宁夏回族自治区吴忠市吴忠中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷

吴忠市吴忠中学2025-2026学年第二学期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求。 1上.复数=（供中为虚数单位，则=(） A.1+元 B.1-元 C.-1+含 D.-1-元 2.满足条件{a,b}SMc{a,b,c,d,e}的集合M的个数为() A.10个 B.9个 C.8个 D.7个 3.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，面积为S,若b2+c2=a2+2S,则tanA=() A.是 B.合 C.2 D.4 4.已知a=20.6,b=0.62,c=logo.62,则a,b,c的大小关系为() A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 5.(c+)(c-)的展开式中y2的系数为(） A.2 B.-2 C.4 D.-4 6.己知圆C:x2+2-4c-2y-20=0,直线mc-y-m+3=0与圆C相交于A,B两点，当AB 取最小值时，m的值为() A一号 B.- D. 7.已知盈数回)=佔以Q子若数6因=f@)-m有三个不同的零点，则0的取值范圈 为() A.(0,1) B.[0,1) 0.(0,1] D.[0,1] 》2 8已知函激e回)=2二2若正数ab,满足fo)+fQ)=1,则牛的最大值为( ) A.② 8 B.2w2-1 D.2W2+1 77 c. 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，选不全得3分，多 选或选错一个得0分。 9.已知向量d=(1,√)，方=(coga,i血a,则下列结论正确的是(） A.若Li,则tana= 3 B.若成∥6且a∈(0，，则a= C.a+的最大值为2W2 D.若6在上的投影向量为-音立，则向量与6的夹角为答 3 10.下列说法正确的是() A.掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现奇数点”，事件N=“出现3点或4点”，则M和N相 互独立 B.已知随机变量X服从正态分布N(2,2),且P(X<4)=0.9,则P(0<X<2)=0.4 C.甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件 下，恰有2个景点未被选择的概率是号 D.E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+3 11.已知f(x)的导函数为f'(c),且f(x)=f(c)+e(ln-1),f(e)=0,则() A.f'(e)=0 B.2f(3)>3f(2) C.f'(x)在(0，+oo)上单调递增 D.f)+e≤o+是 4○ 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分。 12.设fa)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f)=-x(1-,则f-号)= 13.现将数列、立体几何、解析几何、导数、概率与统计这五道解答题排序，数列必须在第一道或者第 二道位置，解析几何不能在第一道，则不同的题目排序方式有 种。 5 14.金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用。如图1所示，组成金 刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接。从立体几何的角度，可以认为 4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A,B,C,D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离 都相等的位置（点E处），如图2所示，设AB=a,则E到平面ABD的距离为 图1 图2 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在一次招聘中，应聘者要进行A,B,C三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三 6 人通过A,B,C每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. (1)求甲没有被录用的概率： (②)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列及期望和方差 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面ABCD,AB∥CD,M为线段PB的中点，AB=AP =2AD=2CD=4. B D (1)求证：CM∥平面PAD; (2)若AC=BC,点L在线段PB上，且直线LC与平面BDP所成角的正弦值为2I,求线段M的 21 长 17.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且ant1=2Sn+2(n∈N). (1)求数列{an}通项公式； 8● (2)若数列{bn}满足bn= 3n-1,n为偶数求数列}的前2n项和 an,n为奇数 18.已知函数f(a)=合2-(a+1)z+alnx. (1)当a=1时，求函数f(x)在(1，f(1)处的切线方程： (2)当a=2时，求函数f(x)的极值： 间)若9（回）=G-a十r,对任意丙个不相等的正数，都有二离<6恒成立，求实数a g()-g(r2） 的取值范围。 9 190.已知双曲线C-背=1，R、马分别是其左，右焦点，直线1与双曲线C的右支交于A、B两点。 A B (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，M应·应=-1，求△M瓜及的面积； (3)已知直线L过点及，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足O可=2O户的点Q在线段AB 上，若A它=2Q瓦，求点P的坐标. 10 吴忠市吴忠中学2025-2026学年第二学期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答策写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求。 1复数：= ·（其中1为虚数单位)，则z=() A.1+元 B.1-i C.-1+ D.-1-元 【详解】由题知z=22(例=22 -2 -2(1-) 1+8=+8=+8=a-a+ =-1-i, 所以x的虚部为1. 【答案】D. 2.满足条件{a,b}sMS{a,b,c,d,e}的集合M的个数为() A.10个 B.9个 C.8个 D.7个 【详解】由题意得，集合M中的元素可能为2,3,4个 当集合M中含有两个元素时，M可为{a,b}: 当集合M中含有三个元素时，M可为{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e}: 当集合M中含有四个元素时，M可为{a,b,c,d,{a,b,d,e},{a,b,c,e}: 综上所述满足条件的集合M的个数为7个. 【答策】D 3.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，面积为S,若b2+c2=a2+2S,则tanA=（) A是 B.吉 C.2 D.4 【详解】由8=号bcsinA可得62+c2=a2+2S=a2+bcsinA, 由余弦定理b2+c2-a2=2 bccosA=bcsinA, 则tanA=2. 【答案】C 4.已知a=20.6,b=0.62,c=logo.2,则a,b,c的大小关系为() A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 【详解】指数函数y=2为增函数，且0.6>0，所以2.6>20=1，即a>1. 对数函数y=1og0.6c在定义域内为减函数，且2>1，所以1og0.62<1og0.61=0,即c<0 因为b=0.62=0.36,所以0<b<1. 综上，c<b<a. 【答亲】B 5.(x+)(红-y)的展开式中x的系数为() A.2 B.-2 C.4 D.-4 【详解】由二项式定理可知：(x+)(c一y)的展开式中含x的项为： x·Cx2(-y)2+yCc(-）=2x,所以的系数为2. 【答案】A 6.已知圆C:x2+2-4x-2y-20=0,直线lmc-y-m+3=0与圆C相交于A,B两点，当|AB引 取最小值时，m的值为() A.-合 B.- c.号 D. 【保1流线ma--g-动=0，由仔0将 (y=3 显然无论m取什么实数，直线l都过点P(1,3), 将C:x2+2-4c-2y-20=0化为标准形式C:(x-2)2+(y-1)2=25, 因为(1-2)2+(3-1)2=5<25，所以点P在圆内， 而圆C的圆心C(2,1),由圆的性质知，当AB⊥CP时，弦AB的长取最小值， 又直线0P的斜率k=号二=-2，所以m=-名=合 2-1 A 【答案】D 7.已知函数f()= ©gl,0<c≤3，若函数g(四)=f(一m有三个不同的零点，则m的取值范围 12-log3x,x>3, 为() A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【详解】 y=f(x) y=m 013 9 解法1：令g(x)=0得f(c)=m.由题意可知函数f()的图象与直线y=m有三个交点，由图可知0 <m<1. 解法2：当m=0时，9()=f(c. 令9e=0得62gg-0， 解得x=1或c=9,不满足题意，因此排除B、D选项. 当m=1时，g()=f(c)-1, 伞9=06亿g1 (x>3 解得心=合或红=3，不满足题意，因此排除C选项，故选A。 【答案】A 8.已知函数f(@)=2z二2若正数a,b,满足f(@)+f(26)=1,则，中的最大值为( a2+2b A普 B.2W2-1 d. D. 22+1 7 7 【解10+f0-)=2z2+202司-2=22+号器=2安=1， 2-x 2x-2 f倒关于点(1，号)时称，又f@)=2a22=分+2x2 1 1 六f(@在（-o,)和(1，+o)单调递减，且<1时f(@)<号，c>1时，f(a)>, 又f(a)+f(2b)=1,∴.a+2b=2, ab ab ab 1 at2a(at2b)baitabt2h2t21 a 又号+史≥2V2(当且仅当a=2w2-2,6=2-V2时取等)， a ，1=2w2-1 则2b&+2地+122+1 7 a 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，选不全得3分，多 选或选错一个得0分。 9.已知向量d=(1,√3)，=(cosa,ina),则下列结论正确的是(） A.若dL,则ana=及 3 B.若d∥6且a∈(0，，则a=哥 C.a+的最大值为2√2 D.若6在d上的投影向量为-子d,则向量à与6的夹角为 【详解】已知d=(1,v),i=(cosa,8ina),=2,l=1. 选项A:若在18，则-=c08g+V3ia=0,得anu=-9,A错误。 选项B:若立∥，则sima-3cosa=0,得ana=V3,又a∈(0，)，所以a=背，B正确， 选项C:a+j=√小a++2-6=√5+2(cosa+V3sina=√5+4sim(a+若)≤3，最大值为3， C错误， 臣项D:上约拉移省道为沿a6l,o9间=号9D正国用 la12 【答案】BD 10.下列说法正确的是() A.掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现奇数点”，事件N=“出现3点或4点”，则M和N相 互独立 B.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(X<4)=0.9,则P(0<X<2)=0.4 C.甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件 下，恰有2个景点未被选择的概率是号 D.E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+3 【详解】对于A,掷一枚质地均匀的辰子一次，则P(0=音=司，P(W=合=日， 而N表示“出现3点”，所以P()=合，则P(N)=P(·P(, 故事件M和N相互独立，故A正确； 对于B,因为随机变量X服从正态分布N(2,),所以正态曲线的对称轴是直线x=2. 因为P(X<4)=0.9,所以P(X≥4)=P(X≤0)=0.1， 所以P(0<X<2)=P(2<X<4)=0.4,故B正确； 对于C,设事件A为至少有1个景点未被选择，事件B为恰有2个景点未被选择， 则PA回-是-号P利=1-袋-子以PB=得-号0医确 对于D,E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X),故D错误. 【答案】ABC 11.已知f(x)的导函数为f'(x),且时f'(x)=f(x)+e(1nx-1),f(e)=0,则() A.f'(e)=0 B.2f(3)>3f(2) C.f'(x)在(0+∞)上单调递增 D.fa)+e≤c+是 【分折1由题可得[但了=(C-要C为希数)，掬速g回)=但=1-空，可得f@)= eln(x>0),结合导数依次判断选项即可. 【详解】由对()=f(a)+e(血a-1)(e>0,可得对'(@)一f=enx-1) 22 即[f@丁-ea卫=(c-o为常数。 设回=f但，别@=0-， 由子f0e)=0,所以ge)=fe-0,则g回=C-be=0-1=0, e e 解得：C=1,所以g回)=四=1-en」 所以f(x)=x-elnc(x>0), 则f()=1-品，所以f(e)=1-1=0,故A正确； 对于B,2f(3)-3f(2)=2(3-eln3)-3(2-eln2)=e(n8-ln9)<0, 即2f(3)<3f(2),故B错误； 对于C,令m()=f'(回)=1-品(e>0),所以m()=是>0，即f'(@)在(0，+o)上单调递增，故C 正确； 对于D,令hMa)=f(+e-8-是=e1-lhc-是)e>0, 所以M)=e(是+是)=e1(>0, 令()=e.1->0,解得：0<c<1,所以h(回)在(0,1)上单调递增， 2 令回=e1<0,解得：>1，所以h园在(，+o0)上单调递减， 则h()≤h()=0,即f(@)+e-E-是≤0， 所以f(c)+e≤c+成立，故D正确. 【答策】ACD 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分。 12.设f()是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f()=-x(1-),则f(-号)= 【详解】因为()是周期为4的奇画数，所以f(-号)=-f号)=-f(合)， 又当0≤如≤1时，f(四)=-x(1-),所以f(登)=-号×1-)=-是： 所以(-号)=-（号）=-(-)=是 【答案】子 13.现将数列、立体几何、解析几何、导数、概率与统计这五道解答题排序，数列必须在第一道或者第 二道位置，解析几何不能在第一道，则不同的题目排序方式有 种 【详解】数列在第一道位置时，解析几何没有要求，则有A好=24种； 数列在第二道位置时，解析几何不能在第一道， 则解析几何排在第3,4,5道的位置，则有3A8=18种； 综上，共有24+18=42种. 【答案】42 14.金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用.如图1所示，组成金 刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度，可以认为 4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A,B,C,D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离 都相等的位置（点E处），如图2所示，设AB=a,则E到平面ABD的距离为 E B 图1 图2 【详解】取CD的中点N,连接BN,过点A作AM⊥BN于点M, 则AM⊥平面BCD,其中BM=2NM, AB=a,则CD=a,ON=DN=号，BN=9。 2a, 故BM=号BN=号a,由勾股定里得AM=VAB-B=怎。 3a, 故么-m=号AM=-号×号CD-BN-AM=竖c, 显然，点E到平面ABD,平面BCD,平面ACD和平面ABC的距离均相等，设为h, SDD=AR=SMC=SN, 4 故么0=4%o=4×号Sm*h=怎o沈， 故A=没a D B-- 【答案】6， 12a 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在一次招聘中，应骋者要进行A,B,C三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三 人通过AB,C每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立。 (①)求甲没有被录用的概率： (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列及期望和方差。 【详解】(1)设“甲被录用”为事件A, 则P(A=(合)+8（侵了合=， 所以甲没有被录用的概率为1-P(A)=号 (②)由()，三人放录用与否相互独立，且概率相同，均为号， 所以X-B(3,号)，X的可能取值为0,12,3， P(X=0=(合月=8，P(X=1)=C8号·（侵y=g， P(X=2)=0(号号=8，P(X=3)=(号°=8 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 18 8 38 P 期望为E(X)=3×7=号，D(X)=3x号×(1-号)= 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面ABCD,AB∥CD,M为线段PB的中点，AB=AP =2AD=2CD=4. B D (I)求证：CMM∥平面PAD; (②)若AC=BC,点L在线段PB上，且直线LC与平面BDP所成角的正弦值为I,求线段LM的 21 长 【详解】（①）作线段AP中点E,因M为线段BP中点，则ME∥AB且AB=2ME, 又：CD∥AB且AB=2CD=4, CD与ME平行且相等，四边形CDM为平行四边形， CM∥DE ,DEC平面PAD,CMt平面PAD, ∴.CM∥平面PAD, B D (2)作线段AB中，点，记为F 由题意，CF垂直平分AB,且AF=CD=2. 又：AF∥CD,.四边形AFCD为矩形，AB⊥AD, ,AP⊥平面ABCD,.AP⊥AD且AP⊥AB. 则可分别以AD、AP、AB所在直线为E,,z轴建立空间直角坐标系A一yz, 1) 则P(0,4,0),B(0,0,4),D(2,0,0),C(2,0,2),可得P克=(0，-4,4)， 设P元=P,0≤1≤1，可得L(0,4-4机，4)，元=(2,41-4,2-4)， 设平面BDP的法向量为元=(，，z), 因BD=(2,0,-4),P克=(0，-4,4)， 则由元丽=+=0，令=1，则充=21,1， 元Bd=2ax-4x=0 设直线LC与平面BDP所成角为日， 可得sin0=lcos(元，d= 成d 2 d √322-481+24×√6 21 解得A=子或=员（舍） 所以LM=PM-PL=PB-}PB=PB=VE. 17.已知数列{an}的前n项和为Sn,a4=2,且an+1=2Sn+2(n∈N) (1)求数列{an}通项公式； (2)若数列{b}满足b.= a,n为奇数 3n-1,n为偶数求数列{}的前2n项和 【详解】(1)由数列{an}的前m项和为Sn,a☑=2，an+1=2Sn+2(n∈WN), 可得当n≥2时，an=2Sn-1+2, 上面两式相减可得an+1=3an, 当n=1时，a2=2a4+2=6, 即有a2=3a1, 故{an}是首项为2，公比为3的等比数列， 则a=2·3m-; (2)奇数项b,b,b,…b2n-1共n项，是首项为2，公比为9的等比数列， 则54=2二g92=g-0, 1-9 偶数项b2,b4,b6,b2m共m项，是首项为5，公差为6的等差数列， 可得Sw=5m+n0,×6=3m+2m则g=3m2+2n+子g-1). 2 18.已知函数f()=分2-(a+1)z+alnx. (1)当a=1时，求函数f(c)在(1，f(1)处的切线方程； (2)当a=2时，求函数f(c)的极值； (3)若g()=0-云+n,对任意两个不相等的正数，，都有）-f】 g(x)-g(2) <a恒成立，求实数a 的取值范围. 【分析】(1)利用导数求出切点斜率后利用点斜式方程即可求出切线方程； (2)把a=2代入方程后利用导数求出极值即可； (3)利用导数可求得g()单调性，从而将恒成立的不等式转化为(c)=f()一ag(c)单调递减，进而 得到()≤0恒成立，采用分离变量法可求得结果. 【详解】（四画数f(@)的定义城为(0，+o),f(四）=-(a+1)+=-®-山， 2 当a=1时，fa)=分-2z+n8,f0=号-2=-是， f()=0-2+,切线斜率k=f(四)=1-2+1=0， 故切线方程为y=-号或2g+3=0 (2②)当a=2时，f(@)=号x2-3a+2n,f'()=x-3+2=@-1e-2), 令f'(x)=0,得x=1或x=2, 0<x<1时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 1<E<2时，f'(x)<0,f(x)单调递减； c>2时，f'(c)>0,f(x)单调递增， 故画数f(回)的报大值为f)=-吕，板小值为f2)=2n2-4 (③)g(回)的定义域为(@，+o.g(回)=e-1+是， 因e>e0=1,是>0，则g(回)>0，则g()在(0，+o)上单调递增， 设2>如1>0，则g()<g(2), 则由fe）-fe<a得：f)-g(m)>f）-g(, g()-g(2) 令h()=f()-ag()=2-x-ae,则有h(e)>h(),故h()在(0，+o∞)上单调道减， 故N(@)=a-1-ae≤0在(0，+四)上恒减立，即a≥。， 设p()=。(>0,则p'(a)=22, 当x∈(0,2)时，p'(c)>0;当x∈(2，+o时，p'(o)<0: 即p(国在(0,2)上单调递增，在（么，十o0)上单调造减，散p@)x=p2)=是， a≥忌，即实教a的取值范国为[总，+∞ 19。已知双曲线C2-号=1，R、及分别是其左、右焦点，直线1与双曲线C的右支交于A、B两点。 B (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，M应·M=-1,求△M的面积； (3)已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足O可=2O2的点Q在线段AB 上，若A店=2Q丽，求点P的坐标. 【分析】(1)根据双曲线的方程即可求得渐近线方程； (2)设Mm,m),m>0,n>0,根据·远=-1可得m2=1+答，结合m2+n2=3即可求得mn, 利用三角形面积公式即可求解： (③)分斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时表示出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定 理，结合题意建立方程，可得答案 【详解】()对于双油线C2-等=1，a=1b=V3,G=V@+形=2， 故双由线C的渐近线方程为y=土8，即)=士V3时 (2)设M(m,n),m>0,n>0,由题意可知(-2,0)，(2,0)， 则M应=(-2-m,-),M应=(2-m,-n), 由M应.M=-1,得(-2-m)(2-n)+(-m)(-n)=m2-4+n2=-1, 即m2+n2=3, 又M在议南线C3-号=1上，故m-弩=1，则m=1+ 3 结合m2+=3,得1+号+=3，则m2=受， 由于n>0,故n=9， 又因网=20=4，故△MS及的面积Sasg=合·1因网：n=合×4×=V6。 (3)设P(m,0),(r0>0,0>0),由0d=2O2知Q(2a,2), 若直线1斜率不存在，则：c=2,此时P(1,0),Q(2,0),不符合题意，舍去； 设直线1方程为：y=(-2), 与双询线C-营=1联立化筒得（心-8）-4地十4城十3=0， 2-3≠0，△>0显然成立，设交点A(1,h)、B(2,2), B 由韦这定星画十==袋尝号 由A店=2Q成得(2-G,22-2）=2(2-2mo,-26), 从而m2-=2(2-2o),0≠1，即(1-2)2=16(-12，即(+m22-41r2=16(0-1)2, 将韦达定理入（警与了-4×袋告考=16(- 化简得9(2+1)=4(c-1)2(2-3)2(※)， 因为k=k=2=”即别=(6-， 由已知P(co,0)在双曲线上，得3哈-2=3， 从而3ag-,-1》y=3得=3-3=3+1代入()式， (-1)21 0-1 得9（空+刂=4a-1(0-. 化满每9×红子=4-（云》，即9×是 r0-1 x0-1 =4×36, 解得0=号，结合3略-6=3,6>0，解得6=Y西 2 则点P的坐标为（侵，雪） 12○