1.2 空间向量基本定理-【考点突破+强化训练】2026年新高二数学暑假预习人教A版选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 知识点1：空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【注意】(1)基底中不能有零向量． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 用基底表示向量时应注意的两点 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求． 考点一　空间向量基底概念及辨析 考点二　用空间基底表示向量 考点三　空间向量基本定理及其应用 考点一　空间向量基底概念及辨析 1．（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二下·江苏南通·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线 3．（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南郴州·期末）（多选）关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A．“”是“为锐角”的必要不充分条件. B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面. C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底. D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面. 6．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 考点二　用空间基底表示向量 7．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 8．（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 11．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 12．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）（多选）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 考点三　空间向量基本定理及其应用 15．（25-26高二·全国·暑假作业）已知向量，不共线，如果，，，求证：A，B，C，D四点共面． 16．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 18．（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 19．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）下列关于空间向量的说法中正确的有（   ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D．若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 20．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 21．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 22．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 5．（25-26高二下·江苏苏州·期中）点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（   ） A． B． C． D．1 6．（25-26高二下·江苏徐州·月考）已知，，，且不共面，共面，则（    ） A． B． C．0 D．1 7．（2026·山东泰安·二模）已知三棱柱所有棱长均为为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·江苏苏州·月考）（多选）下面四个结论中正确的有（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量，的夹角是锐角 C．已知，，则在上的投影向量为 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．（25-26高二下·安徽·开学考试）（多选）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，是棱的中点，则（ ） A． B． C．在平面内的投影向量的长度为 D．在上的投影向量为 11．（25-26高二上·山东青岛·期末）（多选）（多选题）在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，则（    ） A． B． C． D．直线与所成角为 12．（25-26高二下·江苏泰州·期中）在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 13．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·月考）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 14．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 15．（2025高三上·江苏无锡·专题练习）如图，在三棱柱中，已知M，N分别是上的点，且，设.若，，则的长为____． 16．（25-26高二下·江苏苏州·月考）如图，棱长为的正四面体中，是底面的重心，是棱中点，且有，则线段的长度为____________ 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理 知识点1：空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【注意】(1)基底中不能有零向量． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 用基底表示向量时应注意的两点 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求． 考点一　空间向量基底概念及辨析 考点二　用空间基底表示向量 考点三　空间向量基本定理及其应用 考点一　空间向量基底概念及辨析 1．（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可． 【详解】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确； 对于选项B，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误； 对于选项C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误； 对于选项D，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． 2．（25-26高二下·江苏南通·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线 【答案】BD 【分析】选项 A 根据向量垂直的前提是两向量均为非零向量；选项 B 根据空间四点共面的充要条件，即向量表达式中系数和为 1 来判断；选项 C 根据共面向量定理结合基底的概念即可判断；选项 D 根据共线向量定理的推论，通过系数和为 1 判断三点共线，从而确定正确选项； 【详解】选项A：若，可能或，零向量与任意向量的点积为0，但零向量没有垂直的定义，因此不能推出，故A 错误； 选项B：空间四点共面的充要条件是： 对空间任意一点，存在实数，使得，且， 所以，因此四点共面，故B 正确； 选项C：因为，所以为共面向量，因此不能作为基底，故C 错误； 选项D：若，且，则根据共线向量定理的推论，三点共线，故D正确. 3．（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A，因为，所以共面，所以A错误； 选项B，因为与互为相反向量，又为空间的一个基底， 所以能构成空间的一个基底，故B正确； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得， 得到共面，与已知矛盾，所以C正确； 选项D，因为，所以共面，所以D错误. 4．（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在实数使得， 又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解， 所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确； 对于D，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故D错误. 5．（25-26高二上·湖南郴州·期末）（多选）关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A．“”是“为锐角”的必要不充分条件. B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面. C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底. D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面. 【答案】ABC 【分析】利用必要不充分条件的定义，结合向量夹角公式判断A；利用共面向量定理的推论判断B；利用空间基底的意义判断C；利用共面向量的意义判断D. 【详解】对于A，由，得，反之，由为锐角，得， 因此“”是“为锐角”的必要不充分条件，A正确； 对于B，在中，，则P，A，B，C四点共面，B正确； 对于C，假设向量共面，则，而， 则，即，向量与共面，与是空间的一个基底矛盾， 因此向量不共面，也是空间的一个基底，C正确； 对于D，异面直线的方向向量可以平移到同一平面内， 因此分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线时，这两个向量共面，D错误. 故选：ABC 6．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【详解】对于A，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故A不符合题意； 对于B，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故B不符合题意； 对于C，若共面， 则存在实数，使得， 因为为空间中的一组基底，所以，无解， 所以不共面， 所以能作为空间中的一组基底，故C符合题意； 对于D，因为， 所以是共面向量， 所以不能作为空间中的一组基底，故D不符合题意. 故选：C. 考点二　用空间基底表示向量 7．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设，利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，由可知，即可求出，进而得出线段的长度. 【详解】由题意，因为点为棱的中点， 所以， 又因为点为棱的中点，点在棱上， 设， 所以， 因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 所以，解得， 因为，所以. 8．（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，由，得， 由，得， 所以. 9．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由，得， 由，得， 所以， 因为， 所以 即 10．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 11．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为点、分别是棱、的中点， 所以 ， 又，、、不共面， 所以，所以. 12．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可得，结合向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： ， 所以. 13．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）（多选）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 ，故A正确，C错误； ，故B错误，D正确. 14．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得； （2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得. 【详解】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 考点三　空间向量基本定理及其应用 15．（25-26高二·全国·暑假作业）已知向量，不共线，如果，，，求证：A，B，C，D四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】易得不共线．令， 则． 和不共线，，解得， ，∴A，B，C，D四点共面． 16．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的线性运算以及空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 17．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 18．（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 19．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）下列关于空间向量的说法中正确的有（   ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D．若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【答案】BD 【分析】根据共线向量的定义，可判定A错误，B正确；根据任意的两个向量共面，但三个向量不一定共面，可判定C错误；根据空间向量的基本定理，可判定D正确. 【详解】对于A， 若向量、共线，则向量，所在的直线平行或重合，所以A错误； 对于B，若向量，所在的直线是异面直线，则向量，的方向既不相同也不相反， 所以向量，一定不共线，所以B正确； 对于C，若三个向量，，两两共面，因为任意两个向量一定共面，如图所示， 但三个向量，，不一定共面，所以C错误； 对于D，若，，是空间中三个不共面的向量， 根据空间向量的基本定理，可得对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组， 使，所以D正确. 20．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 【答案】BD 【分析】由空间向量基本定理，空间向量的线性运算及正四面体的性质即可求解． 【详解】对于AB，由题知，， ，故A错误，B正确； 对于CD，设点在平面的投影为点， 由正四面体得，底面为等边三角形，且侧棱， 所以由正四面体的性质得，顶点在底面的投影是底面的重心，在平面的投影向量为，则， 所以在平面内的投影向量为，故C错误，D正确． 21．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量基本定理及空间向量的运算法则即可判断各选项． 【详解】对于A，因为， 所以 ， 所以，故A错误； 对于B，由题可知，， 因为， ， 所以， 又平面，， 所以平面，故B正确； 对于C，由题可知，四边形为平行四边形， 又因为， 所以， 所以平行四边形为菱形， 又， 所以，则菱形为正方形，故C正确； 对于D，设， 则， 所以 ， 所以的最小值为，故D正确． 22．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将用平行六面体的棱向量表示，可由线性表示，建立向量等式，根据向量相等时对应系数相等，列方程求解. 【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，， 是中点，，因此， 是中点，，因此， 因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，， 即：， 代入，整理得：， ，解得，代入得，即. 1．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，由，得， 所以， 对于A，假设共线，则，无解，A错误； 对于B，， 所以与共线，B正确； 对于C，假设共线，则，无解，C错误； 对于D，假设共线，则，无解，D错误； 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由得， ， 代入得． 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量共面的推论，判断是否成立即可. 【详解】对于A：根据给定线性关系式有，A错误； 对于B：根据给定线性关系式有，B错误； 对于C：根据给定线性关系式有，C错误； 对于D：根据给定线性关系式有，D正确. 4．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】C 【详解】A选项，设两个共线的向量为和，第三个向量为， 因为和共线，所以存在实数使得：，那么：， 根据向量共面定理，向量、、共面，所以A选项正确； B选项，若是共面的向量，则存在实数，使得：， 即，与不共面矛盾，所以B选项正确； C选项，若，则，当时，也满足条件，即不一定为锐角，所以C选项错误； D选项，由空间向量四点共面定理，对于空间中任意一点，若满足：，且， 则四点共面， 因为D选项中 ，所以四点共面，所以D选项正确. 5．（25-26高二下·江苏苏州·期中）点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求，进而可得，即可得结果. 【详解】在四面体中，，，， 则， 可得 ， 因为，则，所以. 6．（25-26高二下·江苏徐州·月考）已知，，，且不共面，共面，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理的推论求解. 【详解】由共面，且不共面， 存在实数使得， 即， 则，解得. 7．（2026·山东泰安·二模）已知三棱柱所有棱长均为为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，然后以作为基底表示，最后由向量模长公式可得答案. 【详解】因三棱柱所有棱长均为1，， 则， ， 则 ， 又，， 则. 8．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量共面的判断定理判断即可. 【详解】对于A：，可以由和线性表示，所以共面. 对于B：假设，可得，此方程组无解， 所以不能用和线性表示，故不共面. 对于C：，可以由和线性表示，所以共面. 对于D：假设， 可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面. 9．（25-26高二下·江苏苏州·月考）（多选）下面四个结论中正确的有（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量，的夹角是锐角 C．已知，，则在上的投影向量为 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【分析】A. 由空间点的对称性判断；B.由向量数量积的定义判断；C.由向量在上的投影向量的定义判断；D.由空间向量基底的定义判断. 【详解】A. 点关于平面对称的点的坐标是，故正确； B.若，则向量，的夹角是锐角或，共线且同向，故错误； C.已知，，则在上的投影向量为，故正确； D. 若是空间的一个基底， 因为，所以共面，故错误； 10．（25-26高二下·安徽·开学考试）（多选）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，是棱的中点，则（ ） A． B． C．在平面内的投影向量的长度为 D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】以空间向量基本定理结合平面向量数量积的概念判断AB的真假，根据投影向量的概念和运算可判断CD的真假. 【详解】以为空间向量的一组基底，根据题意，，. 对A：，故A错误； 对B：因为， 所以 ，故B正确； 对C：取的中点，连接，则. 因为， ， 所以，， 又平面，，所以平面. 所以是平面的法向量，且. 又， 所以. 因为. 所以在上的投影为：， 在平面内的投影向量的长度为.故C正确； 对D：因为，且， ， 所以在上的投影向量为，故D正确. 11．（25-26高二上·山东青岛·期末）（多选）（多选题）在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，则（    ） A． B． C． D．直线与所成角为 【答案】BC 【分析】对于选项A，根据向量相等的定义判断；对于选项B，根据向量加法的三角形法则判断；对于选项C，利用向量模的计算公式计算；对于选项D，根据异面直线所成角的定义，通过向量的夹角公式计算直线与所成的角. 【详解】 对于选项A，在平行六面体中，与大小相等，但方向相反，所以，A选项错误； 对于选项B，，因为，所以，B选项正确； 对于选项C，, 所以 , 所以，即，C选项正确； 对于选项D，因为，所以， ， ， 所以，     因为异面直线所成角的范围为，所以直线与所成角为，D选项错误. 故选：BC 12．（25-26高二下·江苏泰州·期中）在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 【答案】 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 13．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·月考）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 【答案】 【分析】先利用四点共面的向量性质得到的约束条件，再通过1的代换变形目标式，结合基本不等式求出最小值. 【详解】根据共面向量定理的推论，因为四点共面，不在该平面上，满足， 所以，即， 所以， 因为 当且仅当，即时等号成立， 代入得， 故的最小值为. 【点睛】本题考查共面向量定理的推论和基本不等式求最值，核心是利用共面向量的系数和性质得到定值约束，再用"1的代换"技巧将目标式转化为可应用基本不等式的形式. 14．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 【答案】/ 【详解】由，为中点，可得， 所以 ， 所以，因此. 15．（2025高三上·江苏无锡·专题练习）如图，在三棱柱中，已知M，N分别是上的点，且，设.若，，则的长为____． 【答案】/ 【分析】根据图形利用向量的加减数乘运算可将用表示，利用向量数量积的运算律，计算即得. 【详解】由已知条件可得 又因，， 所以可得，， 所以. 16．（25-26高二下·江苏苏州·月考）如图，棱长为的正四面体中，是底面的重心，是棱中点，且有，则线段的长度为____________ 【答案】/ 【详解】由题意得，， 则 ， 因为，， 则 ， 所以线段的长度为 . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $