精品解析：河北保定市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

河北保定市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据2，3，4，1，5的中位数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 3. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，点平分线段．设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 是纯虚数 D. 若，则 10. 已知一组样本数据的方差，则（ ） A. 这组样本数据的平均数为2 B. 数据的方差为 C. 若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6，则的方差为9 D. 现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差 11. 已知正方体的棱长为4，，分别是棱，上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 若平面与平面的交线为，则 C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则________． 13. 如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的中线的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数； （2）将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数. 16. 如图，在三棱柱中，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）若侧面为菱形，求证：平面. 17. 如图，平面内四点，，，，满足，，，． （1）若，， （ⅰ）求的面积； （ⅱ）求． （2）若，，求． 18. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面，二面角的大小为． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 如图，已知是边长为1的正的外心，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点． （1）当时，求的值； （2）当时． （ⅰ）求的值（用含，的式子表示）； （ⅱ）若，求集合中最大元素与最小元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北保定市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据2，3，4，1，5的中位数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】将样本数据按照从小到大排列：， 则中位数是中间那一个数，即是第个数. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由复数的乘法运算把给出的复数化简为的形式，则复数的虚部可求． 【详解】因为，虚部为. 故选：B. 3. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，由正弦定理可得. 4. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入投影向量公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：C 5. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，在中计算的余弦值即得. 【详解】取的中点，连接， 因为分别为中点，所以，且，又，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线所成角， 在中，，， 所以. 6. 在中，，点平分线段．设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，，再由，化简即可求解. 【详解】因为，即， 又点平分线段， 所以. 故选：D. 7. 已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过直观图直接还原原图，由旋转得圆台，通过公式直接计算圆台侧面积即可. 【详解】由直观图可画出梯形如图所示, 将梯形绕旋转一圈得到以为半径， 为母线长的圆台 所以. 8. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角形内角和与三角恒等变换，将已知条件 转化，求出,后通过面积法建立角平分线与边的关系，得到 ，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值为. 【详解】由 ,即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当时取等号. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 是纯虚数 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的基本概念及虚数单位，结合复数的运算性质即可逐项进行判断. 【详解】对A：由复数不能直接比较大小，只有实数才能比较大小，A错误； 对B：由，所以，，所以，B正确； 对C：因为实部为0，虚部，所以是纯虚数，C正确； 对D：设，则，当时，为复数，不能与0比较大小，D错误. 10. 已知一组样本数据的方差，则（ ） A. 这组样本数据的平均数为2 B. 数据的方差为 C. 若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6，则的方差为9 D. 现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据方差意义可求平均数，即可对A判断；由方差的性质可对B判断；根据分层的方差再结合总体方差的求法即可对C判断；利用方差变形公式求出新的方差，即可对D判断. 【详解】A：由题知根据方差的求解公式，可得，故A正确； B：由数据的方差为，根据方差的性质可得数据的方差为，故B正确； C：由A知总体平均数为，若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6， 则由公式，可得，故C正确； D：原数据的平均数为，设新数据的平均数为，并设新数据的方差为， 则由方差公式可得 ，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知正方体的棱长为4，，分别是棱，上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 若平面与平面的交线为，则 C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据正方体的体对角线长即外接球的直径计算即可排除；对于B，先证平面，再由线面平行的性质易得结论；对于C，取的中点，的中点，由得到，，即得即为平面与平面所成二面角的平面角，计算即可判断；对于D，连接，，证明四边形为菱形，且为平面截正方体所得的截面，即可计算判断. 【详解】正方体的外接球的半径，∴正方体的外接球的表面积为，故A错误； 在正方体中，∵，， ∴四边形为平行四边形，∴. 又因平面，平面，∴平面. 因平面，平面平面，∴，故B正确； 取的中点，的中点，连接，易得，∴，. 又，∴，，∴即为平面与平面所成二面角的平面角. ∵分别为的中点，∴，则有平面. 又平面，∴，∴，故C正确； 连接，.∵，分别是棱的中点， ∴.易得与全等， 故，，∴，， ∴四边形为菱形，且为平面截正方体所得的截面， 故截面面积为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】， . 13. 如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为，等边三角形的中心为，由题意得，，在中利用勾股定理即可求出答案. 【详解】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为, 因为汤圆与碗的内壁相切，所以， 又因为三颗汤圆两两相切，所以， 设等边三角形的中心为， 因为汤圆与碗口等高，所以， 在中，， 在中，， 即，即， 所以，所以. 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的中线的最大值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得，，利用向量的模长公式可求，根据二次型函数求最值即可 【详解】 ， 即，即，又，所以， 又的中线，所以， ， 又为锐角三角形，所以，， 即时，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数； （2）将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数. 【答案】（1）x＝0.06，60 （2）A组3人；B组2人；C组1人 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求解x；求出身高在170cm及以上的频率，利用频数=样本容量×频率可得. （2）根据分层抽样的相关运算进行求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知5×（0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01）＝1， 解得x＝0.06， 身高在170 cm及以上的学生人数为100×5×（0.06＋0.04＋0.02）＝60. 【小问2详解】 A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10， 由题意可知A组抽取人数为30×＝3，B组抽取人数为20×＝2，C组抽取人数为10×＝1， 故A，B，C三个组分别抽取的学生人数为3，2，1. 16. 如图，在三棱柱中，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）若侧面为菱形，求证：平面. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线性质有，根据线面平行的判定证结论； （2）线面垂直的判定有面，根据线面垂直、菱形的性质可得、，最后由线面垂直的判定证结论. 【小问1详解】 连接交于，连接， 由为三棱柱，则为平行四边形， 所以是中点，又是的中点， 故在△中，面，面， 所以平面. 【小问2详解】 由，而，面， 所以面，又面，则， 由侧面为菱形，故， 又，面，故平面. 17. 如图，平面内四点，，，，满足，，，． （1）若，， （ⅰ）求的面积； （ⅱ）求． （2）若，，求． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据已知条件求出，代入三角形面积公式求解；（ⅱ）利用余弦定理求解； （2）先分析角度关系，利用正弦定理得到三角方程，解三角方程，确定角度. 【小问1详解】 （ⅰ）因为，，， ，， 所以, 又，所以， 又，所以． （ⅱ）， 所以． 【小问2详解】 因为，设， 则，， 在中，由正弦定理可得， 即， 所以， 即， 所以，即， 因为，所以，，所以， 所以． 18. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面，二面角的大小为． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直判定定理证明即可； （2）先由面面垂直得出线面垂直再结合线面角定义得出角及正弦即可； （3）应用等体积得出点到平面距离. 【小问1详解】 连接为中点， ， 四边形为平行四边形， ，在中， 又平面平面， 平面，平面， 又平面，平面， 又平面平面平面. 【小问2详解】 由平面平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 在中，作，垂足为， 由（1）知，平面平面，平面平面平面， 所以平面，则直线为直线在平面上的射影， 所以为直线与平面所成的角， 四边形为平行四边形，， 在中，， . 【小问3详解】 在三棱锥中，平面， 为三棱锥底面上的高， 又， ， 在三棱锥中，设到平面的距离为， ， ， 又. 19. 如图，已知是边长为1的正的外心，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点． （1）当时，求的值； （2）当时． （ⅰ）求的值（用含，的式子表示）； （ⅱ）若，求集合中最大元素与最小元素． 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）最大元素为，最小元素为 【解析】 【分析】（1）根据共线，将用表示，求和后再求模长； （2）（i）根据数量积定义计算； （ii）将用表示，依次视为的函数讨论单调求最值. 【小问1详解】 当时，，， ，， 又为等边三角形，且边长为1，为外接圆的圆心， 所以， ， 则，． 【小问2详解】 （i）因为为等边三角形，为外接圆的圆心，所以， 则，， 又，所以，分别为，的5等分点，又， 所以，； 所以 ． （ⅱ）因为， 所以 ； 同理可得：，； 所以； 令， 1）当时，时， ， 因为，所以时取最大值， 则； 时，， 因为，所以时取最小值，则， 则当时，； 2）当时， 时，， 因为，所以时取最大值，则； 时，， 因为，所以时取最小值，则， 则当时，， 综上所述：的最大值为，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $