第二章 特殊三角形 单元检测 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学特殊三角形单元卷，覆盖轴对称、等腰与直角三角形等核心知识，通过基础辨析与综合应用，考查几何直观、推理能力及模型意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|轴对称图形、等腰三角形顶角计算、勾股定理逆定理等|结合美术字（1题）、相交直线对称性（2题），考查概念辨析| |填空题|6题|对称点坐标、等腰三角形周长、垂直平分线性质等|14题结合四边形面积与角平分线，15题考查逆命题真假，体现知识综合| |解答题|8题|轴对称作图、全等证明、勾股定理应用等|22题综合全等与等腰三角形判定，23题台风问题（应用勾股定理），24题角平分线性质与全等，注重推理与模型意识|

第二章 特殊三角形 单元检测 一、单选题 1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 个汉字中，可以看作轴对称图形的是（    ） A.        B.            C.       D.  2.我们知道，平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为（    ） A. 1                                          B. 2                                          C. 4                                          D. 无数 3.已知等腰三角形的一个角为72°，则其顶角为（    ） A. 36°                                    B. 45°                                    C. 60°                                    D. 72°或36° 4.下列线段不能组成直角三角形的是（     ） A. a＝3，b＝4，c＝5                                             B. a＝1，b＝ ，c＝ C. a＝2，b＝3，c＝4                                             D. a＝7，b＝24，c＝25 5.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A点、B为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若 ，则 （    ） A.                                     B.                                     C.                                     D.  6.已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是（     ） A. 直角三角形                    B. 钝角三角形                    C. 等腰直角三角形                    D. 等边三角形 7.下列定理中，没有逆定理的是（    ） A. 同旁内角互补，两直线平行                                B. 直角三角形的两锐角互余 C. 互为相反数的两个数的绝对值相等                      D. 同位角相等，两直线平行 8.如图，三角形ABC，∠BAC= ，AD是三角形ABC的高，图中相等的是（   ）． A. ∠B=∠C                         B. ∠BAD=∠B                         C. ∠C=∠BAD                         D. ∠DAC=∠C 9.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=90°，E、F分别是BD、AC的中点，AC=6，BD=10，则EF的长为（  ） A. 3                                          B. 4                                          C. 5                                          D.  10.如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是(  )   A. AC＝AD                      B. AC＝BC                      C. ∠ABC＝∠ABD                      D. ∠BAC＝∠BAD 二、填空题 11.若点M(﹣3，b)与点N(a，2)关于x轴对称，则a+b=________. 12.已知等腰三角形的其中两边长为6cm和8cm，则这个三角形的周长为________cm. 13.如图，在△ABC内，三边垂直平分线交点为D，若∠BAC＝50°，则∠BDC的度数为 ________. 14.如图，四边形ABCD中，∠A = ∠B = 90°,AB边上有一点E,CE,DE分别是∠BCD和∠ADC 的角平分线，如果ABCD的面积是12,CD = 8,那么AB的长度为________. 15.已知命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”，用“如果…，那么…”的形式写出它的逆命题，并判断其真假．逆命题：________．这个逆命题是________ 命题（填“真”或“假”）． 16.如图， 中， 为斜边中点， 为斜边上的高，若 ， ，则 的面积是________. 三、解答题 17.如图，请作出△PQR关于y轴对称的△P1Q1R1 ， 写出它们的坐标P1                ， Q1               ， R1               18.在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外） 19.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数. 20.已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E为AC中点，点F为BD中点.求证：EF⊥BD 21.图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图①、图②给定的网格中按要求作图． （1）在图①中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小 （2）在图②中的格线MN上确定一点Q，使∠AQM＝∠BQM． 要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法． 22.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，CF平分∠ACB交AD于点F，连接CE。 求证： （1）点D是EF的中点； （2）△CEF是等腰三角形。 23.如图，一轮船以40km/h的速度由西向东航行，在途中点C处接到台风警报，台风中心点B正以20km/h的速度由南向北移动．已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得BC＝500km，BA＝300km．（假定轮船不改变航向）． （1）如果这艘轮船不改变航向，经过11小时，轮船与台风中心相距多远？此时，轮船是否受到台风影响？ （2）如果这艘轮船受到台风影响，请求出轮船受到台风影响一共经历了多少小时？ 24.如图，在 中， ， ，AD是 的角平分线， ，垂足为E. （1）求证： ； （2）已知 ，求AC的长； （3）求证： . 答案解析部分 一、单选题 1. D 考点：轴对称图形 解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、轴对称图形，符合题意． 故答案为：D． 分析：根据轴对称图形的概念判断即可． 2. B 考点：轴对称的性质 解：如图所示： 平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为2条． 故答案为： ． 分析：直接利用轴对称图形的性质画出对称轴即可． 3. D 考点：三角形内角和定理，等腰三角形的性质 解：分两种情况： （1）若这个等腰三角形的底角是72°，则顶角为：180°-72°×2=36°； （2）这个等腰三角形的顶角是72°。 综合得：其顶角为72°或36°。 故答案为：D. 分析：分等腰三角形的顶角是72°和底角是72°两种情况分别求解即可。 4. C 考点：勾股定理的逆定理 解：A、32+42=52 ， .能组成直角三角形； B、12+（ ）2=（ ）2 ， 能组成直角三角形； C、22+32≠42：不能组成直角三角形； D、72+242=252 ， ：能组成直角三角形． 故答案为C． 分析：根据勾股定理的逆定理对四个选项逐一分析即可解答． 5. C 考点：三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质 解：∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠C＝ （180°−30°）＝75°， 由作图知，DE是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝30°， ∴∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝45°， 故答案为：C． 分析：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC，再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求出∠ABD即可得到结论． 6. D 考点：等边三角形的判定，轴对称的性质 解：如图， 根据轴对称的性质可知， OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°， ∴△P1OP2是等边三角形. 故答案为：D. 分析：根据轴对称的性质及有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可判断得出答案. 7. C 考点：命题与定理 解：A、逆定理是两直线平行，同旁内角互补，不符合题意； B、逆定理是两锐角互余的三角形是直角三角形，不符合题意； C、逆命题是绝对值相等的两个数互为相反数，是假命题，故没有逆定理，符合题意； D、逆定理是两直线平行，同位角相等，不符合题意； 故答案为：C． 分析：一个定理的逆命题是正确的，那么这个逆命题就是原定理的逆定理；于是将各个定理的题设和结论交换位置得出原定理的逆命题，再判断逆命题的真假即可得出答案。 8. C 考点：三角形内角和定理，直角三角形的性质 解：∵∠BAC= ，∴∠B+∠C= ，A不符合题意； ∵AD是三角形ABC的高，∴∠BDA= ，∴∠BAD+∠B= ，B不符合题意； ∵∠BAC= ，∴∠BAD+ ∠DAC= ， 又∵∠ADC= ，∴∠DAC+ ∠C= ， ∴∠C=∠BAD，C符合题意，选项D不符合题意. 故答案为：C. 分析：根据直角三角形的性质可得∠B+∠C= ，由AD是三角形ABC的高，可得∠BDA=∠ADC= ，再运用三角形内角和定理依次判断即可. 9. B 考点：等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理 解：连接AE ， CE ． ∵∠DAB=90°，∠DCB=90°，E是BD的中点，∴AE BD ， CE BD ， ∴AE=CE ． ∵F是AC的中点，∴EF⊥AC ． ∵AC=6，BD=10，∴AE=5，AF=3，∴EF 4． 故答案为：B． 分析：连接AE ， CE ， 由在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可证明AE=CE ， 进而可证明△AEC是等腰三角形，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出EF的长． 10. A 考点：直角三角形全等的判定 解：A、∵ ∠C＝∠D＝90°， AC=AD，AB=AB，∴ Rt△ABC≌Rt△ABD （HL），符合题意； B、∵AC和BC在一个三角形中，不是对应边，不能证明全等，不符合题意； C、 ∵∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD， AB=AB，∴△ABC≌△ABD （AAS），不符合题意； D、 ∵∠C＝∠D＝90°， ∠BAC＝∠BAD ， AB=AB，∴△ABC≌△ABD （AAS），不符合题意； 故答案为：A. 分析：根据斜边直角边定理可知，两个直角三角形，有斜边和一组直角边对应相等则这两三角形全等，据此分别判断即可；角角边定理不是利用斜边直角边定理（HL）证明三角形全等. 二、填空题 11. -5 考点：坐标与图形变化﹣对称 解：∵点M(﹣3，b)与点N(a，2)关于x轴对称， ∴a=﹣3，b=﹣2， 则a+b=﹣3﹣2=﹣5. 故答案为：﹣5. 分析：根据关于x轴对称的点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出答案. 12. 20或22 考点：等腰三角形的性质 解：①腰长为6cm，满足三角形三边关系 这个三角形的周长 ②腰长为8cm，满足三角形三边关系 这个三角形的周长 故答案为：20或22. 分析：分两种情况讨论：①腰长为6cm，②腰长为8cm，利用等腰三角形的性质及三角形三边关系解答即可. 13. 100° 考点：三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质 解：∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-50°=130°， ∵点D是三边垂直平分线交点， ∴DA=DB，DA=DC， ∴∠DBA=∠DAB，∠DCA=∠DAC， ∴∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC=50°， ∴∠DBC+∠DCB=130°-50°=80°， ∴∠BDC=180°-80°=100°， 故答案为：100 . 分析：根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=130°，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算. 14. 3 考点：三角形的面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质 解：∵∠A = ∠B = 90° ∴AD∥BC,∠ADC+∠BCD=180∘ ∵ED平分∠ADC，EC平分∠BCD， ∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=BCE ∴∠DCE+∠CDE=90∘ ∴DE⊥EC， 延长DE交CB的延长线于点F, ∵AD∥BC，DE是∠ADC的角平分线， ∴∠CDF=∠ADE=∠DFC， ∴CD=CF， ∴△CDF是等腰三角形； ∵DE⊥EC， ∴DE=FE， 在△BEF和△AED中 ∴△BEF≌△AED(ASA)， ∴AD=BF, 故FC=AD+BC=CD=8， ∵等腰梯形的面积为 （AD+BC）×AB=12 即 ×8×AB=12 故AB=3. 故答案为：3. 分析：首先根据同旁内角互补，二直线平行得出AD∥BC,根据二直线平行，同旁内角互补得出∠ADC+∠BCD=180∘，根据角平分线的定义、角的和差及三角形的内角和得出∠DEC=90°，所以DE⊥EC，延长DE交CB的延长线于点F,进而找出∠CDF=∠ADE=∠DFC，根据等角对等边得出CD=CF，故△CDF是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一得出DE=FE，然后利用ASA判断出△BEF≌△AED，根据全等三角形的对应边相等得出AD=BF,最后根据梯形的面积计算方法列出方程，求出AB的长. 15.如果一个点到线段的两端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上；真 考点：命题与定理 解：命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”其逆命题是：如果一个点到线段的两端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上，为真命题，故答案为：如果一个点到线段的两端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上，真 分析：将原命题改写成如果那么的形式的时候，在不改变原命题题设和结论的基础上，可以添加适当的词语让命题更加通顺；将原命题改写成如果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，将原命题的题设和结论交换位置，即可得到原命题的逆命题；根据已有的知识即可判断出两个命题的真假。 16. 考点：三角形的面积，直角三角形斜边上的中线 解：∵Rt△ABC中，O为斜边中点，OC= ， ∴AB=2OC=2 ， ∵AB边上的高DC= ， ∴△ABC的面积是 ×AB×CD= ×2 × = ， 故答案为： . 分析：根据直角三角形斜边上中线性质求出AB，根据三角形的面积公式求出即可. 三、解答题 17. 解：如图，△P1Q1R1即为所求．P1（4，-1），Q1（1，4），R1（-1，1）； 考点：作图﹣轴对称 分析：分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可． 18. 解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示： 考点：轴对称图形 分析：轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 19. 解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一). ∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°. ∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°. 又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°. 又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°. ∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°. 考点：等腰三角形的性质 分析：利用等腰三角形三线合一的性质可证得AE⊥BC，利用邻补角的定义求出∠CDE的度数，利用直角三角形的两锐角互余求出∠DCE的度数，再求出∠ACB的度数；然后利用等边对等角及三角形内角和定理就可求出∠BAC的度数。 20. 证明：如图，连接BE、DE， ∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E是AC的中点， ∴BE=DE= AC， ∵点F是BD的中点， ∴EF⊥BD 考点：等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线 分析： 连接BE、DE， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 BE=DE= AC，由等腰三角形的三线合一可得 EF⊥BD 。 21. （1）解：如图①，作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，此时PA+PB＝PA′+PB＝BA′，根据两点之间线段最短，此时PA+PB最小； （2）解：如图②，作B关于MN的对称点B′，连接AB′并延长交MN于Q，此时∠AQM＝∠BQM． 考点：勾股定理，轴对称的应用-最短距离问题 分析： 如图 ，作A关于MN的对称点A′，连接 ，交MN于P，P点即为所求； 如图 ，作B关于MN的对称点B′，连接 并延长交MN于Q，Q点即为所求． 22. （1）解：证明：∵∠ACB=90°，AC=BC ∴∠CAB=∠CBA=45° ∴BE⊥AB ∴∠ABE=90° ∴∠DBE=90°-45°=45° ∴CF平分∠ACB ∴∠FCD=∠FC4=90°× =45° ∴∠DBE=∠FCD 又∵D为BC边的中点， ∴CD=BD 在△CDF与△BDE中， ∴△CDF≌△BDE(ASA) ∴DF=DE 即点D是EF的中点 （2）解：∵∠ACF=45°，∠CBE=45° ∴∠ACF=∠CBE 又∵AC=BC，CF=BE ∴△ACF≌△CBE(SAS) ∴∠CAF=∠BCE ∵∠ECF=45°+∠BCE ∠CFE=∠ACF+∠CAF=45°+∠CAF ∴∠ECF=∠CFE ∴CE=FE 即△CEF是等腰三角形 考点：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质 分析：（1）利用等腰直角三角形的性质，根据ASA可证△CDF≌△BDE，可得DF=DE，从而得出结论； （2） 根据SAS可证△ACF≌△CBE，可得∠CAF=∠BCE， 从而得出∠ECF=∠CFE，继而可得CE=FE，根据等腰三角形的判定即可求出结论. 23. （1）解： 答：轮船与台风中心相距 ，此时，轮船受到台风影响 （2）解： 解得t1=7,t2=15 ∴轮船受到台风影响经历时间为15-7=8（小时） 考点：勾股定理的应用 分析：（1）先利用勾股定理求出AC=400km，利用勾股定理求出11小时时轮船与台风的距离，然后 2与200进行比较即可； （2） 设当轮船接到台风警报后时经过t小时受到台风的影响 ，可得  ， 求出t1=7,t2=15 ，可得从7小时到15小时轮船受到台风影响，利用15-8即得轮船受到台风影响经历时间. 24. （1）证明： 在 中， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， . 是 的角平分线， ， ； （2）解： 由（1）知， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； （3）证明： 是 的角平分线， ， . 在 与 中， ， ≌ ， . 由 知 ， . 考点：直角三角形全等的判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理 分析：（1）由△ABC是等腰直角三角形可得△DBE是等腰直角三角形，DE=BE，根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得CD=ED,等量代换即可证明CD=BE.（2） 由（1）知DE=BE=CD=2,由勾股定理可得BD=2,即可求出AC=BD=2+2；（3）利用HL可判断△ACD与△AED全等，由全等三角形的对应边相等可得AE=AC,由图可知AB=AE+EB,等量代换即可证出结论.   www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $