精品解析：河北雄安新区2025-2026学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题

2025-2026学年第二学期期末教学质量检测 高一数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 有1，2，1，3，1，4六个数，中位数是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用中位数定义计算求解. 【详解】有1，2，1，3，1，4六个数， 从小到大排列数据为1，1，1，2，3，4，且， 中位数是. 2. 在中，，令，，用、表示（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得：，， 根据向量线性运算的三角形法则可得，  所以. 3. 一副去掉大小王的52张扑克牌，从中任取一张，设事件为“抽到红桃”，设事件为“抽到8”，则事件、为（ ） A. 互斥事件 B. 对立事件 C. 相互独立事件 D. 包含关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合古典概型得到，进而得出是相互独立事件判断C，应用互斥事件及对立事件定义判断A，B，应用包含关系判断D． 【详解】由于事件为“抽到红桃”，事件为“抽到8”， 事件不包含黑桃8，所以事件不包含，事件不包含红桃7，所以事件不包含，D选项错误； 事件为“既抽到红桃又抽到8”，所以，所以事件不是互斥事件，也不是对立事件，A，B选项错误； ，． 所以，所以与是相互独立事件，C选项正确． 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理得，再结合得. 【详解】因为在中，，即， 所以由正弦定理，得，解得， 因为，所以，所以. 5. 已知向量，，满足，，，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知， 所以， 因为，所以. 6. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析各选项中直线与平面、平面与平面的位置关系是否符合相应定理来判断对错，最终确定正确选项. 【详解】在A选项中，若，，， 则和可以平行、可以相交也可以异面垂直， 不一定，例如和都平行于的交线， 此时，因此A错误， 在B选项中，根据面面平行的判定定理要求可得： 本题中都在内且都平行于，但未说明相交， 若，与也可以相交，因此B错误， 在C选项中，由，，可得， 又，根据面面垂直的判定定理，可得，因此C正确， 在D选项中，满足条件时，也可以与相交，不一定， 例如，交线为，，垂直且与相交， 满足题设但不满足结论，因此D错误. 7. 在中，为的角平分线，点在边上，且满足，若，，的面积是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据面积公式得到，根据中线得到，最后根据角平分线和等面积的思路即可得到. 【详解】 设，，则，解得， 由中线得，整理得， 整理得，所以， 由得， 整理得. 8. 在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先构造二面角的平面角，明确棱锥的棱长，再借助体积法求点到平面的距离，即可求线面角的正弦值. 【详解】如图， 将沿直线翻折至，使得点到达点的位置. 将底面补成矩形. 则，，所以即为二面角的平面角，为. 又，所以为等边三角形. 又平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. 所以取为中点，则为棱锥的高. 又， 所以. 在中，，，，所以. 在中，，，所以. 设到平面的距离为， 则. 设直线与平面所成的角为，则. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 若复数满足，则在复平面内复数对应的点的集合所构成图形的面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，再利用共轭复数定义、模长公式、虚部定义、复数运算法则与复数几何意义计算即可得解. 【详解】由题意可得； 对于A，，，故A正确； 对于B，的虚部为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以点的集合所构成的图形是以原点为圆心， 分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，故，故D正确. 10. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若的外心为，则 C. 若，则周长的最大值为 D. 若，且有两解，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用余弦定理整理即可；B选项，根据外心的性质计算；C选项，根据余弦定理得到关系，然后利用基本不等式得到的最大值即可得到周长的最大值；D选项，根据三角形有两解列不等式，然后解不等式即可. 【详解】对于A，由和余弦定理，得， 即， 即，则，故A正确； 对于B，取中点，连接，则为中点且， ，故B正确； 对于C，若，由余弦定理，，即， 则，当且仅当时等号成立， 解不等式得到，所以周长的最大值为6，故C错误； 对于D，若，且有两解，则，即，故D正确. 11. 已知正方体的棱长为1，则下列选项正确的有（ ） A. 若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 B. 若为棱的中点，则过点有且仅有一条直线与直线，都相交 C. 以正方体各面中心为顶点构成的八面体，其外接球表面积为π D. 若平面，则平面截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征，使用异面直线所成角的定义，球体的表面积公式，线面垂直求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成角为， 在中，，， 由余弦定理知，正确； 由点与直线可以确定一个平面，由点与直线可以确定一个平面， 则点在与的交线上，且与平面的交点，与平面的交点都在两平面的交线上， 所以过点有且仅有一条直线与直线，都相交，正确； 以正方体各面中心为顶点构成的八面体由两个正四棱锥组成，其外接球是正方体的内切球，表面积为，正确； 因为平面，所以平面平面， 当截面为时，截面面积为，周长为， 当截面过的中点时，此时截面为正六边形，其面积为，周长为，错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知一个圆台的轴截面为梯形，若，，则该圆台的侧面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】圆台轴截面为等腰梯形，由得下底半径；上底半径， 则母线长，该圆台侧面积为. 13. 现代战争慢慢地走向无人化作战，小型无人机只要被击中一次，就会坠毁．甲、乙两名士兵独立击落无人机的概率分别为和．无人机来袭，甲、乙两名士兵各有一次开枪机会，则无人机恰好被一颗子弹击落的概率是_________． 【答案】 【解析】 【详解】“无人机恰好被一颗子弹击落”等价于甲乙两人恰好有一人击中无人机，包含两种互斥的情况： ①甲击中、乙未击中： 已知甲击中概率为，乙未击中概率为​， 由于甲乙射击独立，该情况概率为； ②甲未击中、乙击中： 甲未击中概率为，乙击中概率为​， 该情况概率为. 两种情况互斥，总概率为. 14. 已知，，以，为邻边作平行四边形，点是中点，，，则_________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题可知，， 因为点是中点，所以， 所以， 因为，，所以， 解得. 四、解答题（本大题共5道小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，． （1）求； （2）若，且的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和为把用和表示，整理后求解角. (2)先根据三角形面积公式，结合已知的面积和角，求出的值.因为已知和，所以用余弦定理即可求出的值. 【小问1详解】 因为 所以由正弦定理得： 则有， 所以， 因为， 所以有， 则有 所以 因为，所以，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以，即 因为，由余弦定理得： ， 所以， 所以. 16. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，三棱锥的体积为，求到平面的距离. 【答案】（1）证明：设与交于点，由底面为矩形，得为中点， 又为中点，则，又平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理即得. （2）由已知结合锥体的体积公式求出，再利用线面垂直的判定性质确定点到平面的垂线段并求出其长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由底面，底面为矩形， 得，解得， 过点作，垂足为，底面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，而平面， 因此平面，即为点到平面的距离， 在中，，所以. 17. 某学校组织一次数学教学反馈测试，为分析测试情况，随机抽取100名学生的测试成绩组成样本，选取合适组距将样本数据分为6组，分组区间依次为，，，，，，据此绘制得到频率分布直方图，如图所示． （1）求图中参数的值，并利用样本估计总体，估算本次测试成绩的第65百分位数； （2）在抽取的100名同学的数学成绩中，采用分层抽样的方法，从成绩落在区间与内的学生中共抽取4名学生，再从这4名学生中随机选取2名，求选出的2名学生的成绩都落在区间内的概率； （3）设该样本数据的平均数为，众数为，中位数为，将，，按照从小到大的顺序排列（无需写出推导理由）． 【答案】（1），77.5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据频率和为1求的值，再根据百分位数的概念，借助频率分布直方图估计所求百分位数. （2）先利用分层抽样的概念，确定抽出的4名学生中，分别处于区间与内的人数，再利用列举法求对应事件的概率. （3）利用频率分布直方图估计平均数、众数、中位数的值，再比较它们的大小. 【小问1详解】 由频率分布直方图得：，解得； 第一组频率为，第二组频率为， 第三组频率为，因为， 所以第65百分位数位于内，设第65百分位数为， 则，即，解得， 所以本次测试成绩的第65百分位数为77.5. 【小问2详解】 从，这两组中用分层抽样的方法抽取4名同学，抽取的人数比为， 即从中抽取3人记为、、，从中抽取1人记为， 从这4名同学中随机抽取两名，有、、、、、六种情况， 两名同学成绩都落在这一组的有、、三种情况. 由古典概率模型可知概率为. 【小问3详解】 根据频率分布直方图，得， ，. 所以. 18. 如图，在长方体中，，，为上一点，且，上一点，且，为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的正切值； （3）设为中点，过作平面，使平面平面，求长方体被平面所截得的图形的周长． 【答案】（1）证明：连结，作，交于， ，， 又，且， ，， ∴四边形为平行四边形， ， 平面，平面，， . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过构造平行四边形在平面内找出与直线平行的直线，然后由线面垂直的性质判断垂直； （2）延长，交于点，找出平面与平面的交线，通过定义找出面面角的平面角，在直角三角形中计算各边长，直接求解角度的正切值； （3）通过平行找出过的平面与长方体各个面的交点，得到截面图形，由数量关系直接求解平面多边形的周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长，交于点，作交于，连接． 平面，平面， ，又，， 平面，， 即为平面与平面所成角， 为中点，易得， ， ， ，， 可得. 【小问3详解】 设的中点为，连接，，易知平面即平面． 设，，分别为，，中点，设为上一点，且． 连接，，，，．则五边形即为所求. 则，， ，， ， ∴周长. 19. 设复数，复平面内复数对应点，向量定义复变换：，其中符号代表平面向量数量积运算． （1）已知，，分别求出，； （2）若复数满足，，且，设原点，定点，求的面积； （3）在（2）的条件下，记为的外心，若平面内动点满足，且，求的最小值． 【答案】（1）； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）借助所给新定义计算即可得； （2）设，结合模长公式与可计算出点坐标，即可得面积； （3）结合外心定义、平面向量线性运算及数量积公式可用表示出，即可得其最小值. 【小问1详解】 ①，，，， 故，则； ②，，，， 故，则； 【小问2详解】 设，则， 故，又， 得（负值舍去），则，即， 底边，高为点纵坐标2，所以； 【小问3详解】 由（2）得，，，设， 由外心定义得，即， 由，代入， ，得外心， 由，得，代入， ， 代入，， 即动点坐标，得到， ， ， 当且仅当时，取得最小值，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末教学质量检测 高一数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 有1，2，1，3，1，4六个数，中位数是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2. 在中，，令，，用、表示（ ） A. B. C. D. 3. 一副去掉大小王的52张扑克牌，从中任取一张，设事件为“抽到红桃”，设事件为“抽到8”，则事件、为（ ） A. 互斥事件 B. 对立事件 C. 相互独立事件 D. 包含关系 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知向量，，满足，，，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 在中，为的角平分线，点在边上，且满足，若，，的面积是，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 若复数满足，则在复平面内复数对应的点的集合所构成图形的面积是 10. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若的外心为，则 C. 若，则周长的最大值为 D. 若，且有两解，则的取值范围为 11. 已知正方体的棱长为1，则下列选项正确的有（ ） A. 若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 B. 若为棱的中点，则过点有且仅有一条直线与直线，都相交 C. 以正方体各面中心为顶点构成的八面体，其外接球表面积为π D. 若平面，则平面截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知一个圆台的轴截面为梯形，若，，则该圆台的侧面积为_________． 13. 现代战争慢慢地走向无人化作战，小型无人机只要被击中一次，就会坠毁．甲、乙两名士兵独立击落无人机的概率分别为和．无人机来袭，甲、乙两名士兵各有一次开枪机会，则无人机恰好被一颗子弹击落的概率是_________． 14. 已知，，以，为邻边作平行四边形，点是中点，，，则_________． 四、解答题（本大题共5道小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，． （1）求； （2）若，且的面积为，求． 16. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，三棱锥的体积为，求到平面的距离. 17. 某学校组织一次数学教学反馈测试，为分析测试情况，随机抽取100名学生的测试成绩组成样本，选取合适组距将样本数据分为6组，分组区间依次为，，，，，，据此绘制得到频率分布直方图，如图所示． （1）求图中参数的值，并利用样本估计总体，估算本次测试成绩的第65百分位数； （2）在抽取的100名同学的数学成绩中，采用分层抽样的方法，从成绩落在区间与内的学生中共抽取4名学生，再从这4名学生中随机选取2名，求选出的2名学生的成绩都落在区间内的概率； （3）设该样本数据的平均数为，众数为，中位数为，将，，按照从小到大的顺序排列（无需写出推导理由）． 18. 如图，在长方体中，，，为上一点，且，上一点，且，为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的正切值； （3）设为中点，过作平面，使平面平面，求长方体被平面所截得的图形的周长． 19. 设复数，复平面内复数对应点，向量定义复变换：，其中符号代表平面向量数量积运算． （1）已知，，分别求出，； （2）若复数满足，，且，设原点，定点，求的面积； （3）在（2）的条件下，记为的外心，若平面内动点满足，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $