第08讲 圆心角（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第08讲 圆心角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 圆心角、弧、弦、弦心距的辨析与直接应用 题型2 圆心角与弧的度数的计算 题型3 利用圆心角定理证明等弧、等弦（基础全等证明） 题型4 圆的等分作图与应用 题型5 圆心角定理与等边三角形的综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆心角的定义 圆的旋转不变性 圆心角定理 弧、弦、弦心距互化 弧与圆心角的度数关系 圆周的等分作图 等弧、等弦的证明 1.理解圆心角的概念，掌握圆的旋转不变性； 2.掌握圆心角定理及其推论，理解同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的等量关系； 3.理解1 弧的定义，知道弧的度数等于它所对圆心角的度数； 4.能运用圆心角定理进行简单的证明和计算，并能利用其进行等分圆。 学习重点：圆心角定理及其推论的应用（同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的对应相等关系）。 学习难点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的灵活转化与综合证明（尤其在遇到等边三角形、平行四边形等综合图形时辅助线的添加）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆心角及1  弧的定义 1.圆的旋转不变性 圆不仅是中心对称图形，圆心是它的对称中心；而且圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。 2.圆心角的定义 顶点在圆心的角叫做圆心角。如图所示，∠AOB、∠COD都是圆心角。 要点： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为。 3.1  弧的定义 (1)定义：1∘的圆心角所对的弧叫作1∘的弧。 (2)弧与角的关系：n∘的圆心角所对的弧就是n∘的弧。 (3)结论：弧的度数等于它所对圆心角的度数。 即时即练下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键． 根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 【易错提醒】 (1)判断一个角是否为圆心角，要同时满足两个条件：①顶点在圆心；②两边与圆相交。 (2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；注意不是角与弧相等。 (3)在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）。 知识点02 圆心角定理及推论 1.圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 (1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。 (2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。 2.圆心角定理的推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等。如上图中的四对等量关系： (1)在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 (2)如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。 即时即练如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 【易错提醒】 注意圆心角定理及推论中“弧、弦”相等的前提必须是同圆或等圆。如果是在两个大小不同的圆中，即使圆心角相等，它们所对的弧的度数相等，但弧的长度和对应的弦长不相等。 题型1 圆心角、弧、弦、弦心距的辨析与直接应用 【例1】把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【答案】/144度 【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解． 【详解】解：∵各个扇形面积的比为， 设四个扇形的圆心角分别为，，，， 则， 解得：， 最大圆心角为． 故答案为：． 【例2】如图所示，为的弦，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相等（等腰三角形的判定）是解题的关键． 先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵、是的半径， ∴， ∴（等腰三角形两底角相等）， ∵在中，， ∴， 故选：． 【易错提醒】 （1）圆心角、弧、弦、弦心距的等量转化关系，仅在同圆或等圆中成立，缺少该前提结论不成立。 （2）弦相等不等于弧相等，一条弦对应优、劣两条弧；长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须能完全重合。 （3）两圆交点类角度题，连接两圆心与交点，利用同圆半径相等得到多组等腰三角形，转化角度关系。 【变式1-1】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 【变式1-2】如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，圆心角的相关知识，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．过作于，则，对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作于，由题意得， ， ∴， ∵， ， ， ∴， 故选：C． 题型2 圆心角与弧的度数的计算 【例3】如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先根据圆的半径相等得到，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，再根据旋转的性质得到，利用在同圆中相等的弦所对的圆心角相等即可求解． 【详解】解：在中，， ， ． 弦绕圆心顺时针旋转得到弦， ， ． 【例4】如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 【技巧总结】 （1）弧角等价转化：弧的度数与它所对的圆心角度数完全相等，求弧度数可直接转化为求对应圆心角。 （2）利用平行：弦与半径 / 直径平行时，利用内错角相等将弦的角度直接转化为圆心角。 【变式2-1】如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由圆心角的性质可得，进而可判断是等边三角形，因此． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式2-2】如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 【答案】55 【分析】连接，由求得，根据，得到，再利用对顶角相等，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 题型3 利用圆心角定理证明等弧、等弦（基础全等证明） 【例5】如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例6】若和的度数相等，则下列命题中正确的是（ ） A．= B．和的长度相等 C．所对的弦和所对的弦相等 D．所对的圆心角与所对的圆心角相等 【答案】D 【分析】画出两个同心圆，弧AB和弧CD的度数相等，再逐个判断即可． 【详解】如图，与的度数相等， A、根据度数相等，不能推出弧相等，故本选项错误； B、根据度数相等，不能推出两弧的长度相等，故本选项错误； C、根据度数相等，不能推出所对应的弦相等，故本选项错误； D、根据度数相等，能推出弧所对的两个圆心角相等，故本选项正确； 故选D． 【易错提醒】 （1）直径对顶角：多条直径相交时，利用对顶角相等转化圆心角，直接由“等圆心角对等弦、等弧”得结论。 （2）利用半径构造全等：证明弦相等，优先连接两条半径，以“半径相等+圆心角相等”构造SAS全等三角形。 （3）利用弧中点的条件：弧中点对应弦相等、圆心角相等，是构造全等、推导角度的核心突破口。 【变式3-1】如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论： ①， ②， ③四边形MCDN是正方形， ④MN＝AB， 所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】连接OM、ON，如图，利用OC＝OD＝OM＝ON，则∠OMC＝∠OND＝30°，则利用∠COM＝∠DON＝∠MON＝60°可判断；通过证明MN＝OM和四边形CDNM为矩形可对①③④矩形判断． 【详解】解：连接OM、ON，如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB， ∴∠OCM＝∠ODN＝90°， ∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB， ∴OC＝OD＝OM＝ON， ∴∠OMC＝∠OND＝30°， ∴∠COM＝∠DON＝60°， ∴∠MON＝60°， ∴，所以②正确； ∴△OMN为等边三角形， ∴MN＝CD，∠OMN＝60° ∴MN∥CD， ∴四边形CDNM为矩形， ∴MC＝ND，所以①正确；③错误； ∵MN＝CD＝OA+OB＝AB， ∴④正确． 故答案为：①②④ 【变式3-2】请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点， ． ． ．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 【答案】(1) 证明：是的中点， ， ， 在中，， 在和中， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握同弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，数形结合，合理作出辅助线是关键． （1）根据题意可证，可得，由垂直平分线得到，由即可求解； （2）如图，过点作于点，于点，连接，，，由（1）可知，可证四边形是矩形，，则，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点，于点，连接，，， 由（1）可知， 过圆心且， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 题型4 圆的等分作图与应用 【例7】有学者研究表明，我国古代制作铜镜背面花纹时，所采用的四等分圆周的一种方法是：如图所示，先由圆心画出圆的一条直径，再用“矩”（一种直角曲尺，可以画直角）过圆心垂直于第一条直径画出第二条直径，则这两条直径的四个端点将圆周四等分．请用你学过的一个定理解释这种四等分圆周的方法的道理：______________． 【答案】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 【分析】本题考查了圆心角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等． 【详解】解：采用的四等分圆周的一种方法，可以利用圆心角定理来解释， 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 故答案为：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等． 【例8】司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接．相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 【易错提醒】 （1）等分圆周的依据统一表述为同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。 （2）等分圆、正多边形的最小旋转重合角 = 中心角，直接用360°÷份数计算。 【变式4-1】如图有一齿轮，相邻两齿之间间隔相等，如果让这个齿轮绕中心旋转，要与原图形重合，至少要旋转（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正多边形的性质，求出每一条边所对的中心角，就是所要旋转的度数． 【详解】解：由图可知：该齿轮是正八边形， 360°÷8=45°． 故选C．本题考查正多边形的有关性质，解题的关键是记住中心角=． 【变式4-2】图（1）中圆形台球桌面的俯视图如图（2）所示，记圆心为O，6个等分圆周的球洞为A，B，C，D，E，F．P是的中点，一个球从点P处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q处，反弹一次后撞到桌边上的点M处，再反弹一次后落入球洞F中，在此过程中有，，则的度数是_______°． 【答案】25 【分析】连接、、，先求出，设，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，，，结合，即可求解． 【详解】解：连接、、， ∵A，B，C，D，E，F是的六等分点， ∴， ∵P是的中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 题型5 圆心角定理与等边三角形的综合 【例9】如图，以等边三角形的边为直径作交于，交于，连接．试判断，，之间的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】连接，．根据题意得出与都是等边三角形，继而得出，根据圆心角与弦的关系即可得证． 【详解】解：．理由如下：如图，连接，．　 ，， 与都是等边三角形． ． ． ． ． 【例10】下面是小明设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程． 已知：⊙O． 求作：⊙O的内接正三角形． 作法： 如图，①作直径AB； ②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点； ③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD， ∵OC＝OB＝BC， ∴△OBC为等边三角形． ∴∠BOC＝　 °． ∴∠AOC＝　 °． 同理∠AOD＝120°， ∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°． ∴AC＝CD＝AD（　 　）（填推理的依据）． ∴△ACD是等边三角形． 【答案】（1）见解析；（2）60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 【分析】（1）利用画圆的方法作出C、D两点，从而得到△ACD； （2）在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，利用等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形，则∠BOC＝60°，接着分别计算出∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC＝CD＝AD，从而判断△ACD是等边三角形． 【详解】（1）解：如图，△ACD为所作； （2）证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD， ∵OC＝OB＝BC， ∴△OBC为等边三角形． ∴∠BOC＝60°． ∴∠AOC＝180°−∠BOC＝120°． 同理∠AOD＝120°， ∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°． ∴AC＝CD＝AD（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）， ∴△ACD是等边三角形． 故答案为：60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等． 【易错提醒】 （1）同圆中两条半径若夹 60° 角，直接判定该三角形为等边三角形，对应圆心角为60°。 （2）以直径端点为顶点的两个等边三角形，可将直径对应的平角拆分为三个60°圆心角，对应三条弦相等。 【变式5-1】如图，在中，为的直径．已知弦所对的劣弧为圆的，的半径为，以下结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤优弧的度数为．其中正确的结论是（ ） A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵弦所对的劣弧为圆的， ∴的度数为，故①正确， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确， ∴，故③错误， ∵， ∴是等边三角形，故④正确， ∵的度数为， ∴优弧的度数为，故⑤正确， ∴正确的结论是：①②④⑤， 故选：A． 【变式5-2】如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是______． 【答案】/ 【分析】连接，如图，先根据等边三角形的性质得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用画法得到，所以，所以封闭图形ABCD的周长的长，然后根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算，弧长公式：其中n为圆心角的度数，R为圆的半径也考查了等边三角形的性质． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 封闭图形的周长的长 故答案为： A组 基础过关 1．如图，在中，点A、B、C、D在圆上，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．下列命题是真命题的是（ ） A．相等的弦所对的弧相等 B．圆心角相等，其所对的弦相等 C．在同圆或等圆中，圆心角不等（除和为外），所对的弦不相等 D．弦相等，它所对的圆心角相等 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． 圆心角、弧、弦的关系必须在同圆或等圆中才成立；选项C明确指定前提，是真命题． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，圆心角不等（除和为外），所对的弦不相等，选项C正确，符合题意； ∵A、B、D均缺乏“在同圆或等圆中”的前提，∴可能不成立，均不符合题意； 故选：C． 3．如图，是的两条弦，点分别在弧、弧上，且是的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了同圆中弧、弦的关系，掌握在同圆中等弦对等弧，等弧对等弦是解题的关键． 首先由是的中点，得出，再由根据等弦对等弧得出，然后由等式的性质和等弧对等弦证出结论． 【详解】证明：是的中点， ， ， ， ， ． 4．如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦与，弦心距与的数量关系，进而得出正确选项． 【详解】解：∵分别为的两条弦，， ∴，故③正确； ∵，于M，于N， ∴，故①②正确． 综上可知，正确的有3个． 故选：D． 5．如图，是的直径，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用平角的定义得到的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解． 【详解】 解：∵， ∴， 而为直径， ∴， ∴的度数为． 6．如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于______． 【答案】/72度 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键。 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 7．如图，在中，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握相等的圆心角所对的弦相等是解题关键． 连接、，证得，得，根据相等的圆心角所对的弦相等即可得证． 【详解】证明：如图，连接，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 8．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 9．如图，在同圆中，若，则______．（“”“”或“”） 【答案】 【分析】取的中点E，根据圆心角、弦的关系、三角形三边关系求解即可． 【详解】解：取的中点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 10．如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为__________． 【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识点， 连接，根据平行线的性质求出，根据圆周角定理求出，再求出的度数，即可求出本题答案． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的度数是， ∵是的两条直径， ∴的度数是， ∴的度数是， 故答案为：． B组 综合提升 11．如图，在中，，则下列结论正确的有（ ）个． ①，②，③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．根据圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质逐一判断即可． 【详解】解：在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 观察四个结论，只有③错误，其余3个正确； 故选：B． 12．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（ ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 13．如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( ) A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】A 【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解． 【详解】连接，    ∵点是的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 14．如图，D，E分别是的半径上的点， ，则与的关系是(　　) A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查圆心角、弧和定理的知识，解题的关键是熟练地掌握相关的性质和定理；先根据定理证明，得；再根据圆心角与弧之间的关系由得出弧和弧的关系即可． 【详解】证明∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 15．下列命题是真命题的是 （ ) A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．相等的弦所对的弧相等 C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 D．平移不改变图形的形状和大小 【答案】D 【详解】试题分析：因为对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，所以A错误；因为在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所以B错误；因为对角线相等的梯形是等腰梯形 ，所以C错误；因为平移只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小，所以D正确，故选D 考点：命题与定理 C组 挑战突破 16．如图，圆O通过五边形的四个顶点．若，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键． 连接，，由半径相等得到三角形，三角形，三角形都为等腰三角形，根据，，求出与的度数，根据的度数确定出度数，进而求出的度数，即可确定出的度数． 【详解】解：连接、， ， 、、皆为等腰三角形， ，， ，， 的度数为， ， ， 则的度数为． 17．已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，∠AOC=35°，则∠BOD=__°． 【答案】35 【分析】因为弦AB＝CD，所以；然后根据圆心角、弧、弦的关系定理，即可得∠BOD＝∠AOC． 【详解】∵AB＝CD（已知）， ∴； ∴∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB−∠BOC＝∠COD−∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD=35°， 故答案为：35 18．如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵在中，为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆心角相等得，证明，再根据全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 19．如图，已知为的直径，，绕点旋转，，两点不与，重合． (1)求证：； (2)成立吗？为什么． 【答案】(1)证明见解析； (2)不成立，理由见解析． 【分析】（）直接利用弧度与圆心角的关系得出答案； （）利用三角形三边关系以及圆心角、弧、弦的关系得出即可； 此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系，正确把握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为直径，， ∴， ∴； （2）不成立，理由： 如图，在上截取，则， 则，， 在中，， ∴． 20．如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接． (1)求证：． (2)连接，若，，求的长．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，求弧长； （1）连接，由作图可知，均为等边三角形，进而得到，等角对等弧，得到，进而得到，即可得证； （2）求出，利用弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：连接， 由题可得， ∴，均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，即半径为5， ∴． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 圆心角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 圆心角、弧、弦、弦心距的辨析与直接应用 题型2 圆心角与弧的度数的计算 题型3 利用圆心角定理证明等弧、等弦（基础全等证明） 题型4 圆的等分作图与应用 题型5 圆心角定理与等边三角形的综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆心角的定义 圆的旋转不变性 圆心角定理 弧、弦、弦心距互化 弧与圆心角的度数关系 圆周的等分作图 等弧、等弦的证明 1.理解圆心角的概念，掌握圆的旋转不变性； 2.掌握圆心角定理及其推论，理解同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的等量关系； 3.理解1 弧的定义，知道弧的度数等于它所对圆心角的度数； 4.能运用圆心角定理进行简单的证明和计算，并能利用其进行等分圆。 学习重点：圆心角定理及其推论的应用（同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的对应相等关系）。 学习难点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的灵活转化与综合证明（尤其在遇到等边三角形、平行四边形等综合图形时辅助线的添加）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆心角及1  弧的定义 1.圆的旋转不变性 圆不仅是 ，圆心是它的对称中心；而且圆绕圆心旋转 ，所得的图形都与原图形重合。 2.圆心角的定义 顶点在 的角叫做圆心角。如图所示，∠AOB、∠COD都是圆心角。 要点： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为。 3.1  弧的定义 (1)定义：1∘的圆心角所对的弧叫作1∘的弧。 (2)弧与角的关系：n∘的圆心角所对的弧就是n∘的弧。 (3)结论： 的度数等于它所对 的度数。 即时即练下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 (1)判断一个角是否为圆心角，要同时满足两个条件：①顶点在圆心；②两边与圆相交。 (2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；注意不是角与弧相等。 (3)在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）。 知识点02 圆心角定理及推论 1.圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。 (1)圆心到圆的一条弦的距离叫做 。 (2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。 2.圆心角定理的推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等。如上图中的四对等量关系： (1)在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 (2)如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。 即时即练如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【易错提醒】 注意圆心角定理及推论中“弧、弦”相等的前提必须是同圆或等圆。如果是在两个大小不同的圆中，即使圆心角相等，它们所对的弧的度数相等，但弧的长度和对应的弦长不相等。 题型1 圆心角、弧、弦、弦心距的辨析与直接应用 【例1】把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【例2】如图所示，为的弦，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）圆心角、弧、弦、弦心距的等量转化关系，仅在同圆或等圆中成立，缺少该前提结论不成立。 （2）弦相等不等于弧相等，一条弦对应优、劣两条弧；长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须能完全重合。 （3）两圆交点类角度题，连接两圆心与交点，利用同圆半径相等得到多组等腰三角形，转化角度关系。 【变式1-1】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【变式1-2】如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 题型2 圆心角与弧的度数的计算 【例3】如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 【例4】如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【技巧总结】 （1）弧角等价转化：弧的度数与它所对的圆心角度数完全相等，求弧度数可直接转化为求对应圆心角。 （2）利用平行：弦与半径 / 直径平行时，利用内错角相等将弦的角度直接转化为圆心角。 【变式2-1】如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 【变式2-2】如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 题型3 利用圆心角定理证明等弧、等弦（基础全等证明） 【例5】如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是_________． 【例6】若和的度数相等，则下列命题中正确的是（ ） A．= B．和的长度相等 C．所对的弦和所对的弦相等 D．所对的圆心角与所对的圆心角相等 【易错提醒】 （1）直径对顶角：多条直径相交时，利用对顶角相等转化圆心角，直接由“等圆心角对等弦、等弧”得结论。 （2）利用半径构造全等：证明弦相等，优先连接两条半径，以“半径相等+圆心角相等”构造SAS全等三角形。 （3）利用弧中点的条件：弧中点对应弦相等、圆心角相等，是构造全等、推导角度的核心突破口。 【变式3-1】如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论： ①， ②， ③四边形MCDN是正方形， ④MN＝AB， 所有正确结论的序号是______． 【变式3-2】请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点， ． ． ．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 题型4 圆的等分作图与应用 【例7】有学者研究表明，我国古代制作铜镜背面花纹时，所采用的四等分圆周的一种方法是：如图所示，先由圆心画出圆的一条直径，再用“矩”（一种直角曲尺，可以画直角）过圆心垂直于第一条直径画出第二条直径，则这两条直径的四个端点将圆周四等分．请用你学过的一个定理解释这种四等分圆周的方法的道理：______________． 【例8】司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接．相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）等分圆周的依据统一表述为同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。 （2）等分圆、正多边形的最小旋转重合角 = 中心角，直接用360°÷份数计算。 【变式4-1】如图有一齿轮，相邻两齿之间间隔相等，如果让这个齿轮绕中心旋转，要与原图形重合，至少要旋转（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】图（1）中圆形台球桌面的俯视图如图（2）所示，记圆心为O，6个等分圆周的球洞为A，B，C，D，E，F．P是的中点，一个球从点P处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q处，反弹一次后撞到桌边上的点M处，再反弹一次后落入球洞F中，在此过程中有，，则的度数是_______°． 题型5 圆心角定理与等边三角形的综合 【例9】如图，以等边三角形的边为直径作交于，交于，连接．试判断，，之间的大小关系，并说明理由． 【例10】下面是小明设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程． 已知：⊙O． 求作：⊙O的内接正三角形． 作法： 如图，①作直径AB； ②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点； ③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD， ∵OC＝OB＝BC， ∴△OBC为等边三角形． ∴∠BOC＝　 °． ∴∠AOC＝　 °． 同理∠AOD＝120°， ∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°． ∴AC＝CD＝AD（　 　）（填推理的依据）． ∴△ACD是等边三角形． 【易错提醒】 （1）同圆中两条半径若夹 60° 角，直接判定该三角形为等边三角形，对应圆心角为60°。 （2）以直径端点为顶点的两个等边三角形，可将直径对应的平角拆分为三个60°圆心角，对应三条弦相等。 【变式5-1】如图，在中，为的直径．已知弦所对的劣弧为圆的，的半径为，以下结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤优弧的度数为．其中正确的结论是（ ） A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤ 【变式5-2】如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是______． A组 基础过关 1．如图，在中，点A、B、C、D在圆上，，，则（ ） A． B． C． D． 2．下列命题是真命题的是（ ） A．相等的弦所对的弧相等 B．圆心角相等，其所对的弦相等 C．在同圆或等圆中，圆心角不等（除和为外），所对的弦不相等 D．弦相等，它所对的圆心角相等 3．如图，是的两条弦，点分别在弧、弧上，且是的中点．求证：． 4．如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，是的直径，，，则的度数为________． 6．如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于______． 7．如图，在中，已知．求证：． 8．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 9．如图，在同圆中，若，则______．（“”“”或“”） 10．如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为__________． B组 综合提升 11．如图，在中，，则下列结论正确的有（ ）个． ①，②，③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 12．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（ ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 13．如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( ) A． B． C． D．a，b大小无法比较 14．如图，D，E分别是的半径上的点， ，则与的关系是(　　) A． B． C． D．不能确定 15．下列命题是真命题的是 （ ) A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．相等的弦所对的弧相等 C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 D．平移不改变图形的形状和大小 C组 挑战突破 16．如图，圆O通过五边形的四个顶点．若，，则的度数为____________． 17．已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，∠AOC=35°，则∠BOD=__°． 18．如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 19．如图，已知为的直径，，绕点旋转，，两点不与，重合． (1)求证：； (2)成立吗？为什么． 20．如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接． (1)求证：． (2)连接，若，，求的长．（结果保留） 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $