精品解析：福建福州市部分学校联考2025-2026学年第二学期期末适应性练习高一数学

2025-2026学年度第二学期期末适应性练习 高一数学 【完卷时间：120 分钟 ； 满分：150 分】 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知复数（为虚数单位）为纯虚数则实数（ ） A. 0 B. C. 或0 D. 1 2. 已知两个非零向量满足,则下面结论正确的是(　　) A. B. C. D. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，由斜二测画法画的水平直观图是的等腰直角三角形，那么它在原平面图形中，顶点到的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知直线l垂直于平面，直线在平面内，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图一是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图二是该组合体的轴截面，则它的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. 60° B. C. D. 8. 如图所示，平面四边形中，AB=AD=BD=1，CD=，BDCD，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若i为虚数单位，则 B. 若为纯虚数，则是实数 C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 10. 抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件M，“点数为奇数”记为事件N，“点数小于4”记为事件Q．下列说法正确的是（ ）． A. M与N为互斥事件 B. M与Q为对立事件 C. N与Q不为互斥事件 D. N与Q为相互独立事件 11. 如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（ ） A. 的长度范围是 B. 存在点P，M，使得平面与平面平行 C. 存在点P，M，使得二面角大小为 D. 当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________． 13. 已知某个数据的平均数为，方差为，现再加入一个数据，则这个数据的方差为___________ 14. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是实数，复数，（是虚数单位）. （1）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）求的最小值. 16. 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的大小. 17. 为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. （1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； （2）求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； （3）现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 18. 已知锐角的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积的取值范围； （3）如图，若为外一点，且，求． 19. 如图，中，，，点在线段上，为等边三角形. （1）若，，求线段的长度; （2）若，求线段的最大值; （3）若平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末适应性练习 高一数学 【完卷时间：120 分钟 ； 满分：150 分】 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知复数（为虚数单位）为纯虚数则实数（ ） A. 0 B. C. 或0 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】因为复数为纯虚数， 所以有. 2. 已知两个非零向量满足,则下面结论正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两边平方化简，可得可得结果. 【详解】因为， 所以， 化简可得：，故 故选：B 【点睛】本题考查向量的计算以及向量之间的关系，掌握向量的共线、垂直的充要条件，属基础题. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 4. 如图，由斜二测画法画的水平直观图是的等腰直角三角形，那么它在原平面图形中，顶点到的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直观图的，再由斜二测画法规则求出顶点到的距离即可. 【详解】在中，，，， 于是得，且原图中即为顶点到的距离， 由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点到的距离是. 故选：D 5. 已知直线l垂直于平面，直线在平面内，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理及其性质进行判断即可得出结论. 【详解】易知当且时，若相交，则可知，则可得， 若不相交，则不能推出，所以不一定成立，因此充分性不成立； 当，由直线l垂直于平面可得，又直线在平面内， 所以可得且，即必要性成立， 因此“且”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6. 如图一是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图二是该组合体的轴截面，则它的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算圆柱的上底面面积、圆柱的侧面面积、圆台的下底面面积、圆台的侧面面积可得答案. 【详解】圆柱的上底面面积为；圆柱的侧面面积为； 圆台的下底面面积为；圆台的母线长为， 所以圆台的侧面面积为， 则该组合体的表面积为. 故选：D. 7. 在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. 60° B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，连结、，矩形中利用三角函数的定义，证出可得,根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱中证平面，从而得出，即可求解. 【详解】取中点，连接、， 矩形中，， ，可得，因此； 正三棱柱中，平面平面， 平面平面，，平面， 平面，平面，可得. ，平面， 平面，又平面， 所以，即与所成角的大小为， 故选：C． 8. 如图所示，平面四边形中，AB=AD=BD=1，CD=，BDCD，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 ，所以，所以是等边三角形， 取的中点为， 的外心为，也是的中心， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为 ，所以的外心是的中点， 过作直线垂直平面，则， 过作直线，交于点， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，故平面， 所以就是四面体的外接球的球心， 连接，因为四边形是矩形，所以，，设四面体的外接球的半径为， 则该球的体积为. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若i为虚数单位，则 B. 若为纯虚数，则是实数 C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的幂运算性质、纯虚数的定义、复数的除法运算法则、共轭复数的定义以及复数的几何意义，逐一判断各选项的真假. 【详解】对于A，，所以，A为假命题； 选项B，若为纯虚数，设，为实数， B为真命题； 对于C，，其共轭复数为，C为假命题； 对于D，复数在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限，D为真命题． 10. 抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件M，“点数为奇数”记为事件N，“点数小于4”记为事件Q．下列说法正确的是（ ）． A. M与N为互斥事件 B. M与Q为对立事件 C. N与Q不为互斥事件 D. N与Q为相互独立事件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件、以及独立事件的概念一一判断各选项，即得答案. 【详解】由于偶数点和奇数点不会同时发生，故M与N为互斥事件，A正确； 由于出现2点时，事件M与Q同时发生，故M与Q不为对立事件，B错误； 由于出现1、3点时，事件N与Q同时发生，N与Q不为互斥事件，C正确； ，, 则，即N与Q不为相互独立事件，D错误， 故选：AC 11. 如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（ ） A. 的长度范围是 B. 存在点P，M，使得平面与平面平行 C. 存在点P，M，使得二面角大小为 D. 当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，当在 处，在处时即可判断A错误，对于B，可找到点P，M使得平面与平面PBD平行，对于C，由题意，证得，得到二面角的平面角即可判断，对于D，求得点M的轨迹长度判断． 【详解】对于A, 当在处，在处时，， 故A错误； 对于B，当M为中点，P为中点时， 连接、，结合正方体的结构特征有， ，又平面，平面，则平面， ，又平面，平面，则平面， 又且都在面内，则平面平面 ，故B正确； 对于C，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中， 故一定存在点P，M，使得二面角大小为，所以C正确； 对于D，取中点E，连接，，，则平面， 根据线面垂直的性质有，则， 则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交、于、，则， 则，劣弧的长为，故D正确． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________． 【答案】 【解析】 【详解】根据投影向量的定义：向量在方向上的投影向量为 ​, 则由题意可得： ， 因为，所以. 13. 已知某个数据的平均数为，方差为，现再加入一个数据，则这个数据的方差为___________ 【答案】##3.04 【解析】 【详解】设原来个数据依次为、、、，则， 因为方差为，则， 即， 所以， 则， 再加入一个数据，则其平均数为， 则这个数据的方差为 . 14. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则的最大值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】在上的投影向量是，由向量数量积的几何意义，，求的最大值即可 【详解】如图，过向作垂线，垂足为，则在上的投影向量是， 在上的投影向量可能与同向，也可能与反向， 在本题中与的夹角为锐角，所以是同向的， 由向量数量积的几何意义，． 由等边三角形边长为3，，得，即半圆的直径为2， 过点作直线的垂线，与直线的夹角为，， 则圆心到直线的距离为1，所以直线与圆相切， 记切点为，当点在半圆上运动到与重合时，，最大， 取最大值，最大值为． 故答案为：9. 四、解答题：本题共5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是实数，复数，（是虚数单位）. （1）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简复数，根据第一象限点的实部、虚部均大于0，列不等式组解得的范围； （2）先求，再计算并求其模，转化为二次函数求最小值. 【小问1详解】 ， 复数在复平面内对应点的坐标为， 第一象限的点满足实部、虚部均大于0，因此，. 解得，即的取值范围是. 【小问2详解】 由得共轭复数，则 ， 根据复数模的计算公式得. 因为为实数，，当时，取最小值20，因此： ，即最小值为. 16. 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意可证，，进而证明平面，即可得面面垂直； （2）分析可知是二面角的平面角，结合长度关系运算求解. 【小问1详解】 如图所示，连接， 因为是菱形且知，则是等边三角形， 且是的中点，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）可知：平面，平面，则. 且，可知是二面角的平面角， 在中，，， 故二面角的大小为. 17. 为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. （1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； （2）求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； （3）现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 【答案】（1）平均数为19，中位数为20 （2）24 （3），，A，B不相互独立. 【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图平均数及中位数公式计算求解； （2）先应用频率和为1得出参数a，再结合频率计算求解只数； （3）应用独立事件概率乘积公式判断即可. 【小问1详解】 估计对照组小白鼠体重增加量的平均数为 . 因为， 所以估计对照组小白鼠体重增加量的中位数为20. 【小问2详解】 由， 得， 估计实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠只数为. 【小问3详解】 由题意知，从对照组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.5，超过25g的概率为0.3，从实验组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.4，超过25g的概率为0.15， 所以， ， ， ， 因为，所以A，B不相互独立. 18. 已知锐角的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积的取值范围； （3）如图，若为外一点，且，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）变形得到，由余弦定理求出，得到答案； （2）解法一：由正弦定理和三角恒等变换得到，并由锐角三角形得到，求出，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； 解法二：由余弦定理，且，得到不等式，并将代入两不等式，解得，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； 解法三：考查的极端位置情况，当时，，当时，，从而得到，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； （3）解法一：求出，设，表达出其他各边长，在中，由正弦定理得①，在中，由余弦定理可得②，将①式代入②式得到方程，求出，故； 解法二：求出，设，表达出其他各边长，求出，，在中，由正弦定理可得，在中，用含的式子表达出，求出，在中，由勾股定理和可得方程，求出，故． 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以； 【小问2详解】 解法一：在中，由正弦定理得， 又， 所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，所以， 因为， 所以的面积的取值范围是； 解法二：因为是锐角三角形， 所以，且， 所以，且， 又因为，所以， 所以，且，解得， 因为， 所以的面积的取值范围是； 解法三：因为是锐角三角形，所以均为锐角， 根据图形变化，考查的极端位置情况， 当时，， 当时，， 可得当且仅当时，是锐角三角形； 因为， 所以的面积的取值范围是； 【小问3详解】 解法一：因为，所以， 因为，设，则， 在中，由正弦定理可得，即①， 在中，由余弦定理可得②， 将①式代入②式得， 化简得，解得，故． 解法二：过点作交的延长线于点， 因为，所以， 因为，设，则， 又因为， 所以在中，由正弦定理可得，即 在中，， 所以， 因为，在中，由勾股定理可得， 化简得，解得，故． 19. 如图，中，，，点在线段上，为等边三角形. （1）若，，求线段的长度; （2）若，求线段的最大值; （3）若平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用向量表示,再根据已知条件求即可； （2）由（1）可知，通过向量运算得，两边同时平方，由向量的数量积运算即可； （3）根据角平线的性质得出，在，中，利用余弦定理得，再利用等面积法得到，最后根据的范围即可求出结果. 【小问1详解】 因为,, 所以, 即, 所以, 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以, 设,且为等边三角形， 所以， 即， 故， 且， 所以当时，， 所以. 【小问3详解】 因为平分, 所以由角平分线定理得,即, 故, 设，，的内切圆半径分别为, 在中,则，解得， 因为, 所以, 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 又因为, , 所以， 令，则， 因为，所以， 则，故，， 即，故, 所以与的内切圆半径之比的范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了平面向量的基本定理、向量模的运算以及通过余弦定理、面积公式解三角形，第三问解题的关键由角平线的性质得出，在，中，利用余弦定理得，再利用等面积法得到，最后根据的范围即可求出结果，计算比较复杂. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $