山西忻州市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期高二年级期末考试试题 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径05毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答 题区域书写的答案无效，在试题卷、.草稿纸上作答无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.设全集U=R,己知集合A={xx>4x,B={x川y=V4-x,则C,(AnB)=() A.[0,4] B.(-0,4] C.(-∞，0) D.[0,+oo) 2.已知函数f)=亡是偶函数，则实数“=() ear+1 A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.已知幂函数f(x)=(a2+2a-2)xa-2(a∈R)的图象不经过原点，则f(V2)=() A号 B,2 D.2或32 2 3-3 4.函数f(中+x可的图象大致是(） 5.对于一个声强为I（单位：W/m)的声波，其声强级L（单位：dB)可由如下公式计算： L=101g（其中，是能引起听觉的最弱声强）.设声强为1时的声强级为70B,声强为5时 的声强级为60dB,则等于() 【高二数学第1页（共4页）】 al“"1…%oa A.10 B.100 C.1010 D.10000 6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且图象关于直线x=2对称，当x∈[0,2]时， f(x)=2x2,则f(7)=() A.-2 B.-1 c.1 D.2 7. 已知函数f(x)= 3*-1x< ,若函数g(x)=∫(x)+m有3个零点，则m的取值范围是() log2x,1 A.(0,2) B.（-2,0) c.(0,1) D.(-1,0) 8.在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现 了自然界的和谐与平衡数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美函数图像的对称 性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数 f(x)=e2+e2r+2x-,使得不等式f(2m+1)<f(m+2)成立的实数m的取值范围为() A(--um）B(到 c(到(aL+) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.下列选项中，正确的是() A.若p:3n∈N,n2>2",则p:n∈N,n2≤2” B.若不等式ax2+bx+3>0的解集为(-1<x<3),则a+b=2 C.函数f(x)=1og（x-1)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，) D若a>0,b>0,且a+4b=1,则。+的最小值为9 10.下列结论中，所有正确的结论是() A.若a>b>0,c<d<0,则ac<bd B.命题p:3x。∈1，+oo),e≥x。+1的否定是：x∈1，+o),e<x+1 C.若0<b<a且c>0,则b+c>b a+c a D.若x∈(0，+o),ar<x2+1,则实数a的取值范围为(-0,2 1,已知函数f()=ln+丙 则( A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)有两个零点 C.不等式f(x)<f(2-x)的解集为(0，)D.若f(a@+f(b)=0,则a2+b2的最小值为2 【高二数学第2页（共4页）】 a^“"1.%。a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2,x≤0， 12.已知函数f(x)= 1og2x,x>0, 若f()+f(-1)=0,则t= 13.已知函数f(x)=a(a>0,a≠1)，若f(1g3)f(1g4)=12,则实数a= 14.己知f(x)=x+4,8(x)=x2-3x+8-a,若对k∈[1,3]，总3，∈[，3]，使f(x)=8(3)成 ” 立，则实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (1)求值： 2) -3n°+37 48 ②)已知a,b是方程r-6x+4=0的两根，且a>b>0,求Y6-5 的值. √a+√b 16.（15分) 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个唱歌节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需 要制作节目单， (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，2个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)3个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC=60°，△PAD为等边 三角形，平面PAD⊥平面ABCD,点E是棱PC上的一点， (1)求证：△PBC为直角三角形： (2)若直线AE与平面PAB所成角的正弦值为 求线段AE的长. 10 【高二数学第3页（共4页）】 a^“6"1.%。a 18.(17分) 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x(亿元)与产品收益y(亿元)的数据统计如下： 研发投入x(亿 3 4 元) 产品收益y亿 J 7 9 10 11 元) (1)计算x,y的相关系数r,并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程 度？（若0.3<rk0.75,则线性相关程度一般；若>0.75，则线性相关程度较高） (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿 元？（结果保留一位小数） 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为 2x-0y-列) 6 2x-X0-列 a=-b标，r -时 24-20,-列 参考数据：立-=10.立0y-可列=40，立(-y-列=19， 19.(17分) 已知函数f(=(x-le-2ar2-1aeR). (I)若a=e,求f(x)的极值： (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)是否存在实数a,使得f(x)的两个零点互为相反数？若存在，求出a的值：若不存在， 说明理由， 【高二数学第4页（共4页）】 a^“"1.%o¤参考答案 1.答案：D 解析：由题意得A={x|x2>4x}={x|x>4或x<0},B={xx≤4)， 所以(A∩B)={xx<O},从而C(A∩B)={x|x≥O}.故选D. 2.答案：C 解析：已知函数f(x)=c的定义域为R, ear+1 所以f(x=e=xe_e: ea+1 eax+11+eax 又因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x),解得a=2,故C 3.答案：A 解析：由题意可得a2+2a-2=1,解得a=1或a=-3, 当a=1时，f(x)=x2,此时图象不经过原点，符合题意： 当a=-3时，f(x)=x0,此时图象经过原点，不符合题意； 所以f()=,f=(= 4.答案：B 解析：函数的定义域为R. 3x-3 3x-3 叉)xF-可-++f, .函数∫(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项AD: 又x→+o时，f(x)→+o,可排除选项C.故选：B. 5.答案：A 解析：令L=70,则10g子=70解得：-101， 1 令L=60海10g号60解：14-101c 妆子歌0校法入 福 6.答案：A 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x=2对称， 所以f(x)=f(4-x)=-f(x-4), ∴.f(8+x)=-f(x+4)=-(-f(x)=f(x), 所以函数∫(x)的周期为8， .f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f()=-2.故选：A. 7.答案：D 解新：令s)-)m-0,枚因-m,国f--x<l与y-m销图象 l0g2x,x≥1 y=f(x) y=-m 函数g(x)=f(x)+m有3个零点，即f(x)与y=-m图象有3个不同的交点，则-m∈(0,1)，解得 m∈（-1,0).故选D. 8.答案：C 解析：f(x)=e21+e-2x+|2x-1, …f(1-x)=e2-1+e-21-利+2(1-x)-1=e-2x+e2-1+l-2x=f(x), 所以函数了()关于直线x方对称。 当x≥7时，f()=e2+e+2x-l, 由对号函数单调性可知y=e2-1+e2在x≥。时单调递增，y=2x-1单调递增， 所以了()在行心上单调谥指。 由2nm+2.得bm*1m+2引 2m+m+化岗整理每-m-20程符-号m1故选：C 9.答案：AD 解析：对于A,由题知“3n∈N,n2>2m的否定是Vn∈N,n2≤2m,故A正确 对于B,若不等式ax2+bx+3>0的解集为{x-1<x<3},则ax2+bx+3=0的两根为-1,3， -1+3=-b 且a<0,根据韦达定理有： a,解得a=-1,b=2,所以a+b=1,故B错误. 1x3= 3 0 对于C,对数函数f(x)=log x(a>0且a≠1)恒过(1,0)，∴.f(x)=log,（x-1)+1(a>0且a≠1)恒 过(2,1)，故C错 对于D因为a*=1所以片a+40合5+”g之5+ 4b.0=9, a b a b a b 4地=8，即a=2b=时等式成立，故上+的最小值为9，故D正确。 当且仅当把= a b a b 或者.1++4-上+2之4+2=9，当且仅当2即a=2b时取等号. a b a 4b a 4b a+4b a 4b 故选AD 10.答案：ABC 解析：对于选项A: 因为c<d<0,所以-c>-d>0. 因为a>b>0,所以a(-c)>b(-d),即ac<bd,所以A正确； 对于选项B: 特称命题的否定是全称命题，对于命题p:3x,∈1，+oo),e≥x。+1的否定是： x∈[，+o),e<x+1,所以B正确： 对于选项C: b+c b a(b+c)-b(a+c)c(a-b) ,因为0<b<a,c>0, a+c a a(a+c) a(a+c) 所以a-b>0,a+c>0,所以 b+c_b_cla-b)>0. a+c aa(a+c) 所以+C>,所以C正确： a+c a 对于选项D: 因为x>0时，<r2+1恒成立，即a<x+恒成立. 根据基本不等式的性质x+二≥2，x?=2, X 以要使得不等式恒成立，则a<2,所以D错误. 故选：ABC. 11.答案：ABD 解析：对于A选项，函数f()血时丙的定义域为{≠0吲， 到-h(对矿+寸内h+时可f, 所以函数∫(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，A对： 对于B选项，当x>0时，f(x)=2nx+x-L, 因为函数=2nK、为=、=在Q+)上均为增函数， 故函数f(x)=2nx+x-二在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0, 故函数f(x)在(-o,0)上为减函数，且f(-1)=f(1)=0, 故函数f(x)有且只有两个零点，B对： 对于C选项，因为函数∫(x)是定义域为xx≠O}上的偶函数，且该函数在(0，+o)上为增函 数， 由f<了2对可得f0≤fB-,所以2-，解得x<1且≠0. x≠0 所以不等式f(x)<f(2-x)的解集为(-o,0U(0,1),C错： eaw-gi日前w 所以/- 由fa)+fo)=0可得@=-fo,即ra=-=了同 因为函数f()在(0+m)上单调递增，所以4可，即ad1, 所以a2+b2≥2Va2b2=2abl=2, 1 当且仅当 4可时，即当4-1时，等号成立，故a+公的最小值为2D对 (lal =lol 12.答案： 解析：因为f(-1)=2)=2,若f(t)+f(-1)=0,则f(t)=-2, 当x≤0时，f(t)=2=-2无解 当x>0时，f)=log,t=-2,可得1=22= 41 故答案为：日 13.答案：10 解析：由题意f(1g3)f(1g4)=a3.a84=as2=12,故a=10. 14.答案：[2,21] 解析：f)-x)-1冬当xeL2)时.f(<0,f单调遂减 4 当xe(23时，f>0,(国单调递增.出f(2)-4)-5f)-号可得f的值域为 [4,5]. g(x)=x2-3x+8-a,8'(x)=3x2-3=3(x-10(x+1), 当x∈[1,3]时，8'(x)≥0，g(x)单调递增，由g(1)=6-a,g(3)=26-a,可得g(x)的值域为 [6-a,26-a. 因为若对x∈[1,3]，总x2∈[1,3]，使f(x)=g(x2)成立，所以[4,5]二[6-a,26-4, 6-a≤4 即 26-a≥5 解得2≤a≤21，故实数a的取值范围为[2,21. 15.答案：(1)100 25 5 48 j-orT门x器 3+100+-3+ 16 =100 48 a+b=6 (2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根，则 ab=4 由a>b>0, 可得a-6 √a-√b √a+V万 √a+E a+b-2W√ab /6-2√45 Va+b+2ab V6+2w4 5 16.答案： (1)240种 (2)144种 (3)840种 解析：（1)2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节日，有A2种排法，再排中间的5个 节目，有A种排法， 则唱歌节目排在两头，有A?·A=2×120=240种排法. (2)2个唱歌节目全排列，排法有A?种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有A种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有A种，此时形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有A种， 则唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，2个小品节目不相邻，有A2·AA2·A?=2×6×2×6=144种 排法. (3)7个节目进行全排列，排法有A]种，3个舞蹈节目出场顺序固定， 则不同的排法有 A 7×6×5×4×3×2×1=840种. 3×2×1 17.答案：(1)证明见解析 22W6 3 解析：(I)取AD的中点O,连接PO,OC,由等边△PAD可得PO⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, POC平面PAD,所以PO⊥平面ABCD, 又BCC平面ABCD,所以PO⊥BC. 在△OCD中，OD=1,CD=2,∠ADC=60°，由余弦定理可得 0C=VD02+DC2-2D0-DCeos.∠0DC=√3， 因为OC2+OD2=CD2,所以CO⊥AD, 又AD∥BC,所以BC⊥OC, 又CO∩PO=O,C0,POc平面POC,所以BC⊥平面POC, 又PCc平面POC,所以BC⊥PC, 故△PBC为直角三角形 (2)由(1)得OP,OC,OD两两垂直， 如图，以O为坐标原点，OC,OD,OP所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0,-1,0),P(0,0,5),BN5,-2,0),C(N5,0,0, 所以AB=(N5,-1,0,PC=(V5,0,-5,AP=(01,), 设PE=PC(0≤≤1)，则AE=AP+PE=(N5元，1,5-√32) [nAB=√3x-y=0, 设平面PAB的一个法向量n=(x,y,z),则 nAP=y+3z=0, 令y=5,解得x=1,z=-1, 所以平面PAB的一个法向量n=(1,V5,-1. 因为直线Ac与平面PAB所成角的正弦值为 10 n.AE 所以osi,AE 252 AE √5×V622-62+4 10 -r29 即线段4E的长为26 8825- D 18.答案：(1)r=0.95,相关程度较高 (2)=1.9x+2.3,9.3亿元 解析：（由表中数据可知，=写×0+2+3+4+5）=3.万= 26-=10,20-=40立(-0y-列=19， Σ(x-xy-) 19 则r =0.95>0.75 ②-2-列 V0×210 故相关程度较高； (22(x-x=10,∑(x-x0y-)=19, 则6=19-=1.9，a=8-1.9×3=2.3 Γ10 故=1.9x+2.3, (3+7+9+10+11)=8, 令1.9x+2.3>20,解得x≈9.3， 故研发投入至少9.3亿元. 19.答案：(1极大值为f(0)=-2,极小值为f0=-氵1 (2)a≤0时，f(x)在(-o,0)上单调递减，在(0，+o)单调递增： 0<a<1时，f(x)在(-o,lna)和(0，+o)上单调递增，在(Ina,0)上单调递减： a=1时，f(x)在R上单调递增： a>1时，f(x)在(-o,0)和(Ina,+o)上单调递增，在(0，lna)上单调递减. (3)见解析 解折：（0当a=e时，f(x)=(x-1e-er2-1, 对函数求导得：f'(x)=e-ex=x(e-e), f'(x)>0解得x<0或x>1;f'(x)<0解得0<x<1, 所以f(x)在(-0,0)和(1，+o)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 则f()的极大值为f0)=-2,极小值为f(0)=氵1. (f(x)=(w-1)e'-jap-I(acK). 对f(x)求导得f'(x)=xe*-ax=x(e-a, 当a≤0时，e-a>0恒成立， x∈(-o,0)时f'(x)<0,f(x)单调递减：x∈(0，+o)时f'(x)>0,f(x)单调递增， 当a>0时，令f'(x)=0得x=0或x=lna, ①若0<a<1,则lna<0, x∈(-o,lna)时f'(x)>0,f(x)单调递增： x∈(Ina,0)时f'(x)<0,f(x)单调递减： x∈(0，+o)时f'(x)>0,f(x)单调递增； ②若a=1,则lna=0,f'(x)=x(e-1)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增； ③若a>1,则lna>0, x∈(-∞，0)时f'(x)>0,f(x)单调递增： x∈(0，lna)时f'(x)<0,f(x)单调递减： x∈(lna,+o)时f'(x)>0,f(x)单调递增： 综上所述，a≤0时，f(x)在(-w,0)上单调递减，在(0，+∞)单调递增； 0<a<1时，f(x)在(-o,lna)和(0，+o)上单调递增，在(Ina,0)上单调递减： a=1时，f(x)在R上单调递增： a>1时，f(x)在(-o,0)和(lna,+o)上单调递增，在(0，lna)上单调递减. (3)不存在满足条件的a,理由如下： 假设存在实数a,使得f(x)的两个零点互为相反数，设两个零点为t和-t(t>0), e-le-d-1-0 则有： -le号a1-0 两式相减消去参数a,得(t-1)e'+(t+1)e'=0, 令h(t)=(t-1)e'+(t+1)e', 求导得h(t)=te-e),对任意teR,h'(t)≥0恒成立， 仅在t=0处导数为0，故h(t)在R上单调递增， 又h(0)=-1+1=0,因此h(t)=0仅有唯一解t=0, 但t=0时f(0)=-2<0,与零点定义矛盾，故不存在满足条件的a.