专题04二次函数的应用暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年浙教版九年级数学上册

专题04二次函数的应用暑假预习讲义 · 掌握实际问题建模步骤 能读懂几何面积、销售利润类应用题，区分自变量、因变量，结合等量关系列出二次函数解析式，并根据实际意义写出自变量取值范围。 · 会利用顶点求最值 掌握在自变量无限制、有限制两种场景下，借助顶点坐标求最大面积、最大利润；理解顶点最值与区间端点函数值的取舍方法。 · 掌握抛物线型实物建模 针对拱桥、喷水、球类飞行等抛物线模型，能建立平面直角坐标系，设合适函数解析式，代入已知点求解系数，再解决高度、水平距离等实际问题。 · 学会分类讨论区间最值 能根据对称轴与自变量取值区间的位置关系，分三类讨论函数最值：对称轴在区间左侧、内部、右侧，规范判断增减性再计算最大 / 最小值。 · 规范应用题解题书写 明确建模、求解析式、求顶点、结合自变量范围取舍、写答句完整解题流程，理清数形结合解决实际问题的思路。 · 区分两类应用题型核心思路 ① 代数利润 / 几何面积：依靠等量关系列式，重点求最值； ② 抛物线实物模型：依靠图像坐标列式，重点求高度、距离。 · 标记易错疑点 重点关注自变量取值范围限制最值、坐标系建系方案选择、实际问题结果取舍等难点，课堂针对性听讲 预习必备 知识梳理 1.解题通用步骤 2.二次函数求最值两种方法 3.实际问题与二次函数的联系 4.二次函数的实际应用 5.二次函数综合 6.高频易错点 1.图形问题(常考) 2.图形运动问题(常考+重点) 3.拱桥问题(常考) 4.销售问题(常+重难点) 5.投球问题(常考) 6.喷水问题(常考) 7.增长率问题 8.其他实际应用问题 9.线段周长问题 10.面积问题 11.角度问题 12.特殊三角形问题 13.特殊四边形问题 14.相似三角形问题 15.其他综合问题 强化题型 解答题9题 知识点01:解题通用步骤（所有二次函数应用题通用） 1.审：读懂题意，梳理已知量、变化量、所求最值； 2.设：合理设出自变量 x（直接 / 间接设元）； 3.列：根据等量关系，列出二次函数解析式 y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.定：结合实际场景，确定自变量 x 的取值范围(x>0、整数、线段长度限制等）；. 5.求：分两种情况求最值： 顶点横坐标在自变量取值范围内：最值在顶点处； 顶点横坐标不在取值范围内：最值在区间左右端点处； 6：检验结果是否符合实际意义，规范写出答案。 知识点02:二次函数求最值两种方法 设函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 方法 1：配方法（化为顶点式） y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) a>0，开口向上，当 x=h时，y最小=k； a<0，开口向下，当 x=h 时，y最大=k。 方法 2：顶点公式法 对称轴 x=-，最值 y= 关键注意点 实际问题中自变量存在取值区间，顶点不一定能取到，需对比区间端点函数值，确定真实最大 / 最小值。 知识点03:实际问题与二次函数的练习转化 知识点04:二次函数实际应用 问题类型 核心知识点 图形问题 用二次函数表示图形的面积 / 边长关系，求最值（如矩形、三角形面积最值） 图形运动问题 分析图形平移 / 旋转过程中，边长、面积的变化规律，建立二次函数模型 拱桥问题 以拱桥顶点为原点（或其他坐标系），用二次函数表示桥的轮廓，求高度、跨度 销售问题 结合 “单价 - 销量” 的变化关系，列总利润的二次函数，求最大利润 / 指定利润的单价 投球 / 喷水问题 用二次函数（h=at2+bt+c）表示物体的高度与时间 / 水平距离的关系，求最大高度、落地 / 落水位置 增长率问题 连续两次增长率为x时，总量y=a(1+x)2（a为初始量），分析增长最值 / 目标量对应的x 知识点05:二次函数综合 问题类型 核心知识点 线段周长问题 求抛物线上动点到定点 / 定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最值（结合对称点转化） 面积问题 用 “铅垂高 × 水平宽”“割补法” 求动点与定点围成图形的面积，分析面积最值 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角 / 特殊角（如 45°）的存在性 特殊三角形问题 分类讨论等腰 / 直角 / 等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方程求解 特殊四边形问题 分析平行 / 矩形 / 菱形 / 正方形的存在性，利用对边平行 / 相等、对角线性质列条件 相似三角形问题 找对应角 / 对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 知识点06：本节高频易错点汇总 1.忘记写自变量取值范围，直接用顶点当作实际最值； 2.利润、面积类题目，计算完最值不检验边长、销量是否为正数； 3.抛物线实物建系混乱，选错原点导致计算复杂、坐标符号出错； 4.区间最值只看顶点，忽略对称轴不在取值区间时需取端点； 5.应用题最后不写答句，缺少实际意义文字说明； 6.涨价降价列式时，销量增减关系写反，导致解析式a符号错误。 题型1.图形问题 【典例】一个边长为的正方形，若边长增加，面积增加，则与之间的函数关系式为______． 【跟踪专练1】如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是(   ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，有长为30米的篱笆，一面利用长为12米的墙，花圃的一边靠墙，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃（连接处的篱笆长度不计），则花圃的最大面积是__平方米． 【跟踪专练3】如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种草坪，其中点E，F，G，H分别在边上，且，已知，则草坪面积最大为（    ） A． B． C． D． 题型2.图形运动问题 【典例】如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发，________时，的面积最大，最大面积是________．    【跟踪专练1】如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【跟踪专练2】如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积的最大值为______． 【跟踪专练3】如图，在中，，，．正方形的顶点D，F分别在，边上，设，与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（   ） A．B．C．D． 题型3.拱桥问题 【典例】如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 【跟踪专练1】如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【跟踪专练2】如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是4米，跨度是8米，在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是____米． 【跟踪专练3】如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为，宽为，隧道的最高点P距地面． (1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式． (2)一辆货车高为，宽，能否从该隧道通过？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由． 题型4.销售问题 【典例】某商品进价为每件40元，售价为每件50元时，每月可卖出210件；售价每上涨1元，每月销量就减少10件，设售价为每件x元，每月利润为y元，则y与x的函数关系式为______． 【跟踪专练1】金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元，经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克、若设该种海产品销售单价为每千克元，公司每天直播销售的利润为元，则与的函数关系式为_____． 【跟踪专练3】某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 题型5.投球问题 【典例】如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是_______． 【跟踪专练1】如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（   ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【跟踪专练2】体育测试时，九年级一名男生双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．如果实心球出手处距离地面的高度是米，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则该男生本次扔实心球的成绩是_________米．（结果保留根号） 【跟踪专练3】甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面，此时到点A的水平距离为． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； (2)若高为的城墙离的水平距离为，请判断（1）中的石块能否越过城墙，若能越过请说明理由，若不能越过，问为了抵御外敌，城墙应至少加高几米？ 题型6.喷水问题 【典例】广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 【跟踪专练1】如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心上方设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小明在学习了压强的知识后，知道装有液体的瓶子侧边开一个小孔，液体喷出后的喷射距离与开孔位置有关．设瓶底离液面的距离，小孔离液面的距离，则喷射距离满足关系式：．现有一个瓶子装满水后，瓶底离水面的距离为，为使水的喷射距离最大，则小孔离液面的距离应为_____． 【跟踪专练3.】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（）与水平距离x（）之间的关系式是．柱子的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？（结果保留根号） 题型7.增长率问题 【典例】某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 【跟踪专练1】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为_____（直观关系式无需化简） 【跟踪专练3】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 题型8.其他实际应用问题 【典例】酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性（单位：U）与温度（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在__________． 【跟踪专练1】飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行_________米停下来，最后2秒滑行了_________米．（   ） A．600米，6米 B．600米，594米 C．600米，114米 D．40米，6米 【跟踪专练2】如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．现通过模拟某款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，小组收集、整理数据，绘制如图2的函数图象．发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：）与刹车后行驶的时间t（单位：）之间成二次函数关系．则司机踩下刹车后，汽车________后完全停下．    【跟踪专练3】如图，一个小朋友坐在池塘边向水中抛掷石头，石头从距离水面米高处飞出，水平飞行5米达到最高处，此时距离水面3米，石头落到水面上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度比原来最大高度降低米． (1)求石头飞出到第一次落到水面时的抛物线表达式； (2)石头第二次落到水面的位置距离池塘边多远？ 题型9.线段周长问题 【典例】如图，抛物线 与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为_______． 【跟踪专练1】抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知二次函数，点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则的最大值为________． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，并与x轴交于另一点C（点C在点A的右侧）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，若点P是抛物线上一动点，且点P在第二象限内，过点P作轴于D，交于点E，当点P运动到什么位置时，线段最长？求此时的值． 题型10.面积问题 【典例】如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 【跟踪专练1】如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【跟踪专练2.】如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型11.角度问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 【跟踪专练1】如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【跟踪专练3】抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 题型12.特殊三角形问题 【典例】如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________． 【跟踪专练1】如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式___________．（写一个即可） 【跟踪专练2】二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 【跟踪专练3】如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型13.特殊四边形问题 【典例】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 【跟踪专练1】如图，抛物线交轴于点，交轴于点，以为边的正方形的顶点在抛物线上，则点的坐标是_______．    【跟踪专练2】如图，正方形的边在轴上，，定义：若某个抛物线上存在一点，使得点到正方形四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形的“友好抛物线”若抛物线是正方形的“友好抛物线”，则的值为__________． 【跟踪专练3】抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为坐标平面内一点，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 题型14.相似三角形问题 【典例】如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 _____________． 【跟踪专练1】某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为_________． 【跟踪专练2】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时，______； (2)的最大值为_______． 【跟踪专练3】如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交线段于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在点，使得与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型15.其他综合问题 【典例】如图，已知抛物线解析式为，点是轴正半轴上一点，将点向右平移5个单位长度得到点；若线段与只有一个公共点，那么的取值范围是___________． 【跟踪专练1】定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C．当时， D．不论取何值， 【跟踪专练2】若关于的函数（，且是常数）与直线：（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线l是否总经过某一个定点？若经过某一定点，则该定点的坐标为________． 【跟踪专练3】对于平面内任意一点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点．若点是线段的中点，则称为点关于这条抛物线的共轭点．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点关于抛物线的共轭点的纵坐标（用含的代数式表示）； (3)设点为平面内任意一点，其共轭点为．已知点在直线上运动，记点的横坐标为． ①当点落在轴上时，求此时的值； ②在①的条件下，若线段上存在一点，使得最小，直接写出点关于抛物线的共轭点的坐标． 解答题 1．学校准备在教学楼后面搭建一个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成． (1)若围成的面积为，请求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积最大的自行车车棚吗？如果能，求出最大面积；如果不能，请说明理由． 2．根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． 3．利川市地处湖北省西南边陲，西靠川渝，东接恩施，南邻潇湘，北依三峡，拥有丰富的旅游资源．某景区夏季投放一款纪念品进行销售，每件成本为20元，规定销售单价不低于成本且不高于50元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） … 25 30 35 … 每天销售数量（件） … 150 140 130 … (1)求出与的函数关系式并写出自变量的取值范围． (2)若每天销售所得利润为2400元，那么销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 4．任意球是足球比赛的主要得分手段之一．在某次足球赛中，甲球员站在点处发出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式，已知防守队员组成的人墙与点的水平距离为，防守队员跃起后的高度为，对方球门与点的水平距离为，球门高是．（假定甲球员的任意球恰好能射正对方的球门） (1)当时，求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)当时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞（球从球门上方飞过）？请说明理由． 5．综合与实践：消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y（单位：m）与离高楼的水平距离x（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离的点A处，水枪喷出的水流在与高楼的水平距离为处达到最高，高度为，水流落到高楼的点B处． (1)求水流抛物线的解析式； (2)已知高楼的点C处，离地面的高度是．若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高的高度； 6．如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标． 7．如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为． (1)求点B的坐标； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 8．已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 9．直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，连接，点为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点，若，求此时点的坐标； (3)如图②，连接，过点作轴，交线段于点，若与相似，求出点的横坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数的应用暑假预习讲义 · 掌握实际问题建模步骤 能读懂几何面积、销售利润类应用题，区分自变量、因变量，结合等量关系列出二次函数解析式，并根据实际意义写出自变量取值范围。 · 会利用顶点求最值 掌握在自变量无限制、有限制两种场景下，借助顶点坐标求最大面积、最大利润；理解顶点最值与区间端点函数值的取舍方法。 · 掌握抛物线型实物建模 针对拱桥、喷水、球类飞行等抛物线模型，能建立平面直角坐标系，设合适函数解析式，代入已知点求解系数，再解决高度、水平距离等实际问题。 · 学会分类讨论区间最值 能根据对称轴与自变量取值区间的位置关系，分三类讨论函数最值：对称轴在区间左侧、内部、右侧，规范判断增减性再计算最大 / 最小值。 · 规范应用题解题书写 明确建模、求解析式、求顶点、结合自变量范围取舍、写答句完整解题流程，理清数形结合解决实际问题的思路。 · 区分两类应用题型核心思路 ① 代数利润 / 几何面积：依靠等量关系列式，重点求最值； ② 抛物线实物模型：依靠图像坐标列式，重点求高度、距离。 · 标记易错疑点 重点关注自变量取值范围限制最值、坐标系建系方案选择、实际问题结果取舍等难点，课堂针对性听讲 预习必备 知识梳理 1.解题通用步骤 2.二次函数求最值两种方法 3.实际问题与二次函数的联系 4.二次函数的实际应用 5.二次函数综合 6.高频易错点 1.图形问题(常考) 2.图形运动问题(常考+重点) 3.拱桥问题(常考) 4.销售问题(常+重难点) 5.投球问题(常考) 6.喷水问题(常考) 7.增长率问题 8.其他实际应用问题 9.线段周长问题 10.面积问题 11.角度问题 12.特殊三角形问题 13.特殊四边形问题 14.相似三角形问题 15.其他综合问题 强化题型 解答题9题 知识点01:解题通用步骤（所有二次函数应用题通用） 1.审：读懂题意，梳理已知量、变化量、所求最值； 2.设：合理设出自变量 x（直接 / 间接设元）； 3.列：根据等量关系，列出二次函数解析式 y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.定：结合实际场景，确定自变量 x 的取值范围(x>0、整数、线段长度限制等）；. 5.求：分两种情况求最值： 顶点横坐标在自变量取值范围内：最值在顶点处； 顶点横坐标不在取值范围内：最值在区间左右端点处； 6：检验结果是否符合实际意义，规范写出答案。 知识点02:二次函数求最值两种方法 设函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 方法 1：配方法（化为顶点式） y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) a>0，开口向上，当 x=h时，y最小=k； a<0，开口向下，当 x=h 时，y最大=k。 方法 2：顶点公式法 对称轴 x=-，最值 y= 关键注意点 实际问题中自变量存在取值区间，顶点不一定能取到，需对比区间端点函数值，确定真实最大 / 最小值。 知识点03:实际问题与二次函数的练习转化 知识点04:二次函数实际应用 问题类型 核心知识点 图形问题 用二次函数表示图形的面积 / 边长关系，求最值（如矩形、三角形面积最值） 图形运动问题 分析图形平移 / 旋转过程中，边长、面积的变化规律，建立二次函数模型 拱桥问题 以拱桥顶点为原点（或其他坐标系），用二次函数表示桥的轮廓，求高度、跨度 销售问题 结合 “单价 - 销量” 的变化关系，列总利润的二次函数，求最大利润 / 指定利润的单价 投球 / 喷水问题 用二次函数（h=at2+bt+c）表示物体的高度与时间 / 水平距离的关系，求最大高度、落地 / 落水位置 增长率问题 连续两次增长率为x时，总量y=a(1+x)2（a为初始量），分析增长最值 / 目标量对应的x 知识点05:二次函数综合 问题类型 核心知识点 线段周长问题 求抛物线上动点到定点 / 定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最值（结合对称点转化） 面积问题 用 “铅垂高 × 水平宽”“割补法” 求动点与定点围成图形的面积，分析面积最值 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角 / 特殊角（如 45°）的存在性 特殊三角形问题 分类讨论等腰 / 直角 / 等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方程求解 特殊四边形问题 分析平行 / 矩形 / 菱形 / 正方形的存在性，利用对边平行 / 相等、对角线性质列条件 相似三角形问题 找对应角 / 对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 知识点06：本节高频易错点汇总 1.忘记写自变量取值范围，直接用顶点当作实际最值； 2.利润、面积类题目，计算完最值不检验边长、销量是否为正数； 3.抛物线实物建系混乱，选错原点导致计算复杂、坐标符号出错； 4.区间最值只看顶点，忽略对称轴不在取值区间时需取端点； 5.应用题最后不写答句，缺少实际意义文字说明； 6.涨价降价列式时，销量增减关系写反，导致解析式a符号错误。 题型1.图形问题 【典例】一个边长为的正方形，若边长增加，面积增加，则与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数，正方形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据面积增加的定义，等于新正方形面积减去原正方形面积 【详解】解：原正方形边长为，面积为． 边长增加后，新边长为，新面积为． 因此，面积增加，即． ∴与之间的函数关系式为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，有长为30米的篱笆，一面利用长为12米的墙，花圃的一边靠墙，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃（连接处的篱笆长度不计），则花圃的最大面积是__平方米． 【答案】72 【分析】本题考查二次函数的应用．设花圃面积为S，长x米，则米，用x表示出S，进而根据长为12米的墙得到自变量的取值范围，结合二次函数的性质和自变量的取值范围可得花圃的最大面积． 【详解】解：设花圃面积为S，长x米，则米， ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， ， 时，S最大，花圃的最大面积是（平方米）， 故答案为：72． 【跟踪专练3】如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种草坪，其中点E，F，G，H分别在边上，且，已知，则草坪面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，设，根据矩形的性质结合图形列出草坪面积的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴，，， ∴种草的面积， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为， 所以，当，有最大值，最大值为 故选：B． 题型2.图形运动问题 【典例】如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发，________时，的面积最大，最大面积是________．    【答案】 3 9 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】解：设点P、Q移动的时间为，则，， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：3，9 【跟踪专练1】如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，二次函数．根据题意分别求出y与t，S与t满足的函数关系式，然后判定作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，， ∴y是t的一次函数，S是t的二次函数， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积的最大值为______． 【答案】36 【分析】本题主要考查二次函数应用—动点问题，二次函数图象与性质等知识，理解动点运动中时间与的面积关系是解题的关键． 根据题意得到，则，由三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质即可求得的面积S的最大值． 【详解】解：根据题意有：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故S关于t的函数解析式为； ∵， ∵， ∴当时，的面积S有最大值． 故答案为：36． 【跟踪专练3】如图，在中，，，．正方形的顶点D，F分别在，边上，设，与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】先根据题意求得，然后分和两种情况解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 当时，； 当时，设交于M，交于N， 如图： ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∴当时，y为开口向下的抛物线， 观察各选项，只有A符合题意． 题型3.拱桥问题 【典例】如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 【答案】 【详解】解：根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是， 则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位， ∵原抛物线的顶点为， ∴根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为． 【跟踪专练1】如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是4米，跨度是8米，在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是____米． 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线解析式即可求解． 【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴建立直角坐标系， 由题意得点，点， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 由题意得线段上离中心M处1米的地方， 将代入得， ∴在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是米． 【跟踪专练3】如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为，宽为，隧道的最高点P距地面． (1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式． (2)一辆货车高为，宽，能否从该隧道通过？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能通过，理由如下： 解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； (3)能通过，理由如下： 由（2）可知， ∴货车可以通过． 【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令，解出x的值，然后将与车宽作比较即可求解； （3）隧道内设双行道后，将（2）求出时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， ∵点在抛物线上， ∴． ∴． ∴． （2）略 （3）略 题型4.销售问题 【典例】某商品进价为每件40元，售价为每件50元时，每月可卖出210件；售价每上涨1元，每月销量就减少10件，设售价为每件x元，每月利润为y元，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据利润等于每件利润乘以销量，可得到函数关系式． 【详解】解：根据题意得：． 即y与x的函数关系式为． 故答案为：． 【跟踪专练1】金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元，经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克、若设该种海产品销售单价为每千克元，公司每天直播销售的利润为元，则与的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】根据总利润等于每千克利润乘以销售量列出函数关系式即可． 【详解】解：根据题意，每千克的利润为元． 销售单价从60元降低到元，降低了元， 因此每天增加的销售量为千克，每天的销售量为千克． 则总利润： . 【跟踪专练3】某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 【答案】(1) (2)90元/千克或110元/千克 (3)当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元 【分析】（1）首先明确每千克利润为销售单价减成本，因为总利润=每千克利润×销售量，所以将已知的销售量y与x的关系式代入，即可得到w关于x的函数解析式． （2）如果利润为3000元，那么令，得到关于x的一元二次方程，求解方程即可得到销售单价的可能取值． （3）因为w是关于x的二次函数，所以可以通过配方法或者二次函数顶点公式，结合二次函数的开口方向，即可求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：已知销售利润w(元)、销售单价x(元/千克)、成本60元/千克，以及销售量y(千克)的关系为， 又∵， ∴． 可得． 答：w关于x的函数解析式为． （2）解：当时，． 化简得．． 可得， 则或， 解得． 答：销售单价应定为90元/千克或110元/千克． （3）解：由， 得： ． ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下，有最大值． ∴当时，w有最大值3200． 答：当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元． 题型5.投球问题 【典例】如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是_______． 【答案】 【分析】令，进行求解即可． 【详解】解：当时， 解得（舍去）， 故此运动员将铅球推出的距离是． 【跟踪专练1】如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（   ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义．此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米， 故选：． 【跟踪专练2】体育测试时，九年级一名男生双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．如果实心球出手处距离地面的高度是米，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则该男生本次扔实心球的成绩是_________米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，已知抛物线的顶点坐标与图象上一点坐标，可设出顶点式并代入求解得到抛物线解析式，再令函数值为，进而求出实心球落地点的水平距离，即该男生本次扔实心球的成绩． 【详解】解：以地面所在直线为轴，过点与地面的垂线作为轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，， 设抛物线解析式为， 在抛物线上， 代入得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：，（舍去）， ． 则该男生本次扔实心球的成绩是米． 【跟踪专练3】甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面，此时到点A的水平距离为． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； (2)若高为的城墙离的水平距离为，请判断（1）中的石块能否越过城墙，若能越过请说明理由，若不能越过，问为了抵御外敌，城墙应至少加高几米？ 【答案】(1)坐标系见解析， (2)能，理由如下： 当时， ， ， ∴石块能越过城墙； 为了抵御外敌，城墙应至少加高米 【分析】（1）以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点，写出A的坐标及顶点坐标，设二次函数的解析式为顶点式，将点A的坐标代入即可求得答案； （2）求出时的y值，比较这个值与城墙的高度即可做出判断． 【详解】（1）解：如图，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点（答案不唯一）， 根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设石块运动轨迹的抛物线对应的函数解析式为， 将代入解析式，得 ， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为 ； （2）解：能， 为了抵御外敌，城墙应至少加高米． 题型6.喷水问题 【典例】广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，由题意可知水珠落地时高度，代入二次函数解析式并求解，即可获得答案． 【详解】解：对于函数，令，得， 整理可得， 解得， 对应喷头位置，可知水珠落地时水平距离为6米． 故答案为：6． 【跟踪专练1】如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心上方设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 由待定系数法求出函数表达式，即可求解． 【详解】解：由题意得，抛物线顶点的坐标为：，点， 则抛物线的表达式为：， 将点C的坐标代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 故选：A． 【跟踪专练2】小明在学习了压强的知识后，知道装有液体的瓶子侧边开一个小孔，液体喷出后的喷射距离与开孔位置有关．设瓶底离液面的距离，小孔离液面的距离，则喷射距离满足关系式：．现有一个瓶子装满水后，瓶底离水面的距离为，为使水的喷射距离最大，则小孔离液面的距离应为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据喷射距离公式，其中，为求的最大值，需最大化根号内的表达式，该表达式为二次函数，通过求顶点坐标可得最大值点． 【详解】解：令． 此二次函数开口向下，顶点横坐标． 当时，取最大值，则最大． 因此小孔离液面的距离应为cm． 故答案为：． 【跟踪专练3.】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（）与水平距离x（）之间的关系式是．柱子的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？（结果保留根号） 【答案】；水池的半径至少为，才能使喷出的水流不至于落在池外 【分析】令，求出，令，求出的值即可． 【详解】解：令，， ， 令时，， 解得：，（舍）， 水池的半径至少为，才能使喷出的水流不至于落在池外． 题型7.增长率问题 【典例】某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元，依题意得，． 【详解】解：由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元， 依题意得，， 故答案为：． 【跟踪专练1】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为_____（直观关系式无需化简） 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二次函数关系式，掌握平均增长率是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和． 可先表示出二月份、三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：二月份的营业额为，三月份的营业额为， 则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为：． 故答案为：． 【跟踪专练3】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 题型8.其他实际应用问题 【典例】酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性（单位：U）与温度（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，函数开口向下时，顶点处取得最大值，利用顶点公式求解． 【详解】解：由函数可得，， 顶点横坐标为， 故当温度为时，活性最高，催化反应最快． 故答案为：． 【跟踪专练1】飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行_________米停下来，最后2秒滑行了_________米．（   ） A．600米，6米 B．600米，594米 C．600米，114米 D．40米，6米 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的应用．通过将二次函数化为顶点式求最大滑行距离，即飞机停下来的距离；最后2秒滑行距离通过计算和时的s值之差得到，即可作答． 【详解】解：依题意， ； ∴ 当时，s取最大值600，即飞机滑行600米停下来， 依题意，当时，， ∴最后2秒滑行距离为（米）， 故选：A 【跟踪专练2】如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．现通过模拟某款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，小组收集、整理数据，绘制如图2的函数图象．发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：）与刹车后行驶的时间t（单位：）之间成二次函数关系．则司机踩下刹车后，汽车________后完全停下．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法求出y关于t的二次函数关系式，汽车完全停下时y有最大值，据此结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 根据题意可得点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y有最大值， ∴司机踩下刹车后，汽车后完全停下， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，一个小朋友坐在池塘边向水中抛掷石头，石头从距离水面米高处飞出，水平飞行5米达到最高处，此时距离水面3米，石头落到水面上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度比原来最大高度降低米． (1)求石头飞出到第一次落到水面时的抛物线表达式； (2)石头第二次落到水面的位置距离池塘边多远？ 【答案】(1) (2)21米远 【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法进行求解即可； （2）求出时，的值，得到石头第一次落到水面的位置到池塘边的距离，求出时，两个自变量的值，大数减去小数即为第二个抛物线与轴的两个交点间的距离，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为，经过点， 设抛物线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，解得， ∴石头第一次落到水面的位置到池塘边的距离为11米， 当时，解得， ∴第二个抛物线与轴的两个交点间的距离为， ∴石头第二次落到水面的位置距离池塘边米远． 题型9.线段周长问题 【典例】如图，抛物线 与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为_______． 【答案】/0.25 【分析】根据PQ∥y轴，可设点，则，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵PQ∥y轴， ∴可设点，则， ∴， ∴当时，最大，最大值． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【跟踪专练1】抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出B、C的坐标，再证明，从而得到当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小，求出直线解析式即可求出答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，点D在直线上， ∴， ∴， ∴当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 故选C．    【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，确定出当B、C、D三点共线时，最小是解题的关键． 【跟踪专练2】已知二次函数，点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则的最大值为________． 【答案】 8 【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数的最大值，设点的坐标为，其中，由垂线性质可得，，则，代入抛物线解析式，得到，通过求二次函数的最大值即可求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值， 则的最大值为． 故答案为：8． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，并与x轴交于另一点C（点C在点A的右侧）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，若点P是抛物线上一动点，且点P在第二象限内，过点P作轴于D，交于点E，当点P运动到什么位置时，线段最长？求此时的值． 【答案】(1) (2)当时，线段有最大值是4，此时 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）先利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后设，表示出点和的坐标，进而得到关于t的二次函数表达式，利用二次函数的性质即可求得最值． 【详解】（1）解：抛物线经过、两点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：设直线的函数表达式为， 将、两点代入，得， 解得， 直线的函数表达式为； 设， ，， ， 当时，线段有最大值是4，此时， ∴此时． 题型10.面积问题 【典例】如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，根据二次函数的图象的性质得出阴影部分的面积等于三角形的面积，进而根据求得的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示， 解得：或， 则两抛物线的交点分别为原点和 设的顶点坐标为，与轴的另一个交点为， 又，则， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴ ∴三角形是等腰直角三角形 根据二次函数的性质，阴影部分的面积等于等腰三角形的面积， ∴阴影部分面积为， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【答案】 【分析】运用待定系数法求得解析式，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，可得到，利用三角形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点， 则， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为． 【跟踪专练2.】如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4 (3)存在， 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为，再将点代入求出的值，即可得抛物线的解析式，然后抛物线的解析式写成顶点式即可得对称轴； （2）先由已知得，进而可得、的值，再根据计算即可； （3）先求出点关于对称轴的对称点的坐标为，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小，由待定系数法求出直线的解析式，再根据点的横坐标为3，可求其纵坐标． 【详解】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， ， ∴抛物线的对称轴是直线； （2）解：∵抛物线的对称轴与x轴相交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：点的坐标为．理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ， ∵点的横坐标为3， ， ． 题型11.角度问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先利用待定系数法求出抛物线解析式为，直线的解析式为，则，再证明等腰直角三角形得到，所以，则利用轴可设，当时，，然后方程确定点坐标，从而得到的长． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 【跟踪专练3】抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当点在轴上方，点；当点在轴下方，点 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题． （1）根据题意先求得，进而可得，根据对称性可得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）当点M在x轴上方，设交轴于点，证明得出，待定系数法求得直线的解析式，联立抛物线解析式求得的坐标；当点M在x轴下方，同理可得的解析式为，再联立抛物线解析式求得的坐标，即可求解； （3）过点作轴于点，根据得出，进而设，解方程得出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，则 ∴ ∵ ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴ 将，代入 ∴ 解得： ∴ （2）解：如图，当点M在x轴上方，设交轴于点， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴，则 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴点 当点M在x轴下方，同理可得的解析式为 联立 解得：或 ∴ （3）解：如图过点作轴于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） 当时， ∴ 题型12.特殊三角形问题 【典例】如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定等，求得关键点的坐标是解题的重点． 利用平移规律求得平移后的函数解析式，即可求得的坐标，基本求得点的坐标，由等腰三角形的性质可知点的纵坐标为 2 ，代入新的函数解析式即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移 2 个单位长度，得到，即， ， 把代入得， ， ， 若新抛物线存在点使以为底的等腰三角形，则点的纵坐标为 2 ， 把代入，解得：， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【跟踪专练1】如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式___________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与几何的综合应用，根据题意易得抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等，由此写出一个符合题意的二次函数解析式即可。 【详解】解：由题意，抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等， ∴满足题意的一个抛物线的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练2】二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 【答案】7 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，点坐标的规律计算，掌握二次函数图象的性质，找出规律是关键． 根据等边三角形的性质，二次函数图象的性质得到，，，由此得到（是正整数），令代入计算即可． 【详解】解：∵，，，…，都为等边三角形， ∴，， ，，， 设， 如图所示，过点作轴于点，轴于点，轴于点， ∴，则， 在中，， ∴，， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图象上， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， 同理，，，， ∴，， ∵点在二次函数位于第一象限的图象上， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴，， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ， ∴（是正整数）， ∴的边长为． 故答案为：7 ． 【跟踪专练3】如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，， 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）用待定系数法解题即可； （2）求出抛物线的对称轴，分类讨论当时和当时，结合勾股定理和等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；时，； ∴，， ∵， 设二次函数解析式为， 代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为， ∴， ∵， ∴； ①如图1，当时，， ∴，； ②如图2，当时， 过点C作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：存在，，，． 题型13.特殊四边形问题 【典例】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，抛物线交轴于点，交轴于点，以为边的正方形的顶点在抛物线上，则点的坐标是_______．    【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据正方形的性质，求出，进而求出对称轴，根据对称性求出点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴关于对称轴对称， ∴对称轴为直线， ∵抛物线交轴于点， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，正方形的边在轴上，，定义：若某个抛物线上存在一点，使得点到正方形四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形的“友好抛物线”若抛物线是正方形的“友好抛物线”，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查正方形的性质，抛物线的性质，确定出到四个点距离相等的点的位置是解题的关键． 到四个点距离都相等的点为的交点，求出点的坐标，将点的坐标代入二次函数解析式，求出的值即可． 【详解】解：连接交于点， 由题意得，抛物线必经过点， 在正方形中，，， ， 则的交点， ∵在抛物线上， ， 整理得，即， 或 解得或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为坐标平面内一点，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 【答案】(1) (2)满足条件的点坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及二次函数与特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将，，代入即可求解； （2）分类讨论为对角线时：为对角线时：为对角线时：三种情况即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴； （2）解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ 设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述：满足条件的点坐标为或或． 题型14.相似三角形问题 【典例】如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 _____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；先求得点，令，求得的长，证明，则，即可求解． 【详解】解：对于，令，则， 故点， 令，解得或， 故点， 故； 设， 轴，， ， ， ， 故， ， 解得． ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了阅读运用新知识能力，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．作于G，作于K，由得，从而，即可 求得结果． 【详解】解：如图，作于G，作于K， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时，______； (2)的最大值为_______． 【答案】(1)/0.5 (2)/0.5625 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用一次函数求出点A、C的坐标，结合再设出交点式，代入点C坐标求出抛物线解析式，由可得D的坐标，再利用平行线分线段成比例性质得到，即可解答； （2）作轴交于F，轴交于G，先得出比例，结合三角形的面积公式得到，设，则，表示出，进而表示出，再求出最大值即可解答． 【详解】（1）解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 又， 设抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 设抛物线解析式为， ， 的纵坐标与的纵坐标相同，均为3， 对于，令，则， 解得：， ， ， 又， ． 故答案为：． （2）如图，作轴交于F，轴交于G， ， ， ， ， 当时，， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交线段于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在点，使得与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在．或 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得出方程组，求出解即可； （2）设点，再求出，分两种情况：当为直角时，可知与相似，则，即可得点、关于抛物线的对称轴对称，然后得出答案； 当为直角时，作轴，可得，则，再根据可得，即，求出答案即可． 【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得，， 故抛物线的函数表达式为； （2）解：存在．理由如下： 设点， 令， 解得或（舍去）， 故点，则． ①当为直角时， ∵与相似，则， ∴轴，则点、关于抛物线的对称轴对称． ∵抛物线的对称轴为， ∴点； ②当为直角时， 如图，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即 则， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 题型15.其他综合问题 【典例】如图，已知抛物线解析式为，点是轴正半轴上一点，将点向右平移5个单位长度得到点；若线段与只有一个公共点，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到点，求出点在抛物线上时的值，再结合二次函数图象求解即可． 【详解】解：点是轴正半轴上一点，将点向右平移个单位长度得到点， 点，， ∴当点在抛物线上时，， ∵线段与只有一个公共点， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C．当时， D．不论取何值， 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，二次函数的性质，理解旋转函数的定义时解答关键关键． 根据旋转函数的定义求出和的值，再来分别进行判定求解． 【详解】解：∵二次函数，它的“旋转函数”为， ∴如果二次函数（，，，是常数）与（，， ，是常数）是互为“旋转函数”，则满足，，， ∴， ∴如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则， 解得， ∴， ∴当时，， 故A、B、D错误，不合题意，C正确符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】若关于的函数（，且是常数）与直线：（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线l是否总经过某一个定点？若经过某一定点，则该定点的坐标为________． 【答案】 【分析】联立，利用一元二次方程根与系数的关系结合已知求出，进而得到，即可确定经过的定点． 【详解】解：联立， ， ，， ， ∴， ∴， ， ，即， ， 当时，， 直线l是必过点． 【跟踪专练3】对于平面内任意一点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点．若点是线段的中点，则称为点关于这条抛物线的共轭点．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点关于抛物线的共轭点的纵坐标（用含的代数式表示）； (3)设点为平面内任意一点，其共轭点为．已知点在直线上运动，记点的横坐标为． ①当点落在轴上时，求此时的值； ②在①的条件下，若线段上存在一点，使得最小，直接写出点关于抛物线的共轭点的坐标． 【答案】(1) (2)点关于抛物线的共轭点的纵坐标为； (3)①或；②或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据共轭点的定义求解即可； （3）①由题意得，求得，再根据共轭点的定义求解即可； ②要两种情况讨论，根据共轭点的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作平行于y轴的直线， ∴， ∴点M的坐标为， ∵M是的中点， 设，根据中点坐标公式得， ∴， ∴点关于抛物线的共轭点的纵坐标为； （3）解：①∵点P在直线上，横坐标为n， ∴，过P作平行于y轴的直线， ∴， ∵M是的中点，且在x轴上， 根据中点坐标公式得， 整理得， 解得或； ②令，则， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为； 当时， ∴，即， 根据中点坐标公式得； ∵和，直线与轴交于点，此时最小， ∴点关于抛物线的共轭点； 当时， ∴，，根据中点坐标公式得； 作关于直线的对称点， 连接与交于点， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得，解得， ∴点， 当时，， ∴， 由中点坐标公式得， 解得， ∴， 综上，点关于抛物线的共轭点的坐标为或． 解答题 1．学校准备在教学楼后面搭建一个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成． (1)若围成的面积为，请求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积最大的自行车车棚吗？如果能，求出最大面积；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)自行车车棚的长和宽分别为、 (2)能，最大面积为 【分析】（1）设，则，由围成的矩形面积列方程求解； （2）设围成的矩形面积为，得到，由二次函数图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得， 解得，， 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为、； （2）解：能， 设围成的矩形面积为，， 根据题意得， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，为， 此时，符合题意， 综上所述，自行车车棚有最大面积，最大面积为． 【点睛】这是实际应用题，求解时一定要注意满足题中实际的限制条件． 2．根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． 【答案】(1) (2)3米 (3)8米 【分析】（1）以点O为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把原点的坐标代入可得a的值； （2）易得点B处的横坐标，代入抛物线解析式，求得对应的抛物线上的点的纵坐标，设限高为h米，减去限高h，根据空隙不少于0.5米列出不等式即可求得隧道的限高； （3）取，求得对应的x的值，相减即为两排灯的水平距离的最小值． 【详解】（1）解：如图，以点O为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点P的坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 又∵图象经过原点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：设该隧道限高h米， ∵，， ∴， 当车高一定， 时，车辆顶部与隧道的空隙最小， 此时，， 此时，车辆顶部与隧道的最小空隙， ∴， ∴． ∴该隧道限高3米； （3）由题意，当时，， 解得，， ∴， ∴两排灯的水平距离的最小值是8米． 3．利川市地处湖北省西南边陲，西靠川渝，东接恩施，南邻潇湘，北依三峡，拥有丰富的旅游资源．某景区夏季投放一款纪念品进行销售，每件成本为20元，规定销售单价不低于成本且不高于50元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） … 25 30 35 … 每天销售数量（件） … 150 140 130 … (1)求出与的函数关系式并写出自变量的取值范围． (2)若每天销售所得利润为2400元，那么销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为40元 (3)当销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润为3000元 【分析】（1）利用待定系数法求解即可，根据题意可知自变量的取值范围； （2）根据每件的利润乘以每天的销量等于每天的利润，列出一元二次方程求解即可； （3）设每天获利w元，根据题意表示出w，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系， ∴不妨设y与x之间的关系式为：， ∵时，；时，， ∴， 解得，， ∴， ∵销售单价不低于成本且不高于50元，成本为20元， ∴自变量的取值范围是， ∴； （2）解：根据题意得：， 解得， ∵， ∴， 答：销售单价应定为40元； （3）解：设每天获利w元， ，， ∴其图象开口向下，对称轴是直线， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值是（元）， 答：当销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润为3000元． 4．任意球是足球比赛的主要得分手段之一．在某次足球赛中，甲球员站在点处发出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式，已知防守队员组成的人墙与点的水平距离为，防守队员跃起后的高度为，对方球门与点的水平距离为，球门高是．（假定甲球员的任意球恰好能射正对方的球门） (1)当时，求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)当时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞（球从球门上方飞过）？请说明理由． 【答案】(1) (2)足球能越过人墙，足球不会踢飞，理由见解析 【分析】（1）当时，，根据函数图象过原点，求出的值即可； （2）当时，由（1）中解析式，分别把和代入函数解析式求出的值分别与和比较即可． 【详解】（1）解：当时，， 抛物线经过点， ， 解得， 与的关系式为； （2）解：当时，足球能越过人墙，足球不会踢飞，理由如下： 当时，由（1）得， 当时，， 足球能越过人墙， 当时，， 足球不会踢飞． 5．综合与实践：消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y（单位：m）与离高楼的水平距离x（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离的点A处，水枪喷出的水流在与高楼的水平距离为处达到最高，高度为，水流落到高楼的点B处． (1)求水流抛物线的解析式； (2)已知高楼的点C处，离地面的高度是．若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高的高度； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先设出平移后的解析式，然后代入点坐标进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过点， ， 解得：， ∴水流抛物线的解析式为：； （2）解：设水枪竖直升高的高度为， ∴向上平移后抛物线的解析式为：， ∵过点， ， 解得：， 答：水枪竖直升高的高度为． 6．如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点A、C坐标代入即可得解； （2）连接与对称轴的交点即为P，连接，，再根据直线的解析式与对称轴求解P的坐标即可． 【详解】（1）解：将点A、C坐标代入得， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 如图，连接与对称轴的交点即为P，连接，， 此时的周长最小，点P即为所求， 当时， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为 当时， ∴． 7．如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为． (1)求点B的坐标； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点A的坐标，利用二次函数的对称性即可求出点B的坐标； （2）由a的值及点A、B的坐标，即可求出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质可求出点C的坐标，设点P的坐标为，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，设，则，表示出，再结合二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，点A的坐标为， ∴点B的坐标为，即； （2）解：∵，点A的坐标为，点B的坐标为， ∴抛物线的解析式为， 又∵点C为抛物线与y轴的交点， ∴点C的坐标为， 设点P的坐标为， ∵， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为或； （3）解：， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 设，则， ， 时，线段取得最大值，最大值为． 8．已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作于点E，可证明是等腰直角三角形，得到；求出设，则，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数与y轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点D作于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在中，当时，， 解得或， ∴ 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 9．直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，连接，点为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点，若，求此时点的坐标； (3)如图②，连接，过点作轴，交线段于点，若与相似，求出点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先确定点、的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式； （2）先求直线的解析式，过点作轴于点，过作轴于点，令点坐标为，证明，得出点，由点在二次函数上可得方程，求解即可； （3）分两种情况：或，根据对应边成比例建立方程求解即可． 【详解】（1）解：对于函数， 当时，；当时，， 故点、， 将、代入， 得，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：对于函数， 当时，得， 解得或， 故点， 令直线表达式为， 将点，代入上式得， 解得， 故直线表达式为， 过点作轴于点，过作轴于点，如下图所示： 令点坐标为， 即， 由图可得， ∴， ∴，， 故点，代入， 得， 解得或， 当时，得，，此时点坐标为； 当时，得，，此时点坐标为； 综上，点坐标为或． （3）解：设点的坐标为， ∴， ∴， , ， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ①当时， ， 即， 解得或， 经检验，不是方程的根，舍去； ②当时， ， 即， 解得或， 经检验，不是方程的根，舍去； 综上，的横坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $