精品解析：广西壮族自治区崇左市2024-2025学年高二下学期7月期末教学质量监测数学试题

2025年春季学期高二期末教学质量监测 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占30%，选择性必修第一、二、三册占70%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数的模为，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模长的定义，列出方程，求出参数值. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 2. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定椭圆参数，应用直接法求离心率. 【详解】由题设，椭圆参数，则离心率. 故选：C 3. 用1，2，3，5，6可以组成个无重复数字的五位偶数，则（ ） A. 24 B. 48 C. 60 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先排各位，其他位数全排即可. 【详解】因为无重复数字的五位偶数，所以各位可选2,6，其他全排， 则. 故选：B. 4. 已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线的向量表示进行充分性与必要性的分析即可求解. 【详解】，， 又，有公共点，所以，，三点共线，所以充分性成立； 若，，三点共线，则存在实数使得，即， 当时明显不满足，所以必要性不成立. 即“（）”是“，，三点共线”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知半径为的球的表面积为，当时，的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设，对其求导，结合瞬时变化率与导数关系求解. 【详解】由题设，则，故当时，的瞬时变化率为. 故选：D 6. 展开式中的系数是（ ） A. 15 B. C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出展开式通项，结合乘积形式求对应项，进而确定的系数. 【详解】对于，展开式通项为，， 当，即时，， 当，即时，， 所以展开式中的系数是. 故选：A 7. 若（，），则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知有且，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B 8. 若数列满足，，的前项和为，则的整数部分为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系式变形可构造出数列是首项为2，公比为2的等比数列，得到，再利用分组求和及错位相减法求和即可得到，再取的整数部分即可. 【详解】，， 又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 则， 设数列的前项和为， 则，， 两式相减得：， 解得， 所以， 所以，故的整数部分为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布三段区间的概率性质及对称性判断各项的正误. 【详解】由，则，，由，则，， A：由，即，对； 由，即，B错，C对； D：由，即，错. 故选：AC 10. 已知函数若（），则（ ） A. B. 的值可能为25 C. D. 的值可能为32 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据解析式及对数函数性质画出函数大致图象并确定函数的相关性质，进而得且，，进而判断各项的正误. 【详解】由解析式，在，上单调递减，在，上单调递增， ，，可得函数大致图象如下， 由，且，则， 所以，易知，且， 所以，， 综上，. 故选：ABD 11. 在棱长为2的正方体中，动点在底面内（含边界），且点到点的距离等于点到平面的距离，点的轨迹记为曲线，直线与曲线交于点，则（ ） A. 曲线为抛物线的一部分 B. C. 与底面所成角的正切值为 D. 异面直线与所成角的余弦值的平方为 【答案】ABD 【解析】 【分析】在平面内，以为轴，中点为原点，轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线部分，结合直线求坐标，即可判断A、B；由线面角的定义求与底面所成角的正切值判断C；将延长到，且，连接，有异面直线与所成角，即为或其补角，进而求其余弦值判断D. 【详解】由题设，在平面内，以为轴，中点为原点，如下图示， 轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线部分， 其中，则直线，联立得， 所以，则，故，A、B对； 所以与底面所成角的正切值为，C错； 将延长到，且，连接，易得， 所以异面直线与所成角，即为或其补角， 结合上述坐标系知，则， 且，， 所以，故，D对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合的子集的个数为2，则的取值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】由子集个数知，解方程求参数，即可得. 【详解】由题设，集合有且仅有1个元素， 所以，可得或1，故的取值集合为. 故答案为： 13. 圆与圆的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，再由圆心距与半径和差关系判断位置关系即可. 【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为， 所以，故，即两圆相交. 故答案为：相交 14. 如图，这是一板胶囊，若从这板胶囊中随机选取3粒胶囊，则这3粒胶囊中有1粒与另外2粒都相邻（左右相邻或上下相邻）的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】分类计数求3粒胶囊中有1粒与另外2粒都相邻的取法数，再由组合数求所有取法数，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】当3粒在同一行，每行有4种取法，结合对称性有8种， 当2粒在同一行，每行有5种取法，再从另一行取另1粒，有种取法，结合对称性有种， 综上，共有28种取法， 而12粒任取3粒，共有种，故所求概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得，再由二倍角余弦公式求值即可； （2）由正弦边角关系得，再由余弦定理求边长且，再应用三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由，且，，则， 所以，则， 由，可得； 【小问2详解】 由，则，故， 所以，则，，又， 所以的面积. 16. 篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，是奥运会核心比赛项目．某高校为了了解大学生对篮球运动的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了100名大学生，得到的数据如表所示： 单位：人 性别 篮球运动 合计 喜欢 不喜欢 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？ （2）从表中喜欢篮球运动的55人中，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取11人，再从这11人中选取3人进行采访，设被采访的3人中女生的人数为，求的分布列及数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能 （2）分布列见详解； 【解析】 【分析】（1）计算出，与对照比较即可得出结论； （2）由题知抽取男人8人，女人3人，可取0,1,2,3，再根据组合计算出相关概率，写出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 由题可知， 所以能认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联. 【小问2详解】 根据题意可知抽取得男大学生有人，女大学生3人， 则再从这11人中选取3人中，女生人数可取0,1,2,3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，，，，，． （1）证明：底面． （2）过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并求四面体的体积． （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2）点在中点，理由见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得和，再利用线面垂直的判定即可证明； （2）由题知点在中点，先证平面，得到，又，即可证平面，即点在中点；由底面，点为中点，得到即可求得四面体的体积； （3）以为原点建立空间直接坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用二面角与平面法向量的关系即可求解. 【小问1详解】 证明：，， ，即， 又，，为正三角形，所以， ，即， 又平面， 所以底面 【小问2详解】 点在中点，理由如下， 底面，底面，， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又为中点，，所以， 又平面，所以平面， 故点在中点， ，，， 底面，， 所以四面体的体积为. 【小问3详解】 设中点为，连接，， ，即，， 底面，所以以为原点建立空间直接坐标系， ， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， ，， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求正数的取值范围； （3）设，比较与2的大小． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，应用分类讨论研究函数的单调性； （2）由（1）及已知有在上恒成立，构造函数并应用导数研究恒成立，即可得参数范围； （3）令，结合（1）知在上单调递减，得到，即可得结论. 【小问1详解】 由题设，且， 当时，，则在上单调递减， 当时，有，有， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，时在上单调递减， 时在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由，则，又， 所以，即， 令，则，故在上单调递增， 又，要使，只需. 【小问3详解】 由，且， 令，结合（1）知在上单调递减， 所以，故， 则，所以. 19. 已知双曲线：（，）的焦距为，，且点在上． （1）求的方程； （2）若直线：与的右支交于点（），求的取值范围； （3）若，是上不同的两点（异于点），的平分线垂直于（为坐标原点），证明：直线的倾斜角为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明：根据题意直线斜率存在， 设，， ， ， ， ， 由（1）知，又的平分线垂直于， 所以直线的斜率互为相反数， 即 ， ， 异于点，点不在直线上， 即， 所以， 即直线的倾斜角为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，解方程组即可得到的方程； （2）由点在上，可得，又点在直线上，可得，化简再根据即可求得范围； （3）设直线的方程，，联立得到，利用的平分线垂直于，得到直线的斜率互为相反数，即，再化简即可得到斜率为定值，即直线的倾斜角为定值. 【小问1详解】 由题知， 则的方程为. 【小问2详解】 因为直线：与的右支交于点（）， 所以， ， 则的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期高二期末教学质量监测 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占30%，选择性必修第一、二、三册占70%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数的模为，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 用1，2，3，5，6可以组成个无重复数字的五位偶数，则（ ） A. 24 B. 48 C. 60 D. 72 4. 已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知半径为的球的表面积为，当时，的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 6. 展开式中的系数是（ ） A. 15 B. C. 30 D. 7. 若（，），则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 49 8. 若数列满足，，的前项和为，则的整数部分为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数若（），则（ ） A. B. 的值可能为25 C. D. 的值可能为32 11. 在棱长为2的正方体中，动点在底面内（含边界），且点到点的距离等于点到平面的距离，点的轨迹记为曲线，直线与曲线交于点，则（ ） A. 曲线为抛物线的一部分 B. C. 与底面所成角的正切值为 D. 异面直线与所成角的余弦值的平方为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合的子集的个数为2，则的取值集合为______． 13. 圆与圆的位置关系是______． 14. 如图，这是一板胶囊，若从这板胶囊中随机选取3粒胶囊，则这3粒胶囊中有1粒与另外2粒都相邻（左右相邻或上下相邻）的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，是奥运会核心比赛项目．某高校为了了解大学生对篮球运动的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了100名大学生，得到的数据如表所示： 单位：人 性别 篮球运动 合计 喜欢 不喜欢 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？ （2）从表中喜欢篮球运动的55人中，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取11人，再从这11人中选取3人进行采访，设被采访的3人中女生的人数为，求的分布列及数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，，，，，． （1）证明：底面． （2）过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并求四面体的体积． （3）求二面角的正弦值． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求正数的取值范围； （3）设，比较与2的大小． 19. 已知双曲线：（，）的焦距为，，且点在上． （1）求的方程； （2）若直线：与的右支交于点（），求的取值范围； （3）若，是上不同的两点（异于点），的平分线垂直于（为坐标原点），证明：直线的倾斜角为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $