精品解析：山东省济南市莱芜区2025—2026学年度第二学期期末质量检测七年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期末质量检测七年级 数学试题（A卷） 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 阿基米德螺线 D. 三叶玫瑰线 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，均为实数，且，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度后，恰好在一次函数的图象上，则的值为（） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 5. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将分式中的，同时扩大为原来的2倍，分式的值将（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 7. 如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 8. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，．是内一点，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，延长线交于点，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，请直接填写答案．） 11. 若分式的值为0，则x的值为__________． 12. 因式分解： _______________ ． 13. 如图，在中，，，将沿着射线的方向平移后，得到，过点作于点，则_____________． 14. 如果不等式组有3个整数解，则的取值范围是_____________． 15. 如图，在中，，，平分，过点作于点，，则_____________． 三、解答题（本大题共9小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 完成下列各题： （1）分解因式：； （2）解方程：． 17. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 18. 化简：，并在0，1，2中选择一个合适的的值代入求值． 19. 如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出与关于点成中心对称的；则的坐标是___________； （2）将绕点逆时针旋转得到，画出； （3）在平面内存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 20. 如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求的长． 21. 对于任意有理数，，，，定义一种新运算：， （1）____________； （2）对于有理数，，若是一个完全平方式，则___________； （3）对于有理数，，若，，求的值． 22. 按要求完成下列各题： 背景 为遏制沙漠扩张，黄河“几字弯”防沙治沙核心区域启动“林草锁边带”工程，构建绿色屏障．工程引入两类智能机器，植树机器人A可用于挖坑、栽苗、浇水；飞播无人机B专攻复杂地形，飞播效率为人工的百倍以上． 问题解决 种植信息 植树机器人A每日种植面积比飞播无人机B多20亩，植树机器人A种植300亩沙地所用时间与飞播无人机B种植200亩沙地所用时间相等． 设备成本 植树机器人A价格：6000元/台，飞播无人机B价格：4000元/台． （1）求植树机器人A和飞播无人机B每日种植面积； （2）若治沙需要A，B两种机器共10台，且要求每天治沙面积不少于500亩，那么该工程如何购买A，B两种智能机器，才能使总成本最低？请求出最低成本． 23. 如图，在中，平分． （1）如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； （2）如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． 24. 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．如，这样的分式就是真分式，，这样的分式就是假分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如，． 根据材料，解决下列问题： 【理解知识】 （1）分式是_________分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】 （2）将假分式化为带分式； 【运用知识】 （3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 25. 在中，点是上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，延长至点，使，连接，过点作于点． 【特例感知】 （1）如图1，已知是等腰直角三角形，，，，请直接写出与的数量关系_________________，与的数量关系_________________； 【类比迁移】 （2）如图2，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图3，已知在中，，，，，在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末质量检测七年级 数学试题（A卷） 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 阿基米德螺线 D. 三叶玫瑰线 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项B、C、D都不能找到一个点，使图形绕该点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到一个点，使图形绕该点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，且变形结果要正确，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A是整式乘法运算，结果是多项式，不是整式的积的形式，∴ A不属于因式分解； ∵选项B分解错误，，∴ B不属于因式分解； ∵选项C的右边是和的形式，不是几个整式的积，∴ C不属于因式分解； ∵选项D将多项式化为整式的积的形式，且分解正确，符合因式分解的定义，∴ D属于因式分解． 3. 若，均为实数，且，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，，故A，B，D正确； ∴， ∴，故C错误． 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度后，恰好在一次函数的图象上，则的值为（） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移规则得到平移后点的坐标，再代入一次函数解析式即可求出的值． 【详解】解：∵点向左平移5个单位长度后，得到的点坐标为，即， ∵点在的图象上， ∴将，代入解析式得，解得． 5. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 6. 将分式中的，同时扩大为原来的2倍，分式的值将（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】将扩大后的，代入原分式，化简后与原分式对比，即可得到分式值的变化． 【详解】解：当，同时扩大为原来的2倍时， 新的分子为， 新的分母为， 故新的分式为， 因此分式的值缩小为原来的，故选C． 7. 如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形与函数的关系，从图中直接得出答案即可． 【详解】解：结合图象可得的解集是． 8. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据解为正数且分式分母不为0，列出不等式求解得到a的取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 解得， 方程的解为正数， ，即， 解得， 又， ，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 9. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，推出可得结论． 【详解】解：由作图可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 为等腰直角三角形， ． 10. 如图，中，，．是内一点，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，延长线交于点，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，则是等腰直角三角形，即可判断①正确；求出，即，即可判断②正确；得到,再利用三角形内角和即可判断③正确；过点作分别交于点，交的延长线于点，证明，可得，即可判断④正确． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ，故结论①正确，符合题意； 根据旋转的性质可得， ， ， ，故结论②正确，符合题意； ，, , ， ， ，故结论③正确，符合题意； 如图，过点作分别交于点，交的延长线于点， ， ， ， ， 即， ， ， ，即点在的平分线上， 平分． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，请直接填写答案．） 11. 若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可． 【详解】由x2-9=0，得 x=±3． 又∵x+3≠0， ∴x≠-3， 因此x=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键． 12. 因式分解： _______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由十字相乘法进行因式分解，即可得到答案． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法进行解题． 13. 如图，在中，，，将沿着射线的方向平移后，得到，过点作于点，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，推出，利用含有的直角三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：沿着射线的方向平移后得到， ， ， ， ， ， ． 14. 如果不等式组有3个整数解，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定不等式组的解集，再根据整数解的个数推导参数的取值范围即可． 【详解】解：不等式组的解集为， 不等式组有个整数解， 不等式组的整数解为， ∴． 15. 如图，在中，，，平分，过点作于点，，则_____________． 【答案】12 【解析】 【分析】延长交的延长线于点F，证，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 完成下列各题： （1）分解因式：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再运用完全平方公式因式分解； （2）去分母解分式方程并检验所得解是否为增根． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 方程两边都乘得： 即： 解得： 检验：把代入 是原方程的根． 17. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】；非负整数解有：0，1，2，3 【解析】 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴非负整数解有：0，1，2，3． 18. 化简：，并在0，1，2中选择一个合适的的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【详解】解： 且， 且， ∴将代入原式得． 19. 如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出与关于点成中心对称的；则的坐标是___________； （2）将绕点逆时针旋转得到，画出； （3）在平面内存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）按照要求画出顶点的对应点，连接即可得图形； （2）按照要求画出顶点的对应点，连接即可得图形； （3）根据勾股定理和勾股定理的逆定理找出符合条件的点即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：如图，， ∵， ∴，， 则是等腰直角三角形， 同理也满足条件，且只有或满足条件． 20. 如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ， ， 即的长为． 21. 对于任意有理数，，，，定义一种新运算：， （1）____________； （2）对于有理数，，若是一个完全平方式，则___________； （3）对于有理数，，若，，求的值． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新运算的定义求解即可； （2）根据新运算的定义列出代数式，然后根据完全平方式的定义确定值； （3）根据新运算的定义列出代数式并变形，代入已知式子的值计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得,； 【小问2详解】 解：由题意可得, , ∵是一个完全平方式， ∴； 【小问3详解】 解：原式 ，， ． 22. 按要求完成下列各题： 背景 为遏制沙漠扩张，黄河“几字弯”防沙治沙核心区域启动“林草锁边带”工程，构建绿色屏障．工程引入两类智能机器，植树机器人A可用于挖坑、栽苗、浇水；飞播无人机B专攻复杂地形，飞播效率为人工的百倍以上． 问题解决 种植信息 植树机器人A每日种植面积比飞播无人机B多20亩，植树机器人A种植300亩沙地所用时间与飞播无人机B种植200亩沙地所用时间相等． 设备成本 植树机器人A价格：6000元/台，飞播无人机B价格：4000元/台． （1）求植树机器人A和飞播无人机B每日种植面积； （2）若治沙需要A，B两种机器共10台，且要求每天治沙面积不少于500亩，那么该工程如何购买A，B两种智能机器，才能使总成本最低？请求出最低成本． 【答案】（1）植树机器人A每日种植面积是60亩，飞播无人机B每日种植面积是40亩 （2）当购买5台植树机器人A，5台飞播无人机B时，总成本最低为50000元 【解析】 【分析】（1）根据题意列分式方程求解，并检验方程的解是否为增根即可； （2）设购买A，B两种智能机器的总成本为w元，则，根据题意求出的取值范围，利用一次函数的增减性求出的最值． 【小问1详解】 解：设植树机器人A每日种植面积是x亩，则飞播无人机B每日种植面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， （亩）， 答：植树机器人A每日种植面积是60亩，飞播无人机B每日种植面积是40亩； 【小问2详解】 解：设购买台植树机器人A，则购买台飞播无人机B， 根据题意得：， 解得：， 设购买A，B两种智能机器的总成本为w元， 则 ， ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， （元）， 此时（台）， 答：当购买5台植树机器人A，5台飞播无人机B时，总成本最低为50000元． 23. 如图，在中，平分． （1）如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； （2）如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：平分，平分， ，， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）利用三角形外角性质和角平分线导角可得； （2）连接，，利用中垂线的性质可证，，则可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， 平分，，， ， 的垂直平分线交于点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 即的长为． 24. 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．如，这样的分式就是真分式，，这样的分式就是假分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如，． 根据材料，解决下列问题： 【理解知识】 （1）分式是_________分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】 （2）将假分式化为带分式； 【运用知识】 （3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真 （2） （3）或0或2或3 【解析】 【分析】（1）根据真分式的定义判断即可； （2）根据真分式的定义变形即可； （3）先把分式化为带分式，因为与均为整数，则或，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵分子的次数为0，分母是一次式， ∴分子的次数小于分母的次数 ∴是真分式； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ， 为整数， 为整数， 要使分式的值为整数， 必须为整数 或， 或0或2或3． 25. 在中，点是上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，延长至点，使，连接，过点作于点． 【特例感知】 （1）如图1，已知是等腰直角三角形，，，，请直接写出与的数量关系_________________，与的数量关系_________________； 【类比迁移】 （2）如图2，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图3，已知在中，，，，，在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 【答案】（1）； （2）． 证明：， ， ，， ， 由旋转得，， ， ， 即：， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，即； （3） 【解析】 【分析】（1）利用余角性质可得，进而由可证明，得到，可证为等腰直角三角形，则，进而求解题目； （2）同理（1）可证得到，因为，则，进而求解题目； （3）在线段上作， 连接，可证， 则，因为点在上运动，所以当时，最小，此时取得最小值，则题目可求解； 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又由旋转可知，， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：在上截取，使，连接， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ， 1 ， ∵点在上运动， 当时，最小， ，，， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $