精品解析：山东省东营市广饶县2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年第二学期期末考试 七年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，100分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（ ） A. 成语“守株待兔”是不可能事件 B. 诗句“手可摘星辰”是必然事件 C. 成语“水中捞月”是不可能事件 D. 谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 2. 若a＞b，则下列不等式变形不正确的是（　　） A. ﹣2a＜﹣2b B. am＜bm C. a﹣1＞b﹣1 D. +1＞+1 3. 下列命题是真命题的是（　　） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 三角形的外角大于任一内角 D. 直角三角形的两锐角互余 4. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程组的解满足方程，则( ) A. 4 B. -3 C. 3 D. 不能确定 6. 如图，已知直线，点C、A分别在直线、上，以点C为圆心，长为半径画弧，交直线于点B，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 9. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，作垂足为点．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 10. 如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使BD＝CE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则以下结论：（1）△ACE≌△CBD；（2）∠AFG＝60°；（3）AF＝2FG；（4）AC＝2CE．其中正确的结论有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共8小题，其中题每小题3分，题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为______． 12. 多项式因式分解的结果是，则p的值为_____． 13. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 14. 关于的不等式的解集是，那么的取值范围是________． 15. 如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作于点F.若∠BCE=65°，则∠CAF的大小为_______度． 16. 如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为______． 17. 火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是．设隧道的长度为，火车的长度为，根据题意可列方程组为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为______． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）解不等式组，将解集在数轴上表示出来． 20. 因式分解： （1） （2） 21. 某超市为感恩客户的支持与信赖，特推出了“感恩回馈季，幸运抽好礼”的抽奖活动，抽奖活动分为转转盘和翻奖牌两种方式，规则分别如下： 转转盘：如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8个区域，每个区域上分别写有“10元”“20元”或“感谢参与”的字样．转动转盘，当转盘停止转动后，顾客可获得指针所指区域相应金额的代金券（若指针指向分界线，则重新转动）． 翻奖牌：如图2是9张背面完全相同的卡片，正面上分别写有“10元”“20元”“30元”或“感谢参与”的字样．将这9张卡片背面朝上洗匀后，顾客可从中随机抽取一张，并获得这张卡片正面相应金额的代金券． 顾客消费超过100元，可凭借购物小票在转转盘和翻奖牌两种方式中任选一种参与． 说明：两种方式中，“感谢参与”均无法获得代金券． （1）求转转盘方式中，顾客获得10元代金券的概率． （2）求翻奖牌方式中，顾客获得代金券的概率． （3）若你参与抽奖活动，你选择哪种方式？并说明理由． 22. 如图，在中，，，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作的平分线，交于点； ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点． （2）连接，求线段的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求直线的表达式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 24. 明水古城某文创店准备购进一批清照文化纪念品．已知购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价． （2）该店计划购进A、B两种纪念品共100件，且应厂家要求，A纪念品的购进数量最多40件．已知A纪念品每件售价为25元，B纪念品每件售价为30元．若该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 25. 请根据以下素材，回答问题． 潜望镜里的数学 素材 如图（1）展示了光的反射定律，已知镜面垂线，一束光线射到平面镜，被射后的光线为入射光线反射光线垂线夹的锐角分别为且则___________填“>”“<”或“=”）． 问题解决 思考探究 任务1 了解光的反射定律后，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图（2）所示，平行放置的两面平面镜，入射光线过两次反射后，得到反射光线已知，请问进入潜望镜的光线离开潜望镜的光线否平行？请说明理由． 任务2 把两个平面镜图（3）所示位置放置，，入射光线过两次反射后，得到反射光线，已知，反射光线入射光线行但方向相反，求度数． 拓展应用 如图（4），三面平面镜，将一束光线射到平面镜，通过平面镜反射，最后从平面镜的点射出，此时入射光线反射光线平行．若，请用含式子直接表示出度数． 四、附加题：本题共1小题，共10分． 26. 【问题发现】 （1）如图1，在中，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中是边上的高．延长交于点，设面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末考试 七年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，100分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（ ） A. 成语“守株待兔”是不可能事件 B. 诗句“手可摘星辰”是必然事件 C. 成语“水中捞月”是不可能事件 D. 谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，逐项判断各选项正误即可求解． 【详解】解：A、“守株待兔”事件可能发生也可能不发生，是随机事件，选项判断错误； B、“手可摘星辰”在现实中不可能发生，是不可能事件，选项判断错误； C、“水中捞月”一定不会成功，一定不发生，是不可能事件，选项判定正确； D、“竹篮打水一场空”一定发生，是必然事件，选项判定错误． 2. 若a＞b，则下列不等式变形不正确的是（　　） A. ﹣2a＜﹣2b B. am＜bm C. a﹣1＞b﹣1 D. +1＞+1 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．∵a＞b， ∴﹣2a＜﹣2b，故本选项不符合题意； B．a＞b，当m＞0时，ma＞mb，故本选项符合题意； C．∵a＞b， ∴a﹣1＞b﹣1，故本选项不符合题意； D．∵a＞b， ∴， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的有关性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键． 3. 下列命题是真命题的是（　　） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 三角形的外角大于任一内角 D. 直角三角形的两锐角互余 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质、对顶角的定义、三角形的外角的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项. 【详解】A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，错误，是假命题，不符合题意； C、三角形的外角大于任一不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、直角三角形的两锐角互余，正确，是真命题，符合题意； 故选: D． 【点睛】本题考查了平行线、对顶角、三角形的外角及直角三角形等知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的定义、三角形的外角的性质及直角三角形的性质，容易将三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角错误理解为大于任一内角，从而误判C选项． 4. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、它是整式乘法运算，结果是多项式和的形式，不是几个整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； B、等式右边是和的形式，不是整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； C、原式左边是单项式，不是多项式，故式子从左到右的变形不是因式分解； D、将多项式转化为两个整式乘积的形式，符合因式分解定义，故式子从左到右的变形是因式分解． 5. 已知方程组的解满足方程，则( ) A. 4 B. -3 C. 3 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】用加减消元法解方程组，然后代入求值即可． 【详解】解： 将①+②，得 解得： 将x=3代入②，得 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握解题步骤正确计算代入求值是解题关键． 6. 如图，已知直线，点C、A分别在直线、上，以点C为圆心，长为半径画弧，交直线于点B，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握等边对等角的性质是解题关键．由等边对等角的性质可得，由平行线的性质可得，，进而得出即可． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ，， ， 故选：B 7. 关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出第二个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：由3x6＞x2，得：x＞2， 又x＜m且不等式组无解， ∴m≤2， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，方案Ⅰ中利用证明即可；方案Ⅱ中利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，作垂足为点．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，由角平分线的性质得到，再由等腰直角三角形性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，如图所示： 由题中作图可知平分， ， ， ， 由三线合一可得， 在中，由勾股定理可得， ． 10. 如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使BD＝CE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则以下结论：（1）△ACE≌△CBD；（2）∠AFG＝60°；（3）AF＝2FG；（4）AC＝2CE．其中正确的结论有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，可得AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°，又由BD＝CE，即可证得△ACE≌△CBD；（2）由△ACE≌△CBD，可得∠CAE＝∠BCD，然后由三角形外角的性质，求得∠AFG＝∠ACF＋∠CAE＝∠ACF＋∠BCD＝∠ACE＝60°；（3）由∠AFG＝60°，AG⊥CD，可得∠FAG＝30°，即可证得AF＝2FG；（4）由AC＝BC，且BC不一定等于2CE，可得AC不一定等于2CE． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°， 在△ACE和△CBD中， ∵， ∴△ACE≌△CBD（SAS），故正确； （2）∵△ACE≌△CBD， ∴∠CAE＝∠BCD， ∴∠AFG＝∠ACF＋∠CAE＝∠ACF＋∠BCD＝∠ACE＝60°；故正确； （3）∵∠AFG＝60°，AG⊥CD， ∴∠FAG＝30°， ∴AF＝2FG；故正确； （4）∵AC＝BC，且BC不一定等于2CE， ∴AC不一定等于2CE；故错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共8小题，其中题每小题3分，题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次， ∴“水”字出现的频率为， 故答案为：． 12. 多项式因式分解的结果是，则p的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， ∵多项式因式分解的结果是， ∴， ∴． 13. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将交点的纵坐标代入求出横坐标，确定交点的坐标；再根据二元一次方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， 解得， ∴ 点的坐标为， ∵ 二元一次方程组可变形为， ∴ 该方程组的解就是直线与交点的坐标， ∵ 直线与的交点为 ∴方程组的解是． 14. 关于的不等式的解集是，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，因为不等式的解集是，所以不等式的两边同时除以不等号的方向发生改变，根据不等式的基本性质三可知：，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， 不等式的两边同时除以时不等号的方向发生改变， ， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作于点F.若∠BCE=65°，则∠CAF的大小为_______度． 【答案】25 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE， ∴∠ACD＝∠BCE＝65°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF+∠ACD＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°， 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键． 16. 如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由等腰三角形性质得到，再由垂直平分线性质得到，表示出的周长，再由两点之间线段最短得到当点三点共线时，有最小值，为长，最后由三角形面积公式列方程求出即可． 【详解】解：在中，，，于点，则由三线合一可得， 连接，如图所示： 直线垂直平分， ， 则的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点三点共线时，有最小值，为长， ，， ， 则周长的最小值为． 17. 火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是．设隧道的长度为，火车的长度为，根据题意可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据行程问题中路程等于速度乘时间的数量关系，分别分析两种行驶过程的总路程，即可列出方程组． 【详解】解：从车头进入隧道到车尾驶出隧道，行驶的总路程为隧道长度与火车长度之和，可得方程； 火车全身都在隧道内行驶时，行驶的总路程为隧道长度减去火车长度，可得方程； 则可得方程组． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线图象与性质，结合等腰直角三角形的判定与性质，找准坐标规律即可． 【详解】解：直线：是第一象限的角平分线， ， 则由题意可知，均为等腰直角三角形， ，点（为从开始的连续自然数）在直线：上， ，则， 同理，则；，则， 即，可表示为； ，可表示为； ，可表示为； 依此类推得到， 点的坐标为，即． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）解不等式组，将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先分别解每一个一元一次不等式，再由“大小小大取中间”求出不等式组解集，最后运用数轴表示不等式解集的方法画数轴即可． 【小问1详解】 解：， 由①②得， 解得， 将代入②得， 方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解①得， 解②得， 不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组解略． 20. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 某超市为感恩客户的支持与信赖，特推出了“感恩回馈季，幸运抽好礼”的抽奖活动，抽奖活动分为转转盘和翻奖牌两种方式，规则分别如下： 转转盘：如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8个区域，每个区域上分别写有“10元”“20元”或“感谢参与”的字样．转动转盘，当转盘停止转动后，顾客可获得指针所指区域相应金额的代金券（若指针指向分界线，则重新转动）． 翻奖牌：如图2是9张背面完全相同的卡片，正面上分别写有“10元”“20元”“30元”或“感谢参与”的字样．将这9张卡片背面朝上洗匀后，顾客可从中随机抽取一张，并获得这张卡片正面相应金额的代金券． 顾客消费超过100元，可凭借购物小票在转转盘和翻奖牌两种方式中任选一种参与． 说明：两种方式中，“感谢参与”均无法获得代金券． （1）求转转盘方式中，顾客获得10元代金券的概率． （2）求翻奖牌方式中，顾客获得代金券的概率． （3）若你参与抽奖活动，你选择哪种方式？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）选择转转盘方式或翻奖牌方式，理由见解析 【解析】 【分析】（）本题考查古典概型，解题核心是数出转盘中 “10 元” 区域的数量，结合总区域数，用概率公式计算； （）本题考查古典概型，解题核心是数出翻奖牌中能获得代金券的卡片数量，结合总卡片数，用概率公式计算； （）本题考查概率的实际应用与决策，解题核心是分别计算两种方式的期望代金券金额，通过比较大小选择更有利的方式． 【小问1详解】 解：转转盘方式中，所有等可能的结果有8种，其中顾客获得10元代金券的结果有4种，所以（顾客获得10元代金券）； 【小问2详解】 解：翻奖牌方式中，所有等可能的结果有9种，其中顾客获得代金券的结果有6种，所以（顾客获得代金券）； 【小问3详解】 解：答案不唯一．例如： 选择转转盘方式：因为转转盘方式获得代金券的概率为，大于翻奖牌方式获得代金券的概率． 选择翻奖牌方式：因为翻奖牌方式有的概率获得30元的代金券． 22. 如图，在中，，，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作的平分线，交于点； ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点． （2）连接，求线段的长． 【答案】（1） 解：①作的平分线，交于点，如图所示： ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点，如图所示． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据角平分线的尺规作图过程进行解答即可； ②根据垂直平分线的尺规作图过程进行解答即可； （2）结合角平分线以及垂直平分线的性质，证明，运用30度角的直角三角形的性质得，再列式化简得，最后代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 即， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求直线的表达式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】先将点代入直线解析式求出，得到点坐标，再将、两点坐标代入，列方程组求解、即可； 不等式的几何意义为：直线的图像在直线图像 上方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标直接判断； 先求出、坐标，计算，再根据面积关系得，结合三角形面积公式求出的长度，分点在左右两侧求解坐标． 【小问1详解】 解：把代入， 得， ， 直线过点、， ， 解得， 直线的表达式为． 【小问2详解】 解：不等式即， 由图像可知：当时，直线在直线上方， 不等式的解集为． 【小问3详解】 解：在中，令，得， ， 在中，令，得， ， ， ， ， ． 设，，， ，的高为点纵坐标， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数解析式求解、一次函数与不等式关系、坐标与三角形面积，解题关键是利用函数图像几何意义和面积公式分类讨论． 24. 明水古城某文创店准备购进一批清照文化纪念品．已知购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价． （2）该店计划购进A、B两种纪念品共100件，且应厂家要求，A纪念品的购进数量最多40件．已知A纪念品每件售价为25元，B纪念品每件售价为30元．若该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元 （2）当该商店购进A纪念品40件，B纪念品60件时，该店获利最大，最大利润是700元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一次函数的应用． （1）可分别假设两种纪念品的进价，列出二元一次方程组求解； （2）可设种纪念品的件数，列出一次函数，根据一次函数的性质可求． 【小问1详解】 设种纪念品每件的进价为元，种纪念品每件的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：种纪念品每件的进价为15元，种纪念品每件的进价为25元； 【小问2详解】 设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意得 ，整理得： ∵，∴随的增大而增大， ∵，∴当时，最大，最大值为700， 此时． 答：当该商店购进纪念品40件，纪念品60件时，该店获利最大，最大利润是700元． 25. 请根据以下素材，回答问题． 潜望镜里的数学 素材 如图（1）展示了光的反射定律，已知镜面垂线，一束光线射到平面镜，被射后的光线为入射光线反射光线垂线夹的锐角分别为且则___________填“>”“<”或“=”）． 问题解决 思考探究 任务1 了解光的反射定律后，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图（2）所示，平行放置的两面平面镜，入射光线过两次反射后，得到反射光线已知，请问进入潜望镜的光线离开潜望镜的光线否平行？请说明理由． 任务2 把两个平面镜图（3）所示位置放置，，入射光线过两次反射后，得到反射光线，已知，反射光线入射光线行但方向相反，求度数． 拓展应用 如图（4），三面平面镜，将一束光线射到平面镜，通过平面镜反射，最后从平面镜的点射出，此时入射光线反射光线平行．若，请用含式子直接表示出度数． 【答案】素材：；任务1：进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线平行．理由见解析；任务2：；拓展： 【解析】 【分析】本题平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是理解光的反射定律中入射角与反射角的关系，并能据此结合几何知识进行角度的推导和判断两直线的位置关系． 素材：根据光的反射定律得出入射角与反射角相等，从而确定两个角的关系； 任务1：根据，得出，证明，得出，即可证明结论； 任务2：根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，最后根据三角形内角和求出结果即可； 拓展应用：如图，过点作，过点作，得到再利用光的反射定律和平行线的性质来找出角度之间的关系，并用含的式子表示出的度数． 【详解】解：素材：； 由题意知，， ， ， 故答案为：； 任务1：进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线平行．理由： ， ， ， ， ，即， ； 任务2：， ， ， ， ， ， ， ，即； 拓展应用：如图，过点作，过点作， 入射光线与反射光线平行， ， ， ． 四、附加题：本题共1小题，共10分． 26. 【问题发现】 （1）如图1，在中，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中是边上的高．延长交于点，设面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．熟知全等三角形的判定定理与性质定理是解题关键． （1）证明，即可根据“角角边”证明； （2）证明，根据“角角边”证明，得到，即可证明； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N．证明，得到，同理可证明，得到，从而证明，根据三角形面积公式即可证明． 【详解】解：（1）证明：直线直线， ， ， ， ， ， 在和中， ； （2）的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3），理由如下： 过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证明：， ， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $