宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试试卷高二数学（A卷）

**基本信息** 高二数学期末A卷结合甲流统计、AI竞赛等现实情境与子贡名言文化素材，覆盖统计、函数、概率等知识，通过基础到综合的问题设计，考查数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|命题否定、集合运算等|如1题考命题否定，3题考充分必要条件，夯实基础| |多选题|3/18|统计相关（残差、决定系数）、不等式|9题辨析统计概念，10题探究不等式最值，考查综合判断| |填空题|3/15|不等式解集、随机变量最值|12题由解集求参数，13题结合正态分布求最值，聚焦灵活应用| |解答题|6/77|独立性检验、函数单调性、AI竞赛统计、比赛概率|15题分析观众喜爱与性别关联，17题AI竞赛频率分布与概率，19题排球比赛概率分布，综合现实情境，体现数学建模与数据分析|

青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试试卷 高 二 数 学（A卷） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．命题“，使”的否定是（     ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 2．设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，且，则下列不等式中一定成立的是（　 　） A． B． C． D． 5．年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数. 第x天 1 2 3 4 5 新增y人 2 3 5 8 12 已知现用最小二乘法算得线性回归方程是（     ） A． B． C． D． 6．若，则（     ） A． B．0 C． D．4 7．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5 个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（     ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 8．已知，且，当取最小值时，的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．以下说法正确的是（   ） A．若，两组数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强 B．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 C．决定系数越大，模型的拟合效果越好 D．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是 10．已知，则（    ） A．的最小值为 B．ab的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知，下列正确的是（     ） A．当时，的值域为 B．当时，有2个零点 C．若有两个不同的极值点，则a的取值范围为 D．过点可作的两条切线，则a的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题3题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上） 12．若关于的不等式的解集为，则的值为__________． 13．随机变量，正实数，满足，则的最小值为______. 14．已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______. 四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍． (1)根据题中信息，完成下面列联表；单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 女 合计 (2)根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16．（15分）已知函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)请在图中画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数. 17．（15分）2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．  (1)求的值； (2)在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； (3)假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 18．（17分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 19．（17分）甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立． (1)求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率； (2)在甲获得比赛胜利的条件下，求甲在第3局获胜的概率； (3)记比赛结束时所进行的局数为，求的分布列及数学期望 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ > > > > 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 > > > > 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ( 青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期期 末 考试 高二数学答题卡 （A卷） ) ( 注意事项 选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡皮擦干净，不留痕迹，然后再选择其它答案标号。 非选择题必须使用黑色签字笔书写，笔迹清楚。 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域，以及在草稿纸和试题上的答案均无效。 请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。 填 涂 样 例 正确填涂 > 条形码粘贴区域 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 试卷类型 A B 缺考标记 （禁止考生填涂） < < < 姓 名： 班 级： 考 号： ) ( 一、 单选题 (本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 二、多项选择题： （本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） ) ( 5 abcd 6 abcd 7 abcd 8 abcd    ) ( 1 abcd 2 abcd 3 abcd 4 abcd ) ( 9 abcd 10 abcd 11 abcd ) ( 三、填空题 (本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12. 13. 14. ) ( 15. （共13分） 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 女 合计 ) ( 1 6 . （共15分） ) ( 1 7 . （共1 5 分） ) ( 1 8 . （共17分） ) ( 19 . （共1 7 分） ) 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 > > 数学 第2面 共2面 > > 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 > > 数学 第1面 共2面 > > 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期期中考试试卷 高 二 数 学（A卷） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．命题“，使”的否定是（     ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 2．设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，且，则下列不等式中一定成立的是（　 　） A． B． C． D． 5．年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数. 第x天 1 2 3 4 5 新增y人 2 3 5 8 12 已知现用最小二乘法算得线性回归方程是（     ） A． B． C． D． 6．若，则（     ） A． B．0 C． D．4 7．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（     ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 8．已知，且，当取最小值时，的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．以下说法正确的是（   ） A．若，两组数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强 B．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 C．决定系数越大，模型的拟合效果越好 D．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是 10．已知，则（    ） A．的最小值为 B．ab的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知，下列正确的是（     ） A．当时，的值域为 B．当时，有2个零点 C．若有两个不同的极值点，则a的取值范围为 D．过点可作的两条切线，则a的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题3题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上） 12．若关于的不等式的解集为，则的值为__________． 13．随机变量，正实数，满足，则的最小值为______. 14．已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______. 四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍． (1)根据题中信息，完成下面列联表；单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 女 合计 (2)根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16．（15分）已知函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)请在图中画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数. 17．（15分）2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．  (1)求的值； (2)在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； (3)假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 18．（17分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 19．（17分）甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立． (1)求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率； (2)在甲获得比赛胜利的条件下，求甲在第3局获胜的概率； (3)记比赛结束时所进行的局数为，求的分布列及数学期望． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《青铜峡市第一中学2025-2026学年期末考试卷》高二数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A D B D D BCD AC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】存在量词的否定为全称量词命题. 【详解】命题“，使”的否定是： ，使. 故选：C 2．C 【分析】先化简集合，再通过补集运算得到，最后通过交集运算算出答案 【详解】解：因为或， 所以， 所以， 故选：C 3．A 【分析】先解不等式，再根据充分不必要条件的要求分别判断即可. 【详解】由，可得，即，解得或. 由可得，故“”是“”的充分条件； 而由推不出，如满足，但不满足，即“”不是“”的必要条件. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．A 【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】解：因为，所以，所以，故A选项一定成立； 取，，可判断B选项不一定成立； 取，，可判断C选项不一定成立； 取，则，可判断D选项不一定成立； 故选：A. 5．D 【分析】根据所给数据，及参考公式，求线性回归方程即可. 【详解】由题中的数据可知 所以 所以 所以y关于x的线性回归方程为 故选：D 6．B 【分析】令求出，再根据二项式定理求解即可. 【详解】二项式展开式中的系数为. 因此中的系数为. 令，则， 进而. 7．D 【分析】将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出1组，且从中取一张，得到3张卡片，全排列即可. 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有种. 第三步：把选出的3张卡片，分给3位同学有种. 所以不同的分配方案有种. 8．D 【分析】利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以 ， 当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 9．BCD 【分析】由相关系数的含义可判断A；由残差的散点图的性质可判断B；决定系数越大，模型的拟合效果越好可判断C；由古典概率可判断D. 【详解】对于A，若，两组数据的样本相关系数分别为，， 且，则组数据比组数据的相关性较弱，故A错误； 对于B，在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D，有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验， 恰好抽到一件次品的概率是，故D正确. 故选：BCD. 10．AC 【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值，应用基本不等式及指数运算性质求、的最小值，由，则，代入求最小值，即可得. 【详解】A：由，当且仅当取等号，对； B：由，则，当且仅当时取等号，错； C：由，当且仅当时取等号，对； D：由，则，故，错. 故选：AC 11．ACD 【分析】求出函数导数，利用导数得出函数值域判断A，利用导数求出函数最大值，由最大值为负判断B，根据函数有两个极值点转化为导数有两个不等实根，利用导数分析即可判断C，求出切线方程，转化为方程有两个不等根，利用导数及分类讨论求解判断D. 【详解】当时，，，当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以且时，，所以的值域为，故A正确； 当时，，由可得 ，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以无解，即无零点，故B错误； ，由函数有两个极值点，得，即有两个实数根，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递增，上单调递减，， 且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根，所以函数有两个极点时，的取值范围是，故C正确； 由，设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率，切线方程为， 而点在切线上，则，即有，由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，令， 则函数有2个零点，求导得， ①若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值， 又， 当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ②若，恒成立，函数在上单调递增， 因此函数最多1个零点，不合题意； ③若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又， 显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ④若，显然，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，要函数有2个零点，必有，得， 当时，， 而函数在上的值域为，因此在上的值域为，当时，令，求导得，函数在上单调递减，则，， 而函数在上单调递减，值域为，因此函数在上的值域为，于是当时，函数有两个零点， 所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 12． 【分析】由一元二次不等式的解集与对应一元二次方程关系求参数值，即可得. 【详解】由题设，方程两根为1和4，则，得， 所以. 故答案为： 13．/ 【分析】先根据正态分布的对称性得到满足的条件，再结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为，且正实数，满足， 所以，即. 所以 （当且仅当即，时取等号）. 所以的最小值为. 14． 【详解】因为，且，都有， 所以，即， 所以在上单调递增， 又， 所以对所有恒成立， 所以， 解得， 所以实数m的取值范围为． 15．(1) 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 30 70 100 女 40 60 100 合计 70 130 200 (2)认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关 【分析】（1）利用分类统计，即可得到二阶列联表； （2）利用独立性检验的计算步骤即可求解. 【详解】（1）设喜爱该档节目的男性观众数为x，则喜爱该档节目的女性观众数为，不喜爱该档节目的女性观众数为， 则，得． 故列联表完成如下． 单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 30 70 100 女 40 60 100 合计 70 130 200 （2）零假设为：观众对该档节目的喜爱情况与性别无关． 根据（1）中列联表的数据，计算得到． 根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关． 16．(1) 单调递增区间为，，单调递减区间为，极小值为0，极大值为； (2)图像见解析. (3)答案见详解 【分析】（1）求出函数的导函数，根据符号判断函数的单调性，并求解极值. （2）根据（1）的单调性以及极值点画出大致图像即可. （3）根据（2）的图像，讨论的取值，分析方程的解的个数. 【详解】（1）函数定义域为，. 由于恒成立，令，解得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此极大值，极小值. （2） （3）结合函数图像分类讨论： 当时，解的个数为. 当或时，解的个数为； 当时，解的个数为3. 当时，解的个数为. 17．(1) (2) 的分布列为 0 1 2 数学期望为 (3) 的分布列为 0 1 2 3 方差为 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，列出关于的方程并求解； （2）根据频率计算各层人数，按比例确定分层抽样中两组抽取人数， 服从超几何分布，逐一求概率后列分布表并算期望； （3）用频率估计概率得单人成绩在给定区间的概率， 服从二项分布，由二项分布公式求分布列，用二项分布方差公式计算方差. 【详解】（1）依题意，得 ，解得 ． （2）依题意，成绩在的人有 （人）， 成绩在的人有 （人）， 用分层随机抽样的方法抽取5人， 则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人． 所以 的所有可能取值为0，1，2， 则， ， 所以 的分布列为 0 1 2 所以． （3）因为成绩在的频率为，用频率估计概率， 所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为． 又全公司中成绩在范围的人有 （人）， 所以 的可能取值为0，1，2，3，且． 所以，， ，． 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以， 所以． 18．(1) (2)两个零点 (3)3 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理判断； （3）不等式分离参数化为，引入函数，，利用导数求得其最小值并判断最小值所在范围后可得结论． 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数的最大值为． 19．(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】(1)设事件表示甲队第局获胜，那么前局比赛甲、乙两队各胜一局的概率有两种情况： 和 ，使用独立与互斥事件概率计算公式计算即可； (2)利用全概率公式计算出甲获得比赛胜利，再使用条件概率计算公式计算甲获得比赛胜利的条件下，甲在第3局获胜的概率； （3）由于采取5局3胜制，的所有可能取值为，，，使用独立与互斥事件概率计算公式计算出所有可能取值的概率. 【详解】（1）设事件表示甲队第局获胜， 则前局比赛甲、乙两队各胜一局的概率为 ． （2）设事件为甲获得本场比赛的胜利， 则，     ，         故． （3）根据题意得的所有可能取值为，，， 其中，             ，         ，         则的分布列为 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $