第二章特殊三角形单元测试卷 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学特殊三角形单元测试卷，聚焦等腰、直角三角形性质与判定，通过折叠、最短路径等情境考查几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|等腰三角形周长计算（题2）、直角三角形判定（题5）|结合折叠情境（题1）考查空间观念，体现数学眼光| |填空题|6题/24分|角平分线性质（题14）、最短路径问题（题15）|通过面积计算（题14）与动态最值（题15）培养推理意识| |解答题|8题/46分|垂直平分线应用（题17）、折叠综合（题18）、对称变换（题19）|综合折叠与角度推理（题18），结合创新探究（题24）发展应用意识与创新意识|

第二章特殊三角形单元测试卷 一、单选题 1.如图，将长方形纸片ABCD(AB<AD)沿折痕BD折叠，点C落在点C'处，BC交AD 于点E,∠C'DE=40°，则∠DBC的度数为() A.20° B.25° C.30° D.35 2.如果等腰三角形的周长是22cm,其中一边长为5cm,则该等腰三角形的底边长为 () A.5cm或l2cmB.8.5cm或5cm C.12cm D.5cm 3.如图，在△ABC中，BC>BA,在BC上截取BD=BA,作∠ABC的平分线与AD相交 于点P,连接PC.若△ABC的面积为4，则△BPC的面积为() A.0.5 B.1 c.1.5 D.2 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,点E是AD上一点， DE=BD,∠ABC=7 ，则<AC 的度数为() A E B D A.18 B.27° C.25 D.36 试卷第1页，共3页 5.下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是() A.∠A+∠B=90 B.∠4∠B:∠C=3:4:5 C.∠4：∠B:∠C=1:23 D.∠A+∠B=∠C 6.如图，在M村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站P,使它到 M,N两村庄的路程之和最短，且从M村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修 建方案中，符合条件的是() 生态 生态 M 保护区 保护区 A B P 方案一 方案二 生态 M 生态 ,M 保护区 保护区 C P N 方案三 方案四 7.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6,把△ADC沿直线AD折叠后，点 C落到C'的位置上，那么BC为() C 60o B O A.1 B V3 C.3 D.2V2 8.如图，已知AB=AC,BE=CE,D是线段AE上一点（不与A,D重合），下列结论 不一定正确的是() 试卷第2页，共3页 A.AE平分∠BAC和∠BEC B.AE垂直平分BC C.∠DBE=∠DCE D.BD=DE 8.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC,BD交于点F,点E是 AC中点，∠EBF=19°，则∠BAD的度数是(). A.69° B.71 C.73° D.75° 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在边AC上，连接BE,过点E作ED⊥AB于 点D,若∠CBE=32°，CE=DE,则∠A的度数为() D A.24° B.26° C.28° D.36° 二、填空题 1L.如图，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E, 若AB=l0cm,那么△DEB的周长为_cm. 试卷第3页，共3页 12,若等腰三角形的两边长分别为a,b,且满足Va-3)+b-=0,则该等腰三角形的 周长为 13.如图，在ABC中，B=AC,D是AB的中点，若DE=BE=4B,则∠C的度数 2 为 E 14.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB,垂足为点F,∠BAC+∠EDG=180°， △ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为一 E B D 15.如图，△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD⊥BC,E、F分别为AC、 AD上两动点，连接CF,EF,则CF+EF的最小值为 D 16.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=8,D是边AC上一点，且 3 CD=2,点P从点B出发沿射线BC向右运动.过点D作DE⊥AP于点E·当DE=CD时， BP的长为一 试卷第4页，共3页 E B 三、解答题 17.如图，己知△PMN,OA垂直平分MP,交MN于点E,交MP于点Q,OB垂直平分 PN,交MN于点F,交PN于点R,连接OP. M N A B (1)连接PE,PF,若MN=12,求△PEF的周长； (2)若PM=PN,求证：OP平分∠AOB, 18.综合与探究 己知长方形纸片ABCD,对边互相平行，4个角均为直角，E,F分别为AD,BC边上两点， 将长方形纸片沿EF折叠后，点A,B分别落在点A',B的位置. A E A D B 图1 图2 (I)如图1，若EA'的延长线恰好过点C,且∠EFB=105°，求∠DEC的度数： (2)如图2，若EA交边DC于点G,∠EFB=120°，求∠EGC的度数， 19.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=90°，点A关于BC的对称点为A,点B关于 AC的对称点为B,点C关于AB的对称点为C', 试卷第5页，共3页 (1)在图中画出△A'B'C: @法ABC的有积为2片，则ABC的而积足 20.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,G为BA延长线上一点，F为AC上一点，且 AG=AF,延长GF交BC于点E.试说明：EG∥AD. G B D 21.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB, OE‖AC (1)试判定aODE的形状，并说明你的理由： (2)若BC=10,求aODE的周长. 22.如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点，连接AD. (I)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=54°，∠B=24°，求∠DAE的度数. 试卷第6页，共3页 (2)当AD为BC边上的中线时，若AB=13,△ADC的周长比△ABD的周长少5，求AC的长 度 23.如图：已知，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB于点D,AC于点 E,连接BE. D (1)若BE平分∠ABC,求证：∠A=30°： (2)若AB=9,AC=7,求CE的长. 24.已知：如图①，△ABC是等边三角形，O为△ABC中线的交点，M,N分别为边BC, AC上一点，∠MON=120° D 0 B M 图① 图② (I)求证：△OMN是等腰三角形： (2)如图②，四边形ABCD是边长为1的正方形，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，点O为 ∠ABC和∠BCD的角平分线的交点，MN分别为边BC,CD上一点，当∠MON= 时，△OMN是等腰三角形，此时MN的最小值是 (3)反思以上解题过程，你还可以研究哪些问题？ 试卷第7页，共3页 第二章特殊三角形单元测试卷 一、单选题 1．如图，将长方形纸片沿折痕折叠，点落在点处，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，根据角的和差关系和折叠的性质求出的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴； ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴． 2．如果等腰三角形的周长是，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题需分两种情况讨论，即已知边长为腰长或已知边长为底边长，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证，排除不符合的情况即可得到结果. 【详解】解：分两种情况讨论： 若为腰长，则底边长为； ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 若为底边长，则腰长为； ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴该等腰三角形底边长为. 3．如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰三角形的“三线合一”和三角形中线平分其面积的性质，可推出的面积是面积的一半． 【详解】解：，且平分， 为的中线，为中点， 为的中线， ，， ，， ，即， ， ． 4．如图，在中，，垂足为D，点E是上一点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质得，，进而得，再求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，解题的关键是求出三角形中有一个角是． 根据三角形的内角和定理，结合有一个角是的三角形时是直角三角形，进行判断即可． 【详解】解：三角形内角和为， A、，，故是直角三角形，此选项不符合题意； B、设，则，， ，无角，故不是直角三角形，此选项符合题意； C、设，则， ， ，故是直角三角形，此选项不符合题意； D、，又， ，即，，故是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 6．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，从村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知到的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点，将问题转化为求两点之间线段最短的问题求解即可 ． 【详解】解：设生态保护区右下角的顶点为， 从村庄到公路不能穿过生态保护区， 到的最短路径需经过点，即路径为， 总路程为， 为定值， 要使总路程最短，只需最短， 点在直线上方，点在直线下方， 根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小， 即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征． 7．如图，是的中线，，，把沿直线折叠后，点落到的位置上，那么为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据中点的性质得．再根据折叠得，判定为等边三角形即可求． 【详解】解：∵，是的中线， ∴． 由折叠可得：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 8．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 8．如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是中点，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以推出，结合和三角形内角和定理求出，再根据外角的性质推出，，最后根据进行等量代换求解即可． 【详解】如图，连接， ∵，点是中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∵、分别是、的外角， ∴，， ∴，， ∴． 10．如图，在中，，点E在边上，连接，过点E作于点D，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 11．如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的定义可得，，根据角平分线的定义得，证明得到，即可求解． 【详解】解：是等腰三角形，， ，， 是的角平分线，于， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 12．若等腰三角形的两边长分别为，，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 【答案】 7 【分析】解题的关键在于要利用分类讨论思想对等腰三角形三边情况进行分类，并利用三角形三边之间的关系进行验证．先根据的性质化简原等式，再利用绝对值的非负性列式求出a、b的值，最后，分a的值是等腰三角形的腰长还是底边这两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，符合题意； 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，不符合题意，此种情况舍去； ∴等腰三角形的周长为：． 13．如图，在中，，是的中点，若，则的度数为________． 【答案】/75度 【分析】先证明是等边三角形，，然后求出的度数，再由三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴． 14．如图，是的角平分线，，垂足为点F，，和的面积分别为50和38，则的面积为______． 【答案】6 【分析】过点D作于点H，证明得到，根据四边形的内角和及，得到，根据同角的补角相等得到，从而证得，得到．设，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：过点D作于点H，则． ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在四边形中，， 又， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设， 则， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 15．如图，中，，，，，E、F分别为、上两动点，连接，，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据题意得到点关于直线对称，利用对称点的性质，将求的最小值转化为求的最小值，再利用点到直线垂线段最短求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ， ∵，，， ∴， 即， 解得， ∵， ∴所在直线是线段的垂直平分线， ∴点关于直线对称， ∴， ∴的最小值为． 16．如图，在中，，，，是边上一点，且，点从点出发沿射线向右运动．过点作于点．当时，的长为______． 【答案】5或11 【分析】根据动点P在不同位置：①点在线段上时，②点在线段的延长线上时，连接，证明，利用全等三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：①点在线段上时， ∵， ∴ ∵，， ∴在中，， ． 连接， ∵，，， ∴平分， ， ， ， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； ②点在线段的延长线上时， 同①可得， ∴． 综上所述，的长为5或11． 三、解答题 17．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)的周长； (2)证明：，垂直平分，垂直平分， ，， ， 平分． 【分析】（1）证明，，进一步求解即可； （2）证明，结合角平分线的判定可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵垂直平分， ， 同理：， 的周长． （2）略 18．综合与探究 已知长方形纸片，对边互相平行，4个角均为直角．E，F分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在点，的位置． (1)如图1，若的延长线恰好过点C，且，求的度数； (2)如图2，若交边于点G，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，得到，进行求解即可； （2）同（1）法求出的度数，再根据互余关系，求出的度数，进而求出的度数即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； （2）解：同（1）法可得， ∴， ∵， ∴， ∴ 19．如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 【答案】(1) 即为所求． (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可． （2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积． 【详解】（1）略 （2）设交于点，延长交于点， 点关于的对称点为， ，． 点关于的对称点为， ， 点关于的对称点为， ， 与关于点成中心对称， ，， ，， ． 的面积为， ， 的面积是． 故答案为：． 20．如图，在中，平分，为延长线上一点，为上一点，且，延长交于点．试说明：． 【答案】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴． 【详解】略 21．如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【答案】(1)是等边三角形；理由如下： 是等边三角形， ； ，， ，， 为等边三角形． (2)10 【分析】（1）证明，证明，，即可解决问题． （2）证明，同理可证；即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：平分，， ，， ， ， 同理可证； 的周长． 22．如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少5，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出，进而求出，然后根据两锐角互余求出，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先中线的性质确定，将的周长比的周长少5的数量转化成边的数量关系得到，可求解． 【详解】（1）解：， ． 又为的角平分线， ． 为边上的高， ， ． （2）解：为边上的中线， ． 又的周长比的周长少5，， ， ， ． 23．如图：已知，在中，，的垂直平分线分别交于点，于点，连接． (1)若平分，求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质推出，再根据角平分线的性质推出，最后运用三角形内角和定理即可求证； （2）先运用勾股定理求出的长度，再运用垂直平分线得到，等量代换推出，最后再运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵中，，，， ∴根据勾股定理，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，，即，解得： 24．已知：如图①，是等边三角形，O为中线的交点，M，N分别为边，上一点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图②，四边形是边长为1的正方形，，点O为和的角平分线的交点，M，N分别为边，上一点，当_______°时，是等腰三角形，此时的最小值是_________； (3)反思以上解题过程，你还可以研究哪些问题？ 【答案】(1)证明：是等边三角形，O为中线的交点， 点也是角平分线的交点、， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； (2)； (3)在（2）中若是等腰直角三角形，求四边形的面积？ 解：由（2）知，， ， ， ，且， ， 四边形的面积为． 【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中点的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，利用三角形内角和定理求出，进而得到，从而证明，据此得出结论； （2）类比（1）中证明过程得到，利用正方形的性质求解的度数即可；利用勾股定理求出，过点作于点，当点与点重合时，有最小值，最小值为，利用直角三角形斜边中点的性质求出的最小值，从而求出的最小值； （3）类比前两问的正三角形、正方形的情况，可延伸到正边形的对应类似问题即可． 【详解】（1）略； （2）解：根据题意得，正方形中点是、的角平分线的交点， 、， ， 类比（1）可知，当时，同理可证明， ， 当时，是等腰三角形； 在等腰中，由勾股定理得： 过点作于点， 当点与点重合时，有最小值，最小值为， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ， 四边形是边长为1的正方形， ， ， 即的最小值为， 的最小值是； （3）略． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $