5.1 任意角和弧度制 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕任意角的概念展开，涵盖定义、分类、象限角、终边相同的角及运算。通过回顾初中角定义和“翻转体”情境，类比数系扩充历程，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生抽象概念。 其亮点是以问题驱动教学，类比实数运算定义角的加减，结合自主作图与坐标系直观，发展数学抽象和类比推理素养。典例系统（例1-3及变式）巩固理解，小结提升形成知识结构，助力学生建立逻辑联系，教师可高效开展概念教学。

第1课时 任意角 任意角与弧度制 经历从具体情境中抽象出任意角概念的过程，能陈述任意角的定义，感悟角的概念扩充的必要性，发展学生数学抽象素养. 01 教学目标 通过自主作图，能理解象限角、轴上角、终边相同的角等概念，体会三角函数的周期性. 02 通过类比实数加、减法，能进行角的加、减运算，提高学生类比推理能力. 03 知识回顾 初中角定义： 角的类型： 角的范围： “前空翻转体 540 度” “后空翻转体 720 度” 数系的扩充历程 环节三 抽象概念，内涵辨析 【思考】类比数系的扩充，给出推广后的角的概念吗？ 1. 角新的定义方式 （1）角的概念：一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角. （2）角的三要素：始边：射线的起始位置（OA）； 终边：射线的终止位置（OB）； 顶点：射线的端点（O）. （始边） （终边） （顶点） （3）角的表示 一般地，用∠α， ∠β， ∠γ，......，或∠AOB等表示角，为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成 “α”. 5 环节三 抽象概念，内涵辨析 （4）角的分类 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 正角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 负角 如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.（ ） 零角 【思考】从角的“旋转” 角度上看，角可以分成那几个类型？ 环节三 抽象概念，内涵辨析 为正角，等于 为正角，等于 为负角，等于 为负角，等于 【思考】你能画出的角来吗？ 时常用带箭头的弧表示旋转方向. （5）两角相等 如果两个角α，β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β. 环节三 抽象概念，内涵辨析 【思考1】始边和终边都相同的两个角一定相等吗？ 【思考2】两个角相等的角，始边和终边一定重合吗？ 【思考3】两个实数相等，首先符号相同大小相同，类比实数如和定义两个角相 等能呢？ 环节三 抽象概念，内涵辨析 我们已经把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角，也讨论了两个角相等，接下来我们应该研究角的运算? 【问题6】实数有加减运算，两个角是否像实数一样可以进行加减运算呢？ 4. 角的加减法 （1）角的加法：设，是任意两个角. 我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. 4. 角的加减法：类似于实数的相反数是，我们引入任意角的相反角的概念 环节三 抽象概念，内涵辨析 相反角：如图，我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两 个角叫做互为相反角，记为. 环节三 抽象概念，内涵辨析 【追问4】类似于实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，你认为两个任意角的减法应该如何定义？ 4. 角的加减法 （3）角的减法：减去相当于加上的相反角，即 . 类别 有理数 任意角  分类 正数、负数、零  正角、负角、零角   相等 绝对值相等，符号相同  旋转方向相同，旋转量相等   加法 同号相加，取相同符号； 异号相加，取绝对值大的符号 角α的终边再旋转角β所得到的角为α+β   相反量 实数a的相反数是－a，0的相反数是0  角α的相反角是－α，零角相反角是零角   减法 a－b=a+(－b) α－β =α+(－β ) 环节三 抽象概念，内涵辨析 【问题4】请大家以同一射线为始边作出角：，，. 如果把角放在直角坐标系中，怎么放比较方便、合理？ 在统一“参照系”下，可以使角的讨论得到简化，另外角终边的周期性 变化现象更直观. 为了方便，使角的顶点与原点重合，角的终边与x轴的非负半轴重合， 环节三 抽象概念，内涵辨析 【追问2】我们通常在直角坐标系内讨论角，此时又如何对角 进行分类？ 2. 象限角与轴线角（界限角） （1）若角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角; （2）若角的终边在坐标轴上，就称为轴线角， 特别注意：轴线角不属于任何一个象限. 【追问3】锐角、第一象限角、小于的角三个概念 的区别是什么？ 环节三 抽象概念，内涵辨析 【问题5】在直角坐标系中给定一个角，那么它就有唯一的一条终边与之对应，反之，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？ 【追问】比如32°角的终边是OB，那么以OB为终边的角还有哪些？请列举几个，它们与32°角有什么关系？ 3. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合， S={β|β=α+k∙360°，k∈Z}. 此条件不能省略 环节四 典例分析、巩固理解 【例1】在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角. 解： 它是第四象限角. 【练习】在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角. （1） 环节四 典例分析、巩固理解 【例2】写出终边在轴上的角的集合. 解：在范围内，终边在轴上的角有两个，即，角. 因此， 所有与角终边相同的角构成集合 所有与角终边相同的角构成集合 【变式1】（1）那终边在轴上的角的集合又如何表示呢？ （2）终边在轴上的角的集合又如何表示呢？ 环节四 典例分析、巩固理解 ； （. 轴线角的集合表示 角终边的位置 角的集合表示 在轴的非负半轴上 在轴的非正半轴上 在轴的非负半轴上 在轴的非正半轴上 在轴上 在轴上 在坐标轴上 【变式2】了解了终边落在坐标轴上角的集合的表示方法，那终边落在某个象限的角的集合又该如何表示？ 环节四 典例分析、巩固理解 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 第一象限角： 终边落在轴的正半轴和轴的正半轴间 第二象限角： 终边落在轴的正半轴和轴的负半轴间 第三象限角： 终边落在轴的负半轴和轴的负半轴间 第四象限角： 终边落在轴的负半轴和轴的正半轴间 各象限角的集合表示 象限角 象限角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 环节四 典例分析、巩固理解 【例3】写出终边在直线上的角的集合. 其中 中满足不等式的元素有哪些？ 解： . 在范围内，有3个周角，那终边在直线上的角应有6个. 环节四 典例分析、巩固理解 【例3】写出终边在直线上的角的集合. 中满足不等式的元素有哪些？ 环节五 小结提升，形成结构 【问题6】回顾本节课学习的内容，回答下列问题： （1）这一章研究什么内容？为此需要做好怎样的准备？ （2）任意角的概念的获得及研究内容与数系的扩充有怎样类似的关系？ （3）在坐标系内讨论角有什么好处？又形成啦哪些概念？用到了什么方法？ （4）这节课研究的内容是为研究圆周运动所做的准备，为了能用函数刻画圆周运动，还需要什么准备呢？ 课堂小结 任意角 分类 正角 负角 零角 角的加减运算 象限角 终边相同的角 角的加法 角的减法 用，表示相应的旋转量，请从如下几种情况具体分析角“” 的结果，： （1）； （2） ； （3）； （4） . 对于（1），角“”的旋转方向为逆时针，旋转量为. 对于（2），若，则角“”的旋转方向为逆时针，旋转量为； 若，则角“”的旋转方向为顺时针，旋转量为. 对于（3），若，则角“”的旋转方向为逆时针，旋转量为； 若，则角“”的旋转方向为顺时针，旋转量为. 对于（4），角“”的旋转方向为顺时针，旋转量为. 环节六 课后思考 环节七 布置作业，应用迁移 1. 教材P20，练习 第1，2，3题； 2. 课时训练. $