专题07圆的有关概念(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年浙教版八升九数学暑假预习讲义

专题07圆的有关概念暑假预习讲义 · 掌握圆的两种定义，能区分动态定义与集合定义，理解定点、定长分别对应圆心、半径。 · 熟记圆的相关基础概念：弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧，能准确识图并区分概念。 · 会判断点与圆的三种位置关系，牢记距离和半径的大小对应规律，能根据条件判断点的位置、求取值范围。 · 掌握同圆、等圆中半径、直径的数量关系，会进行简单线段长度计算。 · 分清优弧、劣弧的表示方法，规范书写弧的符号，不混淆半圆、优弧、劣弧。 · 理解等圆、等弧成立的两个条件（半径相等、能完全重合），能辨析易错判断题。 · 能结合图形标注圆心、半径、弦、直径、弧，建立图形几何直观。 · 标记不理解的概念辨析题、易混定义，课堂重点听讲突破。 预习必备 知识梳理 1.圆的定义 2.点与圆的位置关系 3.圆相关基础概念 4.过点作圆 5.基础概念辨析易错汇总 6.基础题型应用 常考题型 精讲精练 1.圆的基本概念辨析 2.求圆中弦的条数 3.求过圆内一点的最长弦 4.圆的周长和面积问题 5.求小圆绕图形一圈自转圈数 6.判断点与圆的位置关系 7.点与圆的位置关系求半径 8.点与圆上一点的最值问题 9.由半径和圆上两点作圆 10.三角形外接圆的概念辨析 11.求三角形外心坐标 12.求特殊三角形外接圆半径 13.由外心位置判断三角形形状 14.判断三角形外接圆圆心位置 15.判断确定圆的条件 16.确定圆心 17.求能确定的圆的个数 强化题型 解答题10题 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： 1 ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 2 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充教师备课拓展 生活实例：车轮做成圆形，利用 “圆上各点到圆心距离相等”，保证行驶平稳；摩天轮、圆形餐盘都是圆的现实模型。 知识点 2：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 设：⊙ O的半径为定值r，平面内任意一点P，点P到圆心O的距离为线段长度OP=d。 1.位置关系完整对照表（解题万能模板） 位置分类 距离与半径大小关系 图形直观特征 题型双向用法 点在圆外 d > r 点落在圆周外侧，不在圆上、圆内 ①已知点在圆外，直接写d>r；②已知OP>r，判断点在圆外 点在圆上 d = r 点刚好落在圆周曲线上 ①圆上任意一点到圆心距离等于半径；②证明点在圆上，只需证d=r 点在圆内 d < r 点落在圆周包围的内部区域 ①点在圆内，d<r；②距离小于半径，点在内部 2.两类核心考法 · 基础判定：给出半径、线段长度，直接判断点的位置； 例：⊙O半径 4，OP=6，6>4，点P在圆外。 · 含参数综合题：已知点的位置，列不等式求参数取值范围； 例：⊙ O半径 5，点M(a,0)在圆内，圆心(0,0)，则OM<5，利用勾股定理<5，解得-5<a<5。 3.配套计算方法（坐标类题目必备） 4.高频易错提醒（教师课堂重点纠错） 1.d是线段长度，一定是非负数，距离不能为负； 2 区分 “圆上” 和 “圆内 / 外”，等于半径才在圆周上； 2.坐标题先算距离，不可直接拿横坐标、纵坐标和半径比较； 3.审题区分 “圆”（仅曲线，点d=r才算圆上）和 “圆面”dr都在圆面内）。 知识点 3：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 概念名称 标准文字定义 几何书写规范 核心性质 & 易混易错点 圆心 确定圆位置的定点 点O 圆心定位置，半径定大小；两个圆半径相等为等圆 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 线段OA（A在 ⊙O上） 1.同一个圆中,所有半径长度相等；2. 无数条半径 弦 连接圆上任意两个点的线段 弦AB 弦是线段，弧是曲线；圆内任意两点连线都是弦 直径 经过圆心的弦 直径AC 1.直径是特殊弦；2.同圆中最长弦；3.直径d=2r；4.无数条直径 弧 圆上两点之间的曲线部分 劣弧：优： 一条弦对应两条弧；直径对应两条半圆 半圆 直径将圆分割出的两条弧 （AC为直径） 半圆既不属于优弧，也不属于劣弧，长度等于圆周长一半 劣弧 小于半圆的弧 只用两个大写字母表示 两点短弧，书写仅需两个点 优弧 大于半圆的弧 必须三个大写字母表示 两点长弧，只用两点会和劣弧混淆，中间加一个圆上点区分 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点 4 过点作圆 & 三角形外接圆、外心（本节拓展核心） 1. 过定点画圆规律 (1）过一个点：可画无数个圆，圆心为平面内任意一点； (2）过两个点：可画无数个圆，圆心在这两点连线的垂直平分线上； (3）过不在同一直线上的三个点：有且只有唯一一个圆； (4）若三点在同一条直线上：不存在能同时经过三点的圆。 2. 三角形外接圆、外心定义 (1）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做这个三角形的外接圆。 (2）三角形的外心：外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点。 (3）内接三角形：这个三角形叫做该圆的内接三角形。 3. 外心核心性质 ① 外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆半径； ② 外心位置与三角形形状对应： 三角形类型 外心位置 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边中点（外接圆直径 = 直角三角形斜边） 钝角三角形 三角形外部 4. 关键易错点 (1）“外接” 是圆包住三角形，圆经过三角形三顶点；“内切” 是圆在三角形内部，和三边相切，本节只学外接圆； (2）任意三角形一定有且只有 1 个外接圆；一个圆有无数个内接三角形。 知识点 5 基础概念辨析易错汇总 1.圆是封闭曲线，不是圆面；圆面是圆周及其内部整体； 2.直径是线段，不是直线；半径也是线段； 3.优弧书写必须三字母，劣弧可两字母； 4.判定等弧先看是否同圆 / 等圆，再看能否重合，不能只看弧长； 5.三点共线时无外接圆，不共线三点确定唯一外接圆； 6.外心是垂直平分线交点，不是角平分线交点（角平分线交点是内心）。 知识点 6 基础题型应用 1.已知半径和点到圆心距离，判断点在圆内 / 圆上 / 圆外； 2.已知点与圆位置，求半径或距离的取值范围； 3.识图：在图形中准确找出圆心、半径、弦、直径、优弧、劣弧、半圆； 4.判断命题对错：辨析直径、弦、等弧、半圆、外接圆、外心相关判断题； 5.给定三角形，判断外心位置、求外接圆半径（尤其直角三角形斜边为直径题型）。 题型1.圆的基本概念辨析 【典例】经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 【跟踪专练1】如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【跟踪专练2】如图，是的直径，点B、D在上，，，则的度数是________． 【跟踪专练3】如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点B作的垂线交于点C．以、为边作矩形，连接．若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 题型2.求圆中弦的条数 【典例】如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【跟踪专练1】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 【跟踪专练2】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 题型3.求过圆内一点的最长弦 【典例】已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 【跟踪专练3】如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型4.圆的周长和面积问题 【典例】在如图所示的图形中随机撒豆子，把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率，则区域的半径为_____． 【跟踪专练1】如图，在半径为的圆形铁片中挖去个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个圆沿着半径平均分成若干等份（偶数份），拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是，这个圆的面积是_____． 【跟踪专练3】如图，是某圆形扫地机器人的平面示意图，点是其圆心，毛刷绕点转动，面积比面积大平方厘米，若点在外经过的路径为半圆，则为（    ）厘米    A． B． C． D． 题型5.求小圆绕图形一圈自转圈数 【典例】如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【跟踪专练1】如图1至图5，均作无滑动滚动，，，，均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为c． 阅读理解： 如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周； 如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点B处，必须由的位置旋转到的位置，绕点B旋转的角，在点B处自转周． 实践应用： (1)在阅读理解的（1）中，若，则自转_______周；若，则自转_______周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转_______周；若，则在点B处自转________周； (2)如图3，，．从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转_______周． 【跟踪专练2】圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 题型6.判断点与圆的位置关系 【典例】若圆O的直径为8，的长为4，则点P在圆O________（填“上”或“内”或“外”） 【跟踪专练1】已知的直径为，点M不在内，则的长（   ） A．大于 B．不小于 C．大于 D．不小于 【跟踪专练2】已知的直径是10，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在的 _____．（填“内部”、“外部”、“上”） 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 题型7.点与圆的位置关系求半径 【典例】的半径为5，若点A在上，则________ ． 【跟踪专练1】点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系内，点的坐标是．如果与两坐标轴有且只有3个公共点，那么的半径长是______． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 题型8.点与圆上一点的最值问题 【典例】如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为_________． 【跟踪专练1】已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，、，以点为圆心、为半径的上有一动点．连接，若点为的中点，连接，则的最大值为_________． 题型9.由半径和圆上两点作圆 【典例】已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练1】已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 【跟踪专练2】如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【跟踪专练3】如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 题型10.三角形外接圆的概念辨析 【典例】下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为___________．    【跟踪专练2】如图，O是的外心，则________． 【跟踪专练3】如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．无法确定 题型11.求三角形外心坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图外接圆的圆心坐标是___________． 【跟踪专练2】如图中外接圆的圆心坐标是______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 题型12.求特殊三角形外接圆半径 【典例】是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【跟踪专练1】在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【跟踪专练2】三边长分别为6，8，10的三角形，它的外接圆面积为_______． 【跟踪专练3】在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 题型13.由外心位置判断三角形形状 【典例】如图，点是的外心，且，则________． 【跟踪专练1】点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【跟踪专练2】如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【跟踪专练3】如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 题型14.判断三角形外接圆圆心位置 【典例】已知点O是外接圆的圆心，若点O在外，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【跟踪专练1】如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【跟踪专练3】在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（   ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 题型15.判断确定圆的条件 【典例】如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练1】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【跟踪专练2】已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点______确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【跟踪专练3】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 题型16.确定圆心 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______． 【跟踪专练1】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为____．    【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 题型17.求能确定的圆的个数 【典例】过一点可以作___________个圆；过两点可以作___________个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的___________上；过不在同一条直线上的三个点可以作___________个圆． 【跟踪专练1】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【跟踪专练3】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 2．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 3．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 4．如图，在中，，平分，    (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 5．如图所示，，是的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于，两点（在的右侧），与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点． (1)如图，求抛物线的函数解析式及点的坐标； (2)连接，，求外接圆圆心的坐标； (3)若为抛物线上的一个动点，点P关于原点对称的点为，当点落在此抛物线上时，求的值． 7．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 8．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； (2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 10．课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07圆的有关概念暑假预习讲义 · 掌握圆的两种定义，能区分动态定义与集合定义，理解定点、定长分别对应圆心、半径。 · 熟记圆的相关基础概念：弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧，能准确识图并区分概念。 · 会判断点与圆的三种位置关系，牢记距离和半径的大小对应规律，能根据条件判断点的位置、求取值范围。 · 掌握同圆、等圆中半径、直径的数量关系，会进行简单线段长度计算。 · 分清优弧、劣弧的表示方法，规范书写弧的符号，不混淆半圆、优弧、劣弧。 · 理解等圆、等弧成立的两个条件（半径相等、能完全重合），能辨析易错判断题。 · 能结合图形标注圆心、半径、弦、直径、弧，建立图形几何直观。 · 标记不理解的概念辨析题、易混定义，课堂重点听讲突破。 预习必备 知识梳理 1.圆的定义 2.点与圆的位置关系 3.圆相关基础概念 4.过点作圆 5.基础概念辨析易错汇总 6.基础题型应用 常考题型 精讲精练 1.圆的基本概念辨析 2.求圆中弦的条数 3.求过圆内一点的最长弦 4.圆的周长和面积问题 5.求小圆绕图形一圈自转圈数 6.判断点与圆的位置关系 7.点与圆的位置关系求半径 8.点与圆上一点的最值问题 9.由半径和圆上两点作圆 10.三角形外接圆的概念辨析 11.求三角形外心坐标 12.求特殊三角形外接圆半径 13.由外心位置判断三角形形状 14.判断三角形外接圆圆心位置 15.判断确定圆的条件 16.确定圆心 17.求能确定的圆的个数 强化题型 解答题10题 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： 1 ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 2 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充教师备课拓展 生活实例：车轮做成圆形，利用 “圆上各点到圆心距离相等”，保证行驶平稳；摩天轮、圆形餐盘都是圆的现实模型。 知识点 2：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 设：⊙ O的半径为定值r，平面内任意一点P，点P到圆心O的距离为线段长度OP=d。 1.位置关系完整对照表（解题万能模板） 位置分类 距离与半径大小关系 图形直观特征 题型双向用法 点在圆外 d > r 点落在圆周外侧，不在圆上、圆内 ①已知点在圆外，直接写d>r；②已知OP>r，判断点在圆外 点在圆上 d = r 点刚好落在圆周曲线上 ①圆上任意一点到圆心距离等于半径；②证明点在圆上，只需证d=r 点在圆内 d < r 点落在圆周包围的内部区域 ①点在圆内，d<r；②距离小于半径，点在内部 2.两类核心考法 · 基础判定：给出半径、线段长度，直接判断点的位置； 例：⊙O半径 4，OP=6，6>4，点P在圆外。 · 含参数综合题：已知点的位置，列不等式求参数取值范围； 例：⊙ O半径 5，点M(a,0)在圆内，圆心(0,0)，则OM<5，利用勾股定理<5，解得-5<a<5。 3.配套计算方法（坐标类题目必备） 4.高频易错提醒（教师课堂重点纠错） 1.d是线段长度，一定是非负数，距离不能为负； 2 区分 “圆上” 和 “圆内 / 外”，等于半径才在圆周上； 2.坐标题先算距离，不可直接拿横坐标、纵坐标和半径比较； 3.审题区分 “圆”（仅曲线，点d=r才算圆上）和 “圆面”dr都在圆面内）。 知识点 3：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 概念名称 标准文字定义 几何书写规范 核心性质 & 易混易错点 圆心 确定圆位置的定点 点O 圆心定位置，半径定大小；两个圆半径相等为等圆 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 线段OA（A在 ⊙O上） 1.同一个圆中,所有半径长度相等；2. 无数条半径 弦 连接圆上任意两个点的线段 弦AB 弦是线段，弧是曲线；圆内任意两点连线都是弦 直径 经过圆心的弦 直径AC 1.直径是特殊弦；2.同圆中最长弦；3.直径d=2r；4.无数条直径 弧 圆上两点之间的曲线部分 劣弧：优： 一条弦对应两条弧；直径对应两条半圆 半圆 直径将圆分割出的两条弧 （AC为直径） 半圆既不属于优弧，也不属于劣弧，长度等于圆周长一半 劣弧 小于半圆的弧 只用两个大写字母表示 两点短弧，书写仅需两个点 优弧 大于半圆的弧 必须三个大写字母表示 两点长弧，只用两点会和劣弧混淆，中间加一个圆上点区分 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点 4 过点作圆 & 三角形外接圆、外心（本节拓展核心） 1. 过定点画圆规律 (1）过一个点：可画无数个圆，圆心为平面内任意一点； (2）过两个点：可画无数个圆，圆心在这两点连线的垂直平分线上； (3）过不在同一直线上的三个点：有且只有唯一一个圆； (4）若三点在同一条直线上：不存在能同时经过三点的圆。 2. 三角形外接圆、外心定义 (1）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做这个三角形的外接圆。 (2）三角形的外心：外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点。 (3）内接三角形：这个三角形叫做该圆的内接三角形。 3. 外心核心性质 ① 外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆半径； ② 外心位置与三角形形状对应： 三角形类型 外心位置 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边中点（外接圆直径 = 直角三角形斜边） 钝角三角形 三角形外部 4. 关键易错点 (1）“外接” 是圆包住三角形，圆经过三角形三顶点；“内切” 是圆在三角形内部，和三边相切，本节只学外接圆； (2）任意三角形一定有且只有 1 个外接圆；一个圆有无数个内接三角形。 知识点 5 基础概念辨析易错汇总 1.圆是封闭曲线，不是圆面；圆面是圆周及其内部整体； 2.直径是线段，不是直线；半径也是线段； 3.优弧书写必须三字母，劣弧可两字母； 4.判定等弧先看是否同圆 / 等圆，再看能否重合，不能只看弧长； 5.三点共线时无外接圆，不共线三点确定唯一外接圆； 6.外心是垂直平分线交点，不是角平分线交点（角平分线交点是内心）。 知识点 6 基础题型应用 1.已知半径和点到圆心距离，判断点在圆内 / 圆上 / 圆外； 2.已知点与圆位置，求半径或距离的取值范围； 3.识图：在图形中准确找出圆心、半径、弦、直径、优弧、劣弧、半圆； 4.判断命题对错：辨析直径、弦、等弧、半圆、外接圆、外心相关判断题； 5.给定三角形，判断外心位置、求外接圆半径（尤其直角三角形斜边为直径题型）。 题型1.圆的基本概念辨析 【典例】经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 【答案】以点A为圆心，为半径的圆 【分析】根据题意可知该圆的圆心到点A的距离为，则该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 【详解】解：∵该圆经过定点A，且该圆的半径为， ∴该圆的圆心到点A的距离为， ∴该圆的圆心在以A为圆心，半径为的圆上， 即该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 【跟踪专练1】如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【答案】 【分析】由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，利用圆的面积公式即可求解．本题主要考查了圆的对称性，圆的面积公式，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】解：由于圆是中心对称图形，阴影部分的面积可以移动到一起，等于大圆的四分之一， 故阴影部分的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是的直径，点B、D在上，，，则的度数是________． 【答案】/35度 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键，先证明得出，再利用圆的半径相等和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点B作的垂线交于点C．以、为边作矩形，连接．若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】连接，根据矩形的性质得到，进而求出的半径，再利用勾股定理求出长，利用求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， 、， ， 在中，由勾股定理得：， ． 题型2.求圆中弦的条数 【典例】如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 【跟踪专练1】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 【跟踪专练2】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 题型3.求过圆内一点的最长弦 【典例】已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据题意，可得圆的直径为，直径是圆上最长的弦，即，即可得到答案． 【详解】解：∵、为上的两点，若的半径为， ∴， ∴D不符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆中直径是最长的弦，待定系数法求一次函数解析式，因为弦，所以是圆的直径，从而过点，将，代入得， 【详解】解：，的半径为， 是的直径， 直线过点， 将，代入得，． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立正比例函数y=2x与反比例函数，求出点A，B的坐标，连接BP，连接BC并延长，交圆C于点D．根据已知条件可得，所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值，即当点P运动到点D时，BP取得最大值，为BD的长．过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得BC=的长，进而可得BD=BC+CD的长，即可得出答案． 【详解】解：联立正比例函数y=2x与反比例函数， 得，解得，， ∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（-1，−2）， 连接BP，连接BC并延长，交⊙C于点D． 由反比例函数图象的对称性可知，点O为AB的中点， ∵点Q为AP的中点， ∴OQ=PB， ∴所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值， 则当点P运动到点D时，BP取得最大值，即为BD的长． 过点B作BE⊥x轴于点E， 则OE=1，BE=2， ∵C点坐标为（-2，0）， ∴OC=2，CE=CO-OE=1， 由勾股定理得BC=， ∴BD=BC+CD=， ∴OQ=． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、圆的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 题型4.圆的周长和面积问题 【典例】在如图所示的图形中随机撒豆子，把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率，则区域的半径为_____． 【答案】2 【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可． 设区域的半径为，区域的面积为，即可得. 【详解】解：由图可知最大的圆的面积为， 设区域的半径为，区域的面积为， ∵把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率， ∴ ，解得， 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，在半径为的圆形铁片中挖去个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，圆的面积的计算，理解数量关系是关键． 根据圆的面积的计算方法列式求解即可． 【详解】解：， 故选：C ． 【跟踪专练2】一个圆沿着半径平均分成若干等份（偶数份），拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是，这个圆的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长公式及面积公式，根据题意，长方形的长是圆周长的一半，宽是半径，设圆的半径为，列方程求解得到，再由圆的面积公式即可解答． 【详解】解：设圆的半径为， 把一个圆形平均分成若干份，剪开后拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是， ，则， 这个圆的面积是． 故答案为：. 【跟踪专练3】如图，是某圆形扫地机器人的平面示意图，点是其圆心，毛刷绕点转动，面积比面积大平方厘米，若点在外经过的路径为半圆，则为（    ）厘米    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的面积，勾股定理，解题的关键是确定点的轨迹．设的半径为，的半径为，根据面积比面积大平方厘米，列式可得，再根据点在外经过的路径为半圆，可得，进而可求得的长． 【详解】解：设的半径为，的半径为， 根据题意得，即， ， 点在外经过的路径为半圆， 点的轨迹为以点为圆心，半径为的半圆，，， ∴， 如图所示，    ，即， ，解得（负值已舍去）， 故选：A． 题型5.求小圆绕图形一圈自转圈数 【典例】如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 【跟踪专练1】如图1至图5，均作无滑动滚动，，，，均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为c． 阅读理解： 如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周； 如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点B处，必须由的位置旋转到的位置，绕点B旋转的角，在点B处自转周． 实践应用： (1)在阅读理解的（1）中，若，则自转_______周；若，则自转_______周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转_______周；若，则在点B处自转________周； (2)如图3，，．从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转_______周． 【答案】(1)2；；； (2) 【分析】此题主要考查三角形外角的性质，圆的基本性质，阅读理解能力，也是一道探索规律题，找准规律是关键． （1）读懂题意，套公式易得若，则自转2周；若，则自转周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转周；若，则在点B处自转周． （2）因，，则自转周． 【详解】（1）解：由阅读材料①可知：若，则自转周数（周）； 若，则自转周数为（周）． 由阅读材料②可知：若，则在点B处自转周数（周）； 若∠ABC=60°，则在点B处自转周数（周）． 故答案分别为：2；；；． （2）解：∵，， ∴自转（周）． 故答案为：． 【跟踪专练2】圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)该圆自转了圈； 理由见解析 【分析】（1）利用圆运动的距离除以圆的周长即可得出答案； （2）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （3）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （4）圆自转的圈数绕三边滚动所转的圈数圆心要绕其三角形的顶点所转的圈数． 【详解】（1）解：该圆在滚动过程中自转的圈数为：（圈）； （2）解：当沿沿周围滚动一周回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （3）解：当沿内部边缘滚动一圈回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （4）解：该圆自转了圈； 理由如下： 等边三角形的边长与和圆的周长相等， 圆在等边三角形三条边上滚动时，转了圈， 而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数， 圆心要绕其三角形的顶点旋转， 圆绕三个顶点共旋转了，即转了圈， 此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了圈． 题型6.判断点与圆的位置关系 【典例】若圆O的直径为8，的长为4，则点P在圆O________（填“上”或“内”或“外”） 【答案】上 【分析】根据圆的直径求出圆的半径，再根据的长与半径的关系，求解即可． 【详解】解：由圆的直径为，可得圆的半径， 由可得， 根据点与圆的位置关系，当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上， 则答案为：上 【跟踪专练1】已知的直径为，点M不在内，则的长（   ） A．大于 B．不小于 C．大于 D．不小于 【答案】B 【分析】先根据圆的直径求出半径，再结合点与圆的位置关系判断的长度范围，点不在圆内包含点在圆上和点在圆外两种情况． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径， ∵点不在内， ∴点在上或外， ∴，即的长不小于． 【跟踪专练2】已知的直径是10，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在的 _____．（填“内部”、“外部”、“上”） 【答案】上 【分析】先解一元二次方程得到的值，再求出圆的半径，比较后判断即可． 【详解】解：， 解得或， ∵点到圆心的距离为方程的一个根， ∴， ∵的直径是， ∴的半径 ， ∴， ∴点在上． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． 题型7.点与圆的位置关系求半径 【典例】的半径为5，若点A在上，则________ ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了圆与点的位置关系，在圆上的点到圆心的距离等于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为5，且点A在上， ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练1】点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系即可求解，解题的关键是正确理解当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：设的半径为， ∵点在圆外且， ∴， ∵点在圆内且， ∴， ∴的半径是， ∴选项符合题意， 故选：． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系内，点的坐标是．如果与两坐标轴有且只有3个公共点，那么的半径长是______． 【答案】4或5/5或4 【分析】本题考查圆与坐标轴的位置关系，掌握根据圆心到坐标轴的距离及圆的半径，分析公共点数量是解题的关键． 分析圆心到坐标轴的距离，分圆与轴相切、圆经过原点两种情况，判断圆与坐标轴的公共点数量，从而确定半径． 【详解】解：圆心到轴距离为4，到轴距离为3，到原点距离为． 当圆与轴相切时，半径，此时圆与轴相交于两点，公共点共个； 当圆经过原点时，半径，此时圆与轴、轴各有一个除原点外的交点，公共点共个． 其他情况：当时，无公共点； 当时，与轴相切，有个交点，与轴无交点，公共点数为； 当时，与轴有两个交点，与轴无交点，公共点数为； 当或时，与轴和轴各有两个交点，公共点数为； 故半径为或时，圆与坐标轴有且只有个公共点． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得的最小值，进而确定的半径范围，即可求解． 【详解】解：设的半径为，即，则， ∵点C在内 ∴，即，解得：， 连接， 在中， 当时， 解得： ∵点P是边上的一个动点，，点B在外 ∴ ∴，结合选项可得的半径可以是 故选：C． 题型8.点与圆上一点的最值问题 【典例】如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为_________． 【答案】7 【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的距离，勾股定理，根据，得到当时，最长，当时，最短，利用的长为定值，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，最长，此时最长， 当，最短，此时最短，如图： 设半径为， 当，即：， 由勾股定理，得：， 当，即：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 故答案为：7． 【跟踪专练1】已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值，解题的关键是确定当圆心在线段上，取得最大值． 由题意知，当圆心在线段上，取得最大值，把点的坐标代入中，即可求得的值． 【详解】解：由题意知，当圆心在线段上，取得最大值， 此时直线过点， 把点坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 【答案】3 【分析】连接，取的中点H，连接．利用三角形的中位线定理可得，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接． ∵，， ∴， ∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，、，以点为圆心、为半径的上有一动点．连接，若点为的中点，连接，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】取点，连接，容易证明是的中位线，则，因此最大时，最大．当、、三点共线时，取得最大值为，用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，取点，连接， ∵，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，即最大时，最大， 由线段公理可知，当、、三点共线时，取得最大值为， 由勾股定理可得， ∴取得最大值为，此时， ∴的最大值为． 题型9.由半径和圆上两点作圆 【典例】已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 【跟踪专练1】已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 【答案】B 【分析】本题考查确定圆的条件，两圆的位置关系；圆心需同时满足到A和B的距离均为，即是以A和B为圆心、半径的两圆的交点，根据两圆位置关系，当圆心距，半径时，两圆相交，有两个交点，故可作两个圆． 【详解】解：∵圆经过A、B两点且半径为， ∴圆心O满足，， ∴O点是以A为圆心、为半径的圆和以B为圆心、为半径的圆的交点， 又∵，且两圆半径均为， ∴两圆圆心距，半径和，半径差， ∴两圆相交，有两个交点， ∴这样的圆可作两个． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 题型10.三角形外接圆的概念辨析 【典例】下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为___________．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求出，根据钝角三角形最小覆盖圆是以最长边为直径的圆得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：， 则能够完全覆盖这个三角形的最小圆面是以为直径的圆，圆的半径是， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 【跟踪专练3】如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外心，勾股定理与网格，连接，由网格可得，然后根据三角形的外心的定义即可判断，熟练掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格可得， ∴点是的外心， 故选：． 题型11.求三角形外心坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 【跟踪专练1】如图外接圆的圆心坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，结合网格的特点，画出圆心，即可求解． 【详解】解：如图，点即为外接圆的圆心坐标 故答案为：． 【跟踪专练2】如图中外接圆的圆心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形外心的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，即外心是三角形三边中垂线的交点． 【详解】解：和的垂直平分线的交点即为的外接圆的圆心，由图知．     故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．由两点的坐标可以得到直线轴，则直线BC的垂直平分线为直线，再由外心的定义可知外心的纵坐标为1，设的外心为，利用两点距离公式和外心的性质求解，即可解题． 【详解】解： B点坐标为，C点坐标为， 直线轴， 直线的垂直平分线为直线， 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 外心的纵坐标为1， 设的外心为， ， ， 解得， 外心的坐标为， 故选：D． 题型12.求特殊三角形外接圆半径 【典例】是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【答案】 【分析】直角三角形的外接圆中，斜边是外接圆的直径，即斜边长度等于外接圆半径的2倍．先根据直角三角形外接圆的性质确定斜边与外接圆直径的关系，再结合已知半径计算斜边长度． 【详解】解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴斜边是其外接圆的直径， ∴． 【跟踪专练1】在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，求特殊三角形的外接圆直径． 根据勾股定理可得的斜边长，即为这个三角形的外接圆直径． 【详解】解：∵在中，两直角边分别为6和8， ∴斜边长为 ， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴这个三角形的外接圆直径是． 故选：C． 【跟踪专练2】三边长分别为6，8，10的三角形，它的外接圆面积为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆的相关知识，勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理可证明该三角形为直角三角形，再由直角三角形的斜边即为其外接圆的直径求出外接圆的半径，最后根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴该三角形的斜边即为其外接圆的直径， ∴该三角形的外接圆的半径为5， ∴该三角形的外接圆的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练3】在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 题型13.由外心位置判断三角形形状 【典例】如图，点是的外心，且，则________． 【答案】 【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵点为的外心， ∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键． 【跟踪专练1】点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【详解】解：点I是的外心，则点I是的三条垂直平分线交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 题型14.判断三角形外接圆圆心位置 【典例】已知点O是外接圆的圆心，若点O在外，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，解题的关键是判断外接圆的圆心所在的位置． 外心的位置与三角形类型有关：①锐角三角形的外心在三角形内部；②直角三角形的外心在斜边中点处；③钝角三角形的外心在三角形外部．因此，若外心在三角形外部，则三角形必为钝角三角形． 【详解】解：∵ 点是的外心，且点在外， ∴ 是钝角三角形．（注：仅钝角三角形的外心在三角形外部．） 故选：A． 【跟踪专练1】如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为______． 【答案】 【分析】根据三角形的外心是三边中垂线的交点，由的坐标可知，圆心M必在直线上；由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到． 【详解】解：设的外心为M， ， ∴M必在直线上，由图知：的垂直平分线过，故， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心是三边中垂线的交点、确定圆心的位置是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【答案】G 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 【跟踪专练3】在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（   ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等，掌握三角形的外接圆与外心是解题的关键． 根据题意画出图形，使，，点在射线上，作于点，根据等腰直角三角形的性质可得的长，再由和的长作比较即可判断甲乙；由和的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可以在的上、下两侧，即可判断丙． 【详解】解：如图，，，点在射线上，作于点， ， ， 不存在的，故甲不符合题意； ，，， 而， 存在的，使得的长唯一成立，如上图中的点即是，故乙符合题意； ，， 当的外接圆半径为4时， 如图， ， ， ， ， 存在两个使的外接圆半径为4，两个外接圆的圆心分别在的上、下两侧，故丙不符合题意； 综上所述，只有乙符合题意． 故选：B． 题型15.判断确定圆的条件 【典例】如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握经过不在同一直线上的三点可作圆是解题关键．由点、、、在同一条直线上，点在直线外，即可求解 【详解】解：根据题意可知，点、、、在同一条直线上，不能确定圆， 点在直线外，则点；点；点；点；点；点；不在同一直线上，可以画圆， 即能画圆的个数是6个 故选：D． 【跟踪专练1】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 【跟踪专练2】已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点______确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【答案】可以 【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．用待定系数法求一次函数解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 所以点不在直线上， 即点A、B、C不在同一条直线上， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆． 故答案为：可以 【跟踪专练3】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用列举法求概率以及圆确定的条件，根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有： ，，，，，， 共6种， ∴经过这三个点能够画出圆的概率为． 故选：D 题型16.确定圆心 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______． 【答案】（2，1） 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）． 故答案为（2，1）． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 【跟踪专练1】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为____．    【答案】(5，5) 【分析】分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案． 【详解】∵B(0，3)，C(3，0)， ∴在网格中，BC可以看作边长为3的正方形的对角线， 根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，如图所示，    ∵A(0，7)，B(0，3)， ∴点E纵坐标为5， ∴由图可得，E(5，5)． 故答案为：(5，5)． 【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 题型17.求能确定的圆的个数 【典例】过一点可以作___________个圆；过两点可以作___________个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的___________上；过不在同一条直线上的三个点可以作___________个圆． 【答案】 无数 无数 垂直平分线 一 【分析】利用过点作圆的个数即可求解． 【详解】解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆， 故答案为：无数；无数；垂直平分线；一． 【点睛】本题考查了确定圆的个数，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 找出不在同一条直线上的三个点的所有组合，即可解决问题． 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆： ∴最多可画出圆的个数为6个． 故选：． 【跟踪专练2】已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 【跟踪专练3】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 解答题 1．如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的长度不变， (3)或 (4)的最大值为12，最小值为2 【分析】（1）连接，根据题意可得当A，O，B共线时，，即可求解； （2）证明，即可解答； （3）分两种情况：当点B在F上方时，当点B在F下方时，即可解答； （4）作，且，连接，证明，即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵，仅当A，O，B共线时，， 又∵最大为10，， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， 当点B在F上方时，， 当点B在F下方时， ， ∴综上所述，的长为或； （4）解：作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，最小值为． ∴的最大值为12，最小值为2． 【点睛】本题综合考查了圆、正方形、勾股定理、全等三角形等相关知识，要求学生理解并掌握圆的性质、正方形的性质、勾股定理的内容及公式、全等三角形的判定与性质等，并能通过作辅助线构造全等三角形，能进行线段之间的转化和运算等，理解三角形的三边关系，并能用于解决求有一端点为动点的线段的最值问题，该题综合性较强，对学生的分析推理与计算的能力都有一定的要求，蕴含了分类讨论和数形结合的思想． 2．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 3．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 4．如图，在中，，平分，    (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2． 【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可； （2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：如图：即为所求；   ； （2）解：连接，设的半径为x，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的半径为2． 【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用． 5．如图所示，，是的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 【答案】见解析 【分析】本题考查圆的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以． 【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于，两点（在的右侧），与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点． (1)如图，求抛物线的函数解析式及点的坐标； (2)连接，，求外接圆圆心的坐标； (3)若为抛物线上的一个动点，点P关于原点对称的点为，当点落在此抛物线上时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，三角形外心的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，并正确添加适当的辅助线是解题的关键． （1）把代入，求出，可得抛物线的函数解析式，把所得解析式化为顶点式，即可得出点坐标； （2）设圆心为（如图），半径为，连接，根据为外接圆的圆心可得点在的图象的对称轴上，得出，根据抛物线解析式求出、坐标，得出，在中，利用勾股定理求出的值，即可得答案； （3）根据关于原点对称的点的坐标特征得出，把、代入抛物线解析式，得出关于、的方程组，解方程组求出的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的函数解析式为． ∵，顶点为， ∴． （2）解：设圆心为（如图），半径为，连接， ∵三角形外接圆圆心在三条边的垂直平分线上，则， ∴点在的图象的对称轴上， ∵， ∴，． 令， 解得：，， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 解得：， ∴， ∴． （3）解：∵点与点P关于原点对称，， ∴． ∵点和点P都在抛物线上， ∴， 解得：． 7．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 8．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 【答案】(1)证明：点E，点F分别从点B，点C同时出发，在线段上做等速运动， ， ，即， ， ， 在和中， ， ； (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意可得，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，利用“”证明即可； （2）先由，结合等腰三角形内角和计算的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关系，进而推导的度数； （3）根据三角形外心在内部的性质，判断为锐角三角形，得到三个内角均小于的约束，求解出的取值范围，再根据与的等量关系得到最终范围． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由（1）知，， ，， ， ； （3）解：的外心在其内部， 是锐角三角形， ， ， ， ， ． 9．在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； (2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 【答案】(1)①点在外，点在内；② (2) 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆上一点的最值问题，一次函数的应用，理解新定义是解题的关键． （1）①根据“亲情点”的定义可得，，即可求解； ②求出直线的解析式，根据“亲情点”的定义可得为，再由点在直线上，即可求解； （2）根据“亲情点”的定义可得的坐标为，可得到点到圆心O的距离，即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得，点M的“亲情点”为，点N的“亲情点”为， ，， 点在外，点在内； ②设直线的解析式为，将和代入 ， 解得：， ， 根据题意得：点的“亲情点”为， 点在直线上， ， 解得； （2）解：∵的“亲情点”为， ∴的坐标为， 点到圆心O的距离为， 点与上任意一点的最短距离是． 10．课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 【答案】（1）． 理由如下：在和中， ， ． 又于点，于点， 即分别是边上的高， ； （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，． ， 同理可得：， ，， 为的平分线． 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的判定与性质、角平分线的判定． （1）证明，根据于点，于点，即可证明； （2）过点分别作，，垂足分别为，．同理（1）即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $