精品解析：广西崇左市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由共轭复数的概念结合条件即可求解. 【详解】由题意得，则. 2. 若等比数列满足，，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可. 【详解】因为是等比数列，所以，即.所以. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再利用倍角公式即可. 【详解】由得或. 因为，所以. 所以. 4. 设函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的性质，及二次函数的性质求解即可． 【详解】由是开口向上的二次函数，且对称轴为， 又， 若，且，即， 又二次函数不存在三个不同自变量对应相同的函数值，故该情况不符合条件； 若，且， 所以对称轴为，解得． 综上，． 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，得到处的导数值即切线斜率；再结合切点坐标用点斜式写出切线方程即可. 【详解】由可得：. 则曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 6. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，分别平方然后相加即可求出结果. 【详解】由，， 可得，， 两式相加得，，即， 又，代入解得. 7. 在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱锥的结构特征，三棱锥的外接球等同于长方体的外接球，利用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得外接球的半径，进而得到外接球的表面积. 【详解】因为平面，，将三棱锥放入长方体中，如图， 所以三棱锥的外接球和长方体的外接球相同，由，， 所以，所以， 所以该三棱锥的外接球的表面积为. 8. 设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据，，，，的平均数，方差，则（ ） A. 每个数据都加2后，新数据的平均数为7 B. 每个数据都加2后，新数据的方差为4 C. 每个数据都乘以3后，新数据的平均数为15 D. 每个数据都乘以3后，新数据的方差为18 【答案】ACD 【解析】 【分析】将变换后的新数据代入平均数与方差的公式中，结合原始数据的平均数与方差即可求解. 【详解】由题意得，即， ， 对于AB，记新数据为， 则， ，故A正确，B错误， 对于CD，记新数据为， ， ， 故CD正确. 10. 设函数，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的定义域为 D. 在处取得极小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题综合考查函数的基本性质与导数应用，需结合对数运算、奇偶性定义、定义域判断、导数求极值的方法逐项分析. 【详解】选项A：代入得，故A正确； 选项B：定义域为，化简， 满足偶函数定义,故B正确； 选项C：恒成立，因此，定义域为全体实数，故C错误； 选项D：求导得，时，单调递减；时，单调递增，因此处取极小值，故D正确. 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点（位于第一象限）在上，在点处的切线恰好为的角平分线，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 当时， C. 当与轴交于点时， D. 当的斜率为2时，点到轴的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】A由渐近线定义得出；B利用双曲线的定义得出；C利用角平分线定理得出；D联立直线与双曲线方程，得出点坐标. 【详解】， 因为，所以其渐近线方程为，故A错误； 因为，， 所以，故B正确； 由得，则由角平分线定理得， 因为，所以， 在中利用余弦定理得， 则，故C正确； 设，与联立得， 则，得， 因为点位于第一象限，所以， 此时，则点到轴的距离为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的最大值为，则______；的最小正周期为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【详解】由正弦函数的性质可得函数的最大值为2； 的最小正周期为. 13. 用1，2，…，9这9个数字可以组成______个恰有两个相同数字的四位数（例如1219）． 【答案】 【解析】 【分析】本题可分为三步来确定恰有两个相同数字的四位数的个数，首先可以先从中选出1个作为重复数字，第二步从剩下的数字中选出两个数字，第三步对4个数字进行排列. 【详解】第一步从中选出1个作为重复数字，有种; 第二步从剩下8个数字中选择2个数字共有种; 第三步，对4个数字进行排列，先从4个位置中选2个位置给重复的数字共有种;再将剩下两个数字进行全排列共有种; 根据分步计数原理的乘法原理可得共有 14. 数列满足，且，，则______． 【答案】194 【解析】 【分析】仿写作差后得到中所有下标模3余0,1,2的子列均为公差为6的等差数列，再利用等差数列的性质可计算. 【详解】因为，，则， 两式作差后可得，即中所有下标模3余0,1,2的子列均为公差为6的等差数列， 又，可得，即， 所以 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以， 因为平面，所以平面； （2）因为为的中点，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面，平面，所以平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离，又， 由（2）点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为． 16. 已知的周长为15，，且． （1）求； （2）求的面积； （3）求的内切圆的直径． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求解即可； （2）由三角形面积公式求解即可； （3）由等面积法求解即可. 【小问1详解】 由  及正弦定理得 ，又 ，解得 ，， ，故 ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 内切圆半径 ，直径 ． 17. 已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H． （1）求C的方程； （2）求直线的斜率及点H的坐标． 【答案】（1） （2）斜率为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据题目条件列出关于，和的方程，求出，，进而可写出椭圆C的方程. （2）先设出点，利用中点坐标公式得出线段的中点，结合点在y轴正半轴上及点M在椭圆C上，列出方程组求出点坐标，根据直线的斜率公式可得出直线的斜率；进而可得出直线的方程，联立椭圆和直线的方程可得出点的坐标. 【小问1详解】 因为椭圆：的离心率为，左顶点为， 所以，解得：， 所以椭圆C的方程为：. 【小问2详解】 设点的坐标为， 因为点， 则线段的中点的坐标为. 因为线段的中点在y轴正半轴上， 所以，解得. 又因为点M在椭圆C上， 所以， 则，即点的坐标为， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即. 联立椭圆C和直线的方程，整理得：， 解得：或. 结合题目要求可知点H的横坐标为. 将代入直线的方程可得， 所以点的坐标为 . 18. 某蜂产品检测中心对甲、乙、丙三个养蜂场的A，B两类花粉样本进行品质抽检，已知A类花粉样本中有3份来自甲养蜂场，7份来自乙养蜂场，5份来自丙养蜂场；B类花粉样本中有7份来自甲养蜂场，8份来自乙养蜂场，10份来自丙养蜂场．先从三个养蜂场中等可能性地选取一个养蜂场，再从该养蜂场的花粉样本中不放回地抽取两次，每次抽取一份． （1）求第一次抽到A类花粉的概率； （2）记X为抽到的A类花粉份数，求X的分布列与期望； （3）在第二次抽到B类花粉的条件下，求第一次抽到A类花粉的概率． 【答案】（1） （2） 0 1 2 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，根据全概率公式分别求得相应的概率，即可得到其分布列，再根据离散型随机变量的期望公式，求得的期望； （3）分别求出和，再根据条件概率公式求解即可． 【小问1详解】 设“第次抽到的是类花粉”，“第次抽到的是类花粉”， 记甲、乙、丙三个养蜂场分别为第1个养蜂场、第2个养蜂场、第3个养蜂场， “选取到第个养蜂场”，． 则，， 由题意得第一次抽到的是类花粉的概率为 ． 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 所以． 【小问3详解】 从甲养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为； 从乙养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为； 从丙养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为. 所以， ， 则， 所以在第二次抽到B类花粉的条件下，求第一次抽到A类花粉的概率． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意，都有，求的取值范围； （3）当时，设是函数的两个非0零点，且，证明：. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，递减区间为，递增区间为 （2） （3）当时，，， 设，则， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，， ，，，， 所以存在，使得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由于，所以的两个零点满足， 因为，所以， 因为，所以， 所以，得证． 【解析】 【分析】（1）对函数求导可得 ，再对参数进行讨论，从而得到的单调性； （2）任意，都有即，即对任意均成立，构造函数，即，再对参数进行讨论，得到函数的单调性求得函数的最小值，进而求出的取值范围； （3）当时，，，讨论函数的单调性，得到两个非0零点的取值范围，再证明. 【小问1详解】 对函数求导可得 ， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得．当时，单调递减； 当时，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 任意，都有即， 即对任意均成立， 设，则． ，设， 那么，所以在上单调递增， 当，即时，， 所以在上单调递增，，满足条件； 当时，， 所以存在，使得； 当时，单调递减，，不满足条件； 综上所述，的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 若等比数列满足，，则公比（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据，，，，的平均数，方差，则（ ） A. 每个数据都加2后，新数据的平均数为7 B. 每个数据都加2后，新数据的方差为4 C. 每个数据都乘以3后，新数据的平均数为15 D. 每个数据都乘以3后，新数据的方差为18 10. 设函数，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的定义域为 D. 在处取得极小值 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点（位于第一象限）在上，在点处的切线恰好为的角平分线，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 当时， C. 当与轴交于点时， D. 当的斜率为2时，点到轴的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的最大值为，则______；的最小正周期为______． 13. 用1，2，…，9这9个数字可以组成______个恰有两个相同数字的四位数（例如1219）． 14. 数列满足，且，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求点到平面的距离． 16. 已知的周长为15，，且． （1）求； （2）求的面积； （3）求的内切圆的直径． 17. 已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H． （1）求C的方程； （2）求直线的斜率及点H的坐标． 18. 某蜂产品检测中心对甲、乙、丙三个养蜂场的A，B两类花粉样本进行品质抽检，已知A类花粉样本中有3份来自甲养蜂场，7份来自乙养蜂场，5份来自丙养蜂场；B类花粉样本中有7份来自甲养蜂场，8份来自乙养蜂场，10份来自丙养蜂场．先从三个养蜂场中等可能性地选取一个养蜂场，再从该养蜂场的花粉样本中不放回地抽取两次，每次抽取一份． （1）求第一次抽到A类花粉的概率； （2）记X为抽到的A类花粉份数，求X的分布列与期望； （3）在第二次抽到B类花粉的条件下，求第一次抽到A类花粉的概率． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意，都有，求的取值范围； （3）当时，设是函数的两个非0零点，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $