆返回家所用时间为（分钟）， 小峰从博物馆返回家的平均速度是（米/分钟） 答：小峰从博物馆返回家的平均速度是250米/分钟． 20. 国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行了续航里程实测，将测试的结果（续航里程用公里）分成4组：A．；B．；C．；D．；并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．10辆款纯电动汽车的实际续航里程： 330，375，435，410，410，470，380，365，365，410 b．10辆款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）： c．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 395 395 397 425 d．10辆款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：． 根据以上信息，解答下列问题 （1）表格中的______，______； （2）根据上述数据，你认为款和款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即可） （3）小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的三项性能进行了打分（百分制），如下表： 续航里程得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 88 85 90 乙车 80 90 100 续航里程、百公里能耗、智能化水平三项性能在小王心中所占比例是，你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：款的实际续航里程更长，理由如下： ∵款的平均数较大， ∴款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可）； （3） 解：选择甲款车更合适，理由如下： 甲款车综合得分为： （分）， 乙款车综合得分为： （分）， ， ∴选择甲款车更合适． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到与的值； （2）根据表格中的平均数判断即可； （2）利用加权平均数求解可得． 【小问1详解】 330，375，435，410，410，470，380，365，365，410中，410出现的次数最多， ∴众数； 在款抽取的纯电动车的实际续航里程中的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为402，410， ∴中位数 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，直线 与x轴和y轴分别交于点A，B，与直线 交于点 C． （1）求点 C 的坐标； （2）求的面积； （3）点 D 在直线 上且在点 C 的右侧，如果的面积和的面积相等，求点D 的坐标． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，准确计算． （1）联立，解方程组即可； （2）先求出， ，得出，，再根据三角形面积公式进行计算即可； （3）根据，得出 ，根据点C的纵坐标为3，得出点D的纵坐标为6，把代入求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：解方程组 得： 所以点C的坐标是． 【小问2详解】 解：对直线 ，当 时，； 当 时，解方程 ,得 ， ∴， ， ∴，， ∴的面积为：． 【小问3详解】 解：若 ，则 ， ∵点C的纵坐标为3， ∴点D的纵坐标为6， 把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为． 22. （1）如图1,在中,求证：； （2）如图2,四边形是长方形纸片,点E,F分别为边的中点,且．沿过B的折痕将C角翻折,使得点C落在上的点H处,折痕交于点I．证明：为等边三角形．（提示：利用（1）的结论） 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折，掌握知识点是解题的关键。 （1）延长到点M，使，连接，则，因为，所以垂直平分则，所以，则是等边三角形，即可由，推导出； （2）由矩形的性质得，由，得，因为点F为的中点，所以，由翻折得，由得，所以，再证明，则即可证明为等边三角形． 【详解】（1）证明：如图1， 延长到点M，使，连接，则， ∵， ， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （2）证明：如图2， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 由翻折得 ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 23. 实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，切身深入了解山西文化，某山西省实验中学走进香菇龙头企业的韦禾农业集团有限公司，开展了“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题： 该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 现某客户需要购买香菇酱30盒，香菇脆x瓶（）． （1）若该客户按方案一购买，需付款元与x的函数关系式是_________；若该客户按方案二购买，需付款元与x的函数关系式是__________． （2）选择哪种方案更优惠？ 【答案】（1）； （2）当购买香菇脆大于60瓶时，选择方案二更优惠；当购买香菇脆等于60瓶时，选择方案一、二一样优惠；当购买香菇脆大于30瓶且小于60瓶时，选择方案一更优惠． 【解析】 【分析】（1）根据两种方案分别列代数式即可； （2）结合（1）所得式子，列方程和不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 【小问2详解】 解：当时，则，解得， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 答：当购买香菇脆大于60瓶时，选择方案二更优惠；当购买香菇脆等于60瓶时，选择方案一、二一样优惠；当购买香菇脆大于30瓶且小于60瓶时，选择方案一更优惠． 24. 小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 【答案】【概念理解】菱形，正方形； 【性质探究】，； 【问题解决】（1）13，40； （2）； （3）证明：连接，设与交于点，与交于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，四边形面积求解，全等三角形判定及性质，正方形性质等． 根据题意可得为菱形和正方形； 根据题意可得和； （1）根据题意可得，； （2）先证明四边形为垂美四边形，继而得到，即可得到本题答案； （3）连接，设与交于点，与交于点，先证明和△全等，继而利用全等性质得到本题答案． 【详解】解：【概念理解】根据题意可得为菱形和正方形， 故答案为：菱形，正方形； 【性质探究】根据题意可得： ∴， ∴， 故答案为：，； 【问题解决】（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：13，40； （2）∵，是的中线， ∴，， ∵， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得：， 故答案为：； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $