第1章 三角形（知识清单）数学苏科版2024八年级上册

第一章 三角形 知识点1：三角形的三边关系及作用 1.三角形的三边关系： 文字语言： ． 符号语言： 2.三角形三边关系的作用： （1）判断三条已知线段能否组成三角形； （2）当已知两边时，可确定第三边的范围； （3）解决线段的最值问题． 知识点2：三角形的边角关系 1. 同一个三角形中较 的边所对的角也比较 ，可以简称为“ ”； 即：在中，，那么； 2. 同一个三角形中较 的角所对的边也比较 ，可以简称为“ ”； 即：在中，，那么。 知识点3：三角形的中线、高线、角平分线 知识点4：全等三角形的性质和判定 1.全等三角形的概念：能 的三角形叫做全等三角形。完全重合即 相同， 相等。 2.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的 相等，对 相等； 全等三角形的 相等， 相等； 全等三角形对应的 、 、 都相等． 3.全等三角形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 4.常考的全等模型 （1）平移全等模型，如下图： （2）翻折全等模型，如下图： （3）旋转全等模型，如下图： （4）一线三等角全等模型 （5）三垂直全等模型，如图： 知识点5：线段的垂直平分线 1. 线段的垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到 的距离相等。 2.判定定理: 到线段 距离相等的点在线段的垂直平分线上. 知识点6：角平分线 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到 的距离相等。 2.判定定理:到 距离相等的点在角的平分线上。 知识点7：等腰三角形 1. 等腰三角形的定义 文字语言：有 的三角形叫做等腰三角形。 符号语言：AB=AC,则△ABC叫做等腰三角形 2. 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的 。 性质2：等腰三角形的 相等（简称： ）。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C 性质3：等腰三角形 平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的 、 、 重合．（简称： ） 符号语言：（三种不同形式） 形式① 形式② 形式③ ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD ∴BD=CD,AD⊥BC ∵AB=AC, BD=CD ∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC ∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD 性质4：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 ． 3．等腰三角形的两个判定方法 方法1：有 的三角形是等腰三角形（定义）。 符号语言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形 方法2：有 的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边） 符号语言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形 知识点8：等边三角形 1．等边三角形的定义： 都相等的三角形是等边三角形． AB=AC=BC,则△ABC叫做等边三角形 2．等边三角形的性质： 性质1：等边三角形的 。 性质2：等边三角形的 ，且都等于 。 性质3： 性质4：等边三角形是 ，对称轴是 ，有 对称轴． 3．等边三角形的三个判定方法： 方法1： 的三角形是等边三角形； 方法2： 都相等的三角形是等边三角形； 方法3：有一个角等于 的 三角形是等边三角形． 知识点9：含30度角的直角三角形三角形 在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于 的一半（如图）； 符号语言： 一、三角形的三边关系 1. 三角形的三边关系： 错误：认为“判断三条线段能否构成三角形，只要有两条线段的和都大于第三条线段就可以”。 注意：判断三条线段能否组成三角形，本来是应该判断三次，也就是任选两条线段的和都必须大于第三条线段才可以，所以需要判断三次，实际上我们只要选取较短的两条线段的和大于最大的就可以了，其他两种情况是必然成立的，不需要判断。 2.三角形的边角关系 错误：认为“大的边对的角也大，大的角对的边也大” 注意：“大边对大角，大角对大边”这个结论成立有个前提条件——边和角都必须是同一个三角形中的。 二、全等三角形的性质和判定 错误：认为“边边角”可以判定两个三角形全等． 注意：判定两个三角形全等只有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”，没有“SSA”,之所以没有这个，是因为两个三角形如果满足“两条边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定是全等的”．如图所示：中，,但这两个三角形不全等。 三、角平分线的性质定理 错误：此性质定理的使用主要错误在于书写条件时漏掉“距离”，也就是垂直． 如下图所示：此处的主要错误是因为后面漏写 注意：很多同学出现这种错误主要是因为对定理的理解不够，定理中“距离”是什么意思，如何在条件中体现来，点到线的距离就是“这个点到垂足之间线段的长度”． 四、等腰三角形的“三线合一” 错误：分不清“三线合一”到底是哪“三线”． 注意：“三线合一”是等腰三角形特有的性质，一定要弄清是哪三线，“三线”指的是 “顶角的平分线”、“底边上的中线”、“底边上的高线”，而且这个性质有三种不同的使用形式，详见上面的知识点7：等腰三角形的性质3. 题型01 三角形的三边关系 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．已知三角形的周长是，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（    ） A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6 5．在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 题型02 三角形的边角关系 1．综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】 学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：．    经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决． 由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于D，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接． 分析：作于D，在上截取，连接． 图形          请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形        B．钝角三角形        C．直角三角形        D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为 ； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”作定理． ①写出这个定理的逆定理： ； ②证明这个逆定理（要求：画出图形，依照图形写出完整证明过程）． 2．证明命题：“在任意三角形中，大边对大角．” 请补全命题的证明： 已知：如图，在中，．求证：______． 证明：如图，由于，故在边上截取，连接BD．（在图中补全图形） ， ______．（______）（填推理的依据） 是的外角， ．（______）（填推理的依据） ． ． ， ． ． 3．小李和小夏学习了等腰三角形后，知道了：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等，这时小李提出：不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎么样呢？大边所对的角也大吗？于是她们对这个问题进行了探究： 她们在查阅资料后发现，早在古代的时候，前人在《几何原本》中就记载了“在任意三角形中，大边对大角”．经过思考，小李的探究思路是：如下图，在中，如果，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折线交于点．利用上述结论，回答下面的问题． (1)小李的探究思路可以证明吗？如果能，请你根据题意补全图形，并证明；如果不能，请你说明理由． (2)根据以上证明的结论，回答下面问题： ①在中，已知，请你直接写出，，有怎样的大小关系？ ②在中，已知，且，那么是_____（填锐角、钝角或直角）三角形． 4．阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ，，（依据1） 是的外角，，（依据2） ，． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． 5．综合与实践： 【回归教材】 在八年级我们探究了三角形中边与角之间的不等关系，发现：在三角形中，大边对大角，大角对大边． 小明的探究方法如下： 如图1，在中，如果，作的角平分线交于点，在边上截取，连接，进而证明，则．这说明“在三角形中，大边对大角”． 如图2，在中，如果，作垂直平分交于点，则，．这说明“在三角形中，大角对大边”． 【尝试探究】 （1）如图3，在中，为的角平分线交于点，试证明：； 【进阶思考】 （2）如图4，在中，分别为的角平分线，求证：； 【拓展运用】 题型03全等三角形的性质和判定 1．作一个角等于已知角∠ABC，①以B为圆心作圆弧分别与BA，BC交于点，；②以O为圆心为半径作圆弧与射线OG交于点D；③以D为圆心为半径作圆弧与②中所作圆弧交于点E；④作射线OE，则∠DOE为所作的角；上述尺规作图中用到了下面（    ）判定三角形全等． A．“SSS” B．“AAS” C．“SAS” D．“SSA” 2．下列是胡老师带领学生，探究是否能判定两个三角形全等的过程，请帮助他们完成填空． 如图：已知， 在和中， ，（       ） ，（       ） ，（    ） 则和满足两边及一边的对角分别相等，即满足“ ”（字母表示）， 很显然：_____，（填“全等于”或“不全等于”） 下结论：_____（填“能”或“不能”）判定两个三角形全等． 3． 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不能全等吗？ 在学完全等三角形的判定后，我们知道判定两个三角形全等的方法有：、、、以及共五种，而、都不能判定两个三角形全等．那么符合“”条件的两个三角形一定不能全等吗？下面我们来进行一下探究． 【提出问题】 在与中，，，，判断与是否全等？ 【探究1】 填空：如图，如果，那么与_______（填“一定”、“不一定”或“一定不”）全等，理由是：_______． 【探究2】 如图，如果，那么与是否一定全等？如果全等，请证明；如果不全等，请画出反例． 【探究3】 如图，已知， ①如果，那么这时与不一定全等，请利用尺规及图中给定的长度为4的线段，在图中直接画出满足条件且两个不全等的三角形；（不写作图过程，保留作图痕迹） ②填空：在①的条件下，改变、的长度，设，如果与一定全等，那么t的取值范围是_______． 4．学完“探索三角形全等的条件”后，小轩同学对“”的探究很感兴趣，他查阅资料，发现“等边对等角”的知识（例如在中，如果，那么），这让小轩想到：在与中，如果，，，虽然不能直接判定，但与的数量关系是可以确定的． (1)请你通过特殊化策略，猜想并填空： ①当时，与的数量关系是______； ②当时，与的数量关系是________． (2)请直接运用上述知识及猜想，解决以下问题： 如图，已知与是两个大小不一样的等边三角形，连接交于点G，连接交于点H，且，请判定B，C，D三点是否在同一条直线上？并说明理由． (3)已知，点D与点E分别在两边与上，延长至点G，使得，连接．过D，E的直线交于点F，且．根据上述信息作草图（不要求准确）并证明：． 5．【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第页的部分内容． 思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？ (1)【应用发现】 小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即“”对应相等）的两个三角形不一定全等．同时他受此启发，展开了以下探究： 如图1，如果和中，，，．则可证． 证明：在上取一点，使． ，①______． 又 而．②______． ，③______． 又．（AAS）． ． 小红提出：如图2，若在的延长线上取一点，使，也可证得结论． 请补全小明证明中①②③④所缺的内容． 总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形． (2)【拓展探究】 为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点． ①如图3，若，求证：点为的中点； （说明：用一种解题思路解答正确即得5分，用两种思路解答全部正确得满分8分） ②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，且满足，请直接写出的值． 题型04角平分线性质定理 1．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ． 2．如图，是的角平分线，，垂足为，，． (1)与的面积之比为____________； (2)若的面积为，求的长． 3．如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 题型05 等腰三角形的“三线合一” 1．如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则 4．如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，求证：． 5．如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形 知识点1：三角形的三边关系及作用 1.三角形的三边关系： 文字语言：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 符号语言： 2.三角形三边关系的作用： （1）判断三条已知线段能否组成三角形； （2）当已知两边时，可确定第三边的范围； （3）解决线段的最值问题． 知识点2：三角形的边角关系 1. 同一个三角形中较大的边所对的角也比较大，可以简称为“大边对大角”； 即：在中，，那么； 2. 同一个三角形中较大的角所对的边也比较大，可以简称为“大角对大边”； 即：在中，，那么。 知识点3：三角形的中线、高线、角平分线 知识点4：全等三角形的性质和判定 1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。完全重合即形状相同，大小相等。 2.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等三角形的周长相等， 面积相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 3.全等三角形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 4.常考的全等模型 （1）平移全等模型，如下图： （2）翻折全等模型，如下图： （3）旋转全等模型，如下图： （4）一线三等角全等模型 （5）三垂直全等模型，如图： 知识点5：线段的垂直平分线 1. 线段的垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2.判定定理: 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 知识点6：角平分线 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上。 知识点7：等腰三角形 1. 等腰三角形的定义 文字语言：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 符号语言：AB=AC,则△ABC叫做等腰三角形 2. 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两腰相等。 性质2：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C 性质3：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一） 符号语言：（三种不同形式） 形式① 形式② 形式③ ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD ∴BD=CD,AD⊥BC ∵AB=AC, BD=CD ∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC ∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD 性质4：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线． 3．等腰三角形的两个判定方法 方法1：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）。 符号语言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形 方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边） 符号语言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形 知识点8：等边三角形 1．等边三角形的定义： 三条边都相等的三角形是等边三角形． AB=AC=BC,则△ABC叫做等边三角形 2．等边三角形的性质： 性质1：等边三角形的三边相等。 性质2：等边三角形的三角相等，且都等于60°。 性质3：三线合一 性质4：等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线，有三条对称轴． 3．等边三角形的三个判定方法： 方法1：三条边都相等的三角形是等边三角形； 方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 方法3：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点9：含30度角的直角三角形三角形 在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半（如图）； 符号语言： 一、三角形的三边关系 1. 三角形的三边关系： 错误：认为“判断三条线段能否构成三角形，只要有两条线段的和都大于第三条线段就可以”。 注意：判断三条线段能否组成三角形，本来是应该判断三次，也就是任选两条线段的和都必须大于第三条线段才可以，所以需要判断三次，实际上我们只要选取较短的两条线段的和大于最大的就可以了，其他两种情况是必然成立的，不需要判断。 2.三角形的边角关系 错误：认为“大的边对的角也大，大的角对的边也大” 注意：“大边对大角，大角对大边”这个结论成立有个前提条件——边和角都必须是同一个三角形中的。 二、全等三角形的性质和判定 错误：认为“边边角”可以判定两个三角形全等． 注意：判定两个三角形全等只有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”，没有“SSA”,之所以没有这个，是因为两个三角形如果满足“两条边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定是全等的”．如图所示：中，,但这两个三角形不全等。 三、角平分线的性质定理 错误：此性质定理的使用主要错误在于书写条件时漏掉“距离”，也就是垂直． 如下图所示：此处的主要错误是因为后面漏写 注意：很多同学出现这种错误主要是因为对定理的理解不够，定理中“距离”是什么意思，如何在条件中体现来，点到线的距离就是“这个点到垂足之间线段的长度”． 四、等腰三角形的“三线合一” 错误：分不清“三线合一”到底是哪“三线”． 注意：“三线合一”是等腰三角形特有的性质，一定要弄清是哪三线，“三线”指的是 “顶角的平分线”、“底边上的中线”、“底边上的高线”，而且这个性质有三种不同的使用形式，详见上面的知识点7：等腰三角形的性质3. 题型01 三角形的三边关系 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵，，满足三边关系，构成三角形， ∴符合题意； ∵，构不成三角形， ∴不符合题意； ∵，构不成三角形， ∴不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边矛盾， ∴D不符合题意； 故选：． 2．已知三角形的周长是，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 先计算出另外两边之和，再根据三角形任意两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：A．若三角形的一边长为4，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； B．若三角形的一边长为5，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； C．若三角形的一边长为6，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； D．若三角形的一边长为7，则三角形另外两边之和为：，不能构成三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解：段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 4．以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（    ） A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，符合题意； 故答案为：D． 5．在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了三角形的边角关系， 根据三角形中“大角对大边”的性质，结合已知条件分析的可能长度． 【详解】解： 在中，，由大角对大边定理可知，的对边大于的对边，已知厘米，因此厘米， 所以只有D选项5.4厘米满足此条件． 故选：D． 题型02 三角形的边角关系 1．综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】 学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：．    经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决． 由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于D，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接． 分析：作于D，在上截取，连接． 图形          请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形        B．钝角三角形        C．直角三角形        D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为 ； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”作定理． ①写出这个定理的逆定理： ； ②证明这个逆定理（要求：画出图形，依照图形写出完整证明过程）． 【答案】（1）见解析；（2）A；（3）；（4）①在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边长；②见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等边对等角、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）选择李欣的思路：作的平分线，交于D，在上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择张晶的思路：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择王皓的思路：作于D，在上截取，连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）根据题意得到这个三角形所有的角都是锐角，进而求解即可； （3）根据大边对大角求解即可； （4）①根据逆定理的概念求解即可； ②在内部，以C为顶点，以为一边作，另一边与交于点D，首先由等角对等边得到，然后等量代换得到，然后根据三角形三边关系得到，进而得到． 【详解】（1）选择李欣的思路 证明：作的平分线，交于D，在上截取，连接． ∵平分 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴； 选择张晶的思路： 证明：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接， ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴； 选择王皓的思路： 证明：作于D，在上截取，连接 ∵， ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴； （2）∵如果一个三角形最大边所对的角是锐角， ∴这个三角形所有的角都是锐角， ∴这个三角形是锐角三角形 故选：A； （3）∵在中，， ∴； （4）①这个定理的逆定理：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边长； ②已知：如图，在中，， 求证： 证明：如图，在内部，以C为顶点，以为一边作，另一边与交于点D    ∵ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． 【点睛】此题考查了等边对等角，等角对等边，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．证明命题：“在任意三角形中，大边对大角．” 请补全命题的证明： 已知：如图，在中，．求证：______． 证明：如图，由于，故在边上截取，连接BD．（在图中补全图形） ， ______．（______）（填推理的依据） 是的外角， ．（______）（填推理的依据） ． ． ， ． ． 【答案】，，等边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，详见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质解决问题即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】已知：如图，在中，． 求证：． 证明：如图，由于，故在边上截取，连接， ， ．（等边对等角） 是的外角， ．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ． ． ， ． ． 故答案为：，，等边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．小李和小夏学习了等腰三角形后，知道了：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等，这时小李提出：不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎么样呢？大边所对的角也大吗？于是她们对这个问题进行了探究： 她们在查阅资料后发现，早在古代的时候，前人在《几何原本》中就记载了“在任意三角形中，大边对大角”．经过思考，小李的探究思路是：如下图，在中，如果，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折线交于点．利用上述结论，回答下面的问题． (1)小李的探究思路可以证明吗？如果能，请你根据题意补全图形，并证明；如果不能，请你说明理由． (2)根据以上证明的结论，回答下面问题： ①在中，已知，请你直接写出，，有怎样的大小关系？ ②在中，已知，且，那么是_____（填锐角、钝角或直角）三角形． 【答案】(1)能，补全图形见解析，证明见解析 (2)①;②锐角 【知识点】三角形的外角的定义及性质、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换的性质、三角形的外角性质、三角形的边角关系等知识；熟练掌握翻折变换的性质和三角形的外角性质是解题的关键． 实验与探究：由翻折变换的性质和三角形的外角性质即可得出结论； （1）由（1）的结论即可得出答案； （2）由（1）的结论进行证明即可得出答案． 【详解】（1）解：能，补全图形如下： 证明：将折叠，使边落在上，点落在边上的点，折线交于点， ． ， ， ； （2）解：①，理由如下： ， ； ②解：如图所示： ， ， ， ， 是锐角三角形． 故答案为：锐角． 4．阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ，，（依据1） 是的外角，，（依据2） ，． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． (3)如图4，在四边形中，，连接、相交于点，且，点在边上，．求证：． 【答案】(1)等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2)，证明过程见详解； 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）根据证明过程写这两步的依据即可； （2）连接，由，得，在边上截取，连接，方法同（1），即可证明结论； 【详解】（1）解：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（等边对等角） 是的外角， ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ， ． ， ， ． 故答案为：等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）证明：如图，连接， ， ， 由于， 在边上截取，连接． ， 是的外角， ， ， ． ， ， ． 5．综合与实践： 【回归教材】 在八年级我们探究了三角形中边与角之间的不等关系，发现：在三角形中，大边对大角，大角对大边． 小明的探究方法如下： 如图1，在中，如果，作的角平分线交于点，在边上截取，连接，进而证明，则．这说明“在三角形中，大边对大角”． 如图2，在中，如果，作垂直平分交于点，则，．这说明“在三角形中，大角对大边”． 【尝试探究】 （1）如图3，在中，为的角平分线交于点，试证明：； 【进阶思考】 （2）如图4，在中，分别为的角平分线，求证：； 【拓展运用】 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形三边关系的应用、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识． （1）在三角形中，在边上截取，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系即可得到答案； （2）延长至，使得，连接，证明，进一步得到．即可证明结论成立； 【详解】（1）解：在三角形中，在边上截取，连接， 平分， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：延长至，使得，连接，如图所示， 分别为的角平分线， ， ． 在和中， ， ， ， 故， ． ， 即． 题型03全等三角形的性质和判定 1．作一个角等于已知角∠ABC，①以B为圆心作圆弧分别与BA，BC交于点，；②以O为圆心为半径作圆弧与射线OG交于点D；③以D为圆心为半径作圆弧与②中所作圆弧交于点E；④作射线OE，则∠DOE为所作的角；上述尺规作图中用到了下面（    ）判定三角形全等． A．“SSS” B．“AAS” C．“SAS” D．“SSA” 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】由作图可知：BA'=BC'=OE=0D，C'A'=DE，根据SSS即可判断两个三角形全等． 【详解】解：连接A'C'，DE， 由作图可知：BA'=BC'=OE=OD，C'A'=DE， ∴△A'BC'≌△EOD（SSS）． 故选：A． 【点睛】本题考查作图一复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握尺规作图的基本知识，属于中考常考题型． 2．下列是胡老师带领学生，探究是否能判定两个三角形全等的过程，请帮助他们完成填空． 如图：已知，    在和中， ，（       ） ，（       ） ，（    ） 则和满足两边及一边的对角分别相等，即满足“ ”（字母表示）， 很显然：_____，（填“全等于”或“不全等于”） 下结论：_____（填“能”或“不能”）判定两个三角形全等． 【答案】；公共边；；已知；公共角；；不全等于；不能 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据图形，即可作出解答． 【详解】解：根据题意得，（公共边），（已知），，（公共角）， 则和满足两边及一边的对角分别相等，即满足“ _ ”， 很显然：不全等于， ∴不能判定两个三角形全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确观察已知的图形，理解题意是关键． 3． 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不能全等吗？ 在学完全等三角形的判定后，我们知道判定两个三角形全等的方法有：、、、以及共五种，而、都不能判定两个三角形全等．那么符合“”条件的两个三角形一定不能全等吗？下面我们来进行一下探究． 【提出问题】 在与中，，，，判断与是否全等？ 【探究1】 填空：如图，如果，那么与_______（填“一定”、“不一定”或“一定不”）全等，理由是：_______． 【探究2】 如图，如果，那么与是否一定全等？如果全等，请证明；如果不全等，请画出反例． 【探究3】 如图，已知， ①如果，那么这时与不一定全等，请利用尺规及图中给定的长度为4的线段，在图中直接画出满足条件且两个不全等的三角形；（不写作图过程，保留作图痕迹） ②填空：在①的条件下，改变、的长度，设，如果与一定全等，那么t的取值范围是_______． 【答案】[探究1] 一定，；[探究2]，证明见解析；[探究3]①见解析；②或 【知识点】作线段(尺规作图)、全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定方法及性质，尺规作图作线段等知识点，理解并掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． [探究1]根据判断全等即可； [探究2]过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，先证，再证，得，进而可证明结论； [探究3]①根据作线段等于已知线段的步骤作图即可； ②结合①，找到临界位置：当，时；当以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，此时画出的三角形是唯一确定的；根据对应的值，即可求解． 【详解】解：[探究1]如果，那么与一定全等，理由是：． 故答案为：一定，； [探究2] ， 证明：如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； [探究3]①如图所示，即为所求， ②当，，时，显然由可知，， ∵，， ∴，即：此时； 以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，此时画出的三角形是唯一确定的， 此时，， 所以，此时， 当时，显然作出的三角形也是唯一确定的，那么与一定全等， 综上，当或时，与一定全等， 故答案为：或． 4．学完“探索三角形全等的条件”后，小轩同学对“”的探究很感兴趣，他查阅资料，发现“等边对等角”的知识（例如在中，如果，那么），这让小轩想到：在与中，如果，，，虽然不能直接判定，但与的数量关系是可以确定的． (1)请你通过特殊化策略，猜想并填空： ①当时，与的数量关系是______； ②当时，与的数量关系是________． (2)请直接运用上述知识及猜想，解决以下问题： 如图，已知与是两个大小不一样的等边三角形，连接交于点G，连接交于点H，且，请判定B，C，D三点是否在同一条直线上？并说明理由． (3)已知，点D与点E分别在两边与上，延长至点G，使得，连接．过D，E的直线交于点F，且．根据上述信息作草图（不要求准确）并证明：． 【答案】(1)①或；②； (2)三点共线，证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、根据等角对等边证明边相等、等边三角形的性质 【分析】（1）①如图，当时，在中，截取，证明，证明，可得，可得；当时，； ②当时，可得，可得，当时，如图，过作于，过作于，证明，，可得； （2）证明，可得，，如图，过作于，过作于，记，交于点，连接，可得，如图，在上截取，证明，可得，证明，可得，再进一步可得结论； （3）如图，在上截取，证明，可得，可得，，证明，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：①如图，当时， 在中，截取， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，； 综上：时，或； ②当时， ∵，，， ∴， ∴， 当时，如图，过作于，过作于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 综上：当时，； （2）证明：∵与是两个大小不一样的等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， 如图，过作于，过作于， 由全等三角形的对应高相等可得：， 记，交于点，连接， ∴， 如图，在上截取， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线． （3）证明：如图，在上截取， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的性质，本题的难度大，作出图形与辅助线是解本题的关键． 5．【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第页的部分内容． 思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？ (1)【应用发现】 小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即“”对应相等）的两个三角形不一定全等．同时他受此启发，展开了以下探究： 如图1，如果和中，，，．则可证． 证明：在上取一点，使． ，①______． 又 而．②______． ，③______． 又．（AAS）． ． 小红提出：如图2，若在的延长线上取一点，使，也可证得结论． 请补全小明证明中①②③④所缺的内容． 总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形． (2)【拓展探究】 为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点． ①如图3，若，求证：点为的中点； （说明：用一种解题思路解答正确即得5分，用两种思路解答全部正确得满分8分） ②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，且满足，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②；③ (2)①见解析；② 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）在上取一点，使，证明，即可判定，进而求解； （2）①法一：在上取一点，使得，利用即可判定，进而求解；法二：在的延长线取一点，使得，利用即可判定，进而求解；法三：过点作于点，过点作交的延长线于点，利用分别证明和，进而求解；②根据等边三角形的性质可得，，， 在上取点使得，进而判定是等边三角形，进而判定，即可求解； 【详解】（1）解： 证明：在上取一点，使． ， ． 又 而． ． ， ． 又． ． ． 故答案为：；； （2）①法一：证明：在上取一点，使得， 则， ， ， ， ， ， 即， 在与中 ， ， ， 点为的中点； 法二：证明：在的延长线取一点，使得， 则 ， ， ， ， ， ， 在与中 ， 点为的中点； 法三：证明：过点作于点，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， 在与中， ， ， 点为的中点； 证明：在的延长线取一点，使得， 则， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 点为的中点， ② 详细解答如下： 依题意画出图形如图所示， 为等边三角形， ，，， 在上取点使得， 是等边三角形， ，， ，， ， 又点为的中点， ， ， 在与中 ， ， 又， ， ； 题型04角平分线性质定理 1．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ． 【答案】9 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，根据作图步骤可判断平分，根据角平分线的性质可得出，结合已知即可求解． 【详解】解∶由作图知∶ 平分， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为∶9． 2．如图，是的角平分线，，垂足为，，． (1)与的面积之比为____________； (2)若的面积为，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）过点作于，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式即可求出与的面积之比； （2）根据（1）求出的与的面积之比，得到的面积，根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】（1）解：过点作于， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴与的面积之比为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】过E作于F，易证得，得到；而点E是BC的中点，得到，则可证得，得到，也可得到，，即可判断出正确的结论． 【详解】解：过E作于F，如图， ∵，平分， ∴，， ∴，， ∴； 而点E是的中点， ∴，所以①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，所以④正确；∴，所以③正确， ∴， ∴，所以②正确． 综上：②③④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 4．如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作，，，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算，即可得解． 【详解】解：作，，， 点是的三个内角平分线的交点， ， 点到边的距离是， 面积为， 即， ， ， 即的周长为． 故选：． 5．如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型05 等腰三角形的“三线合一” 1．如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质， 先画出图形，可知垂直平分，点D是边的中点，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得，，则答案可得． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知垂直平分，点D是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：在中，，， ，，， 故选项A.B.C正确，不符合题意； 不能证明， 故选项D不正确，符合题意； 故：D． 3．如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则 【答案】/ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长至点M，使，证明，推出，，由等腰三角形三线合一的性质，可得，结合，推出，可得． 【详解】解：如图，延长至点M，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是边上的高， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 4．如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，，得出，再根据等腰三角形的性质得出即可得证结论； （2）根据证，得出，根据，即可得证结论． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴，， ， ，， ∴， ∴． （2）证明：由（1）知，，那么， 在和中， ， ∴， ∴， 是边上的中线 ， ∴． 5．如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明得出，，根据等边对等角可得，进而得出，根据等角对等边，即可得证； （2）证明得出平分，根据三线合一的性质，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴，即平分 ∴ 2 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $$